多元函数微积分练习题

练习题

一 多元函数微分学部分练习题

1 求函数y

x y

x z -+

+=

11的定义域.

2已知xy y x xy y x f 5),(2

2

-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1）

22)

0,1(),()

ln(lim

y x e x y y x ++→ （2） 442

2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→

（3）

2

43lim

)

0,0(),(-+→xy xy y x （4）

x

y x xy 1)

1,0(),()1(lim +→

（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()

(2sin lim y

x y x y x ++→ 4 证明极限

y x y

x y x +-→)0,0(),(lim

不存在.

5 指出函数2

2),(y x y

x y x f -+=

的间断点.

6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z =

（2）x xy z )1(-=

（3）),(2

y x f x z = （4）)

(xy x

z ϕ=

（5）y xy y x z 234

4+-+= （6）)ln(22y x z +=

（7）)3cos(22y x e z y

x += （8）y xy z )1(+=

（9）2

2

2

1z

y x u ++=

（10）⎰

=

220

sin y x dt t z

7 计算下列函数的二阶偏导数

（1）2

4

3y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e

z xy sin = （4）),(2y x f x z =

（5）2

(,)z f xy x =

8求下列函数的全微分

（1）xy

xe z = （2）2

21

y x z +=

（3）xy z arcsin = （4）),(y x yf xy z += 9 设⎰

=

xy

dt t y x f 1

2sin ),(，求df .

10 （1）2

2

uv v u z -=，其中y x u cos =，x y v sin =,求

x z ∂∂，y

z ∂∂ （2）)arctan(),,(z y x z y x f u ++==，其中)cos(xy z =,求

x z ∂∂，y

z ∂∂ （3）v

u e

z -=， t u sin =，2

t v =,

dz dt

（4）),(2

2

y x y

x f z -=,求

x z ∂∂，y

z ∂∂ （5）设),()2(xy x g y x f z +-=，求

x z ∂∂，y

z ∂∂； 11 （1）设0)ln(22

=+-+y x xy x ，求dx

dy . （2）设xyz e z

=，求

y

z x z ∂∂∂∂,. （3）已知⎩⎨

⎧=++=++1

02

2z y x z y x ，求dz dx ，dz dy

. 12 求曲线⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

=+=+=2

11t z t t y t t x 在点1=t 的切线及法平面方程.

13求曲线⎩⎨⎧=++=++0

6

222z y x z y x 在点)1,2,1(0-M 处的切线与法平面方程.

14求曲面3=+-xy z e z

在点)0,1,2(M 处的切平面和法线方程. 15求函数2

2

)1(-+=y x z 的极值.

16求函数32

z xy u =在条件a z y x =++)0,,,(>a z y x 下的极值.

17求函数3

2z xy u =在曲面032

22=-++xyz z y x 上点)1,1,1(P 处，沿曲面在该点朝上的

法线方向的方向导数.

18 设2

2

2

(,,)3f x y z x y z xy x y z =+++-++，求(1,2,3)gradf .

二 多元函数积分学部分练习题

1、改变下列二次积分的积分次序 （1）⎰⎰

11

2),(x

dy y x f dx （2）⎰

⎰--y

y dx y x f dy 2

1110

),(

（3）

⎰⎰⎰⎰

+2

2

42

2

20

),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy

2、计算下列二重积分 （1）⎰⎰D xyd σ，其中区域D 是曲线x

y 1

=

，2=x 及x y =所围成的区域. （2）⎰⎰

+D

d y x σ)(，其中区域D 是曲线x y 42=及x y =所围成的区域. （3）

⎰⎰+D

d y x σ)(，其中区域D ：1≤+y x .

（4）⎰⎰+D d y x σ)cos(，其中区域D 是曲线x y =，0=y 及2

π

=

x 所围成的区域.

（5）⎰⎰--D

y x

d e σ2

2

，其中积分区域D 为中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.

（6）

⎰⎰

+D

d y x σ22，其中积分区域为D ：122≥+y x ，x y x 222≤+，0≥y .

3、设函数),(y x f 连续，且⎰⎰+=D

dxdy y x f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2

x

y =和1=x 所围成的区域.

4、设函数)(u f 具有连续导数，且0)0(=f ，3)0(='f ，求3

220

2

22)(

lim

t

d y x f t y x t πσ

⎰⎰≤+→+.

5 计算下列三重积分 （1）⎰⎰⎰Ω

++dxdydz z y x )sin(,其中Ω是由三个坐标面与平面2

π

=

++z y x 所围成的立

体；