结构动力学(5)

（10-46）
ΔP=[Δ1P Δ2P …ΔnP]T，为荷载幅值引起的静力位移列向量。
iP ij FPj
稳态振动时的位移方程 稳态振动时的振幅方程
1 0 1 δM 2 I Y 2 Δ P 0
0 式中： Y0 [ y1 0 y2 0 T yn ]
(2) 如果只求动内力，可不求动位移幅值，直接由下式求惯 性力幅值。（柔度法）
1 1 0 δ 2 M F1 Δ P 0
(10-51)
两个自由度体系惯性力幅值计算公式
1 0 0 ) F F 0 11 12 12 1P m1 2 1 0 0 21 F11 ( 22 ) F 12 2 P 0 2 m2 (11
(10-52)
求得惯性力幅值FI0如为正，表示与计算柔度系数时置于质量mi处 的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。 3. 动内力幅值计算 位移、惯性力、动荷载频率相同。对于无阻尼体系三者同时 达到幅值。于是可将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力 学方法求解，即得到体系的最大动内力和最大动位移。 多自由度体系不仅位移动力系数和内力动力系数不同，而且 不同截面上的位移动力系数和内力动力系数也各不相同，不能采 用统一动力系数计算动力反应。
K M Y
2
0
F
式中， F=[F1 F2 …Fn]T，为荷载幅值向量。 2．惯性力幅值计算
2 0 0 惯性力 FIi mi yi mi yi sin t FIi sin t ,
FIi0 mi 2 yi0为惯性力幅值。 惯性力始终与位移同向。
0 2 0 (1) 求得位移后，由 FIi mi yi 求惯性力幅值。
( j) T (i )
(A( j ) )T KA(i ) 0
在多自由度体系自由振动时，相应于某一主振型的惯性力不 会在其他主振型上作功。 在多自由度体系自由振动时，相应于某一主振型的弹性力不 会在其他主振型上作功。 相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上 去。 对于集中质量的多自由度体系，第一振型正交性可简化计算为：
（ M
1

2 k
I ) A( k ) 0
（ K ω M)A
2 k
(k )
0
( k 1 ,2 , , n )
5. 主振型的正交性
主振型的正交性是指在多自由度体系和无限自由度体系中，任意 两个不同的主振型相对于质量矩阵和刚度矩阵，存在的重要性质。
( j) （ K ωi2 M)A( i ) 0 （ K ω2 M) A 0 j T (A( j ) )（ K ωi2 M)A( i ) 0 (1) T ( j) ( 2 ) (A( i ) )（ K ω2 M) A 0 j T (3) (A( i ) )（ K T ωi2 M T )( A( j ) ) 0
i 1
k
Y Y 0 sint
(10-47) ，为位移幅值向量；
求解式(14-47)，可得到各质量的位移幅值 yi yi 为正时表示质量mi 的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负 K 2 M 0， 时，表示与单位力方向相反。当 k (k 1, 2, , n) 时，
又:
KT K
MT M
(2)式-(3)式得:
(i ) T ( j) ( i2 2 ) ( A ) M A 0 j
( A( i ) )T M A( j ) 0
( A( i ) )T K A( j ) 0
（主振型的第一正交性） （主振型的第二正交性）
主振型正交性的物理意义
(A ) MA 0
4. 对称性的利用
振动体系的对称性是指：结构对称、质量分布对称。 多自由度和无限自由度对称体系的主振型不是对称就是反 对称，可分别取半边结构进行计算。 对称荷载作用下，振动形式为对称的；反对称荷载作用下， 振动形式为反对称的，可分别取半边结构进行计算。
一般荷载可分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别计算 再叠加。
由式(14-38)可知，此时式（14-47）得到位移为无穷大。所以， 一般情况下，n个自由度体系有n个共振点。 对于两个自由度体系，稳态振动时的位移幅值方程为 1P 1 0 0 (11m1 2 ) y1 12 m2 y2 2 0 (10-48) 1 0 2P 21m1 y10 ( 22 m2 2 ) y2 2 0 2 m 1 11 2 1 12 m 2 2 m 1p 12 2 D 2 2 D 1 21 m 1 m 2 22 1 m 2 1
2p 2 22
0
0
m 1 11 2 1 1 P D2 21 m 1 2 2 P
D1 y D
0 1
D2 y D
0 2
(2) 刚度法 建立的动力平衡方程（荷载作用在质点上） ΜY + ΚY = F sin t 稳态振动时的振幅方程为
(10-49) (10-50)
(i ) ( j) ( A( i ) )T M A( j ) m k Ak Ak n k 1
主振型正交性的作用： 1、检验主振型计算的正确性。 2、将多自由度体系的受迫振动按振型进行分解。
§14-6 多自由度结构在简谐荷载下的强迫振动
1．位移幅值计算
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(1) 柔度法 建立的振动微分方程为
Y + δMY ΔP sin t
1、运动微分方程： 柔度法
刚度法
Y + δMY = 0
2、振幅方程: 3、频率方程:
KY 0 MY
(K
1
)
1 (δM 2 I)A = 0 ω
（ K ω2 M)A 0
K ω2 M 0
1 δM - 2 I = 0 ω
4、各阶主振型为：
2 ，┅， n 。 求解上述方程得出n个自振频率 1 ，