第二章 利息理论Microsoft PowerPoint 演...

第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。--贴现额。
.

2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn

An An1 An

an an1 an
年贴现额=Andn=An-An-1 以An为标准的减少额。 年利息=An-1 in=An-An-1 以An-1为标准的增加额。
t
At A0 A0 (at a0 )

第n年的利息为：

I n An An1 A0 (an an1 )
3、利率

单位资本的获得的利息。
A1 A0 第一年：i1 a1 1 A0 A2 A1 a2 a1 第二年：i2 A1 a1 An An 1 an an 1 第n年：in An 1 an 1
例一
设：at =ct2+d
(c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 求：A10、 、 i10
解：
a0=1
a5=126 得： c=5 d=1 所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233
4、单利与复利的积累函数

3）贴现率与利率
d

an an1 an

(1i )n (1i )n1 (1i )n

i 1i
或：
d i v i
d 1d
4）贴现率与折现因子

公式一

公式二
d 1 v

vt vt (1 d )t

及：
及：
v 1 d
at (1 d )
t

解（1）

（2）
i (1
i
(12 )
12
) 1
12

d 1 (1 9.63%
d (4) 4 4
)
12.68%
结论：结转次数越多， 实际利率越大，实际贴 现率越小。
例
2，000元的本金在6%的名义利率下
投资，如果每年结转4次利息，求： 1）2年零6个月后的积累值； 2）年名义贴现率。

1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
2）复利

设利率为i，期初本金为1。
1 1+i (1+i)2 (1+i)t
0
1
2
t
at=(1+i)t
5、单利、复利的比较
（1）单利条件下，每年利息相等，实际
利率减少。 每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0i 每年的利率：
2
n
e
1 2 n
n
e
k
k 1
第n年的利率为

。
in
a ( n) a ( n1)
1 e
n
1
现值函数值为：
vn e

k
k 1
n
(1 i1 ) (1 i2 ) (1 in )
1
1
1
例：设某项投资基金的利息力为，
2 k 5100k , k 1,2,3

所以：
d 1 (1

d ( m) m m
)
1 d (1
d ( m) m m
)
或：
( m)
d
m[1 (1 d ) ]
1 m
3）i(m)与d(m) 的关系

1元钱在年末的累积值 为：

则：
i(m) m (1 ) m
(1

i
(m)
(1
d ( m) m m
0
t
ln a(t ) ln a(0) ln a(t )
0 s ds a(t ) e
t
。

当 s 为常数时：
a(t ) e
t
各年的利息力分别为： 1 , 2 n时
积累函数值
0 t dt a ( n) e 1
n
0 1dt 1 2 dt n1 n dt e
1.10元。 如果一年计息两次，则年末积累值为 （1+10%/2）2=1.1025元 即年实际利率为10.25%
1）实际利率：每个度量时期内结转一次利息的利率。 名义利率：每个度量时期内多次结转利息的利率。
设年名义利率为i（m）， 年实际利率为i。 每次计息的实际利率为 i（m）/m 。 则：
解

1）共计息10次

2）由公式
i( m ) m
At 2000 1 (
6% 10 4
)


d ( m) m

i( m ) m

d ( m) m

得：
0.06 4 d ( 4) 4
2321 08元 .

0.06 4

d ( 4) 4
d
( 4)
0.05911
例:一张尚需6个月到期的债券，其面值为2，000元， 如果名义贴现率为6%，一年贴现4次，求该债券现在 的价格为多少？
0.9259
作业
1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000 元存款。 1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的 存款。 2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存 款。

。
2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存 款。 1）在复利11%下计算90年的现值。 2）在11%的贴现率下计算90年的现值。

习题



1、假设累积函数a(t)=at2+b，如果期初的100元在3 年末可以累积到172元，试计算在第6年初投资100 元，在第10年末可以累积到多少元？ 2、如果A(t)=100+5t，试计算i5。 3、如果A(t)=100×(1.1)t，试计算i5。 4、已知投资3 000元在两年后的利息是158元，试 计算以相同的复利利率投资，起初的3 000元在3年 半的利息。


所以：
i (1

i( m ) m m
) 1
1 m
或：
( m)
1 i (1
i( m ) m m
i
m[(1 i) 1]
)
2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。

设年名义贴现率为d(m), 实际贴现率为d， d (m) 则：每次的贴现率为 m
lim i
m
( m)
lim m[(1 i) 1]
1 m
m
lim
lim
m
1 (1i ) m 1 m
1
m
lim
1 ) m2
1 [(1i ) m 1 ( m )'
。
1]
'
m
1 ln(1i )(1i ) m
(
12 m
lim (1 i) ln(1 i)
假设年利率为12%，试分别以单利和复 利计算： （1）96年1月1日时，他需还银行多少 钱? （2）几年后需还款1，500元？
解：

（1）A1=1，000（1+it） =1，000 （1+0.12×2）=1，240元 A2=1，000(1+i)2=1，254.4元 （2）1，500=1，000（1+it1） t1=4.17年 1，500=1，000(1+i)t t2=3.58年
第二章
利息理论
第一节
利息的基础知识
主要内容
累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力

1、累积函数
单位货币经过t 年后的价值。
A0为本金，At为t年后的价值。
At at A0
或 : A t A0 at
2、利息

投资获得的报酬。 t年内的利息为： I
10、如果投资者愿意立即投资3 000元，并在第3年末 追加一笔投资，希望在第5年末和第6年末个获得5 000元，假设i(4)=5%，试确定投资者应该在第3年末追
加多少投资？ 11、有两笔金额均为3 000元的资金，如果一笔按 6%的实际利率投资，另一笔按4%的实际利率投资， 试计算经过多长时间以后，前者的累积值是后者的 2倍。 12、一项贷款的年实际利率为5%，原来的还款计 划是：第1年末偿还5 000元，第2年末偿还6 000元， 地4年末再偿还5 000元正好还清。如果借款人希望 一次还清16 000元的贷款，试计算合理的还款时间。
an an1 in an1
i 1 i (n 1)
（2）、复利条件下，每年利息增大，实际利率不变 实际利息： 实际利率：
I n A0 (an an1 ) A0 (1 i ) n (1 i ) n1 A0 (1 i ) i
n 1


m
1 m
ln(1 i)
或：

ln v

所以：a）
b）
i e 1

ve

利息力与累积函数
at (1 i) e
t
t
2）常数贴现力
lim d ( m )
m
lim m[1 (1 d ) ]
m
1 m
ln( d ) 1 ln v
5、第n年末的1元和第2n年末的1元在起初的现值之和 为1元，试计算(1+i)2n是多少？




6、如果每季度接转一次利息的年名义利率为6%， 试计算200元本金在3年零4个月末的值。 7、如果i(m)=0.179 988 9,d(m)=0.173 734 8试 确定 m为多大？ 8、当常数利息力为多大时，等价于每月接转一次 利息的年名义利率6%。 0 9、如果 t 0.01t,0 t 2, 试确定在区间 t 2 内等价的年实际利率。
其中k为投资年度。求投资者在开始投资多少 资金于该基金时，使得投资在5年末的终值为 50，000元。

解：
v(0) 50000 e

k
k 1
5
50000 e 2884749元 .
5 2 k 100 k 1

5
例：设

i 0.08 求：i

i (12 ) 12
(12 )
an an1 in an1 (1 i)n (1 i)n1 i n1 (1 i)
（3）、图形比较
at=(1+i)t at=1+it
1
1
当t<1时：1+it>(1+i)t 当t≥1时：1+it≤(1+i)t

例二
李刚94年1月1日从银行借款1，000元，
)
m
)
m

得：
i( m ) m
或：

(1
d ( m) m
)
m
d ( m) m

i( m ) m

d ( m) m
一般公式


如果一年结转m次利息，或一年贴现n次 等价。 则：
(1
i( m ) m n
) (1
d ( n ) n n
)
例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。
1 1 i
1
1
1 (1i )2
折 现 过 程
1
vt
1 (1i )t
1 (1i)t
复利条件下：

折现因子：
v

1 1Biblioteka Baidui
折现函数：
vt v
t
贴现率
1）计息的方式。 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利 息。
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？

解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d

i
11.1%

3）v=1-d=0.9
7、一年计息m次的实际利率与贴现率
例：期初本金为1元，年利率为10%。 如果一年计息一次，则年末积累值为

当m ，期初付与期末付没有区别。
3）利息力的一般式

定义
t lim
h 0
a (t h )a (t ) h a ( t )

a (t ) a (t )
'
累积函数与利息力

由定义式：
t [ln a(t )]
'
两边积分

t
0
s ds [ln a( s)]' ds
, d , , v, d值。
( 4)
1）
)
12
4）
1 i (1
ln(1 i )
0.07696
1 5) v 1i
i (12 ) 0.0 7 7 21 2) d
i 1 i
0 .0 7 4
d (4) 4
3) 1 d (1 d
( 4)
)4
0.0 7 6 23
解：1） P=
20001 (
6% 2 4
) 194045元 .
) 5.8663 %
或：2）
d 1 (1
0.06 4 4
P 2000 1 5.8663 0.5 1940 45元 ( %) .
8、利息力


瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能 力。 1）常数利息力 定义 ：

6、现值和贴现率

现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。 （1）单利：各年1元的现值。
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
1/1+i 1/1+2i
1
1
折 现 过 程
1
vt
1 1it
1 1it
.

（2）复利
设年利率为i ，各年1元的现
值。
1 0 1+i （1+i ）2 （1+i）t
1