平行四边形的性质及判定(讲义)(含答案)
专题04 平行四边形的性质和判定(解析版)
专题04 平行四边形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知四边形ABCD ，AC 与BD 相交于点O ，如果给出条件AB ∥CD ，那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形，以下四种说法正确的是（ ）①如果再加上条件BC ＝AD ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；②如果再加上条件∠BAD ＝∠BCD ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；③如果再加上条件AO ＝CO ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；④如果再加上条件∠DBA ＝∠CAB ，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．A ．①④B ．①③④C ．②③D ．②③④【答案】C【分析】根据已知，结合平行四边形的判定，逐一判断即可．【解析】解：①也可能是等腰梯形．②可得AD ∥BC ，故正确．③可判定△ABO ≌△CDO ，就有AB ＝CD ，故可判定为平行四边形，正确．④也可能是等腰梯形．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，准确分析判断是解题的关键．2．如图，在ABCD 中，3AB =，4=AD ，60ABC ∠=︒，过BC 的中点E 作EF AB ⊥，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则DEF 的面积是（ ）A ．63B ．3C ．3D ．623+【答案】C【分析】 根据平行四边形的性质得到AB =CD =3，AD =BC =4，求出BE 、BF 、EF ，根据相似得出CH =1，EH 3，根据三角形的面积公式求△DFH 的面积，即可求出答案．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC =4，AB ∥CD ，AB =CD =3，∵E 为BC 中点，∴BE =CE =2，∵∠B =60°，EF ⊥AB ，∴∠FEB =30°，∴BF =1，由勾股定理得：EF 3∵AB ∥CD ，∴∠B =∠ECH ，在△BFE 和△CHE 中，B ECH BE CE BEF CEH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BFE ≌△CHE （ASA ），∴EF =EH 3，CH =BF =1，∴DH=4，∵S △DHF =12DH •FH =43∴S △DEF =12S △DHF =23， 故选：C ．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．3．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（ ）A 3B ．32C 21D 221 【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO 是直角三角形，所以平行四边形ABCD 的面积即可求出．【解析】解：∵AC ＝2，BD ＝4，四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝12AC ＝1，BO ＝12BD ＝2， ∵AB 3∴AB 2+AO 2＝BO 2，∴∠BAC ＝90°，∵在Rt △BAC 中，BC ()2222327AB AC +=+=S △BAC ＝12×AB ×AC ＝12×BC ×AE ， 3×27AE ，∴AE＝2217，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键．4．如图，□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（）A．2B．2C．2D．522【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到CE=AE=4，用勾股定理逆定理证明∠CED＝90°，得到△AEC是等腰直角三角形，最后求出AC的长．【解析】解：连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝5∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝4，∵DE＝3，∴CE2+DE2＝42+32＝52＝CD2，∴∠CED＝90°，∴∠AEC＝90°，∴△AEC是等腰直角三角形，∴AC2＝2故选：B．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理逆定理和等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行求解．5．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，点E、F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（）A．∠1=∠2 B．BF=DE C．AE=CF D．∠AED=∠CFB【答案】C【分析】利用平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定分别得出选项A、B、D正确，选项C不正确，即可得出结论．【解析】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABE=∠CDF，∴AB=CD，当添加∠1=∠2时，由ASA判定△ABE≌△CDF，∴选项A正确；当添加BF=DE时，BE=DF，由SAS判定△ABE≌△CDF，∴选项B正确；当添加AE=CF时，由SSA不能判定△ABE≌△CDF，∴选项C不正确；当∠AED=∠CFB时，由AAS判定∠AED=∠CFB，∴选项D正确；故选：C．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．6．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC ＋BD ＝18，CD ＝6，则△ABO 的周长是（ ）A ．10B ．15C ．20D ．22【答案】B【分析】 直接利用平行四边形的性质得出AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO 的长，进而得出答案．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO ，BO=DO ，DC=AB=6，∵AC+BD=18，∴AO+BO=9，∴△ABO 的周长是：AO+BO+ AB =15．故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO 的值是解题关键．7．如图，在ABCD 中，点,E F 分别在边BC AD ，上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①//AE CF ；②AE CF =；③BE DF =；④BAE DCF ∠=∠．那么不能使四边形AECF 是平行四边形的条件相应序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】B利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使四边形AECF是平行四边形的条件．【解析】解：①∵四边形ABCD平行四边形，∴AD//BC，∴AF//EC，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；②∵AE=CF不能得出四边形AECF是平行四边形，∴条件②符合题意；③∵四边形ABCD平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，又∵BE=DF，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．④∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠BAE=∠DCF，∴∠AEB=∠CFD．∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD．∴∠CFD=∠EAD．∴AE∥CF．∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．8．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝100°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】A【分析】由▱ABCD与▱DCFE的周长相等，可得到AD＝DE即△ADE是等腰三角形，再由且∠BAD＝60°，∠F＝100°，即可求出∠DAE的度数．【解析】∵▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且CD＝CD，∴AD＝DE，∵∠DAE＝∠DEA，∵∠BAD＝60°，∠F＝100°，∴∠ADC＝120°，∠CDE═∠F＝100°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣100°＝140°，∴∠DAE＝（180°﹣140°）÷2＝20°，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、平行四边形的对角相等以及邻角互补和等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理．9．如图，△ACE是以□ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称.若E点的坐标是（7，－33），则D点的坐标是( )A．(4,0) B．(92,0) C．(5,0) D．(112,0)【答案】C【解析】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3，∴C的坐标为（7，3，∴CH3CE3∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D 点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用． 10．如图，P 为□ABCD 对角线BD 上一点，△ABP 的面积为S 1，△CBP 的面积为S 2，则S 1和S 2的关系为 （ ）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断【答案】B【解析】 分析：根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.解析：∵在□ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h.∴S 1= S △ABP =12BP h ,S 2= S △CPB =1 2BP h . ∴S 1=S 2,故选B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质. 11．如图，ABCD 中，点E 在边BC 上，以AE 为折痕，将ABE △向上翻折，点B 正好落在CD 上的点F 处，若FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，则FD 的长为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【分析】由题意易得AB=AF ，FE=BE ，然后根据三角形的周长及线段的等量关系进行求解即可．【解析】解：由题意得：AB=AF ，FE=BE ，四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD ，AB=DC=AF ，FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，∴FE+EC+FC=7，AD+AF+DF=21，∴BC+FC=7，AF=DC=DF+FC ，∴7-FC+DF+FC+DF=21∴DF=7．故选C ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行四边形的性质，熟练掌握平息四边形及折叠的性质是解题的关键． 12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，交BC 于点F ，点G 是AC 的中点，若10BC =，7AB =，则EG 的长为（ ）．A ．1.5B ．2C ．2.5D ．3.5【答案】A【分析】 根据BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E ，得到AEB FEB △≌△，从而得AE EF =,AB FB =；结合题意，计算得FC 的值；再根据点G 是AC 的中点，通过EG 是ABC 的中位线的性质，即可完成解题．【解析】∵BD 平分ABC ∠，AF BD ⊥于点E∴90AEB FEB ∠=∠=，ABE FBE ∠=∠∵BE BE =∴AEB FEB △≌△∴AE EF =，AB FB =∵10BC =，7AB =∴3FC BC FB BC AB =-=-=∵点G 是AC 的中点∴EG 是ABC 的中位线 ∴1 1.52EG FC == 故选：A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．已知ABCD □的周长为56，自顶点A 作AE DC ⊥于点E ，AF BC ⊥于点F ，若6AE =，8AF =，则CE CF -=_________________．【答案】4+4-【分析】先画出符合条件的两种情况的图形，再分别求解．【解析】解：∵平行四边形ABCD 的周长为56，∴BC+CD=28，∴BC=28-CD ，∵AE ⊥DC ，AF ⊥BC ，∴BC·AF=DC·AE ，∴8（28-DC ）=6DC ，解得：DC=16，∴BC=12，∴AD=BC=12，AB=DC=16，在△ABF 中，BF==在△AED 中，=如图，CE=CD-DE=16-CF=BC-BF=12-∴CE-CF=4+23；如图，CE=CD+DE=16+63，CF=BC+BF=12+83，∴CE-CF=4-23，故答案为：4+23或4-23．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，面积法，关键是正确画出图形，题目比较好，但是有一定的难度． 14．如图，▱ABCD 的面积为32，E ，F 分别为AB 、AD 的中点，则CEF △的面积为_____．【答案】12【分析】将三角形CEF △的面积分割为平行四边形ABCD 的面积减去AEF 、DEC 和BEC △的面积，利用面积比与底（高）比来解决．【解析】解：连接AC 、DE 、BD ，如图：∵E 为AB 中点，∴11=824BCE ABC ABCD S S S ==△△平行四边形，同理可得：=8CDF S △，∵F 为AD 中点， ∴111==4248AEF AED ABD ABCD S S S S ==△△△平行四边形， ∴=3288412CEF BCE CDF AEF ABCD S S S S S ---=---=△△△△平行四边形；故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及三角形的面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 15．如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠BAD =127°，则∠BCE =____．【答案】37°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD=180°，可得∠B 的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE=90°-∠B 即可．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=127°∴∠B=53°，∵CE ⊥AB ，∴∠E=90°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-53°=37°，故答案为：37°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B 的度数是解决问题的关键．16．如图，AC 是ABCD 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，102D =︒，则BAC ∠的度数是______．【答案】26︒【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠D=102°，再AD=AE=BE ，得出∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，继而得到∠ACB=2∠BAC ，再根据∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC 求解即可． 【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ， ∠ABC=∠D=102°，∵AD=AE=BE ，∴BC=AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∠BEC=∠BCA ，∵∠BEC=∠EAB ＋∠EBA=2∠EAB ，∴∠ACB=2∠BAC ，∴∠BAC+∠ACB=3∠BAC=180°-∠ABC=180°-102°=78°，∴3∠BAC=78°，即∠BAC=26°，故答案为：26°．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识．17．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．【答案】2【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=12AB＝1，∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．18．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为__________．【答案】15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB ，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF 的长，即可求出BC 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，DC=AB=8，AD=BC ，∴∠AFB=∠FBC ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠FBC ，则∠ABF=∠AFB ，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．在ABCD 中，E 、F 在BD 上，且BE DF =，点G 、H 分别在AD 、BC 上，且AG CH =，GH 与BD 交于点O ，（1）求证：EG HF =．（2）求证：//EG HF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明△DOG ≌△BOH ，得到GO=HO ，DO=BO ，从而说明四边形EGFH 是平行四边形，可得结论；（2）根据（1）中结论可直接说明．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵AG=CH ，∴DG=BH ，又∠DOG=∠BOH ，∴△DOG ≌△BOH （AAS ），∴GO=HO ，DO=BO ，∵BE=DF ，∴EO=FO ，∴四边形EGFH 是平行四边形，∴EG=HF ；（2）∵四边形EGFH 是平行四边形，∴EG ∥HF ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．20．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．（2）当点P在点B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ=PC，即可得结论；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【解析】解：（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，DM=CM，∠QDM=∠PCM，∴△PCM≌△QDM（ASA）．∴DQ=PC，∵AD∥BC，∴四边形PCQD是平行四边形，∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC-CP=AD+QD，∴9-CP=5+CP，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．21．如图，将ABCD的AD边延长至点E，使得12DE AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2）若3AB =，4=AD ，60A ︒∠=，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（27【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，进而利用已知得出DE ＝FC ，DE ∥FC ，进而得出答案；（2）首先过点D 作DN ⊥BC 于点N ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF 的长，进而得出答案．【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，AD BC =，∴//DE FC ．∵F 是BC 的中点， ∴1122FC BC AD ==， ∵12DE AD =， ∴FC DE =，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）过点D 作DN ⊥BC 于点N ，如图：则∠DNC=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=60°，∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠BCD=∠A=60°，∠CDN=30°，∵F 是BC 边的中点，∴FC=12BC=2，NC=12DC=32，22CD CN -332∴FN=FC-NC=12， ∴DF=EC=22DN FN +=7．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键． 22．如图，已知ABC 是等边三角形，点D 在BC 边上，ADF 是以AD 为边的等边三角形，过点F 作BC 的平行线交线段AC 于点E ，连接BF ，求证：（1）AFB ADC ≅；（2）四边形BCEF 是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得,,60AF AD AB AC FAD BAC ==∠=∠=︒，再根据角的和差可得FAB DAC ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得60ABF C ∠=∠=︒，从而可得ABF BAC ∠=∠，再根据平行线的判定可得//BF AC ，然后根据平行四边形的判定即可得证．【解析】（1）∵ABC 和ADF 都是等边三角形，∴,,60AF AD AB AC FAD BAC C ==∠=∠=∠=︒，FAD BAD BAC BAD ∴∠-∠=∠-∠，即FAB DAC ∠=∠，在AFB △和ADC 中，AF AD FAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AFB ADC SAS ≅；（2）∵AFB ADC ≅，∴60ABF C ∠=∠=︒，又∵60BAC ∠=︒，∴ABF BAC ∠=∠，∴//BF AC ，又∵//BC EF ，∴四边形BCEF 是平行四边形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．23．如图，在ABCD 中，AP ､BP 分别是DAB ∠和CBA ∠的角平分线，已知5AD =．（1）求线段AB 的长；（2）延长AP ，交BC 的延长线于点Q ．①请在答卷上补全图形；②若6BP =，求ABQ △的周长．【答案】（1）10；（2）①见解析；②36【分析】（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到DP ＝AD ＝5，CP ＝BC ＝5，进而得出AB 的长；（2）①根据题意画出图形；②依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到AB ＝QB ，再根据BP 平分∠ABQ ，即可得出BP ⊥AQ ，AP ＝QP ，依据勾股定理得出AP 的长，进而得到△ABQ 的周长．【解析】解：（1）∵在□ABCD中，AD＝5，∴BC＝5，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DPA，∵AP平分∠BAD，∴∠BAP＝∠DAP，∴∠DAP＝∠DPA，∴DP＝AD＝5，同理可得，CP＝BC＝5，∴CD＝10，∴AB＝10；（2）①如图所示：②∵AD∥BQ，∴∠Q＝∠DAP，又∵∠DAP＝∠BAP，∴∠Q＝∠BAP，∴AB＝QB＝10，又∵BP平分∠ABQ，∴BP⊥AQ，AP＝QP，∴Rt△ABP中，22AB BP=8，∴AQ＝16，∴△ABQ的周长为：16+10+10＝36．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对边平行，对边相等．24．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC BC =．（1）如图1，过B 作BE AC ⊥于E ，若8AC =，5BE =，求OE 的长；（2）如图2，若45BDC ∠=︒，过点C 作CF CD ⊥交BD 于点F ，过点B 作BG BC ⊥且BG BC =，连接AG ．求证：2AG OF =．【答案】（139-4；（2）见解析．【分析】（1）由勾股定理可求CE 的长，由平行四边形的性质可得CO 的长，即可求OE 的长；（2）延长CF 交AB 于点H ，由“SAS”可证△ABG ≌△FCB ，可得AG=BF ，由等腰三角形的性质可得AB=CD=2BH ，再证明三角形BFH 为等腰直角三角形，从而得出BF=2BH ①；在Rt △CDF 中，得出222BH ，继而得出2BH ②，结合①②可得出结论． 【解析】（1）解：∵BC=AC=8，BE=5，BE AC ⊥，∴22642539BC BE -=-=∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=4，∴39；（2）证明：如图，延长CF 交AB 于点H ，∵CF⊥CD，∠BDC=45°，∴∠BDC=∠DFC=45°，∴∠FBC+∠FCB=45°，CF=CD，∵BC⊥BG，∠ABD=∠BDC=45°，∴∠GBA+∠FBC=45°，∴∠ABG=∠BCF，且AB=CD=CF，BC=BG，∴△ABG≌△FCB（SAS），∴AG=BF．∵∠ABG+∠ABC=90°，∴∠BCF+∠ABC=90°，∴CH⊥AB，又AC=BC，∴BH=AH，∴AB=CD=2BH．∵AB∥CD，∴∠ABF=∠CDB=45°，∴∠HBF=∠BFH=45°，∴BH=FH，∴2BH①．在Rt△CDF中，CD=CF，∴222BH，∴222BH，∴BO=12BD=322BH，∴OF=BO-BF=22BH②，∴由①②得，BF=2OF，∴AG=2OF．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及平行线的性质等知识点，正确作出辅助线，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．。
平行四边形的判定讲义
环球雅思学科教师辅导讲义
练习：在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝∠C ，求证：四边形ABCD 是平行四边形.
2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例：在四边形ABCD 中，AB=CD ，BC=AD,若∠A=120°，则∠C= 。
练习：如果一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且bd ac d c b a 222222+=+++，那么这个四边形好 是 。
3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例：下面给出了四边形ABCD 中∠A ，∠B, ∠C, ∠D 的度数之比，其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）
A. 1:2:3:4
B. 2:2:3:3
C.2:3:2:3
D.2:3:3:2
练习：如图所示，已知
ABCD 中，AE 、CF 分别是∠DAB ，∠BCD 的平分线，求证：四边形AFCE 是平行
四边形。
6.三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF=1，则BD= 。
例：已知E为平行四边形ABCD，DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE，交BC于F点，连结AC交 BD于O点。
求证：AB=2OF。
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
人教版初二下册数学第18章《平行四边形》讲义第12讲平行四边形-复习训练(有答案)
人教版初二下册数学第18章《平行四边形》讲义第12讲平行四边形－复习训练（有答案）对称 中心对称 中心对称轴对称图形 中心对称 轴对称图形 中心对称 轴对称图形第二局部 考点精讲精练考点一、平行四边形的性质及判定【知识要点】〔1〕、平行四边形的边、角、对角线性质， 对称性〔2〕、平行四边形判定方法〔3〕、三角形中位线【典型例题】例1、以下图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是〔 〕A 、菱形B 、矩形C 、正方形D 、平行四边形例2、如图,□ABCD 与□DCFE 的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,那么∠DAE 的度数为 例3、如图,在平行四边形ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与BC 的延伸线交于点E,与DC 交于点F,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE,垂足为G,假定DG=1,那么AE 的长为〔 〕 A 、2 B 、4 C 、4 D 、8例4、平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点，A ，B ，D 的坐标区分是〔0，0〕〔5，0〕，〔2，3〕，那么顶点C 的坐标是〔 〕A 、〔3,7〕B 、(5,3)C 、(7,3)D 、 (8,2)〔例2〕 〔例3〕 〔例4〕例5、如图，E 是平行四边形内任一点， 假定S平行四边形ABCD ＝8，那么图中阴影局部的面积是〔 〕A 、3B 、4C 、5D 、6 例6、如图，将平行四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G A yB CD处。
〔1〕求证：AE ＝AF〔2〕求证：△ABE ≌△AGF例7、如下图：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．例8、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，以三边为边，在BC 的同侧区分作三个等边三角形即△ABD 、△BCE 、△ACF 。
〔1〕求证：四边形EFAD 是平行四边形；〔2〕求四边形EFAD 的面积。
平行四边形的性质(精讲)2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)
18.1平行四边形的性质（解析版）平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.注意：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.题型1：平行四边形的定义1.如图，在▱ABCD中，若EF∥AD，OH∥CD，EF与GH相交于点O，则图中的平行四边形一共有（）A．4个B．5个C．8个D．9个【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，【变式1-1】如图，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则图中平行四边形一共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形的中位线定理得出EF∥AB，DF∥BC，DE∥AC，根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可．【解答】解：有3个平行四边形，有平行四边形ADEF，平行四边形CFDE，平行四边形BEFD，理由是：∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴EF∥AB，DF∥BC，∴四边形BEFD是平行四边形，同理四边形ADEF是平行四边形，四边形CFDE是平行四边形，∴图中平行四边形一共有3个，故选：C综上所述，可以作0个或3个平行四边形．故答案为：0个或3个．平行四边形的性质（1）1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；注意：①平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；题型2：平行四边形的性质与角度计算2如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝128°，则∠A＝（）A．32°B．42°C．52°D．62°【分析】根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．【解答】解：∵∠DCE＝128°，∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣128°＝52°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠DCB＝52°，故选：C【变式2-1】如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝50°，则∠BCE的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝50°，由角的互余关系得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°；故选：C【变式2-2】如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，∠C＝60°，BE平分∠ABC交DC于点E，连接AE，若∠EAB＝38°，则∠DBE为22度．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，∠C＝60°，∴AD＝BC，∠ADE＝∠ABC＝120°，∠BAD＝60°，∵∠EAB＝38°，∴∠EAD＝∠BAD﹣∠EAB＝22°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝BC，∠BEC＝60°，∴BE＝AD，∠BED＝120°＝∠ADE，在△BDE与△AED中，，∴△BDE≌△AED（SAS），∴∠DBE＝∠EAD＝22°，故答案为：22题型3：平行四边形的性质与求线段3.如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝2，则AB的长为（）A．B．2C．2D．2【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE＝DE＝AB即可得出答案．【解答】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD＝∠ECB，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠DEC＝∠ECB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵AD＝2AB，∴AD＝2CD，∴AE＝DE＝AB＝2．故选：C【变式3-1】如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则CD＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED 是等腰三角形，继而求得CD的长．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AD∥BC，∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝5，故选：B【变式3-2】如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝2，AD＝5，则CD的长为（）A．4B．3C．2D．1.5【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD＝BC＝5，由CE平分∠BCD得∠DCE＝∠BCE，由平行线的性质得∠DCE＝∠E，运用等量代换得∠E＝∠BCE，从而得到△BCE为等腰三角形，计算出BE的长度，由AE＝2可求得AB的长度，继而得到CD的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，CD＝AB，∴∠E＝∠ECD，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠E＝∠BCE，∴BE＝BC＝5，∴AB＝BE﹣AE＝5﹣2＝3，∴CD＝3．故选：B平行四边形的性质（2）1.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；2．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.注意：（1）对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.（3）对角线性质的拓展∶①两条对角线将平行四边形分为面积相等的四个三角形;②过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等;③过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.题型4：平行四边形的性质与求周长4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝16，若△BCO的周长为14，则AD的长为（）A．12B．9C．8D．6【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，由△BCO的周长为14，可求BC＝AD＝6．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，∵AC+BD＝16，∴BO+CO＝8，∵△BCO的周长为14，【变式4-1】在▱ABCD中，若∠B＝60°，AB＝16，AC＝14，则▱ABCD的周长是52或44．【分析】过点A作AE⊥BC于E，利用勾股定理得出BE，AE，EC，进而根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：①当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，∵∠B＝60°，AB＝16，∴BE＝8，AE＝8，由勾股定理得，EC＝，∴BC＝BE+EC＝8+2＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+16）＝52，②当△ABC是锐角三角形时，如图所示，过点A作AE⊥BC于E，由①可知，BE＝8，EC＝2，∴BC＝BE﹣EC＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（16+6）＝44，故答案为：52或44（2）若CD＝7，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，根据ASA推出△AEO≌△CFO，从而结论；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝7，又∵EF＝2OE＝4，∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝7+4+5＝16题型5：平行四边形的性质与面积5.如图，在▱ABCD中，BC＝13，过点A作AE⊥DC于E，AE＝12，CE＝10．（1）求AB的长；（2）求▱ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理得出DE，进而解答即可；（2）根据平行四边形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC＝13，在Rt△ADE中，，＝．∴CD＝DE+CE＝5+10＝15．∴AB＝15；（2）S▱ABCD＝CD×AE＝15×12＝180【变式5-1】如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF、AC．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝AF，AB＝3，BC＝5，求四边形ABFC的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥DF，从而证得∠ABC＝∠BCF，利用ASA可证明结论；（2）由△ABE≌△FCE得到AE＝FE，利用对角线相等可证得四边形ABFC为平行四边形，得到AB ＝FC＝CD，利用等腰三角形三线合一证得AC⊥DF，从而得到四边形ABFC是矩形，再利用勾股定理求出AC的长度，即可求出四边形ABFC的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABC＝∠BCF，∵E为BC中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE．（2）解：∵△ABE≌△FCE，∴AE＝FE，∵BE＝FC，∴四边形ABFC是平行四边形，∴AB＝CF＝CD，∵AD＝AF，∴AC⊥FD，∴四边形ABFC是矩形，∴∠BAC＝90°，∵AB＝3，BC＝5，根据勾股定理得AC＝＝＝4，∴矩形ABFC的面积为AB•AC＝3×4＝12【变式5-2】如图，▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，BC＝5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积为（）A．5B．5C．10D．10【分析】利用▱的性质及判定定理可判断四边形AEPF为▱，EF、AP为▱AEPF的对角线，设交点为O，则EF、AP相互平分，从而证得△POF≌△AOE，则阴影部分的面积等于△ABC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC∵PE∥BC，∴PE∥AD∵PF∥CD，∴PF∥AB，∴四边形AEPF为▱．设▱AEPF的对角线AP、EF相交于O，则AO＝PO，EO＝FO，∠AOE＝∠POF∴△POF≌△AOE（SAS），∴图中阴影部分的面积等于△ABC的面积，过A作AM⊥BC交BC于M，∵∠B＝60°，AB＝4，∴AM＝2，S△ABC＝×5×2＝5，即阴影部分的面积等于5．故选：B题型6：平行四边形的性质与三边关系6.如图，平行四边形ABCD和平行四边形EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直线上，则下列关系正确的是（）A．DE＞BF B．DE＝BF C．DE＜BF D．DE＝FE＝BF【分析】本题要求的是DE与BF之间的关系，它们分别是在△ECD与△F AB中的两边，只要证明两个三角形全等即可．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD∴∠CDE＝∠ABF∵在平行四边形EAFC中，EC∥AF∴∠AFE＝∠CEF∴∠AFB＝∠CED∴△ECD≌△F AB（AAS）所以DE＝BF．故选：B【变式6-1】如图，AB＝CD＝DE，CE是由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是（）A．AC+BD＜AB B．AC+BD＝AB C．AC+BD＞AB D．无法确定【分析】由平移的性质可得AB∥CE，AB＝CE，可证四边形ABEC是平行四边形，可得AC＝BE，AB ＝CE，由三角形的三边关系可求解．【解答】解：∵CE是由AB平移所得∴AB∥CE，AB＝CE∴四边形ABEC是平行四边形∴AC＝BE，AB＝CE，∴AB＝CD＝DE＝CE，在△DBE中，DB+BE＞DE，∴DB+AC＞AB，故选：C【变式6-2】已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．猜测DE和BF的位置关系和数量关系，并加以证明．【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由“SAS”可证△ADE≌△CBF，即可得结论．【解答】解：DE∥BF DE＝BF理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAC＝∠ACB，且AE＝CF，AD＝BC∴△ADE≌△CBF（SAS）∴DE＝BF，∠AED＝∠BFC∴∠DEC＝∠AFB∴DE∥BF题型7：平行四边形的性质与角平分线7.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．连接BE，若BE⊥AF，EF＝2，，则AB的长为（）A．B．C．D．4【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证AB＝BF，在Rt△BEF中，由勾股定理可求BF，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∵BE⊥AF，EF＝2，，∴BF＝＝＝4，【变式7-1】如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝8．【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF 是平行四边形，可得CF＝AM＝8．【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO＝＝＝4，在△ABO和△MBO中，，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF＝AM＝8，故答案为：8【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．求证：CD＝BE．【分析】直接利用平行四边形的性质结合角平分线的定义、等腰三角形的性质得出AB＝BE，进而得出答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，题型8：平行四边形的性质与垂直平分线8.在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于点E，连接CE．若平行四边形ABCD的周长为30cm，则△CDE的周长为（）A．20cm B．40cm C．15cm D．10cm【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，又AB+BC＝AD+CD＝15cm，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长为30cm，∴AD+CD＝15（cm），∵OE⊥AC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+CE+AE＝AD+CD＝15（cm）．故选：C【变式8-1】如图，在▱ABCD中，D在AB的垂直平分线上，且▱ABCD的周长为42cm，△BCD的周长比▱ABCD的周长少12cm，则AB＝12cm，S▱ABCD＝36cm2．【分析】根据垂直平分线的性质可知，AD＝DB，由于△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm，所以可求出BD＝9cm，再根据周长的值求出AB，根据勾股定理求出高DE，即可求出答案．【解答】解：∵AB的垂直平分线EF经过点D，∴DA＝DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA＝CB，∵△ABD的周长比▱ABCD的周长少10cm∴BD＝9cm，∴ADBC＝BD＝9cm，∵▱ABCD的周长为42cm，∴AB＝DC＝×42cm﹣9cm＝12cm，在△ADB中，AD＝BD＝9cm，AB＝12cm，∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，AE＝BE＝6cm，由勾股定理得：DE＝＝3（cm），∴S平行四边形ABCD＝AB×DE＝12cm×3cm＝36cm2，故答案为：12，36．【变式8-2】如图，在平行四边形ABCD中，AC的垂直平分线分别交CD，AB于点F和E，AB＝4，BC ＝，AC＝3，求EF的长．【分析】过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．构建直角△AHC、直角△BCH，相似三角形△ACH∽△AGC，以及平行四边形EFCG．利用勾股定理和相似三角形的对应边成比例可以求得CG的长度，则平行四边形EFCG的对边相等：EF＝CG．【解答】解：如图，过C作CG∥FE交AB的延长线于G、作CH⊥BG交BG于H．由勾股定理得到：CH2＝AC2﹣（AB+BH）2＝BC2﹣BH2，∵AB＝4，BC＝，AC＝3 ，∴（3 ）2﹣（4+BH）2＝（）2﹣BH2，解得∴BH＝1．∴AH＝AB+BH＝4+1＝5．∴CH＝＝．∵CG∥FE、AC⊥FE，∴CG⊥AC．∵∠CAH＝∠GAC，∠AHC＝∠ACG＝90°，∴△ACH∽△AGC，∴CH：CG＝AH：AC，∴CG＝＝．∵四边形ABCD平行四边形，∴FC∥EG．又CG∥FE，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EF＝CG＝．题型9：平行四边形的性质与最值9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD⊥AB，DC＝2，AD＝4，AB＝6，点M是线段AD上任意一点，连接MC并延长到点E，使MC＝CE，以MB和ME为边作平行四边形MBNE，请直接写出线段MN长度的最小值．【分析】作辅助线，构建相似三角形，先根据平行线分线段成比例定理得：＝，G是BC上一定点，得出当MN⊥AD时，MN的长最小，计算AH的长就是MN的最小值．【解答】解：当MN⊥AD时，MN的长最小，∴MN∥DC∥AB，∴∠DCM＝∠CAN＝∠MNB＝∠NBH，设MN与BC相交于点G，∵ME∥BN，MC＝CE，∴＝，∴G是BC上一定点，作NH⊥AB，交AB的延长线于H，∵∠D＝∠H＝90°，∴Rt△MDC∽Rt△NHB，即＝，∴BH＝2DC＝4，∴AH＝AB+BH＝6+4＝10，∴当MN⊥AD时，MN的长最小，即为10；则线段MN长度的最小值为10．【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，求DE的最小值．【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC⊥AB，∵四边形ADCE是平行四边形，∴OD＝OE，OA＝OC，∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB＝2，∴ED＝2OD＝4；则DE的最小值是4．【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的点A（0，﹣1）、点B（m，m+1）（m≠﹣1），点C（4，1），则对角线BD的最小值是（）A．3B．2C．5D．6【分析】先根据B（m，m+1），可知B在直线y＝x+1上，设AC，BD的交点为M，则M（2，0），BD＝2BM，所以当BM最小时，BD最小，根据垂线段最短，得到当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，此时BD亦最小，如图2，可以证得△BEM为等腰直角三角形，从而利用勾股定理，求得此时BM的值，即可解决．【解答】解：∵点B（m，m+1），∴令，∴y＝x+1，∴B在直线y＝x+1上，设AC，BD交于点M，如图1，∴M是AC和BD的中点，∴M（2，0），BD＝2BM，∴当BM最小时，BD最小，过M作MH⊥直线y＝x+1于H，根据垂线段最短，BM≥MH，所以BM的最小值为MH，即当BM⊥直线y＝x+1时，BM最小，则BD最小，设直线y＝x+1与x轴，y轴交于点E，F，如图2，令x＝0，则y＝1，∴F（0，1），同理，E（﹣1，0），∴OE＝OF＝1，∴∠BEM＝45°，又∠MBE＝90°，∴∠BEM＝∠BME＝45°，∴△BME为等腰直角三角形，∵E（﹣1，0），M（2，0），∴ME＝3，∵BE2+BM2＝ME2，且BM＝BE，∴BM＝，∴，即对角线BD的最小值为3，故选：A．题型10：平行四边形的性质与折叠问题10.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C【变式10-1】如图，在▱ABCD中，∠A＝70°，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于（）A．70°B．40°C．30°D．20°【分析】根据折叠的性质得出AM＝MD＝MF，得出∠MF A＝∠A＝70°，再由三角形内角和定理即可求出∠AMF．【解答】解：根据题意得：AM＝MD＝MF，∴∠MF A＝∠A＝70°，∴∠AMF＝180°﹣70°﹣70°＝40°；故选：B【变式10-2】如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE＝∠BAD，得出∠D1AD＝∠BAE＝55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠C，由折叠的性质得：∠D1AE＝∠C，∴∠D1AE＝∠BAD，∴∠D1AD＝∠BAE＝55°；故答案为：55°．题型11：平行四边形的性质与证明题11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC的三等分点，连接BE，DF．证明：BE＝DF．【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵E，F是对角线AC的三等分点，∴AE＝CF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．【变式11-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1＝∠2．（1）求证：BE＝DF；（2）线段AF与CE有什么关系？请证明你的结论．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠5＝∠3，∠AEB＝∠4，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE＝CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠5＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠AEB＝∠4，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF；（2）AE＝CF且AF∥CE，理由如下：由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵∠1＝∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．【变式11-2】如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以证明．【分析】（1）只要证明∠MAB+∠MBA＝90°即可；（2）结论：DF＝CE．只要证明AD＝DE，CF＝BC，可得DE＝CF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠EAB＝∠DAB，∠ABF＝∠ABC，∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠EAB+∠ABF＝×180°＝90°，∴AE⊥BF．（2）DF＝CE．证明：∵AE平分∠DAB∴∠EAB＝∠EAD，∵DC∥AB，∴∠EAD＝∠EAD，∴AD＝DE，同理：FC＝BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴DE＝FC，∴DF＝CE两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.题型12：平行线的距离12.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC＝21cm，BE⊥AC，垂足为E，且BE＝5cm，AD＝7cm，求AD和BC之间的距离．【分析】利用等积法，设AD与BC之间的距离为x，由条件可知▱ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，可求得▱ABCD的面积，再由S四边形ABCD＝AD•x，可求得x．【解答】解：设AD和BC之间的距离为x，则平行四边形ABCD的面积等于AD•x，∵S平行四边行ABCD＝2S△ABC＝2×AC•BE＝AC•BE，∴AD•x＝AC•BE，即：7x＝21×5，x＝15（cm），答：AD和BC之间的距离为15cm．【变式12-1】如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，AB＝6，BC＝10，求：（1）AB与CD的距离；（2）AD与BC的距离．【分析】（1）在直角三角形中，由勾股定理解直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可；（2）由面积相等建立等式关系，进而可求解其距离．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝＝＝8，∴AB与CD的距离＝AC＝8；（2）∵在Rt△ABC中，AC＝8，∴AD、BC之间的距离为6×8÷10＝4.8【变式12-2】如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠B＝60°，AB＝2，求AD与BC之间的距离．【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得AB＝CD，对角相等可得∠B＝∠D，然后利用“角角边”证明△ABE和△CDF即可；（2）利用∠B的正弦值求出AE，再根据平行线间的距离的定义解答．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵∠B＝60°，AB＝2，∴AE＝AB•sin60°＝2×＝，∵▱ABCD的边AD∥BC，∴AD与BC之间的距离为word可编辑文档。
专题 平行四边形的性质和判定(解析版)
八年级下册数学《第十八章平行四边形》专题平行四边形的性质与判定【例题1】如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，AE＝3，EB＝5，ED＝4．则CE的长是（ ）A．B．C．D．【分析】由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BE ＝BC ＝5，由勾股定理的逆定理可求∠AED ＝90°，由勾股定理可求CE 的长．【解答】解：∵AE ＝3，EB ＝5，∴AB ＝8，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝CD ＝8，∴∠DCE ＝∠BCE ，∠AED ＝∠EDC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠DCE ＝∠BCE ，∴∠BCE ＝∠BEC ，∴BE ＝BC ＝5，∴AD ＝5，∵AD 2＝25＝16+9＝DE 2+AE 2，∴∠AED ＝90°，∴∠AED ＝∠EDC ＝90°，∴CE =故选：D ．【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，证明∠AED ＝90°是解题的关键．【变式1-1】如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，作DG ⊥AE 于点G 并延长交BC 于点F ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．【分析】据平行四边形的性质证明∠DAE ＝∠BEA ，∠ADF ＝∠CFD ，进而证明∠BAE ＝∠BEA 得到BE ＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD得到CF＝CD＝5，由此即可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，CD＝AB＝6，BC＝AD＝7，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DAE＝∠BEA，∠ADF＝∠CFD，∵AG⊥DG，∴∠AGD＝90°，∴∠DAE+∠ADF＝90°，∴∠BAE+∠CDF＝∠BAD+∠ADC﹣∠DAE﹣∠ADF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∵∠BEA+∠CFD＝90°，∴BE＝BA＝5，∠CDF＝∠CFD，∴CE＝BC﹣BE＝2，CF＝CD＝5，∴EF＝CF﹣CE＝3，故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明BE＝BA＝5，CF＝CD＝5是解题的关键．【变式1-2】如图，在▱ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC⊥AB，E为AD的中点，并且OF ⊥BC，∠D＝53°，则∠FOE的度数是（ ）A．143°B．127°C．53°D．37°【分析】先由等角的余角相等证明∠FOC＝∠D＝53°，再根据三角形的中位线定理证明OE∥CD，则∠COE＝180°﹣∠ACD＝90°，即可求得∠FOE＝143°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAD＝∠OCF，∵AC⊥AB，OF⊥BC，∴∠ACD＝∠CAB＝∠OFC＝90°，∵∠D+∠CAD＝90°，∠FOC+∠OCF＝90°，∴∠FOC＝∠D＝53°，∵O为对角线AC与BD的交点，∴O为AC的中点，∵E为AD的中点，∴OE∥CD，∴∠COE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∴∠FOE＝∠FOC+∠COE＝53°+90°＝143°，故选：A．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE∥CD是解题的关键．【变式1-3】如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），则点B的坐标是（ ）A．（5，3）B．（4，3）C．（6，3）D．（8，1）【分析】由平行四边形的性质可得BC∥OA，BC＝OA＝5，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标是（5，0），∴OA＝5，∵四边形OABC是平行四边形，∴BC∥OA，BC＝OA＝5，∵点C的坐标是（1，3），∴点B坐标为（6，3），故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式1-4】如图，在平行四边形ABCD中P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是（ ）A．18B．24C．23D．14【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA＝180°，求出∠PAB+∠PBA＝90°，在△APB中求出∠APB＝90°，由勾股定理求出BP，证出AD＝DP＝5，BC＝PC＝5，得出DC＝10＝AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA＝180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA）＝90°，在△APB中，∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB＝∠DPA∴∠DAP＝∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5，同理：PC＝CB＝5，即AB＝DC＝DP+PC＝10，在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8，∴BP=6，∴△APB的周长＝6+8+10＝24；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．【变式1-5】如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠AED＝80°，则∠ACE的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】证△ABE是等边三角形，得AB＝AE，再证△BAC≌△AED中（SAS），得∠BAC＝∠AED＝80°，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE=12∠BAD＝60°，∴∠B＝∠DAE，△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠AEB＝∠BAE＝60°，在△BAC和△AED中，AB=EA∠B=∠DAEBC=AD，∴△BAC≌△AED（SAS），∴∠BAC＝∠AED＝80°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝80°﹣60°＝20°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△BAC≌△AED是解题的关键．【变式1-6】▱ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是（ ）A．3≤AB≤4B．2＜AB＜14C．1＜AB＜7D．1≤AB≤7【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得AO＝4，BO＝3，再根据三角形的三边关系可得4﹣3＜AB＜4+3，再解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=12AC，BO=12BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∴4﹣3＜AB＜4+3，解得1＜AB＜7．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系以及平行四边形的性质，关键是掌握“平行四边形的对角线互相平分”的性质．【变式1-7】在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB ＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．【变式1-8】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．（1）求证：OE＝OF；（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可；（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出▱ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠FOD=∠EOB，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴OE＝OF．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，∵△BEC的周长是10，∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，∴▱ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．【例题2】（2022•南京模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE ＝EF ＝FC ．（1）求证：DE ∥BF ；（2）若BE ⊥BC ，DE ＝6，求对角线AC 的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∠BAC ＝∠DCA ，利用全等三角形的判定和性质得出∠AFB ＝∠CED ，再由平行线的判定即可证明；（2）根据（1）中全等三角形的性质得出DE ＝BF ＝6，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BF ＝CF ＝EF ＝6，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠BAC ＝∠DCA ，∵AE ＝FC ，∴AE +EF ＝FC +EF ，即AF ＝EC ，∴△ABF ≌△CDE （SAS ），∴∠AFB ＝∠CED ，∴DE ∥BF ；（2）解：由（1）得△ABF ≌△CDE ，∴DE ＝BF ＝6，∵BE ⊥BC ，CF ＝EF ，∴点F 为△BEC 的中点，∴BF ＝CF ＝EF ＝6，∵CF ＝EF ＝AE，∴AC＝18．【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【变式2-1】（2022春•西吉县校级月考）如图．已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC，DF⊥AC，求证：BE＝DF．【分析】证两条线段所在的两个三角形全等．根据“AAS”可证△ABE≌△CDF或△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA．∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°．在△ABE和△CDF中，∠DFC=∠BEA∠FCD=∠EAB，AB=CD∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF．【点评】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握“平行四边形的对边平行且相等”是解题关键．【变式2-2】（2022•泉山区校级三模）已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD的延长线上，BE＝DF，连接EF，分别交BC、AD于G、H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，在△BEG与△DFH中，∠E=∠FBE=DF，∠EBG=∠FDH∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•北碚区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，CB＝2AB，∠DCB的平分线交BA 的延长线于点F．（1）求证：DE＝AE；（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度数．【分析】（1）根据平行四边形的性质证明A为BF的中点，然后证明△DEC≌△AEF（AAS），进而得出结论；（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵CE是∠DCB的平分线，∴∠DCE＝∠BCF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝DC，∴∠DCE＝∠CFB，∴∠BCF＝∠CFB，∴BC＝BF，∵BC＝2AB，∴BF＝2AB，∴A为BF的中点，∴AB＝AF，∴AB＝DC＝AF，在△DEC和△AEF中，∠DCE=∠F∠DEC=∠AEFDC=AF，∴△DEC≌△AEF（AAS），∴DE＝AE；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DA∥CB，∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，∵△DEC≌△AEF，∴CE＝EF，∵BC＝BF，∴∠EBC＝∠FBE=12∠CBF＝35°，∴∠BEA＝35°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．【变式2-4】（2022秋•道里区校级月考）在平行四边形ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△EHC全等的所有三角形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，由ASA证明△ADE≌△CBF，得出DE＝BF；（2）由中点的定义得出DE＝CE，由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC，∠DAE=∠BCF∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出DE＝BF是解决问题（1）的关键．【变式2-5】（2021春•九龙坡区校级期中）在▱ABCD中，∠ABC＝45°，过A作AE⊥CD于E，连接BE，延长EA至F，使CE＝AF，连接DF．（1）求证：DF＝BE；（2）若DF=AD＝ADEB的周长．【分析】（1）由已知证得AB＝EF，DE＝AE，根据全等三角形的判定证得△FDE≌△BEA，根据全等三角形的性质可得结论；（2）由勾股定理得求得DE＝3，EF＝5，由（1）知，AB＝EF，BE＝DF，即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AE⊥CD，∴∠FED＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AB＝DC，∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，∴AE＝DE，∵CE＝AF，∴AB＝EF，△FDE和△BEA中，DE=AE∠FED=∠BAE EF=AB，∴△FDE≌△BEA（SAS），∴DF＝BE；（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝由勾股定理得：DE＝3，在Rt△FDE中，DE＝3，DF=∴EF=5，由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF∴四边形ADEB的周长为：AD+DE+BE+AB＝35＝【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得AB＝EF，DE＝AE，是解决问题的关键．【变式2-6】（2022春•济南期中）如图，将▱ABCD的边BC延长到点E，使BE＝CD，连接AE交CD 于点F．（1）求证：AE平分∠BAD；（2）已知BC＝CE＝3，EF＝4，FG⊥AB，求FG的长．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证明∠BAE＝∠E得到AB＝BE，然后利用等边对等角等知识证得结论即可；（2）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BE，求得∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，根据全等三角形的性质得到AF＝EF＝4，根据勾股定理得到BF=到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BE，∴∠DAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴∠BAE＝∠E，∴∠BAE＝∠DAE，∴AE平分∠BAD；（2）解：由BE＝CD，AB＝CD，∴△ABE为等腰三角形，∴AB＝BE＝6，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BE，∴∠D＝∠DCE，∠DAF＝∠FEC，∵BC ＝CE ＝3，∴AD ＝CE ，∴△ADF ≌△ECF （ASA ），∴AF ＝EF ＝4，∴BF ⊥AE ，∵AB ＝BE ＝6，∴BF==∵S △ABF =12AB •FG =12AF •BF ，∴FG =故FG【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．【例题3】如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（ ）A．CE＝AF B．BE＝DF C．∠DAF＝∠BCE D．AF∥CE 【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的性质进行逐一判断即可．【解答】解：若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故A选项符合题意；如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠ADF＝∠CBE，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBEAD=BC，∠DAF=∠BCE∴△ADF≌△CBE（ASA），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项C不符合题意；∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，∴∠AFD＝∠CEB，在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEB，AD=BC∴△ADF≌△CBE（AAS），∴BE＝DF，∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式3-1】在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（ ）①一组对边平行，另一组对边相等②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线③一组对边平行，一组对角相等④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形；②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形；③错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行；④正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等且平行．故是平行四边形．故选：B．【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．【变式3-2】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，BC＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；B、由AB＝AD，BC＝CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；C、由AB＝CD，AD＝BC，能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；D、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【变式3-3】四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB∥CD，∠BAD＝∠BCD；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件有（ ）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断．【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；②根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对角相等的四边形可得是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，还可能是等腰梯形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理．【变式3-4】如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（ ）A．∠ADE＝∠E B．∠B＝∠E C．DE＝BC D．BD＝CE【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，∴AB∥CE，又∵DF∥BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；B、∵DF∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠E，∴∠ADE＝∠E，∴AB∥CE，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；C、∵DF∥BC，∴DE∥BC，又∵DE＝BC，∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．【变式3-5】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A ．∠B ＝∠F B ．DE ＝EFC ．AC ＝CFD ．AD ＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE ∥AC ，DE =12AC ，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AC ，DE =12AC ，A 、当∠B ＝∠F ，不能判定AD ∥CF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；B 、∵DE ＝EF ，∴DE =12DF ，∴AC ＝DF ，∵AC ∥DF ，∴四边形ADFC 为平行四边形，故本选项符合题意；C 、根据AC ＝CF ，不能判定AC ＝DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；D 、∵AD ＝CF ，AD ＝BD ，∴BD ＝CF ，由BD ＝CF ，∠BED ＝∠CEF ，BE ＝CE ，不能判定△BED ≌△CEF ，不能判定CF ∥AB ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．【变式3-6】如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，连接AF ，CE ，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE 是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．【分析】根据▱ABCD的性质得到AD∥BC，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可．【解答】解：如图，在▱ABCD中，AD∥BC，则AE∥FC．当添加AE＝FC时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形AFCE是平行四边形，故答案是：AE＝FC（答案不唯一）．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题过程中注意平行四边形的判定与平行四边形的性质的综合运用．【变式3-7】平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF一定为平行四边形的条件 ．（用题目中的已知字母表示）【分析】在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边，只需证明OE＝OF．【解答】解：连接AC交BD于点O，如图：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；故答案为：AE∥CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明OE＝OF是解题的关键．【例题4】（2021•江华县一模）如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF ＝30°．【分析】（1）在△ACD 和△CBF 中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．（2）当∠DEF ＝30°，即为∠DCF ＝30°，在△BCF 中，∠CFB ＝90°，即F 为AB 的中点，又因为△ACD ≌△CBF ，所以点D 为BC 的中点．【解答】证明：（1）由△ABC 为等边三角形，AC ＝BC ，∠FBC ＝∠DCA ，在△ACD 和△CBF 中，AC =BC ∠DCA =∠FBC CD =BF，所以△ACD ≌△CBF （SAS ）；（2）当D 在线段BC 上的中点时，四边形CDEF 为平行四边形，且角DEF ＝30度按上述条件作图，连接BE，在△AEB和△ADC中，AB＝AC，∠EAB+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝60°，即∠EAB＝∠DAC，AE＝AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB＝FB，∠EBA＝∠ABC＝60°，∴△EFB为正三角形，∴EF＝FB＝CD，∠EFB＝60°，又∵∠ABC＝60°，∴∠EFB＝∠ABC＝60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∵D在线段BC上的中点，∴F在线段AB上的中点，∴∠FCD=12×60°＝30°则∠DEF＝∠FCD＝30°．【点评】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式4-1】如图，点B、C、E、F在同一直线上，BE＝CF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）四边形ABED是平行四边形．【分析】（1）根据BC＝EF求出BC＝EF，根据垂直定义得出∠ACB＝∠DFE＝90°，再根据全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，根据平行线的判定得出AB∥DE，再根据平行四边形的判定定理推出即可．【解答】证明：（1）∵BE＝CF，∴BE﹣CE＝CF﹣CE，即BC＝EF，又∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，∴∠ACB＝∠DFE＝90°，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠ACB=∠F，BC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）由（1）知△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的判定，平行四边形的判定等知识点，能熟记有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．【变式4-2】如图所示，△ABC中，D是BC边上中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE，EF∥BC交AB于点F，求证：四边形BDEF是平行四边形．【分析】延长CE交AB于M，证两三角形全等，推出E为CM中点，根据三角形中位线推出DE∥AB，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：延长CE交AB于M，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠AEM＝90°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，在△MAE和△CAE中，∠AEM=∠AECAE=AE，∠MAE=∠CAE∴△MAE≌△CAE（ASA），∴CE＝EM，∵D为BC中点，∴DE∥AB，∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．【变式4-3】（2021秋•海阳市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AC上一点，且满足2AF＝CF，连接BF与AD相交于点E．若G为线段BF上一动点，试分析当点G在何位置时，四边形AFDG为平行四边形？【分析】证DG是△BCF的中位线，得DG∥CF，2DG＝CF，则DG∥AF，再证DG＝AF，即可得出四边形AFDG为平行四边形．【解答】解：点G为线段BF的中点时，四边形AFDG为平行四边形，理由如下：∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，∵点G为线段BF的中点，∴DG是△BCF的中位线，∴DG∥CF，2DG＝CF，∴DG∥AF，∵2AF＝CF，∴DG＝AF，∴四边形AFDG为平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明DG为△BCF的中位线是解题的关键．【变式4-4】（2022春•顺义区校级月考）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F、E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB＝3，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）分别证明AB∥ED，AE∥BD，得出结论；（2）利用勾股定理求出BH AF，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，∴AB∥ED，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∵BD垂直平分AC，∴∠BFA＝90°，∴∠EAC＝∠BFA，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠ADE＝∠ADB，∵∠ADE＝∠BAD，∴∠ADB＝∠BAD，∴BA＝BD，∵AB＝3，∴BD＝3过B作BH⊥AD，∴AH=HD=12AD=2，∴BH=∵BD垂直平分AC，则AF＝FC，∵S△ABD =12DA⋅BH=12DB⋅AF，∴AF =DA⋅BH DB∴AC 【点评】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．【变式4-5】（2021春•西安期末）如图，在△AFC 中，∠FAC ＝45°，FE ⊥AC 于点E ，在EF 上取一点B ，连接AB 、BC ，使得AB ＝FC ，过点A 作AD ⊥AF ，且AD ＝BC ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【分析】证Rt △AEB ≌Rt △FEC （HL ），得BE ＝CE ，则∠CBE ＝∠BCE ＝45°，再证出∠BCE ＝∠CAD ，得BC ∥AD ，即可证出四边形ABCD 是平行四边形；【解答】证明：∵FE ⊥AC ，∴∠FEA ＝∠FEC ＝90°，∵∠FAC ＝45°，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴AE ＝EF ，∠AFE ＝∠FAE ＝45°，在Rt △AEB 和Rt △FEC 中，AB =FC AE =FE ，∴Rt △AEB ≌Rt △FEC （HL ），∴BE ＝CE ，∴∠CBE ＝∠BCE ＝45°，∵AD ⊥AF ，∴∠FAD ＝90°，∴∠CAD ＝90°﹣45°＝45°，∴∠BCE＝∠CAD，∴BC∥AD，又∵BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt△AEB≌Rt△FEC是解题的关键．【变式4-6】（2022春•礼泉县期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE，已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）求证：△AEF≌△BAC；（2）四边形ADFE是平行四边形吗？请说明理由．【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC，再由等边三角形的性质得AB＝AE，AB＝2AF，则AF＝BC，由HL即可得出结论；（2）由等边三角形的性质得∠DAC＝60°，AC＝AD，再证EF∥AD，然后由全等三角形的性质得EF＝AC，则EF＝AD，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB＝AE，AB＝2AF，∴AF＝BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，AE=BAAF=BC，∴Rt△AEF≌Rt△BAC（HL）；（2）解：四边形ADFE是平行四边形，理由如下：∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC +∠BAC ＝90°，∴AD ⊥AB ，又∵EF ⊥AB ，∴EF ∥AD ，由（1）得：△AEF ≌△BAC ，∴EF ＝AC ，∴EF ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明Rt △AEF ≌Rt △BAC 是解题的关键．【例题5】如图，在▱ABCD 中，要在对角线BD 上找两点E 、F ，使A 、E 、C 、F 四点构成平行四边形，现有①，②，③，④四种方案，①只需要满足BE ＝DF ；②只需要满足AE ⊥BD ，CF ⊥BD ；③只需要满足AE ，CF 分别平分∠BAD ，∠BCD ，④只需要满足AE ＝CF ．则对四种方案判断正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【分析】只要证明△ABE ≌△CDF ，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠BCD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，①在△ABE 和△CDF 中，AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF，。
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解(含例题及答案)
北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形知识点讲解（含例题及答案）【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 【知识关系】【知识点梳理】知识点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 知识点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点二、菱形高底平行四边形⨯=S1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.知识点三、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 宽＝长矩形⨯S1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．【思路点拨】（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=1 2BC，进而得到EF=12CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．【答案与解析】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=12BC，∴EF=DF-DE=BC-12CB=12CB，∴DE=EF；（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．类型二、菱形2、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.类型三、矩形3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．【思路点拨】①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．【答案与解析】证明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△A MD和△CMN中，∵DAC NCAMA MCAMD CMN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN；②∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC， ∴MD＝MC ，由①知四边形ADCN 是平行四边形， ∴MD＝MN ＝MA ＝MC ， ∴AC＝DN ，∴四边形ADCN 是矩形．【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等．4、如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处，求EF 的长.【思路点拨】要求EF 的长，可以考虑把EF 放入Rt △AEF 中，由折叠可知CD ＝CF ，DE ＝EF ，易得AC ＝10，所以AF ＝4，AE ＝8-EF ，然后在Rt △AEF 中利用勾股定理求出EF 的值．【答案与解析】 解：设EF ＝x ，由折叠可得：DE ＝EF ＝x ，CF ＝CD ＝6， 又∵ 在Rt △ADC 中，． ∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ． 在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+， 即，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3 【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解． 举一反三： 【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，，10AC =222(8)4x x -=+222DC FC DF +=解得x ＝，BF ＝DE ＝3.4，则＝×3.4×3＝5.1. 类型四、正方形5、如图，一个含45°的三角板HBE 的两条直角边与正方形ABCD 的两邻边重合，过E 点作EF ⊥AE 交∠DCE 的角平分线于F 点，试探究线段AE 与EF 的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE ＝EF ．根据正方形的性质推出AB ＝BC ，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HAE＝∠CEF，根据△HEB 是以∠B 为直角的等腰直角三角形，得到BH ＝BE ，∠H＝45°，HA ＝CE ，根据CF 平分∠DCE 推出∠H＝∠FCE，根据ASA 证△HAE≌△CEF 即可得到答案． 【答案与解析】 探究：AE ＝EF证明：∵△BHE 为等腰直角三角形, ∴∠H ＝∠HEB ＝45°，BH ＝BE.又∵CF 平分∠DCE ，四边形ABCD 为正方形， ∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ， ∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ， ∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）, ∴AE ＝EF. 【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三： 【变式】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 ．【答案】 65°。
19.1.1平行四边形的性质判定(共5课时)
对角线互相平分的四边形是平行四边形。 这些逆命题是不是真命题呢？
平行四边形判定定理
• 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
A B C
D
数学语言表示为：
∵AB∥CD，AD∥BC（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形 （两组对 边分别平行的四边形 是平行四边形。）
将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起,做 成一个四边形,使等长的木条成为对边.转动这个 四边形,使它形状改变,在图形变化的过程中,它一 直是一个平行四边形吗?
A 30cm B
124°
32cm
56° 124°
D
30cm
56°
32cm
C
（例1）
如图 小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形 的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
A 8cm B C D 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD, AD=BC
∵AB=8m ∴CD=8m 又AB+BC+CD+AD=36, ∴ AD=BC=10m
A E ●
D
●
A
●
D
●
E
O
●
O
F
●
F
B
(1)
C
B
(2)
C
在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下 图（3）的位置时,上述结论是否仍然成立？
若此时再与两边延长线相交呢？
●
E
A E
E
●
D
A
E
●
D
●
O
F
●
O
B B (3) (1) F C C 小结：经过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组 (4) (3) (4) F 对边或对边的延长线相交，得到线段总相等;且这条直线平分这个 F● 平行四边形的面积。另外，这条直线把这个平行四边形分得的两 个梯形全等。
平行四边形的性质和判定讲义(教师版)
平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。
平行四边形的性质及判定(四边形)讲义
EOABD C平行四边形的性质及判定一、知识提要1.定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.2.平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.3.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.5.平行四边形的判定：共5个①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.二、精讲精练1.(2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 282.在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )A．1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:33.（2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.4.（2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OE cm，则AD的长是＿＿cm.5.（2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )A．AC⊥BD B．AB=CDC．BO=OD D．∠BAD=∠BCD6.在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.7.平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )A．大于1 B．大于1且小于7C．小于7 D．大于7或小于1A DCOB8. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.10. 在□ABCD 中，AB =3，BC =5，∠B 的平分线AE 交AD 于点E ，则DE 的长为__________.11. 在平面内和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 12. 平行四边形的一组对角的平分线( )A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线13. （2011湖南）如图．下列四组条件中．不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB =DC ， AD =BCB ．AB ∥DC ，AD ∥BC C ．AB ∥DC ，AD =BCD ．AB ∥DC ，AB =DC14. 如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____．15. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，则四边形BEDF 是___________．16. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 617. （2011天津）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则图中平行四边形的个数为__________.18. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件，①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD .从这四个条件中，任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6FEDCBA DCBAHGA BCDEFF EDCBA FA BCDEABECFD 19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．20. （2011湖北）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F . （1）证明：∠DFE =∠CBE ； （2）证明：△DFE ≌△CBE ．21. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD及OB 的长．22. (2011四川)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ，求证：EG ∥HF .OD CBAH G O E DCBA F E DCB A F三、测试提高【板块一】平行四边形的性质1. （2011重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△ODM ≌△OBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④2. （2011辽宁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF =45°，则∠EDF 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．75°3. （2011浙江）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中有几对全等三角形（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于点E ，交BC 于F ，若AB =4，BC =6，OE =2，那么四边形EFCD 的周长是（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10N MFE ODC BAFEDCBA O ABCDE FF E ODCB A【板块二】平行四边形的判定5. （2011广西）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ， HN ∥AB ，则图中的平行四边形的个数共有( ) A ．12个 B ．9个 C ．7个 D ．5个四、课后作业1. 在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C =________.2. 在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）. A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶13. 已知平行四边形ABCD 的周长是100cm, AB :BC =4:1,则AB 的长是__________.4. 在平行四边形ABCD 中,∠A :∠B =3:2,则∠C =_______度，∠D =____度.5. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的短边长为____.6. 平行四边形ABCD 的周长32, 5AB =3BC ,则对角线AC 的取值范围为_______.7. 在平行四边形ABCD 中,∠A =65°,则∠D 的度数是_______8. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ).A.周长B. 一腰的长C.周长的一半D. 两腰的和 9. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ). A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°10. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等.以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个.11. 四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ). A. ∠A +∠C =180° B. ∠B +∠D =180° C. ∠A +∠B =180° D. ∠A +∠D =180°12. 已知平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .NHE D CBA F13.已知：如图，△ABC中，AB=AC，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB14.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，E，F是BD上的点，BE⊥EC，DF⊥AF，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？15.（2010江苏）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．16.（2011福建）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE=CF.FAB C DE OEDCB AFC ABD EFB DAFCE。
4.1.1 平行四边形的性质(含答案)-
4.1.1 平行四边形的性质一、填空题:1.若一凸多边形的内角和等于它的外角和,则它的边数是________.2.已知：平行四边形一边AB=12 cm,它的长是周长的61，则BC=______ cm,CD=______ cm. 3.如图1,在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，图中全等三角形共有________个. 4.如图1，如果该平行四边形的一条边长是8，一条对角线长为6，那么它的另一条对角线长m 的取值范围是_____.OBCADBCAD(1) (2)5. ABCD 中，若∠A ∶∠B=1∶3,那么∠A=______，∠B=_______，∠C=_______，∠D=_____. 二、选择题:1.平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于12.在ABCD 中，M 为CD 的中点，如DC=2AD ，则AM 、BM 夹角度数是（ ）A.90°B.95°C.85°D.100°3.如图2，四边形ABCD 是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°.则∠ABC 、∠CAB 的度数分别为（ ） A.28°，120° B.120°，28° C.32°，120° D.120°，32° 三、求解与证明:1.如图，已知ABCD 的对角线交于O ，过O 作直线交AB 、CD 的反向延长线于E 、F ， OE=OF 吗？试说明理由.2.如图，四边形ABCD是平行四边形，BD⊥AD，求BC，CD及OB的长.3. 平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于O.(1) 上图中中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?(2) 若平行四边形ABCD的周长是20cm,△AOD的周长比△ABO的周长大6cm.求AB,AD的长.A DOB C参考答案一、1.4 2.24 CD=12 3.4 4.10＜x ＜22 5.45° 135° 45° 135° 二、1.C 2.A 3.B三、1.解：∵ABCD,∴OA=OC,DF ∥EB∴∠E=∠F 又∵∠EOA=∠FOC ∴△OAE ≌△OCF,∴OE=OF 2.解：∵ABCD,∴BC=AD=12CD=AB=13，OB=21BD ∵BD ⊥AD∴BD=22AD AB -=221213-=5 ∴OB=25 3、略。
中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案
中考数学一轮复习平行四边形(讲义及答案)含答案一、解答题1．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．2．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．（1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．3．如图所示，四边形ABCD 是正方形， M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动(点E 不与点A B 、重合)，另一直角边与CBM ∠的平分线BF 相交于点F ．(1)求证: ADE FEM ∠=∠;(2)如图(1)，当点E 在AB 边的中点位置时，猜想DE 与EF 的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E 在AB 边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系，并证明你的猜想．4．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）5．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．6．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．7．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.8．在正方形AMFN 中，以AM 为BC 边上的高作等边三角形ABC ，将AB 绕点A 逆时针旋转90°至点D ，D 点恰好落在NF 上，连接BD ，AC 与BD 交于点E ，连接CD ，(1)如图1，求证：△AMC ≌△AND ；(2)如图1，若3，求AE 的长；(3)如图2,将△CDF 绕点D 顺时针旋转α（090α<<）,点C,F 的对应点分别为1C 、1F ，连接1AF 、1BC ，点G 是1BC 的中点,连接AG ，试探索1AG AF 是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由.9．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．（1）求证：AG AE=（2）过点F作FP AE⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：NH=FM10．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF，GH分别交边AB、CD，AD、BC于点E、F、G、H．（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD是正方形，且EF⊥GH，易知S△BOE＝S△AOG，又因为S△AOB＝14S四边形ABCD，所以S四边形AEOG＝S正方形ABCD；（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，若AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且S四边形AEOG＝14S▱ABCD，若AB＝3，AD＝5，BE＝1，则AG＝．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CF ∥ED ，∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.2．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．【分析】（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论； （2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．【详解】（1）证明：∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ．∵AF ∥BC ，∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．在△AFE 和△DBE 中，FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．∴AF=BD ．∵AF=DC ，∴BD=DC ．即：D 是BC 的中点．（2）解：四边形ADCF 是矩形；证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AB=AC ，BD=DC ，∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．∴平行四边形ADCF 是矩形．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．3．（1）详见解析；（2）DE EF =，理由详见解析；（3）DE EF =，理由详见解析【分析】（1）根据90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，等量代换即可证明；（2）DE=EF ，连接NE ，在DA 边上截取DN=EB ，证出△DNE ≌△EBF 即可得出答案；（3）在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，证出()DNE EBF ASA ≌即可得出答案．【详解】(1)证明:∵90DAB DEF ∠=∠=︒，∴90,90AED FEB ADE AED ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴ADE FEM ∠=∠;(2) ;DE EF =理由如下:如图，取AD 的中点N ，连接NE ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB = ，∵,N E 分别为,AD AB 中点 ∴11,22AN DN AD AE EB AB ====， ∴,DN BE AN AE == 又∵90A ∠=︒∴45ANE ∠=︒∴180135DNE ANE ∠=︒-∠=︒，又∵90CBM ∠=︒，BF 平分CBM ∠∴45,135CBF EBF ∠=︒∠=︒．∴DNE EBF ∠=∠在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =(3) DE EF =.理由如下:如图，在DA 边上截取DN EB =，连接NE ，∵四边形ABCD 是正方形， DN EB =，∴AN AE =，∴AEN △为等腰直角三角形，∵45ANE ∠=︒∴18045135DNE ∠=︒-︒=︒，∵BF 平分CBM ∠， AN AE =，∴9045135EBF ∠=︒+︒=︒，∴DNE EBF ∠=∠，在DNE △和EBF △中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()DNE EBF ASA ≌，∴DE EF =．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE ≌△EBF ．4．【发现与证明．．】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC 2或2. 【分析】【发现与证明．．】由平行四边形的性质得出∠EAC=∠ACB ，由翻折的性质得出∠ACB=∠ACB ′，证出∠EAC=∠ACB ′，得出AE=CE ；得出DE=B ′E ，证出∠CB′D=∠B′DA=12（180°-∠B′ED），由∠AEC=∠B′ED，得出∠ACB′=∠CB′D，即可得出B′D∥AC；【应用与探究】：分两种情况：①由正方形的性质得出∠CAB′=90°，得出∠BAC=90°，再由三角函数即可求出AC；②由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2．【详解】【发现与证明．．】:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∵△ABC≌△AB′C，∴∠ACB=∠ACB′,BC=B′C，∴∠EAC=∠ACB′，∴AE=CE，即△ACE是等腰三角形；∴DE=B′E，∴∠CB′D=∠B′DA=12(180°−∠B′ED)，∵∠AEC=∠B′ED，∴∠ACB′=∠CB′D，∴B′D∥AC；【应用与探究】:分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB′是正方形，∴∠CAB′=90°，∴∠BAC=90°，∵∠B=45°，∴AC=222BC ；②如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC2或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明．．】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明．．】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA 和AB’共线和BC 和B’C 两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.5．（1）9或5；（2）①见解析，②见解析【分析】（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD 的边长为3，求出正方形ABCD 的面积为9；②如图1-2，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=225AE BE +=，即可得出答案；（2）①过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，证明△ABE ≌△BCF （AAS ），得出AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），得出△ABE ≌△CDM （AAS ），得出BE=DM 即可； ②由①得出AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，得出正方形ABCD 的面积S=AB 2=AE 2+BE 2，即可得到答案.【详解】解：（1）①如图，当点B D ，分别在14,l l 上时，面积为：339⨯=；②如图，当点B D ，分别在23,l l 上时，过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF=2，∴AB=2222215AE BE +=+=，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=5；综上所述，正方形ABCD 的面积为9或5；（2）①证明：过点B 作EF ⊥l 1于E ，交l 4于F ，作DM ⊥l 4于M ，如图所示：则EF ⊥l 4，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，∵∠CBF+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF ，在△ABE 和△BCF 中，90ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△BCF （AAS ），∴AE=BF ，同理△CDM ≌△BCF （AAS ），∴△ABE ≌△CDM （AAS ），∴BE=DM ，即h 1=h 3．②解：由①得：AE=BF=h 2+h 3=h 2+h 1，∵正方形ABCD 的面积：S=AB 2=AE 2+BE 2，∴S=（h 2+h 1）2+h 12=2h 12+2h 1h 2+h 22．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）534）4【分析】解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；（2）解法同（1）；（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出152BM BC ==，由勾股定理得出2253AM AB BM =-=，得出ABC ∆的面积12532BC AM =⨯=，由ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2532222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++=，即可得出答案； （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．【详解】解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴358CG PE PF =+=+=.故答案为：15，8.（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，∵AB AC =，∴CG PE PF =+.（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：∵10AB AC BC ===，∴ABC ∆是等边三角形，∵AM BC ⊥，∴152BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =-=-=，∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯=， ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++ 253=，∴22535310PE PF PG ⨯++==. （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，∵8AD =，3CF =，∴5BF BC CF AD CF =-=-=，由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴2222534DC DF FC =-=-=，∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，∴四边形EQCD 是矩形，∴4EQ DC ==，∵//AD BC ，∴DEF EFB ∠=∠，∵BEF DEF ∠=∠，∴BEF EFB ∠=∠，∴BE BF =，由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．7．(1)100；(2)见解析.【分析】(1)先证明四边形ABCD 是正方形，再根据已知条件证明△BCF ≌△DCE ，即可得到四边形AECF 的面积=正方形ABCD 的面积；(2) 延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG ，先证明四边形BCEM 是平行四边形，得到BM=CE ，证明△BCF ≌△GCF ，得到BF=GF ，∠FGC=∠FBC=90︒，由AN ⊥MN ，得GM=2MN ，根据∠BAC=45︒，BC ∥AD 得到AM=BF ，再证△BFH ≌△AMN,得到GM=2FH ， 由此得到结论.【详解】(1)∵9,0ABC AB BC ︒∠==，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵ABC ADC ∆≅∆，∴AB=AD=BC=DC ，∴四边形ABCD 是菱形，∵90ABC ADC ︒∠=∠=，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90ABC ADC ︒∠=∠=，∴∠CDE=90ABC ADC ︒∠=∠=，∵BF=DE,BC=DC ，∴△BCF ≌△DCE ，∴四边形AECF 的面积=S 正方形ABCD =AB 2=102=100.(2)延长BG 交AD 于点M ，作AN ⊥MN ，连接FG,∵△BCF ≌△DCE ，∴∠BCF=∠DCE ，∴∠FCE=∠BCD=90︒,∵BG ⊥CF ，∴∠FHM=∠FCE=90︒,∴BM ∥CE,∵BC ∥AD,∴四边形BCEM 是平行四边形，∴BM=CE.∵CG CB =，BG ⊥CF ，∴∠BCH=∠GCH,∠CBM=∠CGB,∴△BCF ≌△GCF,∴BF=GF,∠FGC=∠FBC=90︒,∵∠BAC=45︒，∴∠AFG=∠BAC=45︒，∴FG=AG,∵BC ∥AD,∴∠CBM=∠AMB,∴∠AGM=∠CGB=∠CBM=∠AMB,∴AM=AG,∵AN ⊥MN ，∴GM=2MN,∵∠BAD=∠ANM=90︒,∴∠ABM+∠AMN=∠MAN+∠AMN=90︒,∴∠ABM=∠MAN,∵AM=AG=FG=BF,∠BHF=∠ANM=90︒,∴△BFH ≌△AMN,∴FH=MN,∴GM=2FH,∵BG+GM=CE,∴2BG FH CE +=.【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题中注意综合思想的方法积累.8．（1）见解析；（2）AE ＝33）（3）122AG AF =，理由见解析. 【分析】（1）运用四边形AMFN 是正方形得到判断△AMC,△AND 是Rt △，进一步说明△ABC 是等边三角形，在结合旋转的性质，即可证明.（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x ，则AE=2x 3x ，得到△GBE 是等腰直角三角形和∠DHF=30°，再结合直角三角形的性质，判定Rt △AMC ≌Rt △AND ，最后通过计算求得AE 的长；（3）延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =，可得GMB ∆≌11GFC ∆，从而得到111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=，可知BM ∥1F N , 再根据题意证明ABM ∆≌1ADF ∆，进一步说明1AMF ∆是等腰直角三角形，然后再使用勾股定理求解即可.【详解】（1）证明：∵四边形AMFN 是正方形，∴AM=AN ∠AMC=∠N=90°∴△AMC,△AND 是Rt △∵△ABC 是等边三角形∴AB=AC∵旋转后AB=AD∴AC=AD∴Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)（2）过E 作EG ⊥AB 于G,在BC 找一点H ，连接DH,使BH=HD ，设AG ＝x则AE=2x 3x易得△GBE 是等腰直角三角形∴BG=EG 3x∴AB=BC=31)x易得∠DHF=30°∴HD=2DF=3，HF=3∴BF=BH+HF=233∵Rt △AMC ≌Rt △AND(HL)∴易得3∴BC=BF-CF=233333=+∴(31)33x =∴3x =∴AE ＝223x=（3）12AG AF =； 理由：如图2中,延长F 1G 到M,延长BA 交11F C 的延长线于N,使得1GM FG =,则GMB ∆≌11GFC ∆,∴111BM FC DF == 1BMG GFN ∠=, ∴BM ∥1F N ,∴MBA N ∠=∠∵0190NAO OF D ∠=∠= 1AON DOF ∠=∠∴1N ADF ∠=∠∴1ABM ADF ∠=∠,∵AB AD = ∴ABM ∆≌1ADF ∆（SAS ）∴1AM AF = 1MAB DAF ∠=∠∴0190MAF BAD ∠=∠=∴1AMF ∆是等腰直角三角形∴1AG MF ⊥ 1AG GF =∴12AF∴122AG AF = 【点睛】本题考查正方形的性质、三角形全等、以及勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，但解答的关键是正确做出辅助线.9．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE ，利用SAS 可证明ABG ≌ADE ，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，延长EF 交AB 于T ，根据ASA 可证明MHK △≌AED ，得到AE=MH ，再利用AAS 证明TNF △≌DAE △，得到NF=AE ，从而证得MH=NF ，即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形，∴AB=AD=BC=CD ，CG=CE ，∠ABG=∠ADE=90°，∴BC －GC=CD －EC ，即BG=DE ，∴ABG ≌ADE ，∴AG=AE ；（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，则四边形MKCD 为矩形，∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD ，∠AMK=90°，∴MK=AD ，∠AMP+∠HMK=90°，又∵FP AE ，∴∠EAD+∠AMP=90°，∴∠HMK=∠EAD ，∴MHK △≌AED ，∴MH=AE ，延长EF 交AB 于T ，则四边形TBGF 为矩形，∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，∵ABG ≌ADE ，∴DE=BG ，∴FT=DE ，∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，∴∠N=∠DAE ，∴TNF △≌DAE △，∴FN=AE ，∴FN=MH ，∴FN－FH=MH－FH，∴NH=FM．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键．10．（1）14；（2）mbAGa；（3）53【分析】（1）如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到14mb＝14AG•a，于是得到结论；（3）如图③，同理：过O作QM⊥AB，PN⊥AD，先根据平行四边形面积可得OM和ON 的比，同理可得S△BOE＝S△AOG，根据面积公式可计算AG的长．【详解】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OC，∠OAG＝∠EBO＝45°，∠AOB＝90°，∵EF⊥GH，∴∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠AOG（SAS），∴△BOE≌△AOG，∴S△BOE＝S△AOG，又∵S△AOB＝14S四边形ABCD，∴S四边形AEOG＝14S正方形ABCD，故答案为：14．（2）解：如图②，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴S△AOB＝S△AOD＝14S矩形ABCD，∵S四边形AEOG＝14S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝14mb，S△AOG＝12AG•ON＝14AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝mba；（3）如图③，过O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∵S△AOB＝S△AOD＝14S▱ABCD，S四边形AEOG＝14S▱ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝12BE•OM＝12OM，S△AOG＝12AG•ON，∴OM＝AG•ON，∵S▱ABCD＝3×2OM＝5×2 ON，∴53 OMON，∴AG＝53；【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形、矩形、平行四边形的性质及三角形、四边形的面积问题，认真阅读材料，理解并证明S△BOE＝S△AOG是解决问题的关键．。
第03讲 平行四边形的性质和判定(知识解读+达标检测)(解析版)
第03讲平行四边形的性质和判定【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【题型2根据平行四边形的性质求角度】【题型3根据平行四边形的性质求周长】【题型4 平行四边形的判定】【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【题型6 平行四边形的性质与判定综合】考点1：平行四边形的性质1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。
如图：AO=CO，BO=DO【题型1 根据平行四边形的性质求边长】【典例1】（2023秋•龙口市期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝8，AC＝12，则BD的长是（ ）A．16B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝6，∵AB⊥AC，由勾股定理得：OB＝＝＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：C．【变1-1】（2023春•历下区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）A．1B．1.5C．2D．3【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，∵∠DAB的平分线AE交CD于E，∴∠DAE＝∠BAE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠BAE，∴∠DAE＝∠AED．∴ED＝AD＝6，∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．故选：C．【变式1-2】（2022秋•牟平区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD 于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝4，AD＝5，则EF的长度（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠DFC＝∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC，同理可证：AE＝AB，∵AB＝4，AD＝BC＝5，∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安化县期末）如图，F是平行四边形ABCD对角线BE上的点，若BF：FD＝1：3，AD＝12，则EC的长为（ ）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝12，∵BF：FD＝1：3，∴EB：AD＝BF：FD，∴EB：12＝1：3，∴EB＝4，∴EC＝BC﹣EB＝12﹣4＝8．故选：C．【题型2根据平行四边形的性质求角度】【典例2】（2023春•环翠区期末）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．75°【答案】D【解答】解：延长EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故选：D．【变式2-1】（2023秋•二道区校级期末）如图，在▭ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D＝（ ）A．80°B．40°C．70°D．140°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠D＝180°﹣∠A＝140°，故选：D．【变式2-2】（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（ ）A．155°B．130°C．125°D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．【变式2-3】（2023•巴东县模拟）四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝70°，BE平分∠ABC交AD于点E，DF∥BE交BC于点F，则∠CDF的度数为（ ）A．55°B．50°C．40°D．35°【答案】D【解答】解：∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝70°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝35°，∵DF∥BE，∴∠EDF＝∠AEB＝35°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝70°﹣35°＝35°，故选：D．【题型3根据平行四边形的性质求周长】【典例3】（2023春•光明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，BE＝4，EC＝3，则平行四边形ABCD的周长为（ ）cm．A．11B．18C．20D．22【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD与BC平行，AD＝BC，AB＝CD，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BA＝BE＝4，∵BC＝BE+EC＝4+3＝7＝AD，∴平行四边形ABCD的周长为2×（7+4）＝22（cm），故选：D．【变式3-1】（2023春•东港区校级期中）在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC 分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．13或14B．26或28C．13D．无法确定【答案】B【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝EB，当EB＝5，EC＝4时，如图1，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；当EB＝4，EC＝5时，如图2，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，∴平行四边形ABCD的周长为26或28，故选：B．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为（ ）A．18B．9C．6D．3【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵▱ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．故选：B．【变式3-3】（2023秋•南关区校级期末）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD 相交于点O，AC+BD＝24，则△BOC的周长为 22 ．【答案】22．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，∵AC+BD＝24，∴OC+BO＝12，∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝12+10＝22．故答案为：22考点2：平行四边形的判定1.与边有关的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形【题型4 平行四边形的判定】【典例4】（2023秋•朝阳区校级期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC【答案】B【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．【变式4-1】（2022秋•泰山区期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等【答案】C【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形B、一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形C、一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形D、一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．故选：C．【变式4-2】（2023春•台山市校级期中）在四边形ABCD中，AB∥DC，要使四边形ABCD 成为平行四边形，还需添加的条件是（ ）A．∠A+∠C＝180°B．∠B+∠D＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A+∠B＝180°【答案】D【解答】解：选项A，B中的两对角是对角关系，不能推出AD∥BC，选项C只能推出AB∥DC，选项D中两角是同旁内角，∵∠A+∠B＝180°，∴AD∥BC，又∵AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：D．【变式4-3】（2023•中牟县校级开学）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A．①②B．①④C．②④D．②③【答案】C【解答】解：∵只有②④两块碎玻璃的角的两边互相平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的另两个顶点，∴带②④两块碎玻璃，就可以确定原来平行四边形玻璃的大小，能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，故选：C．【题型5 平行四边形的判定与全三角形综合】【典例5】（2022秋•周村区期末）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-1】（2023春•惠城区期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE＝CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-2】（2023春•鱼台县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：（1）AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∵在△ADE与△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEF＝∠CFE＝90°．∴AE∥CF．又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．【变式5-3】（2023•新疆模拟）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BF＝DE．证明：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵BF＝DE，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．【题型6 平行四边形的性质与判定综合】【典例6】（2023春•温州月考）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE ＝CF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若DE为∠ADC的角平分线，且AD＝6，EB＝4，求▱ABCD的周长．【答案】（1）见解析；（2）32．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴DF∥BE，∵AE＝CF，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形；（2）解：∵DE为∠ADC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝6，∵BE＝4，∴AB＝AE+BE＝10，∴▱ABCD的周长＝2（AD+AB）＝2（6+10）＝32．【变式6-1】（2023春•成都期末）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）30°．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，∵AB＝DC＝DF，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAC＝80°，∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°．【变式6-2】（2023秋•锦江区校级期末）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）若AC＝8，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）24．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA，在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（AAS），∴BE＝DF，又BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt△AGC中，AC＝8，∠ACB＝30°，∴AG＝4，∵BC＝6，∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AG＝4×6＝24．【变式6-3】（2023春•和县校级期末）如图，BD是四边形ABCD的对角线，∠ADB＝∠CBD，AD＝BC，过点A作AE∥BD交C的延长于E．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，连接DF，若，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）2．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠BCD．∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CE，AB＝CD，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠BDA，∴∠EAD＝∠DBC，在△EAD和△DBC中，，∴△EAD≌△DBC（ASA），∴DE＝CD，∵AB＝DE．∴四边形ABDE是平行四边形；（2）∵DE＝CD＝AB，∴FD是CE的中线，∵EF⊥BC，∴DF＝CE＝＝2．考点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是A C，AC 的中点，连接DE.像DE 这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
平行四边形性质和判定基础讲义
数学学科辅导讲义【知识点1平行四边形的对角线互相平分】 【例1】•如图，在口ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是（）A • AB #CD B • AB =CDC • AC =BD D • OA =OCBC=5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则UOA 的取值范围是 解答题：如图所示，在ABCD 中，对角线AC 与BD相交于点O,点M, N 在对角线AC 上，且AM=CN,求证【例1】•如图，^^ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，若^AOD 的面积是5，则口ABCD 的面积是（）A •10 B. 15 C. 20 D. 25练1：如图，在口 ABCD 中，已知20口人=90 AC=10 cm ，BD = 6 cm ，则AD 的长为（A • 4 cmB. 5 cm C • 6 cm【例2】•如图，口ABCD 的对角线交于点O ，且AB = 5，AOCD 的周长为23，则口ABCD的两条对角线的和是（A • 18B. 28 C • 36 D. 46 练1. o ABCD 的对角线 AC BD 交于点O ，若两条对角线长的和为20 cm ，且BC 长为6 cm ，则4AOD 的周长为cm. 练 2. ^^ABCD 中，AB = 3 ：BM 〃DN.知识点2 平行四边形的面积.3*练 2 •如图，^^ABCD 中，对角线 AC ，BD 交于点 O ，若 DO = 1.5 cm ，AB = 5 cm ，BC=4 cm.练3.如图，o ABCD 的对角线交于点O ，＜AB = 5，AOCD 的周长为23，贝U^ABCD 的A -B. 28 C • D. 46【例2】•如图，=ABCD 面积为)A - 60 B C • 20 D. 16 cm 2 例1 •如图，o ABCD 中分的面积为A • 6 C. 12 D. 24B. 求D ABCD 的面积.D两条对角线的和是（）H 口练1 •（柳州中考）如图，^^ABCD 的面积为20，BC=5，则边AD 与BC 间的距离为 A D ，AC ，BD 为对角线，BC=6，BC 边上的高为4，则阴影部 的对角线AC 的长为10 cm ，NCAB = 30° ，AB 的长为6 cm ，则=ABCD 的随堂检测△AEF 与4DFC 是否全等？为什么？课后练习1.如图，已知BE 〃DF,NADF=NCBE, AF=CE.求证：四边形DEBF 是平行四边形.1.已知□ABCD 的周长为32, AB=4,则U BC= ( A. 4B. 12C. 24 )D. 28 2.如图，OABCD 的对角线交于点O,且AB = 5,AOCD 的周长为23,则 ABCD 的两条对角线的和是 （）3.4. 5. 6. A. 18 C. 36 D. 46 在□ABCD 中，AB = 6 cm, BC = 8 cm 如图 如图 如图 在□ABCD 中，NA=120°,则ND = 在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,若AC=14, BD = 8, AB = 10,则^OAB 的周长为 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE=AD,^ F 在AD 上，AF=AB.那么 Q2.如图，已知D是4ABC的边AB上一点，CE〃AB, DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段 AE的大小关系和位置关系，并证明你的结论.第12。
第1课时：《平行四边形》(1)——平行四边形的性质与判定
ABC DE FG 第1课时《四边形》（1）——平行四边形的性质与判定【知识点拨】一、平行四边形的定义及性质1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
[例题1]1．（2009东营）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8cm ， AB ＝6cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cmD. 8cm 【答案】A2．（2009年桂林市、百色市）如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．24 【答案】C3．（2009年）如图，在ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 【答案】A （此题需用相似的知识，可不做）4．（2009年广西钦州）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ _°. 【答案】605．（2010年贵州毕节）如图，已知：平行四边形 ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形（已知），AD BC ∴∥，AB CD =（平行四边形的对边平行，对边相等） GBC BGA ∴∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵ BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）ABG GBC ∴∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ABG GBA ∴∠=∠，ECD CED ∠=∠．AB AG ∴=，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） AG DE ∴=第1题图第2题图第3题图AB CDAG EG DE EG ∴-=-，即AE DG =．6．（2010 湖南株洲）如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若BE CE =，80B ∠=︒，求DAE ∠的度数． 【答案】（1）如图，在ABCD 中，//AD BC 得，13∠=∠又12∠=∠，∴23∠=∠，∴CD CE = （2）由ABCD 得，AB CD = 又CD CE =，BE CE = ∴AB BE = ∴BAE BEA ∠=∠ ∵80B ∠=︒，∴50BAE ∠=︒， 得：180508050DAE ∠=︒-︒-︒=︒．二、平行四边形的判定平行四边形的判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 b 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
八下 平行四边形的性质 (解答题)含答案
《平行四边形的性质》1．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．证明：FD=AB．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．3．已知：E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：∠CDF=∠ABE．4．四边形ABCD是平行四边形，AF=CE，求证：∠1=∠2．5．如图，已知▱ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF．6．如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB 相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．7．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF．8．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、9．如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．10．在▱ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．11．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：DF=BE．12．已知：如图，在▱ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，BE，DF分别交AD，BC于点E，F，求证：DE=BF．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（2）若BC=2，∠ABC=120°，求DE的长．14．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC 于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．15．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．16．如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．18．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF．19．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且ED=BF．求证：AE=CF．20．如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．21．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：BF=CF；（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四边形ABCD的面积．22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交与点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE=DF．23．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．24．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB=DF（写出主要的证明依据）．25．如图，在▱ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD、BC及CD 的长．26．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），求D点的坐标．27．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC 于点E，F．求证：AE=CF．28．如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求：（1）线段AC、OA的长；（2）平行四边形ABCD的面积．29．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．30．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．则∠EBF=∠FDE吗？为什么？参考答案1．如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．证明：FD=AB．【分析】由在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，易证得△ABE≌△DFE （AAS），继而证得FD=AB．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∵E是AD边上的中点，∴AE=DE，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴FD=AB．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意平行四边形的对边平行．2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．3．已知：E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，求证：∠CDF=∠ABE．【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD，对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠DCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得结论．【解答】证明：∵AF=CE．∴AE=CF，∵在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠CDF=∠ABE．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的对边平行且相等，是解答本题的关键．4．四边形ABCD是平行四边形，AF=CE，求证：∠1=∠2．【分析】由已知条件可得AE=FC，∠ABE=∠DCF，由SAS证明△BAE≌△DCF，从而得出结论．【解答】证明：∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；证得△BAE ≌△DCF是解决问题的关键．5．如图，已知▱ABCD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，连接DE、BF，求证：DE=BF．【分析】利用平行四边形的性质得出AD=BC，∠DAE=∠BCA，进而利用全等三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEA=∠BFC在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE=BF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ADE≌△CBF是解题关键．6．如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB 相交于点E，与边CD相交于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE=OF；（2）证明四边形DEBF是矩形，由矩形的性质和等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，OB=OD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）解：∵OE=OF，OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BD=EF，∴OD=OB=OE=OF=BD，∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F．求证：OE=OF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分，即可得OA=OC，又由OE⊥AD，OF⊥BC，易证得△AEO≌△CFO，由全等三角形的对应边相等，可得OE=OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用是解此题的关键．8．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，∠BAD=∠BCD，证出∠DAE=∠AEB，由已知条件得出∠DAE=∠FCB=∠AEB，证出AE∥FC，得出四边形AECF为平行四边形，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC∠BAD=∠BCD，∴AF∥EC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE=∠BAD，∠FCB=∠BCD，∴∠DAE=∠FCB=∠AEB，∴AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF=CE．【点评】本题主要考查平行四边形的性质与判定；证明四边形AECF为平行四边形是解决问题的关键．9．如图，已知ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易证得△ABE≌△CDF（ASA），即可得BE=DF，又由AD=BC，即可得AF=CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠EAB=∠BAD，∠FCD=∠BCD，∴∠EAB=∠FCD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE=DF．∵AD=BC，∴AF=EC．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是关键．10．在▱ABCD中，M，N在对角线AC上，且AM=CN，求证：BM∥DN．【分析】连接BD、MD、BN，根据平行四边形的性质证明OM=ON，然后再证明四边形BNDM是平行四边形，从而可得BM∥DN．【解答】证明：连接BD、MD、BN，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM=CN，∴OA﹣AM=OC﹣CN，即OM=ON，∴四边形BNDM是平行四边形．∴BM∥DN．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分得四边形是平行四边形．11．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：DF=BE．【分析】由ASA证明△ABE≌△CDF，得出对应边相等即可．．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠BAE=∠BAD，∠DCF=∠BCD，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴DF=BE．【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及平行线的性质与判定；证明三角形全等是解决问题的关键．12．已知：如图，在▱ABCD中，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，BE，DF分别交AD，BC于点E，F，求证：DE=BF．【分析】由平行四边形的性质及角平分线的性质可得AB=AE，CF=CD，即可得出结论．【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，又BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理CF=CD，又AB=CD，∴CF=AE，∴DE=BF．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质问题，要熟练掌握，并能够求解一些简单的计算、证明问题．13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，∠ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE（1）求证：BC=CE；（2）若BC=2，∠ABC=120°，求DE的长．【分析】（1）利用平行四边形ABCD得出AD=BC，AD∥BC，进一步证得△ADF≌△ECF，得出AD=CE，证得结论；（2）连接FM、BF，证得四边形AMFD是菱形，得出AN=NF，求得M是AB的中点，利用勾股定理求得AN，进一步得出NE，进一步利用勾股定理求得DE的长即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠FEC，∠ADF=∠ECF，∵点F为边DC的中点，∴DF=CF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AD=CE，∴BC=CE．（2）解：如图，连接FM，∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，∴AD=DF=AM，∴四边形AMFD是菱形，∴AM=AD=AD=BC=2，AF⊥DM，DN=MN=DM，AN=FN，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∴△ADM是等边三角形，∴DM=AD=2，∴DN=1，∴FN=DN==，∴AF=2，∵AD=CE，AD∥CE，∴EF：AF=CE：AD=1：1，∴EF=AF=2，∴EN=FN+EF=3，在Rt△DEN中，DE===．【点评】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形判定与性质，勾股定理的运用，正确分析条件与所求问题之间的联系，理清思路解决问题．14．已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC 于点F．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠BCE，∵AF∥CE，∴∠BCE=∠AFB，∴∠1=∠AFB，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE=∠1=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．15．如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE=∠ODF．在△OBE与△ODF中，∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴BO=DO．（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°．∴∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．16．如图，在▱ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，点M、N分别为AE、CF的中点，连接FM、EN，试判断FM和EN的数量关系和位置关系，并加以证明．【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，证出∠BAE=∠DCF，由ASA证明△BAE≌△DCF，得出AE=CF，∠AEB=∠DFC，证出AE∥CF，由已知得出ME∥FN，ME=FN，证出四边形MENF是平行四边形，即可得出结论∴FM=EN．【解答】解：FM=EN，FM∥EN；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∠DAE=∠AEB，∠DFC=∠BCF，∵∠BAD和∠DCB的平分线AE、CF分别交BC、AD于点E、F，∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠BCF=∠DCF=∠DCB，∴∠BAE=∠DCF，在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠DFC，∴∠AEB=∠BCF，∴AE∥CF，∵点M、N分别为AE、CF的中点，∴ME∥FN，ME=FN，∴四边形MENF是平行四边形，∴FM=EN，FM∥EN．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．17．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．求证：AF=CE．【分析】首先证明AE∥CF，△ABE≌△CDF，再根据全等三角形的性质可得AE=CF，然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AF=CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）．∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF=CE．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．18．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上且AE=CF，证明：DE=BF．【分析】首先连接BE，DF，由四边形ABCD是平行四边形，AE=CF，易得OB=OD，OE=OF，即可判定四边形BEDF是平行四边形，继而证得DE=BF．【解答】证明：∵连接BE，DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．19．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且ED=BF．求证：AE=CF．【分析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据平行线的性质可得∠EDA=∠FBC，再加上条件ED=BF可利用SAS判定△AED≌△CFB，进而可得AE=CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠EDA=∠FBC，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS），∴AE=CF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．20．如图，在▱ABCD中，点E、F在AC上，且AF=CE，求证：∠ABE=∠CDF．【分析】利用平行四边形的性质得出∠BAC=∠DCF，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵AF=CE，∴AE=FC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴∠BAC=∠DCF，在△ABE和△CDF中∵，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴∠ABE=∠CDF．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABE≌△CDF是解题关键．21．如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：BF=CF；（2）若AB=2，AD=4，且∠AFC=2∠D，求平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得出四边形ABEC是矩形，得出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，即可得出平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，BC=AD，∵CE=DC，∴AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF=CF；（2）解：∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA=FE，FB=FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D．又∵∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABC．∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，∴∠ABC=∠BAF，∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，∴四边形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∵BC=AD=4，∴AC===2，∴平行四边形ABCD的面积=AB•AC=2×2=4．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．22．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交与点O，E、F分别是OA、OC的中点．求证：BE=DF．【分析】由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，则该全等三角形的对应边相等：BE=DF．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分别是OA、OC的中点，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO与△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质的运用．此题运用了平行四边形的对角线互相平分的性质和全等三角形对应边相等的性质．23．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，AE=CF．求证：BE=DF．【分析】将结论涉及的线段BE和DF放到△AEB和△CFD中，证明这两个三角形全等，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．∴BE=DF．【点评】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质，一般以考查三角形全等的方法为主，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件，是中考的热点．24．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：EB=DF（写出主要的证明依据）．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，可得AB∥CD，AB=CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠FCD=∠EAB，由已知AE=CF，可证得△FCD≌△EAB（SAS），所以EB=DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形的对边平行且相等），∴∠FCD=∠EAB（两直线平行，内错角相等），∵AE=CF，∴△FCD≌△EAB（SAS），∴EB=DF．【点评】此题考查了平行四边形的性质（平行四边形的对边平行且相等）与全等三角形的判定与性质．25．如图，在▱ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD、BC及CD 的长．【分析】根据平行四边形的性质可得CD=AB=12cm，AO=AC，再根据勾股定理可计算出BO长，进而得到BD长，再在Rt△ABD中利用勾股定理可得AD长，进而得到BC长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=12cm，AO=AC=26cm×=13cm．∵BD⊥AB，∴∠ABD=90°．在Rt△ABO中，OB==5cm．∴BD=2OB=2×5cm=10cm．在Rt△ABD中，AD==2cm，∴BC=AD=2cm，所以AD=BC=2cm，BD=10cm，CD=12cm．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对边分别相等．26．如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），求D点的坐标．【分析】设CE和x轴交于H，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO和DH的长，所以OD可求，又因为D在x轴上，纵坐标为0，问题得解．【解答】解：∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，﹣3），∴C的坐标为（7，3），∴CH=3，CE=6，∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC=6，∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D点的坐标是（5，0）．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．27．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC 于点E，F．求证：AE=CF．【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．【解答】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．28．如图，在▱ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求：（1）线段AC、OA的长；（2）平行四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD=BC=8，OA=OC=AC，根据勾股定理求出AC的长，（2）根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=8，AB=CD=10，OA=OC=AC，∵AB=10，BC=8，由勾股定理得：AC==6，∴OA=3；（2）▱ABCD的面积是BC×AC=8×6=48．答：OA的长是3，▱ABCD的面积是48．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．29．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．请你猜想：线段AF与线段EC有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．【分析】由在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用SAS即可判定：△BEC ≌△DFA，利用全等三角形的性质即可得到AF=CE．【解答】解：猜想：AF=CE，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∵在△BEC和△DFA中，，∴△BEC≌△DFA（SAS），∴AF=CE．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．30．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．则∠EBF=∠FDE吗？为什么？【分析】通过三角形全等得出DE=BF与BE=DF，即四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：∠EBF=∠FDE，证明：在平行四边形ABCD中，则AD=BC，∠DAE=∠BCF，又AE=CF，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF，同理BE=DF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴∠EBF=∠FDE．【点评】本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．第31页（共31页）。
(完整版)平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定基础知识点知识点1平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
记作“口 ABCD 。
边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
知识点4 两条平行线的距离。
知识点5 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。
性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
典型例题例1、如图，E , F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE AF •猜想：BE 与DF 有怎样的位置.关 系和数量 关系？并对你的猜想加以证明。
知识点2平行四边形的性质：知识点3 边：对边平行且相等。
角：对角相等，邻角互补。
对角线：对角线互相平分。
平行四边形的判定：【变式练习】已知，在口ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，且/ 仁/2, DF交AB于G, BE交CD 于H。
求证：EH=FG。
例2、已知如图，0为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点0,且与AB交于E,与CD交于F。
求证: 四边形AECF是平行四边形。
例3、?ABCD中，/ BAD的平分线交直线BC于点E,线DC于点F(1) 求证：CE=CF ;(2) 若/ ABC=120 ° FG// CE, FG=CE，求/ BDG .【变式练习】1、如图，在二ABCD中，AE=CF, M、N分别ED、FB的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.2、在？ABCD中，/ ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F,连接AC .(1)如图1,若/ ADC=90 ° G是EF的中点，连接AG、CG .①求证：BE=BF .②请判断△ AGC的形状，并说明理由；(2)如图2,若/ ADC=60 °将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG ,连接AG、CG .那么△ AGC又是怎样的形状.【变式练习】1.在平行四边形ABCD中, AB=3cm BC=5cm对角线AC, BD相交于点0,贝U 0A的取值范围是（）A. 2cm v 0A< 5cm B . 2cm< 0A< 8cm C . 1cm v 0A< 4cm D . 3cm v 0A< 8cm例4、如图，点E、F、G H分别是四边形ABCD的四边中点，求证四边形EFGH是平行四边形。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（2015•厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．（【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（2016青海）如图，在ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】△1）根据全等三角形的判定方法，判断出ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（△1），可得ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（2015•张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∵ ⎨∠AEF ＝∠DEB , ⎪ AE ＝DE , （ ∴AE=DE ，在△AEF 和△DEB 中，⎧∠AFE ＝∠DBE , ⎪ ⎩∴△AEF ≌△DEB （AAS ），∴AF=BD ，∵AF=DC ，∴BD=DC ，∴D 是 BC 的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形 ABCD 中，E 、F 是对角线 AC 上的点，且 AE=CF ．（1）猜想探究：BE 与 DF 之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】 1）BE 平行且等于 DF ；（2）连接 BD 交 AC 于 O ，根据平行四边形的性质得出 OA=OC ，OD=OB ，推出 OE=OF ，得出平 行四边形 BEDF 即可．【答案与解析】（1）解：BE 和 DF 的关系是：BE=DF ，BE ∥DF ，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接 BD 交 AC 于 O ，∵ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∵AE=CF ，∴OE=OF ，∴BFDE 是平行四边形，∴BE=DF ，BE ∥DF ．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性 质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问 题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD 中，E 、F 分别在 AD 、BC 边上，且 AE=CF ．请你猜想 BE 与 DF 的关 系，并说明理由．（【答案】解：猜想 BE 与 DF 的关系是 BE=DF ，BE ∥DF ，理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∵AE=CF ，∴AD-AE=BC-CF ，即 DE=BF ，∵DE ∥BF ，∴四边形 BFDE 是平行四边形，∴BE=DF ，BE ∥DF ．5、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 P ，过点 P 作直线交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ．若 PE=PF ，且 AP+AE=CP+CF ．（1）求证：PA=PC ．（2）若 AD=12，AB=15，∠D AB=60°，求四边形 ABCD 的面积．【思路点拨】 1）首先在 PA 和 PC 的延长线上分别取点 M 、N ，使 AM=AE ，CN=CF ，可得 PN=PM ， 则易证四边形 EMFN 是平行四边形，则可得 ME=FN ，∠EMA=∠CNF ，即可证得△EAM ≌△FCN ， 则可得 PA=PC ；（2）由 PA=PC ，EP=PF ，可证得四边形 AFCE 为平行四边形，易得△PED ≌△PFB ，则可得四 边形 ABCD 为平行四边形，由 AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形 ABCD 的面积．【答案与解析】（1）证明：在 PA 和 PC 的延长线上分别取点 M 、N ，使 AM=AE ，CN=CF ．∵AP+AE=CP+CF ，∴PN=PM ．∵PE=PF ，∴四边形 EMFN 是平行四边形．∴ME=FN ，∠EMA=∠CNF ．又∵∠AME=∠AEM ，∠CNF=∠CFN ，∴△EAM ≌△FCN ．∴AM=CN ．∵PM=PN ，∴PA=PC ．（2）解：∵PA=PC ，EP=PF ，∴四边形 AFCE 为平行四边形．∴AE ∥CF ．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．。
讲义：平行四边形的证明
有关平行四边形的证明题型一：证明平行四边形1、（2009•广州）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．解答：证明：∵D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．∴DF∥BC，DF=BC=EC，DE∥AC，DE=AC=CF，∴四边形DECF 是平行四边形．点评：主要考查了平行四边形的判定和三角形中位线定理中的关系．数量关系：中位线的长度等于所对应的边长的一半．位置关系：中位线与对应边是平行的关系．2、（2006•镇江）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD 相交于点O，AB∥CD，AO=CO．求证：四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。
解答：证明：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO．∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO．∴AB=CD，又∵AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形．3、如图，F、C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF=DC，连接AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形．解答：证明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC．∴AC=DF．∵AB∥DE，∴∠BAC=∠EDF．∵BC∥EF，∴∠ACB=EFD．∴∠△ABC≌△DEF．∴AB=DE而AB∥DE．∴四边形ABDE是平行四边形．点评：此题主要利用全等三角形的性质与判定得到线段相等，然后利用相等线段根据平行四边形的判定证明题目的结论．4、已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。
解答：解：在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OFG中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．四边形DFGE为平行四边形．5、（2010•贵阳）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定。
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平行四边形的性质及判定（讲义）
➢课前预习
（2）连接AC，BD，设AC，BD的交点为O．求证：OA=OC
1.平行四边形的定义
_________________________的四边形叫做平行四边形．平行四边形__________的两个顶点连成的线段叫做它的对角线．四边形ABCD是平行四边形，记作_________，读作“平行四边形ABCD”．
2.平行四边形的性质
平行四边形是______图形，两条对角线的交点是它的______；
边：________________________________________________；
角：________________________________________________；
对角线：____________________________________________．
3.平行四边形的判定
⎧⎪⎨⎪⎩①的四边形是平行四边形；
边
②的四边形是平行四边形.
角：_____________________的四边形是平行四边形．
对角线：_____________________的四边形是平行四边形．
➢精讲精练
1.在□ABCD中，已知AB，BC，CD三条边的长度分别为x+3，x-4，16，则这个平
行四边形的周长为___________．
2.如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于点E，若AB=5，BC=3，则
EC的长为（）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
B C
E
D
A
F
E
D
C
B
A
第2题图第3题图
3.如图，在□ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F．若∠B=60°，则∠
ECF=___________．
4.在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△ABO的周长为15，AB=6，则
AC+BD=____________．
5.如图，在□ABCD中，已知AB=5，AD=3，AC⊥BC，则
□ABCD的面积为_______，线段BD的长为_______．
O
D
C
B
A
6. 如图，点O 为□ABCD 的对角线BD 的中点，经过点O 的直线分别交BA 的延长
线、DC 的延长线于点E ，F ．求证：AE =CF ．
O
A
B
C
D
E F
7. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别交于
点E ，F ．求证：OE =OF ．
F
E
A B
C
D
O
8. 下列说法：
①如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③如果AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 平分BD ，那么四边形ABCD 是平行四边形； ④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中正确的有__________．（填序号）
9. 已知：如图，点E 在□ABCD 边BC 的延长线上，且CE =BC ．
求证：四边形ACED 是平行四边形．
E
D
C B A
10. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 是对角线AC 上的两点，且
AE =CF ．求证：四边形EBFD 是平行四边形．
11. 如图，在□ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，AD 上，且
AE =CG ，BF =DH ．求证：四边形EFGH 是平行四边形．
G
H
F
E
D
C
B
A
12. 如图，在□ABCD 中，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，点E ，F 在BD 上，且
DM =BN ，DF =BE ．求证：四边形MENF 是平行四边形．
N
F M
E D
C
A B
13. 如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F ，G ，H 分别是AO ，
BO ，CO ，DO 上的点． （1）如果12AE AO =
，12BF BO =，12CG CO =，1
2
DH DO =，那么四边形
EFGH 是平行四边形吗？证明你的结论；
（2）如果13AE AO =
，13BF BO =，13CG CO =，1
3
DH DO =，那么四边形EFGH 是平行四边形吗？证明你的结论；
（3）如果1AE AO n =，1BF BO n =，1CG CO n =，1
DH DO n
=，其中n 为大于1
的正整数，那么上述结论还成立吗？ B
C
A D E H
G O
F
14. 小华参加学校的社团活动，需要摆放一个平行四边形的木框做道具，他手里有七
根木条，长度分别为：①40 cm ，②50 cm ，③40 cm ，④60 cm ，⑤50 cm ，⑥90 cm ，⑦100 cm ．若木条不能折断，请你帮他选一选，用几根木条可以摆成一个平行四边形？写出一种方案，并说明理由．
➢课前预习
1.证明略
提示：由平行四边形得到对边平行，根据平行线的性质可得
到∠A=∠C，∠B=∠D；
2.证明略
（1）提示：连接BD，根据平行四边形的性质可以推出△ABD
≌△CDB，进而得到AB=CD且AD=BC.
（2）提示：根据（1）可以得到△AOB≌△COD，进而得到
OA=OC，OB=OD.
➢知识点睛
1.两组对边分别平行，不相邻，ABCD；
2.中心对称，对称中心；
平行四边形对边相等；
平行四边形对角相等；
平行四边形对角线互相平分
3.两组对边分别相等；
一组对边平行且相等；
两组对角分别相等；
对角线互相平分.
➢精讲精练
1.50
2. C
3.60°
4.18
5.12，
6.证明略
提示：可证△BOE≌△DOF.
7.证明略
提示：可证△AOE≌△COF.
8.①④
9.证明略
10.证明略
提示：方法①，证明△AED≌△CFB，得到DE=BF，∠AED=∠CFB，则∠DEC=∠BFA，所以DE∥BF，进而可证明四边形EBFD是平行四边形.
方法②，连接BD，利用对角线互相平分可以证得四边形EBFD是平行四边形.
11.证明略
提示：先证△BFE≌△DHG，得到EF=EG；再证明△GFC≌△EHA得到
GF=EH，进而证明四边形EFGH是平行四边形.
12.证明略
提示：可先证△DMF≌△BNE，得到MF=NE；再通过倒角证明∠MFE=∠NEF，所以MF∥NE，进而证明四边形MENF是平行四边形.
13.证明略
提示：利用对角线互相平分来证明四边形是平行四边形.
14.选用①②③⑤；把①③和②⑤分别作为对边，根据两组对边分别相等的四边形式
平行四边形，可知所摆四边形是平行四边形.。