八年级数学二次根式及其性质PPT教学课件

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【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念和性质》公开课课件.ppt

时的高度 h(单位：m)满足关系 h＝5t2.如果用含有 h 的式子表示 t，则 t＝
________．
【答案】(1) 17 (2) 65 (3) 65 (4) 3
h a (5) 5
活动 2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子 a表示的实际意义是什么？被开方数 a 满足什么条件时，式子 a才有意义？ (2)当 a＞0 时， a________0；当 a＝0 时， a________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a 的算术平方根，被开方数 a 必须是非负数 (2)＞＝非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性．当 a＞0 时， a表示 a 的算术平方根，因此 a＞0；当 a＝0 时， a表示 0 的算术平方根，因此 a＝0. 也就是说，当 a≥0 时， a≥0.
2Rh2 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．
二、新课教授
活动 1：知识迁移，归纳概念
ห้องสมุดไป่ตู้
(多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17 的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为 7 cm 和 4 cm 的三角形，斜边长应
三、例题讲解【例】当 x 是怎样的实数时， x－2在实数范围内有意义？解：由 x－2≥0，得 x≥2. 所以当 x≥2 时， x－2在实数范围内有意义．
四、巩固练习 1．已知 a－2＋ b＋12＝0，求－a2b 的值．【答案】 a－2≥0， b＋12≥0，又∵它们的和为 0，∴a－2＝0 且 b＋12＝ 0，解得 a＝2，b＝－21. ∴－a2b＝－22×(－12)＝2. 2．若 x，y 使 x－1＋ 1－x－y＝3 有意义，求 2x＋y 的值．【答案】－1

第五讲二次根式PPT课件

【例 3】计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2；解原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)( 10－3)2012·( 10＋3)2013. 解原式＝( 10－3)2012·( 10＋3)2012·( 10＋3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2012·( 10＋3) ＝[( 10)2－32]2012·( 10＋3) ＝(10－9)2012·( 10＋3)＝1×( 10＋3)＝ 10＋3.
4. 同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，它们的被开方数相同.
常考类型剖析
类型一二次根式有意义的条件
例1（’14巴中）要使式子 m 1 有意
m 1
义，则实数m的取值范围是
(D)
A. m＞-1
B. m≥-1 C. m＞-1且m≠1 D. m≥-1且m≠1
第4课时┃ 数的开方及二次根式考点1 二次根式的相关概念与性质
当堂检测
1．[2014·拱墅二模] 16的值等于
(A)
A．4 B．－4 C．±2 D．2
2．[2014·孝感] 下列二次根式中，不能与 2合并的是
(C )
A.
1 2
B. 8
C.
12
D. 18
考点聚焦
杭考探究
当堂检测
第4课时┃ 数的开方及二次根式
3．[2014·济宁] 如果 ab>0，a＋b<0，那么下面各式：①
C. 27÷ 3＝3
D. （－3）2＝－3
解析 27÷ 3＝ 27÷3＝ 9＝3.
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.

人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件

巩固练习
3. (1) 已知＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
总结：a 2， ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
+
+5，求
的值
+
=0，求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若，则x的取值范围是（） A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（） A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
（x≥0，y≥0）．
不是二次根式的有： .
、
、
、
（x>0）、
、
、
（x≥0，y≥0）．
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0，且。（双重非负性）
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
（x>0）、
、
、-
、
、
解：二次根式有：
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
1
2
首页
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.

浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质课件(共17张ppt)

记作 a . 2. 2是什么数的平方根？所以 2的平方等于什么？
2的一个平方根.
3（. 7）2，（ 1）2呢？ 2
（ 2）2 =2. （ 7）2 =7,（ 1）2 = 1 .
22
你能猜想 ( a )2 ?
二次根式的性质1: 二次根式的平方等于被开方数
2
a aa 0
4.能用几何图形作出直观解释吗？
1.2 二次根式的性质
（1）
复习回顾
1.怎样的式子叫二次根式？
一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式。
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）形式上： a ；（2）被开方数a≥0.
3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
复习回顾
72
7
(5) 22 52
解:(1)原式=
4 7
1 2
4 7
1
4 7
1 2
1
4 7
=
4 7
1 2
4 7
+1=
1 2
.
(2)原式= 1 2 2+1 2-1+ 2+1 =2 2 .
拓展提升
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
a2
|
a
|
a a≥0； a a＜0.
1 102
2
15 ;
2
2
7
25 9 ;
(4)（ 11）2 （－13）2 .
2
(5)
2 5
－
0.12－
1. 4

二次根式ppt课件

02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其共轭式相乘使分母变为有理数。例如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。

二次根式的概念和性质 PPT教学课件(数学人教版八年级下册)

a中的a≥0； a≥ 0．双重非负性
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根
是二次根式．
数学初中二次根式的概念和性质
课堂小结
（4）你知道了二次根式的哪些性质？
（ a ）2= a（a≥0） a2 =a（a≥0）
a2 a
（5）我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
数学初中二次根式的概念
上面问题中，得到的结果分别是： 3， S， 65 ， h． 5
1 这些式子分别表示什么意义？ 2 这些式子有什么共同特征？
h 分别表示 3，S，65，5 的算术平方根．
这些式子的共同特征是：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
数学初中二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母； 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母．用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子？ 2 二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3 二次根式与算术平方根有什么关系？
数学初中二次根式的概念
变式 a 取何值时，下列二次根式有意义？（1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数；（2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
数学初中二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空．
（ 4 ）2= __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（2）由 x-2≥0，得 x≥2
数学初中二次根式的性质

初中数学二次根式PPT课件图文

【解析】选C.若二次根式有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心圆点.
3.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面的(或先去括号).

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7 97
(2)由x2-4x+1=0 x+
1 x
-4=0 x+ 1
x
=4.
∴原式= (x1)2 2 542 79 3
x
【例4】比较根式的大小. (1) (a+b)/2 与 ab ；
(2) 61和 4713
解：(1) a b a b a 2a b (a b )2≥0
2
2
2
∴ ab ab
2
7.在
1 50
1
、1
27
、75 、2
1 6
中与
12是同类二次根式的是
27 、 75 .
➢ 课前热身
8. 下列各式属于最简二次根式的是 ( B )
A. 8 B. x2 1 C (1)化简(a-1) 1 a 的结果是 1a.
(2)当x＞5时，化简 1 68xx2x 42x-8
12.5 二次根式及其性质
➢ 要点、考点聚焦 ➢ 课前热身 ➢ 典型例题解析 ➢ 课时训练
➢ 要点、考点聚焦
1.二次根式的定义 (1)式子 (aa≥0)叫做二次根式. (2)二次根式中a ，被开方数必须非负，即a≥0，据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式( )a2=a(a≥0).
2.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. (2)公式 ab= a•(ab≥0，b≥0).
x3 3x
解:(1)由2-x≥0 x≤2，
∴x≤2时， 2x在实数范围的有意义.
(2)由
x20 x2 x30 x3
∴x＞3时，
x x
2 3
在实数范围内有意义.
(3)由
x50 x5 3x0 x3
∴-5≤x＜3时，
x x
53在实数范围内有意义.
【例2】计算：(1) (34 8 42)7 23
(2)
1a02 ab•5 b1 5a ab
(3) (2 3 6 )2 (2 3 6 )2
(4) (2 3 6 ) (2 3 6 )
解：(1)原式= (13 2 13 2 ) 23 0
(2)原式=(10a２×5÷15)(
=
1 0ab 3
ab
a b×
b× b
aa
)=
10a2 •b 3a
ab
3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
➢ 课时训练
1.
函数
y
1 5x x3
2. 取值范围是 3<x≤5
中，自变量x的 .
2. 若实数a＜b，则化简 (ab)2 的结果是
A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b
(2) ( 6)1)2 4 6 28 4 1 4 2 0 28,4
( 71)2 3 2 0 291 2 0 28 4 2 0 291
又 61 40，且 71 30
61 471 3
【例5】已知： x 1 a,求
a
a2(4xx)2
的值.
解：已知x≥0，a＞0, 1aa1 aa0,得1-a≥0，
(3)原式= ( 2 3 6 2 3 6 )2 ( 3 6 2 3 6 )
= 22 (23 1) 2 46 22 4
(4)原式=［ 2 36］［ 2( 36)］= ( 2)2 ( 3 6)2
= 2 (3 13 2 3) 6 3 1 73 2
【例3】求代数式的值.
4.在函数 y
1 x 4
中，自变量x的取值范围是(
C)
A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4 D. x <4
➢ 课前热身
5.化简
5
5 5
1
5
6.直接写出下列各题的计算结果：
(1) (12)2 = 1 ； (2) (1)6(9) 12 ；
(3) 502142 = 48 ； (4)(3+ 10 )2002·(3 10)2003=3 10 .
即a≤1. ∴0＜a≤1
∴
(
x)2 (1a)2 x 2 1 a
a
a
∴原式= a2(x 2)2 4
=
a2(
1a)2 a
4
=
a2( 1 a)2 a
= (1a2)2
= 1a2 1a2
1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
2.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次根式化成最简二次根式，再约分.
3. 函数
y
x 2 x 1
中，自变量x的取值
范围是 x 2且 x 1 .
8. a2|a| a(aa( a0)0)
➢ 课前热身
1. 如果最简二次根式 3a8与 4a2x 是同类根式，那么使有意义的x的取值范围是 ( A ) A.x ≤10 B. x ≥10 C. x <10 D. x >10
2. 计算：18• 8 的结果是 12 。
3.若 (x2)2 2x ，则的取值范围是 x≤2 。
(1) 若 a2 2 3 3,b2 2 3 3,求 aa 2b 2 a b22b 的 . 值
(2) 若x2-4x+1=0，求
x2
1 x2
5
的值.
解:(1)
ab2323(23)2(23)21,4 23 23
a b23231.
23 23
原
式 a(b ＝ ab) ＝1 (ab)22a b 142
4 2
b
b
(2)二次根式的除法运算，通过采用化去分母中的根号的
方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化.
6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式. (3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.
7.几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
3.二次根式的乘法 (1)公式 a =• b . ab (2)二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运算律在实数范围内仍可使用
4.商的算术平方根
(1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的
算术平方根.
(2)公式 a（ a≥a 0,b＞0）.
bb
5.二次根式的除法
(1) a公式a .
.
(3)若1＜x＜4时，则
(x 4)2(x 1)2
=3 。
10.计算：
1 2 76 1
2 3
3
解（ 2 ： 2 3 ） 3 2 原 3 ） 3 （ 3 6 式 3 3 2 3 ＝ 3 3 2 3 2
➢ 典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：
(1) 2x (2) x2;(3) x5