正交多项式组

正正交交多多項項式式組組

在写正交多项式组有关内容之前，我想先写一个跟它没有任何联系的事实，这个问题困

扰了我好几天，我怎么都想不明白！这个问题是：)(x T n =)arccos cos(x n 是x 的n 次多项

式。直觉上怎么可能啊，它是一个类似三角函数的式子诶，但当我查到相关资料后，才知道

它的证明是如此简单！

证：已知 n i )s i n (c o s αα+n i e )(α=αin e =ααn i n s i n

c o s += ① 其中α为实数，i 是虚数单位

对于n i )sin (cos αα+用二项式定理展开得

n i )sin (cos αα+ ()

∑=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n k k n k k i k n 0)(cos )(sin αα ()

∑≤=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j j j n j j j n 2022)

(cos )(sin )1(2αα ()

∑≤-=---+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n

j j j n j j j n i

121)12(121)(cos )(sin )1(12αα 对比 ①式，我们有 ()

∑≤=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j j j n j j j n n 2022)(c o s )(s i n )1(2c o s αα

α 220)(cos )(sin 2)(cos )(sin 0-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n αααα -⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-44)(cos )(sin 4n n αα 220))(cos cos 1(2)(cos )(sin 0--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n αααα --⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-422)(cos )cos 1(4n n αα 设x arccos =α，则x =αcos ，代入上式得：

)a r c c o s c o s (x n = +-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----32622422)1(6)1(4)1(2x x n x x n x x n x n n n n 由上式可以看出，)(x T n =)arccos cos(x n 是x 的n 次多项式，并且最高次项n x 的系数为12-n 。

下面开始写正交多项式组

I 、先看看正交多项式组的定义：

设)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是一组多项式，其中)1()()(-∈k k k H H x p ，

n k ，，，⋯=10恰是k 次多项式，其中)(n H 是次数不超过n 的代数多项式的全体，)1()(-k k H H 表示)(k H 与)1(-k H 的差，如果对所有的j i ≠，均有

⎰=b

a j i j i dx x p x p x p p )()()(,ρ=0

则称)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是关于权函数()x ρ的正交多项式组，即任意两个多项式正交。 如果任意的n i ≤≤0，又有i i p p ,=1，则称此多项式组为权函数()x ρ的规范化正交多项式组。 两个多项式的正交性不仅和积分区间[]b a ,有关，而且也和权函数()x ρ有关。

II 、下面看看正交多项式组一些性质：

定理一：正交多项式组)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是线性无关的。

这个定理的证明很明显，利用定义可以直接证出来，就不写了。

定理二：设)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是一组多项式，其中)1()()(-∈k k k H H x p ， n k ，，，⋯=10恰是k 次多项式，则任何)()(n H x Q ∈均可用这组多项式组线性表出。

证： 首先，这组多项式肯定是线性无关的，因为它们的次数不一样。

下面用归纳法证明：

当0=n 时，)()(n H x Q ∈是常数，它是非零常数)(0x p 的倍数，定理显然成立。

假设次数小于n 的任意多项式成立，下面考察次数为n 的多项式)(x Q n ，设它的n 次项 为n α，)(x p n 的系数为n β，因此系数

n n n n x p x Q x R βα)()()(-=

是次数小于n 的多项式，由归纳法假设知)(x R 可有)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 线性表出， 又因为n n

n n x p x R x Q βα)()()(+=，因此)(x Q n 可由)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 线性表 出，定理得证。

值得注意的是：定理而中并不要求)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是正交的，有因为它是线性无关的，于是满足定理二的条件的多项式组可以作为)(n H 空间的一组基。显然，如果)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n

是正交的，肯定也满足定理二的条件，故可作为)(n H 空间的一组基底。

下面给出关于任意区间和任意权的正交多项式的一个递推公式，这个递推公式的存在不但肯定了正交多项式的存在，也提供了生成这种多项式的办法。

定理三： 设)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是[]b a ,区间上带权函数)(x ρ的首项系数为1的正交多项式组，则对任意的11-≤≤n k 有

)()()()(11x p b x p a x x p k k k k k -+--=

其中 1)(0=x p ，11)(a x x p -=

⎰⎰==b a b a k k k

k k dx x p x dx x xp x p p p xp a k k )()()()(,,22ρρ

⎰⎰-==--b a b a k k k k k dx x p x dx x p x p p p p b k k )()()()(,,22111

ρρ 反之，如果多项式组)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 满足上述的递推关系，则此多项式组一定是[]b a ,区间上带权函数)(x ρ的首项系数为1的正交多项式组。

证：设)(0x p ，)(1x p ，…，)(x p n 是首项系数为1的正交多项式组，对任意的11-≤≤n k ，因为)(x xp k 是首项系数为1的1+k 次多项式，故可用)(0x p ，)(1x p ，…，)(1x p k +线性表出，即有 )()()()(111100x p c x p c x p c x xp k k k +++++= ② 由该多项式组 的正交性可知：

j j j j k p p c p xp ,,=

当20-≤≤k j 时，由⎰=b

a j k j k dx x p x xp x p xp )()()(,ρj k b

a j k xp p dx x xp x p x ,)()()(==⎰ρ可知

0,,,===j k j k j j j xp p p xp p p c ，所以

0=j c （20-≤≤k j ）， ③ 再由②式得

k k k k

k k a p p p xp c ==,, ④

和 111

1,, ----=k k k k k p p p xp c 111,,---=k k k k p p xp p 11,,--=k k k

k p p p p k b = ⑤

将③、④、⑤代入②得

)()()()(11x p b x p a x p x xp k k k k k k -+++=