平行向量_相等向量和共线向量的区别和联系
人教A版高中数学 必修4 2.相等向量与共线向量 教学课件
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3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
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4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
（3）两平行的非零向量在其方向与模两个要素上可 能出现哪几种情况？
①方向相同，模相同;
②方向相同，模不同;
③方向相反，模相同; c a
b
④方向相反，模不同.
▲体验自由向量平移
在下列情况下，作出→a 与→b 共线的图形
→a →b
→a →b
例1：判断下列命题的真假
（1）若 a 与 b 都是单位向量，则 a ＝ b.
知识回顾
1、数量与向量有何区别？ 数量没有方向而向量有方向.
2、如何表示向量？
以A为起点，B为终点的有向线段记做AB， 向量可以用有向线段表示. 3、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫 什么向量？
长度为0的向量叫0向量；长度为1的向量叫 单位向量.
1、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向 量是相等向量吗？
2、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向 量有什么关系？
3、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O， 这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之 间有什么关系？
2.1.3 相等向量与共线向量
ca b
教学目标
知识与能力
掌握相等向量、共线向量等概念；并 会区分平行向量、相等向量和共线向量.
过程与方法
2、在△ABC 中，AB＝AC，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则（ B ）
向量的概念
向量的概念教学目标：1.理解向量的概念，向量是既有大小又有方向的量，向量的几何表示；2.了解向量的模、零向量、单位向量、负向量、平行向量、相等向量等概念；3.向量的模是刻画向量的长度的，所以是非负实数.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解一、引入：在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念.二、新课：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的。
注意0与0的区别。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：单位向量的方向与其相应的向量的方向相同。
4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②0可根据需要确定其方向，因此我们规定0与任一向量平行。
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a//b//c5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的．．．．．．起点无关．．．．。
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
(完整版)向量基础知识汇总
向量基础知识梳理1向量：既有________ ，又有_________ 的量叫向量.2. 向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作__________ .3. 向量的有关概念：(1) ________________________ 零向量：长度为________________ 的向量叫做零向量，记作.(2) ______________________ 单位向量：长度为的向量叫做单位向量.(3) ____________________ 相等向量：且的向量叫做相等向量.(4) ___________________________________ 平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量.①记法：向量a平行于b，记作__________ .②规定：零向量与__________ 平行.-1. 向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a, b,在平面内任取一点A，作AB = a, BC = b,则向量 ________________ 叫做a与ILU uuub的和(或和向量)，记作______________，即a+ b = AB + BC = ___________ .上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.对于零向量与任一向量 a 的和有a+ 0= ___________ + _______ = _______ .(2)平行四边形法则为邻边作__________ ，则对角线上的向量_________ = a+ b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.2. 向量加法的运算律(1) ____________________________ 交换律：a+ b= .(2) __________________________________________ 结合律：(a+ b)+ c= .3. 向量的减法(1) ____________________________________________________________________ 定义：a — b = a +(— b ),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ______________________________________________(3) 几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为uur uun被减向量的终点为 __________ 的向量.例如：0A — 0B = ____________ .1•向量数乘运算实数入与向量a 的积是一个 ____________ ,这种运算叫做向量的 ___________ ，记作 _________ ,其长度与方向规定如下：特别地，当 =0或 a = 0时，0a = __________ 或 X) = ________2•向量数乘的运算律(1) _______________ X ( g)= .(2) ____________________ ( X+ p) a = .(3) ____________________ X (a + b )= .特另U 地，有(一 X a = ___________ = ________ ;X (a — b ) = ____________ .3.共线向量定理向量a ( 0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数X 使 ________________ .4•向量的线性运算向量的 ____ 、 ____ 、 _______ 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ,以及任意实数 X 忙 冋恒有 X ( p a 土p b )= ______________________ .1. 平面向量基本定理(1) _____________________________________ 定理：如果e1&是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 _________________________________________ 向量a, ________________________实数X,込使a = ____________________________________ . (2)作法：在平面内任取一点 umr 0,作 0A = a , uuuOB = b ，则向量a — b = 如图所示.(1) |刊=(2)扫(0)的方向 时，与a 方向相同 时，与a 方向相反(2)________________ 基底：把 _______________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内___________________________ 向量的一组基底.2. 两向量的夹角与垂直O —Ruuu uuu(1)________________________ 夹角：已知两个 _______________________ a和b,作OA = a, OB = b，则__________________________________ = 0 (0°< ________________________________ 180° ,叫做向量a与b的夹角.①范围：向量a与b的夹角的范围是 ________________ .②当0= 0°寸，a与b ________ .③当0= 180°时，a与b ________ .(2)________________________________ 垂直：如果a与b的夹角是_______________，则称a与b垂直，记作_________________________________________ .3. 平面向量的坐标表示(1)_______________________________________________ 向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解.(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_______________ i, j作为基底，对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x, y使得a= ____________________ ，则_________________叫作向量a的坐标，___________________ 叫作向量的坐标表示.tun(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x, y),则OA = ，若A (禺，屮)，B (X2,nuny2),贝H AB = _______________________1•平面向量的坐标运算(1)______________________________________________________ 若a =( X1, y1), b=( X2, y2),则a+b = ___________________________________________________________ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.(2)__________________________________________________________ 若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),贝U a- b = _______________________________________________________________________________________ ,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.(3)___________________________________ 若a =( X , y),入€ R ,贝U沦= ,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2. 两向量共线的坐标表示设 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2).(1)当 a // b 时，有______________________ .(2)__________________________________________ 当a // b且X2y2丰0时，有 .即两向量的相应坐标成比例.uuur uuu3 .若RP =沪卩2 ,贝y P与P1、P2三点共线.当入€ _______ 时，P位于线段P1P2的内部，特别地入=1时，P为线段P1P2的中点；当入€________ 时，P位于线段P1P2的延长线上；当入€ _______ 时，P位于线段P l P2的反向延长线上.1．平面向量数量积(1)______________________________________________________ 定义：已知两个非零向量a与b,我们把数量______________________________________________________________ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a • b，即卩a • b = |a||b|cos 0,其中B是a与b的夹角.(2)_____________________________________ 规定：零向量与任一向量的数量积为.(3)_________________________________________________________________________ 投影：设两个非零向量a、b的夹角为0贝U向量a在b方向的投影是_________________________________________ ，向量b在a 方向上的投影是________________ .2. 数量积的几何意义a • b的几何意义是数量积a • b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________________ 的乘积.3. 向量数量积的运算律(1)_______________ a • b = (交换律);(2)__________________ (扫)• b= = (结合律);(3)_________________________________ (a + b) • c = (分配律).1. 平面向量数量积的坐标表示若a =( x i, y i), b=( x2, y2),贝U a • b= __________ .即两个向量的数量积等于_________________ .2. 两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a =( x i, y i), b=( x2, y2),则a丄b? _______________ .3. 平面向量的模(1)__________________________________________________ 向量模公式：设a=( x i, y i),则|a= .uuur(2)_________________________________________________________________________ 两点间距离公式：若 A (x i, y i) , B (x2, y2),则|AB| = ______________________________________________________4. 向量的夹角公式设两非零向量a=( x i , y i) , b =( X2 , y2), a与b的夹角为0贝U cos 0= ______________________ = __________ .向量方法在几何中的应用(i)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a// b( b z 0) ? ________________(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a , b , a丄b3) 求夹角问题往往利用向量的夹角公式cos 0= _________________________ = ____________ .4) 求线段的长度或证明线段相等可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|= ______。
高中数学关于向量的知识点详解
高中数学关于向量的知识点详解高中数学学习的知识点比较的多，学生要学会将知识点归纳掌握，下面店铺的小编将为大家带来关于向量的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
，高中数学关于向量的知识点1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ高中数学学习的窍门1不乱买辅导书。
关于数学，我一本辅导书都没买(高三)，从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。
2023届高考数学一轮复习讲义：第30讲 平面向量的概念及线性运算
第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且AB DC=”⇔“四边形ABCD是平行四边形”[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A．若a，b都是单位向量，则a b=B．若向量a b∥，b c∥，则a c∥C．与非零向量a共线的单位向量是唯一的D．已知,λμ为非零实数，若a ubλ=，则a与b共线2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a b a b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______．➢考点2 向量的线性运算[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题： ①若,a b 同向，则有b a b a +=+； ②a b +与a b +表示的意义相同； ③若,a b 不共线，则有a b a b +>+； ④a a b <+恒成立；⑤对任意两个向量,a b ，总有a b a b +≤+；⑥若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是__________(填序号)2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ）A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．2．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线．[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,a b b c==，则a c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误； 对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误； 对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =， 可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形； 若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =， 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确.故选：AD. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线【答案】D 【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果. 【详解】单位向量的方向不一定相同，故A 错误； 当0b =时，显然a 与c 不一定平行，故B 错误； 非零向量a 共线的单位向量有a a±，故C 错误；由共线定理可知，若存在非零实数,λμ，使得a ub λ=，则a 与b 共线，故D 正确.故选：D. 2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解. 【详解】对于A ，AB BA =- ，故A 错误；对于B ，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B 错误； 对于C ，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C 正确； 对于D ，两个平行向量所在的直线可能重合，故D 错误；故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =【答案】B 【分析】由题意，利用a 、b 上的单位向量相等的条件，得出结论． 【详解】解：因为||a a 表示与a 同向的单位向量，||bb 表示与b 同向的单位向量，所以要使||||a b a b =成立，即a 、b 方向上的单位向量相等，则必需保证a 、b 的方向相同， 故||||a b a b =成立的充分条件可以是2a b =；故选：B ． 4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 【答案】3【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确； 对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确； 对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误； 则正确的命题个数为3个. 故答案为：3.➢考点2 向量的线性运算1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：+=+；①若,a b同向，则有b a b a+表示的意义相同；②a b+与a b+>+；③若,a b不共线，则有a b a b<+恒成立；④a a b+≤+；⑤对任意两个向量,a b，总有a b a b⑥若三向量,,a b c满足0++=，则此三向量围成一个三角形．a b c其中正确的命题是__________(填序号)【答案】①⑤+=+，故①正确；【详解】对于①，若,a b同向，则+b a与,a b同向，所以b a b a+前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不对于②，a b+与a b正确；+<+，故③不正确；对于③，若,a b不共线，则有a b a b=+，故④不正确；对于④，若0b=，则a a b+≤+，故⑤正确；对于⑤，对任意两个向量,a b，总有a b a b对于⑥，若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，若,,a b c 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 【答案】A 【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可. 【详解】解：因为在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，所以()()EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+，()()111444BF BD AD AB b a ==-=-，所以()115343124a b a b EF a a b ⎡⎤⎛⎫=+--+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故选：A3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 法一 由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →. 因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二 因为BE →＝2EC →， 所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一.法三 如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0. 由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ） A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：在ABC 中，D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， 又ED AE 3=，所以34AE AD =， 所以()3313344288AE AD AB AC AB AC ==⨯+=+；故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-.故选：C. 3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭． 4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +【答案】D 【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.【详解】∵3,3AD AE BC BF ==，∴20,20EA ED BF CF +=+=， ∵,2222EF EA AB BF EF EA AB BF =++=++， 又EF ED DC CF =++，∴32222EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+，即2133EF AB DC =+.故选：D.➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．【答案】 124e e -+ 8【分析】由向量减法法则得BC AC AB =-即可得答案，再根据B ，C ，D 三点共线，得BD BC λ=即可得答案.【详解】由向量减法法则得：124BC AC AB e e =-=-+， 由于B ，C ，D 三点共线，所以BD BC λ=，即：()121224e ke e e λ-=-+，所以24k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得：28k λ=-⎧⎨=⎩.故答案为：124e e -+；82．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线． 【解】（1）证明：AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，()283BD BC CD a b a b ∴=+=++- ()283355a b a b a b AB =++-=+= AB ∴，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．（2）ka b +和k +a b 共线，∴存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+， 即ka b a kb λλ+=+，()()1k a k b λλ∴-=-.a ，b 是两个不共线的非零向量，10k k λλ∴-=-= 210k ∴-=，1k ∴=±.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】A 【详解】由题意得5BD BC CD a b AB =+=+=，又,BD AB 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A 【分析】根据向量共线定理得到21a b +=，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以向量AB 、AC 共线， 所以存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()121a e e -+()122be e λ=-，即()121a e e -+122be e λλ=-，因为1e 、2e 不共线，所以121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，消去λ，得21a b +=，因为0a >，0b >，所以21a b +=()212a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭44a b b a =++44228≥+=+⨯=，当且仅当12a =，14b =时，等号成立.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．35【答案】A【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理． 【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ．4．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.【答案】23-【分析】根据三点共线的向量表达可得AB k AC =，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB k AC =， 所以()2323ta b k a b ka kb -=+=+，即()()231t k a k b -=+，因为,a b 不共线，所以20,310t k k -=+=，解得12,33k t =-=-故答案为：23-5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 【答案】143【分析】将AM 化为以,AB AG 为基底可得()3123AM AB a AG =+-，由B ，M ，G 三点共线可知()3+1231a -=，计算即可. 【详解】(62)AM a AE a AF =+-，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，()()1(62)231232AM a AB AG a AB AG AB a AG ⎛⎫∴=++-+=+- ⎪⎝⎭,B ，M ，G 三点共线，3+1231a -=，解得：143a =. 故答案为：143.6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1. 【解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+-，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦， 故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+-，即()()()1m OP OA m OB OP -=--，()1mAP m PB =-，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ=，变形得()OP OA OB OPλ-=-，即()1OP OB OAλλ+=+，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++，又OP mOA nOB =+，1111λλλ+=++，故1m n +=。
高中数学的向量知识
高中数学的平面向量知识向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），向量可以用a，b，c，.......表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
在自然界中，有许多量既有大小又有方向，如力、速度等。
我们为了研究这些量的这个共性，在它们的基础上提取出了向量这个概念。
这样，研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量，就会方便许多。
向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。
（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。
有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。
相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量）长度等于0的向量叫做零向量，记作0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的）零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行，垂直。
模等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
平面向量的坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。
而点的坐标是绝对的。
若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。
相等向量与共线向量正式课件
D
)
（B）单位向量都相等
（C）平行向量不一定是共线向量
（D）零向量与任一向量平行
3、判断下列命题是否正 确 (1)两个向量相等，则它们 的起点相同，终点相同 ; × (× 2)若 | a || b |, 则a b; (× 3)若 AB DC，则四边形ABCD是平行四边形 ; (4 √)平行四边形ABCD中，一定有AB DC; (5 √)若a b, b c, 则a c; (× 6)若a // b, b // c, 则a // c 其中不正确命题的个数 是 A.2 Nhomakorabea 相等向量
本 节 内 容
共线向量（平行向量）
作业：
P77 A组3、5 作业本
1.下列说法正确的是 ( D ) (A) 零向量是0 . (B)长度相等的向量叫做相等向量. (C) 共线向量是在一条直线上的向量 (D) 方向相同或相反的非零向量是平行向量. 2、下列命题正确的是 （A）共线向量都相等 (
问题1：共线向量是否一定在同一条 直线上 问题2:零向量与任意向量是否是共线 向量。
问题3：向量的平行、共线与平面几何中线段 的平行、共线是不是相同的概念？
平行向量（共线向量）对应的有向线段 既可以平
行也可以共线
.
辨析：相等向量一定是平行向量吗？一定
不一定 平行向量一定是相等向量吗？ 相等向量 平行向量
2:任意两个相等的非零向量是否可用同一条有向线段 来表示?与向量的起点有关吗？
自由向量：自由的移动（长度和方向不能 发生改变）
二、共线向量
动一动：如图，设a、 b 、c是一组平行向量，任 作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l作出与 a， b，c相等的向量
b
c
平行向量_相等向量和共线向量的区别和联系
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系山东胡彬平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系是平面向量的基本概念一节中的难点问题,需要我们特别关注与重视.为了帮助同学们掌握这一难点问题,下面我们从六个方面加以区分、解读.一、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.二、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．.三、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．AB与BA也是一对平行向量.起点无关）．．．．．. 例如由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.四. 平行向量与相等向量的关系相等的向量一定平行,但是平行的向量并不一定相等.两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合. 只用这两个向量长度相等且方向相同即可. 其中“方向相同”就包含着向量平行的含义.五. 相等向量的判断解析例1.判断下列各命题是否正确(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的等价条件.(3)若a=b,b=c,则a=c(4) AB=CD的等价条件是A与C重合，B与D重合.解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.(2)正确.∵AB=DC,∴｜AB｜=｜DC｜且AB∥DC.又A、B、C、D是不共线的四点.∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则AB∥DC，且AB与DC方向相同，因此AB=DC.(3)正确.∵a=b∴a，b的长度相等且方向相同；又∵b=c∴b，c的长度相等且方向相同.∴a，c的长度相等且方向相同，故a =c(4)不正确.这是因为AB=CD时，应有：｜AB｜=｜CD｜及由A到B与由C到D 的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.说明：①针对上述结论(1)、(4)，我们应该清醒的认识到，两非零向a、b相等的等价条件应是a、b的方向相同且模长相等.②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.③结论(4)不正确，告诉我们平面向量a与b相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.六.向量平行与共线的判断解析例2.下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.。
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
平行向量、共线向量、相等向量的识别与应用
平行向量、共线向量、相等向量的识别与应用由于三者联系较为紧密，所以不少同学经常将三者混为一谈，给解题带来了一些不必要的麻烦，但如果我们能准确识别三者及其关系并应用其知识进行解题，也会给解题带来很大的方便，下面让我们来作一识别、比较和应用.1.平行向量①概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.②表示方法：如果a 、b 、c 是非零向量且方向相同或相反(向量所在的直线平行或重合)，则可记为////a b c .③注意点：任一向量都与它自身是平行向量，并且规定：零向量与任一向量是平行向量. 2.共线向量①概念：共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合.②含义：“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.因此，任意一组共线向量都可以移到同一条直线上.3.相等向量①概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.②识别依据：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等.如=a b ，就意味着||||=a b ，且a 与b 的方向相同.③理解拓展：由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的，都可以用同一条有向线段表示，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点.4. 平行向量、共线向量、相等向量三者的异同点 ①共线向量即为平行向量；②共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量. 5.共线向量、相等向量知识的应用 ①应用共线向量、相等向量的定义解题例1如图，两个全等的正三角形ABC ∆与'''A B C ∆，如图放置，使得D E F G H I 、、、、、分别是两个三角形各边的三等分点.设ABC ∆的边长为a ，在所有以'''A B C A B C D E F H I 、、、、、、、、、、中任意两点为端点，长度为13a 的向量中： (1)哪些向量与BF 相等？ (2)与BF 共线的向量有多少个？(3)与BF 模相等的向量有多少个？分析：由平面几何知识，两三角形对应边所在的直线都平行，向量的长度又全相等，所以只需考虑向量的方向即可判断向量是共线或是相等.解：(1)与BF 相等的向量有： ' 'FG GC C D DI IB 、、、、共5个. (2)与BF 共线的向量有11个.(3)与BF 模相等的向量有35个.评注：向量共线只考虑向量的方向，向量的模相等只考虑向量的长度，向量相等既要考虑向量的方向又要考虑向量的长度.在考虑与BF 共线或模相等的时候，别漏了向量FB .②应用相等向量的意义解题'BCC例2利用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.分析：欲证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等，根据相等向量的意义，只需证一组对边对应的向量相等即可.已知：如图，四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于O ，且OA OC =，OD OB =. 求证：四边形ABCD 为平行四边形.证明：设OA =a ，OB =b ，则OC =-a ，OD =-b .∴AD OD OA =-=--b a ，BC OC OB =-=--a b .∴AD BC =.∴AD 与BC 平行且相等.∴四边形ABCD 为平行四边形.评注：题目中涉及的向量较多时，可选取两个基本向量，然后将其他向量用这两个基本向量表示.③应用向量共线的充要条件解题例3E 是ABCD 的对角线BD 的内分点，且E 内分BD 的比为2：3 ，直线CE 与AB 交于F ，求AF ：FB 的值.分析：利用向量共线的充要条件，采用待定系数法求解.解：设BA =a ，BC =b ，则BD =+a b . ∵E 内分BD 的比为2：3，∴2235BE BD ==()+a b . 设BF BA λλ==a ，又BF FC CB ++=0，BE EC CB ++=0，∴CF BF BC =-=λ-a b ，CE BE BC =-=2355-a b .∵CF CE μ=，∴23()55λμ-=-a b a b ，∴2,531,5λμμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴2,35.3λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23BF BA =.∴BF ：FA =2：1，即AF ：FB =1：2.评注：利用向量的方法处理有关的分点问题，不需添加辅助线，只需找准封闭图形，利用向量共线的充要条件采用待定系数法即可求出.A。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案-人教版高中全册数学教案
2.1平面向量的实际背景及基本概念一、教学目标：1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.三、教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.四、学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.五、教具：多媒体课件六、教学设计：（一）、情景设置：（1）在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？（2）现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等。
在数学上，如何正确理解、区分这些量呢？（二）、新课学习：1、图片展示：物理中常见的浮力、压力、压力等，提问：这些力有什么共同特征？（学生答）他们都是有大小和方向的量。
（板书1）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
提问：向量和数量一样吗？它们有什么区别？（学生答）向量：既有大小，又有方向的量。
数量：只有大小，没有方向的量。
思考:时间,路程,功是向量吗?速度,加速度是向量吗?总结：向量的两要素：大小、方向2、探究学习：如何表示向量？由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数轴上的一个点表示，如3，2，-1，…而且不同的点表示不同的数量。
对于向量，我们常用带箭头的线段来表示，线段按一定比例（标度）画出，它的长度表示向量的大小，箭头表示向量的方向。
有向线段：在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设A 为起点，B 为终点，我们就说线段AB 具有方向。
新教材2020人教B版数学必修第二册教师用书：第6章 6.1.1 向量的概念
6.1 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念1．向量及其几何表示 (1)向量的定义一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，如长度、面积等．(2)向量的表示①有向线段：具有方向的线段．②向量可以用有向线段表示，向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度，记作|AB →|，向量也可以用加粗的斜体小写字母a ，b ，c ，…表示，书写时，写为a →，b →，c →，…也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：AB →，CD →.③同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量． 2．向量的有关概念 (1)零向量与非零向量始点和终点相同的向量称为零向量．印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，可写为0→.模不为0的向量称为非零向量．(2)单位向量模等于1的向量称为单位向量，如果e 为单位向量，则|e |＝1. (3)相等向量一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．向量a 和b 相等，记作a ＝b .(4)平行向量(共线向量)如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)．向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定零向量与任意向量平行．1．下列说法中正确的个数是( ) ①身高是一个向量；②∠AOB 的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ④物理学中的加速度是向量．A ．0B ．1C ．2D ．3B [只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误，④正确．]2．下列说法正确的是( ) A ．若|a |＝0，则a ＝0 B ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若|a |＝|b |，则a 与b 是平行向量D ．若a ∥b ，则a ＝bA [|a |＝0，则a 是零向量，故A 项正确．]3．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量C [由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．]4．如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)与向量ED →相等的向量为________； (2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．(1)AB →，DC →(2)6 [(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →， ∴ED →＝DC →.(2)由(1)知ED →＝DC →，∴E ，D ，C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6.]【例1】 (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[思路探究]解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的，因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中要注意．(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量．(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的．1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②向量的模一定是正数；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________．③ [①错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．如|0|＝0.③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]【例2】 向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求AD →的模．[思路探究] 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量．可把AD →放在直角三角形中求得|AD →|.[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋102＝55(米)，所以|AD →|＝55米．1．向量的两种表示方法(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．2．某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A 处出发向西迂回了100 km 到达B 地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 地，最后又改变方向，向东突进100 km 到达D 处，完成了对蓝军的包围．(1)作出向量AB →，BC →，CD →； (2)求|AD →|.[解] (1)向量AB →，BC →，CD →，如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反， 故AB →与CD →共线．又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，|AD →|＝|BC →|＝200 km.[1．向量a ，b 共线，向量b ，c 共线，向量a 与c 是否共线？[提示] 向量a 与c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b ＝0，则向量a 与c 不一定共线．2．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？ (3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．[思路探究] 抓住向量的两个要素：长度和方向，对图中向量进行一一判断． [解] (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →. (4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.相等向量与共线向量需注意的四个问题(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合．(3)平行(共线)向量无传递性(因为有0)． (4)三点A ，B ，C 共线⇔AB →，AC →共线．3．如图，四边形ABCD 为正方形，△BCE 为等腰直角三角形．(1)图中所标出的向量与AB →共线的有________； (2)图中所标出的向量与AB →相等的有________； (3)图中所标出的向量与AB →模相等的有________； (4)图中所标出的向量与EC →相等的有________．[答案] (1)BE →，CD → (2)BE → (3)BC →，CD →，DA →，BE → (4)BD →(教师独具)1．本节课的重点是向量的有关概念，难点是共线向量与相等向量的应用． 2．本节课要掌握的问题(1)判断一个量是否为向量，向量的大小与方向． (2)向量的表示方法．(3)共线向量、相等向量的判断．3．本节课的易错点是向量平行中，零向量的特殊性易出错．1．思考辨析(1)有向线段就是向量．( ) (2)两个向量的模能比较大小．( ) (3)有向线段可以用来表示向量．( ) (4)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .( )(5)若a ∥b ，则a 与b 的方向一定相同或相反．( ) (6)若非零向量AB →∥CD →，那么AB ∥CD .( ) (7)单位向量的模都相等．( )[详细分析] (5)0与任何向量共线，但0方向任意，故(5)错误． (6)AB →∥CD →，A ，B ，C ，D 可能共线，故(6)错误． [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)× (7)√2．在同一平面内，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．圆上一群孤立的点D ．一个半径为1的圆B [因为它们是平行向量，当始点相同时，终点位置在这条直线上，故这些向量的终点构成的图形是一条直线．]3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线； ⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．(填序号)④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]4．在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.[解] (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标11 纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．。
2.1.3相等向量与共线向量 优秀课件(人教A版必修4)
（1）与向量O→A长度相等的向量有多少个？
11
（2）是否存在与向量O→A长度相等，方向相反的向量？
→ FE
（3）与向量O→A共线的向量有哪些？
F→E、C→B、D→O
例3：给出下列命题：
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相ห้องสมุดไป่ตู้；
⑵若
，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各
顶点；AB = DC
通过对向量的学习，初步认识现实生活 中的向量和数量的本质区别.
情感态度与价值观
培养认识客观事物的数学本质的能力.
教学重难点
重点：
理解并掌握相等向量、共线向量的概念.
难点：
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
1、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量 叫相等向量.
如图：
a
b
说明：
（1）向量 a与 b相等，记作 a = b；
（1）与向量E→D相等的相等有
→→ AB , DC ；
（
2
）
若
︱
→ AB
︱
=3
，
则
向
量
︱
→ EC
︱
的
模
等
于
6
.
A
B
E
D
C
教材习题答案
B
1.
AB = 18N
A
CD = 28N
C
D
2. AB , BA .
这两个向量的长度相等，但他们不等.
3、 AB = 4, CD = 5, EF = 6, GH = 4 2 .
（2）与任何向量都平行的向量是零向量.
（3）a与b 是方向相同的非零向量，是 a∥b 的充
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平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系
山东胡彬
平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系是平面向量的基本概念一节中的难点问题,需要我们特别关注与重视.为了帮助同学们掌握这一难点问题,下面我们从六个方面加以区分、解读.
一、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
二、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起
．．．．．．．
点无关
．．．.
三、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的
．．．．．．AB与BA也是一对平行向量.
起点无关）
．．．．．. 例如
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
四. 平行向量与相等向量的关系
相等的向量一定平行,但是平行的向量并不一定相等.两个向量相等并不一定这两个向量一定要重合. 只用这两个向量长度相等且方向相同即可. 其中“方向相同”就包含着向量平行的含义.
五. 相等向量的判断解析
例1.判断下列各命题是否正确
(1)若｜a｜=｜b｜，则a=b
(2)若A、B、C、D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD是平行四边形的等价条件.
(3)若a=b,b=c,则a=c
(4) AB=CD的等价条件是A与C重合，B与D重合.
解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
(2)正确.∵AB=DC,∴｜AB｜=｜DC｜且AB∥DC.
又A、B、C、D是不共线的四点.
∴四边形ABCD是平行四边形，反之，若四边形ABCD是平行四边形则AB∥DC，且AB
与DC方向相同，因此AB=DC.
(3)正确.∵a=b∴a，b的长度相等且方向相同；
又∵b=c∴b，c的长度相等且方向相同.
∴a，c的长度相等且方向相同，故a =c
(4)不正确.这是因为AB=CD时，应有：｜AB｜=｜CD｜及由A到B与由C到D 的方向相同，但不一定要有A与C重合、B与D重合.
说明：①针对上述结论(1)、(4)，我们应该清醒的认识到，两非零向a、b相等的等价
条件应是a、b的方向相同且模长相等.
②针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的.
③结论(4)不正确，告诉我们平面向量a与b相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同一点.则这时它们的终点必重合.
六.向量平行与共线的判断解析
例2.下列命题正确的是（）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.。