第十一章 马尔科夫链
马尔可夫链课件
格，或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处；如果 3
一点上，则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上，1 和5这两点称为反射壁，这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置，说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链，并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n，n 0} 是齐次马尔可夫链，其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S )，记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解：它的一步转移概率矩阵为： 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁，即Q一旦到达1这一点，则永远 留在点1时，此时的转移概率矩阵为：
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率，C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下，过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
第十一章马尔科夫预测法
12月份三个企业市场用户拥有量分别为：
甲：1000×0.306 = 306 户
乙：1000×0.246 = 246 户
丙：1000×0.448 = 448 户
17
稳定状态概率为：
Sn SS12nnP1P1121
P21 P221
P3110 P32 0
S3n 1
1 1 1
0.3 0.1 0.3
300 300 300
20
本月的状态：
S 1 S 1 1 S 2 1 S 3 1 S 0 P
0.4 0.3 0.3
0.4 0.3 0.30.6 0.3 0.1
0.6 0.1 0.3
0 .52 0 .24 0 .24
即本月A牌号味精的市场占有率为0.52，B牌号味精 的市场占有率为0.24，C牌号味精的市场占有率为0.24 。
根据市场调查情况，确定一次转移概率矩阵为：
230 10 10
P22500 300 30
250 250
300 10
34230150000 000..00.966277
0.04 0.833 0.022
0.04
0.1
0.911
450 450 450
14
步骤
利用马尔柯夫预测模型进行预测，11月份三个企业市 场占有率为：
R
5 1
1 1
试求下一个季度的即时期望利润和三个季度后的期望 利润。
30
步骤：
根据调查资料估计状态转移概率并确定状态转移概率 矩阵
PP1 177400.7.58 127400.2.52
9
9
31
P2P1P 0 0 .7 .580 0 .2 .5 2 2 0 0..5 66 40 0..4 3 4 6
马尔科夫链详解
4
定义 1 设{ Xn , n 1,2, }是一个随机序列，状态 空间 E为有限或可列集，对于任意的正整数m,n，若
i, j,ik E(k 1, ,n 1)，有
15
解 设 Xn(n 1, ,97) 为第 n 个时段的计算机状 态，可以认为它是一个时齐马氏链，状态空间
E {0,1}。要分别统计各状态一步转移的次数，即
0→0，0→1，1→0，1→1 的次数，也就是要统计数据
字符串中‘00’，‘01’，‘10’，‘11’四个子串的个数。
利用 Matlab 软件，求得 96 次状态转移的情况是
马尔科夫Markov链
Markov原名A.A. Markov（俄，1856－1922） 于1906年开始研究此类问题.
1
1 马尔可夫链的定义 现实世界中有很多这样的现象，某一系统在已知 现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有 关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商 店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知， 则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一 时刻累计销售额无关。描述这类随机现象的数学模型 称为马尔科夫模型，简称马氏模型。
0→0，8 次；
10
（1）对一切i, j E ，0 pij (m) 1；
（2）对一切i E ， pij (m) 1； jE
（3）对一切i,
j
E ， pij (0)
ij
1, 当i 0， 当i
j时, j时 .
11
当实际问题可以用马尔可夫链来描述时，首先要 确定它的状态空间及参数集合，然后确定它的一步转 移概率。关于这一概率的确定，可以由问题的内在规 律得到，也可以由过去经验给出，还可以根据观测数 据来估计。
马尔科夫链
马尔科夫预测法一个是职业病尘肺病人预测、一个是安全培训效果预测、一个是安全出口人流分布预测，那今天就专门讲马尔科夫预测模型的计算方法。
（一级考试这个知识点考的㳀）•马尔科夫（A.A Markov）预测法是应用概率论中马尔科夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。
一般用于市场占有率预测和人力资源结构预测方法，最近几年在一级安全评价师考试中出现的次数比较多，虽然难度很低，但是教材上并没有这个内容，所以在这里简单给大家讲一下这个方法的应用与解题技艺。
先简单介绍一下这个方法马尔柯夫（A.A Markov 俄国数学家）。
20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。
例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。
具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔柯夫链。
状态与状态变量•状态：客观事物可能出现或存在的状况。
如：商品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能故障等。
（同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在两种状态。
）•用状态变量来表示状态它表示随机运动系统，在时刻t(t=1,2,3...)所处的状态i(i=1,2,3...)•状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。
如：由于产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。
由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
概率论中的条件概率：P（A/B）就表达了由状态 B 向状态 A 转移的概率，简称为状态转移概率。
对于由状态 E i 转移到状态E j 的概率，称它为从i到j的转移概率。
记为：它表示由状态E i 经过一步转移到状态E j 的概率。
《马尔可夫链讲》课件
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
《马尔科夫链》课件
六、总结
优点与缺点
马尔科夫链具有简化模型、 易于计算的优点，但忽略了 过去信息和状态空间有限的 缺点。
应用前景
随着人工智能和数据科学的 发展，马尔科夫链在各个领 域的应用将得到更广泛的推 广。
发展趋势
未来马尔科夫链可能进一步 发展和改进，并与其他模型 和技术相结合，实现更强大 的应用。
《马尔科夫链》PPT课件
马尔科夫链是一种概率模型，常用于描述离散时间过程的转移规律。本课件 将详细介绍马尔科夫链的概述、基本概念、应用和常见问题，并通过实际案 例分析展示其重要性和应用前景。
一、概述
定义
马尔科夫链是一种离散时间、离散状态的随机过程，其未来状态仅依赖于当前状态。
特点
马尔科夫链具有无后效性、状态转移 Markov 性、齐次性和有限状态空间等特点。
1 自然语言处理
马尔科夫链可用于模拟语言模型、文本生成和自动翻译等。
2 计算机网络
马尔科夫链可以用来建立网络流量模型、分析网络性能和优化网络传输。
3 金融市场
马尔科夫链在金融市场中的应用包括股票价格预测、投资组合优化和风险管理。四、马尔科ຫໍສະໝຸດ 链的常见问题1收敛性
马尔科夫链是否会收敛到一个稳定状
长期行为
2
态？如何判断？
马尔科夫链在长期运行时会以何种形
式表现？
3
平稳分布
马尔科夫链是否存在一个平稳的状态 分布？如何计算？
五、马尔科夫链的实际案例分析
语音识别
马尔科夫链可用于语音识别系 统中，对语音信号进行建模和 识别。
股票涨跌预测
利用马尔科夫链分析历史股票 价格，预测未来股票价格的涨 跌趋势。
马尔可夫链的概念及转移概率
第四章4.1 马尔可夫链的的概念与转移概率一、知识回顾二、马尔可夫链的的定义三、转移概率四、马尔可夫链的一些简单例子五、总结一、知识回顾1. 条件概率定义：设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)=P(AB) P(A)为事件A发生条件下B事件发生的条件概率。
将条件概率公式移项即得到所谓的乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)2.全概率公式设试验E的样本空间为S，A为E的事件，若B1,B2，⋯，B n为S的一个完备事件组，既满足条件：1).B1,B2，⋯，B n两两互不相容，即B i B j=∅，i≠j,i,j=1,2,⋯,n2). B1∪B2∪⋯∪B n=S，且有P(B i)>0,i=1,2,⋯,n，则P(A)=∑P(B i)P(A|B i)ni=1此式称为全概率公式。
3.矩阵乘法矩阵乘法的定义A=(a11a12a13a21a22a23)，B=(b11b12b21b22b31b32)C=(c11c12c21c22)如果c11=a11×b11+a12×b21+a13×b31c12=a11×b12+a12×b22+a13×b32c21=a21×b11+a22×b21+a23×b31c22=a21×b12+a22×b22+a23×b32那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作C=AB4.马尔可夫过程的分类马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的，可分为三类：（1）时间、状态都是离散的马尔科夫过程，称为马尔可夫链；（2）时间连续、状态离散的马尔科夫过程称为连续时间的马尔可夫链的；（3）时间、状态都连续的马尔科夫过程。
二、马尔科夫链的定义定义 4.1设有随机过程{X n,n∈T}，若对于任意的整数n∈T和任意的i0,i1,…,i n+1∈I，条件概率都满足P{X n+1=i n+1|X0=i0,X1=i1,…,X n=i n}=P{X n+1=i n+1|X n=i n}(4.1.1)则称{X n,n∈T}为马尔科夫链，简称马氏链。
马尔可夫链模型课件
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数，{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为，若我们知道在t时刻系统中的顾客 数，那么为了预测将来的状态，我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间（因为来到过程是无记忆 的），但和服务中的顾客服务了多长时间有关（因为服务 时间分布不具无记忆性）。
销，2代表滞销。以X n 表示第n个季度的味精销售状态，
则 X n 可取1或2的值。若未来的味精市场状态只与现在的 市场状态有关，与以前的市场状态无关，则味精的市场销
售状态 {X n , n 1} 构成一个马尔可夫链。
设
P( X n1 j X n i) pij
p11 0.5 p12 0.5
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统（过程）的模型
• 系统在每个时期所处的状态是随机的 • 从一时期到下时期的状态按一定概率转移 • 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率
已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
例如：在某数字通信系统中传递0，1两种信
解：一步转移概率为：
Pi,i1 Pi,i1
p q
1
p
Pi,
j
0
(j i-1,i+1)
........................
...q
0
p
0
0...
P ...0 q 0 p 0...
...0
0
q
0
p...
........................
马尔科夫链
浙江大学随机过程
8
例2. 0 − 1传输系统） （
X0 1 X1 2 X2
…
Xn-1
n
Xn
…
只传输0和1的串联系统中，设每一级的传真率为p,误码率 为q = 1 − p。以X 0 表示第一级的输入，X n 表示第n级的输出 （n ≥ 1 ）。 { X n }是一时齐Markov链，状态空间I = {0,1}， 则
0 1
1 2
2 0
1 2
3 4 0 0
1 2
5 0 0 0 0 1 2 1 2
14
乙
0 1 2 1 1 2 2 0 P= 3 0 4 0 5 0
0 0 0
1 2
0
1 2
0
1 2
0 0 0
0
1 2
0 0
0
1 2
0
浙江大学随机过程
例6：卜里耶（Polya)罐子模型。设一罐子装有r个红球， t个黑球，现随机从罐中取出一球，记录其颜色，然后将 球放回，并加入a个同色球。持续进行这一过程，Xn表示 第n次试验结束时罐中的红球数，n=0，1,2,…. {Xn,n=0，1,2,…}是一随机过程， 状态空间I={r,r+a,r+2a,…},当Xn=i 时，Xn+1=j的概率只 与i有关，与n时刻之前如何取到i值是无关的， 这是一马氏链，但不是时齐的,一步转移概率为：
1 1 2 P=3 4 5 0 1 3 0 0 0
2 1
1 3 1 3
3 4 0
10632-数学建模-论文-马尔可夫链
若以X n表示时刻 n 时Q的位置，
则 { X n , n = 0,1,2,L}是一随机
1
2
3
45
过程， 而且当X n = i 时，X n+1 , X n+2 ,L等以后的行为只与 X n = i
有关，而与质点以前是如何到 i 是完全无关的，所以，它是一
个马氏链，且为齐次马氏链。
状态空间为：I = {1,2,3,4,5}
= 0.284
14
南京邮电大学孔告化讲 课稿
例题：设 {X n , n ≥ 0} 是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏链，
一步转移概率矩阵为 0 1 2
0 ⎜⎛ 3 / 4 1/ 4 0 ⎟⎞ P = 1 ⎜1/4 1/2 1/4⎟
2 ⎜⎝ 0 3 / 4 1/ 4⎟⎠
已知初始分布为：pi (0) = P{X0 = i} = 1/ 3, i = 0,1,2
=
1|
Xn
=
1}
≈
8
52 + 52
=
26 35
13
南京邮电大学孔告化讲 课稿
续例：若计算机在某一时段（15分钟）的状态为 0，问从此时段 起此计算机能连续正常工作 一小时 （4个时段）的概率为多少？
解：由题意，P{ X1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1 | X 0 = 0}
有 P{Xm+n = aj | Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 ,L, Xtr = air , Xm = ai }
= P{Xm+n = a j | Xm = ai }
记 Pij (m, m + n) = P{ Xm+n = a j | X m = ai } 称 Pij (m, m + n) 为马氏链在时刻 m 处于状态 ai 条件下， 在时刻 m + n 转移到状态 a j 的转移概率.
马氏链模型1
第十一章 马氏链模型一、预备知识。
1、随机过程的概念。
定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。
其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。
（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。
其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。
（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。
随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。
当T 为时间时，该随机序列就是时间序列。
如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。
（2）用t ξ表示“t 时刻，某商店的销售额”，则{}),0[:+∞∈t t ξ也是一个随机过程。
（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。
（4）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。
马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。
2、马尔可夫链——马氏链。
定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。
若对于任意正整数m 、n 。
如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。
从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。
则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。
（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。
马尔科夫链——概率与数理统计
0 1
• 例2 一维随机游动 设一醉汉Q在如下图点集I={1,2,3,4,5}上
0 pq p 1 q p
作随机游动，并且仅仅在1秒、2秒…等时刻发生游动.规律是：
(1) 如果Q现在位于点i(1<i<5), 则下一时刻各以1/3的概率向左 或向右移动一格，或以1/3的概率留在原处； (2) 如果Q现在位于1（或5）这点上，则下一时刻就以概率1移 动2（或4）这一点上. 1和5这两点称为反射壁. 上面这种游动 称为带有两个反射壁的随机游动.
6. 齐次马氏链的有限维分布. 马氏链的初始分布为:
p j (0) P{ X 0 a j }, p j (n) ˆ P{ X n a j },
j 1
aj I, aj I,
j 1,2,
1) 马氏链在任一时刻 n∈ T1 的一维分布：
j 1,2,
显然，应有 p j ( n) 1. 由全概率公式得
Pij (m, m n) ˆ Pij (n)
并称转移概率具有平稳性，同时也称此链
是齐次的或时齐的.
5. n步转移概率和n步转移矩阵
• n步转移概率 :
Pij (n) P{ X m n a j | X m ai }
pij ˆ Pij (1) P X m 1 a j X m ai
3. 转移概率
对任意得正整数n, r和0≤t1 < t2< …< tr < m; ti , m, n+m ∊T1有
P { X m n a j | X t1 a i1 , X t 2 a i2 , , X t r a ir , X m a i } P { X m n a j | X m a i },
马尔科夫链——精选推荐
马尔科夫链11. 马尔科夫链X0,X1,...,X n，n表⽰时间，如果X0,...X n都是独⽴的，那么这个假设限制性太⼤，不能对现实世界建模。
⽽如果X0,...X n彼此可以任意交互影响，那么模型太难计算。
马尔科夫链是单步影响（one-step dependence）的序列，⼀个折中的假设。
11.1 马尔科夫性质和转移矩阵马尔科夫链存在时间和空间中，X n的可能取值是状态空间，n是转移过程的时间。
时空都是可离散、可连续。
现只讨论离散空间、离散时间、有限状态空间的情形。
定义11.1.1：对于取值空间是{1,2,...,M}的随机变量序列X0,X1,...,X n，如果对于所有n>0，存在P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,...,X0=i0)=P(X n+1=j|X n=i)，那么这个序列就是马尔科夫链。
P(X n+1=j|X n=i)被称为转移概率。
本讨论中如果没有明确说明，默认马尔科夫链是时间同性的（time-homogeneous ）,即对于所有时间n，转移概率都是相同的。
以上等式即是马尔科夫性质，即只有X n−1影响到X n。
如果n代表现在，n之前代表过去，n之后代表未来，那么马尔科夫性质表⽰过去和未来是条件独⽴的。
为了描述马尔科夫链的过程，我们必须知道转移概率P(X n+1=j|X n=i)，转移概率编码在转移矩阵⾥。
定义11.1.2：X0,X1,...,X n是取值空间为{1,2,...,M}的马尔科夫链，q ij=P(X n+1=j|X n=i)是从i到j的转移概率，那么M×M矩阵Q=(q ij)是其转移矩阵。
注意，Q是⾮负矩阵，且每⾏的和为1。
例11.1.3：（晴天⾬天）假设对于任⼀天，天⽓只能是晴天或⾬天（rainy or sunny ）。
如果今天⾬，那么明天⾬概率1/3，明天晴概率2/3。
如果今天晴，明天⾬概率1/2，明天晴概率1/2。
X n表⽰n天的天⽓，那么X0,X1,...,X n时空间状态为{R,S}的马尔科夫链。
马尔科夫链
定义 1 设{ X n , n 1, 2 , } 是一个随机序列，状态 空间 E 为有限或可列集，对于任意的正整数 m , n ，若
i , j , i k E ( k 1, , n 1) ，有
P { X n m j | X n i , X n 1 i n 1 , , X 1 i1 } P { X n m j | X n i }
录观测系统所处状态如下
若该系统可用马氏模型描述，估计转移概率 p ij 。
19
解
4
记 n ij 是由状态 i 到状态 j 的转移次数，行和
i j
ij
ni
n n 是系统从状态 i 转移到其它状态的次数， 和
j1
n i 的统计数据见表。
表
i j 转移数统计表
1 2 3 4 1 4 4 1 1 2 3 2 4 2 3 4 4 2 1 4 0 1 4 2
（1）
则称{ n , n 1, 2 , } 为一个马尔可夫链（简称马氏链） ， （1）式称为马氏性。
5
事实上，可以证明若等式（1）对于 m 1 成立， 则它对于任意的正整数 m 也成立。因此，只要当m 1 时（1）式成立，就可以称随机序列{ X n , n 1, 2 , } 具 有马氏性，即{ X n , n 1, 2 , } 是一个马尔可夫链。
15
解
设 X n ( n 1, , 9 7 ) 为第 n 个时段的计算机状
态，可以认为它是一个时齐马氏链，状态空间
E { 0 , 1} 。要分别统计各状态一步转移的次数，即
0→0，0→1，1→0，1→1 的次数，也就是要统计数据 字符串中‘00’，‘01’，‘10’，‘11’四个子串的个数。 利用 Matlab 软件，求得 96 次状态转移的情况是 0→0，8 次； 1→0，18 次； 0→1，18 次； 1→1，52 次.
第十一章 马尔科夫链
。 又由重复性知，有 故
。 2、若顾客的购买是无记忆的。现在市场上供应A,B,C三个不同厂家生产 的50g袋装味精。用分别表示事件“顾客第n次购买A,B,C三厂的味精”， 则 是一个马氏链。已知顾客第一次购买三种味精的概率依次为0.2， 0.4，0.4。又知道一般顾客购买的倾向表如下：。求： 1）顾客第二次 购买各厂味精的概率。 2）经过三次购买后的倾向表。3）长时间的购买活动后，A，B，C三厂 的市场占有率如何？ 解：1）因为 ，转移概率矩阵为 ， 且初始状态为 , 顾客第二次购买的各厂味精的概率分别为：
2）、经过三次购买后的倾向表为：
3）、设其极限分布为，由得，长时间的购买活动后，A，B，C三厂的 市场占有率为： 。 3、设
满足习题1的条件。若有证明：
是齐次马尔科夫链，并求二步转移概率矩阵。 解： 因为 所以，，由于与相互独立，因此
同理，。所以
是马尔科夫链，由于
是齐次马尔科夫链，故
也是齐次马尔科夫链。 故
，则 即从状态出发经过很长时间后马尔科夫链处于状态1，2，3的概率都是 1/3。即马尔科夫链趋于均匀分布。 10、在一计算机系统中，每一循环具有误差的概率取决于先前一个循环 是否有误差。以0表示误差状态，1表示无误差状态。设转移概率矩阵 为，讨论相应的齐次马尔科夫链的遍历性，并求其平稳（极限）分布。 解：法1 用定义解。由于P无零元，对，都有，所以此链具有遍历性。 因为P与（特征矩阵）相似，故，其中
于状态0，有23/62的时间过程处于状态1，有18/62的时间过程处于状态 2。 8、设一马尔科夫链的转移概率矩阵为 ，讨论此马尔科夫链的遍历性。 解： 因为
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得唯一解： 。 故为其稳分布。
于状态0，有23/62的时间过程处于状态1，有18/62的时间过程处于状态 2。 8、设一马尔科夫链的转移概率矩阵为 ，讨论此马尔科夫链的遍历性。 解： 因为
当为奇数时，；当为偶数时，。所以对任一固定的状态当，极限都 不存在。故此马尔科夫链不具遍历性。 9、设马尔科夫链的转移概率矩阵为 ，求其平稳分布。 解： 设满足方程组 ， 解得唯一解
第十一章 马尔科夫链
1、设有独立重复试验序列。以记第次试验时事件发生，且；以记第次 试验时事件不发生，且。求：步转移概率矩阵。 解： 是齐次马尔科夫链。由独立性知：
。 又由重复性知，有 故
。 2、若顾客的购买是无记忆的。现在市场上供应A,B,C三个不同厂家生产 的50g袋装味精。用分别表示事件“顾客第n次购买A,B,C三厂的味精”， 则 是一个马氏链。已知顾客第一次购买三种味精的概率依次为0.2， 0.4，0.4。又知道一般顾客购买的倾向表如下：。求： 1）顾客第二次 购买各厂味精的概率。 2）经过三次购买后的倾向表。3）长时间的购买活动后，A，B，C三厂 的市场占有率如何？ 解：1）因为 ，转移概率矩阵为 ， 且初始状态为 , 顾客第二次购买的各厂味精的概率分别为：
，于是二步转移概率矩阵为 ；四步转移概率矩阵为 从而今天有雨且第四天仍有雨的概率为 ： 。 6、设是一个独立同分布的取非负整数的随机变量序列，，令 证明：是 马尔科夫链，并求其一步转移概率矩阵。 解： 的值域为，有 所以，是马尔科夫链，转移概率 。 故其一步转移概率矩阵为： 。 7、设马尔科夫链的状态空间为，一步转移概率矩阵为：，求其相应的 极限分布。 解： 设其极限分布为，由及得方程组， 解方程组得 。 即不论其其始分布任何，在经过一段时间以后，有21/62的时间过程处
，则 即从状态出发经过很长时间后马尔科夫链处于状态1，2，3的概率都是 1/3。即马尔科夫链趋于均匀分布。 10、在一计算机系统中，每一循环具有误差的概率取决于先前一个循环 是否有误差。以0表示误差状态，1表示无误差状态。设转移概率矩阵 为，讨论相应的齐次马尔科夫链的遍历性，并求其平稳（极限）分布。 解：法1 用定义解。由于P无零元，对，都有，所以此链具有遍历性。 因为P与（特征矩阵）相似，故，其中
2）、经过三次购买后的倾向表为：
3）、设其极限分布为，由得，长时间的购买活动后，A，B，C三厂的 市场占有率为： 。 3、设
满足习题1的条件。若有证明：
是齐次马尔科夫链，并求二步转移概率矩阵。 解： 因为 所以，，由于与相互独立，因此
同理，。所以
是马尔科夫链，由于
是齐次马尔科夫链，故
也是齐次马尔科夫链。 故
。 4、设是一个马尔科夫链，其状态空间，转移概率矩阵为 ，求 （1） ， （2）
。 解： （1） 由马尔科夫与齐次性，可得
（2） 因为所求为二步转移概率，先求二步转移概率矩阵 ，故
。 5（天气预报问题）、设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去 的天气无关。又设今天下雨而明天下雨的概率为
，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为 状态1。因此问题是两个状态的马尔科夫链。设。求今天有雨且第四天 仍有雨的概率。 解 由题设条件，得一步转移概率矩阵为