平面向量数量积的物理意义及其含义林健.ppt
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高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义PPT课件
解： | BC | 8
A
| CA| 7
120
Bபைடு நூலகம்
7
120
60
8
C
B C C A |B C ||C A |c o s 1 2 0
87(1)28 2
例题：
在△ABC中，a4,b9,C30，求 BCCA
解： | BC | 4
A
| CA| 9
150
B
9
150
30
4
C
B C C A |B C ||C A |c o s 1 5 0
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
整体概况
+ 概况1
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概况2
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概况3
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学法指导
• 1.多动脑筋 • 2.数形结合 • 3.总结基本题型 • 4.限时训练
cos180 练1习
( 1 ) |a | 2 ,|b | 7 , 1 8 0 ， a b 2714
( 2 ) |a | 1 0 , |b | 1 5 , 1 8 0 ， a b 1015 150
( 3 ) |a | 8 ,|b | 2 , 1 8 0 ， a b 8216
• 总结规律：a ,b 反 向 a b |a ||b |
49( 3)18 3 2
cos900 练习
( 1 ) |a | 2 ,|b | 7 , 9 0 ， a b 0
( 2 ) |a | 1 0 ,|b | 1 5 , 9 0 ， a b 0
( 3 ) |a | 8 ,|b | 2 , 9 0 ， a b 0
平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
a·b (3)cos θ＝ |a||b| ；
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.
《平面向量数量积的物理背景及其含义》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[知识点拨]关于投影的说明：
(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影与向量 b 在向量 a 方向上的投影是不同的； a· b
(2)向量 a 在向量 b 方向上的投影|a|cosθ＝ |b|；向量 b 在向量 a 方向上的 a· b
投影|b|cosθ＝ |a|.
第二章 平面向量
3．平面向量数量积的性质
1
a· a＋b
a2＋a· b
|a|2＋ |a|2
2
3
则 cosθ＝ |a||a＋b| ＝|a||a＋b|＝ |a|·
＝
3|a |
2
，
又 θ∈[0，π]，∴θ＝6π，即 a 与 a＋b 的夹角为6π.
第二章 平面向量
『规律总结』 1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此 类问题的处理方法：
设 a，b 是两个非零向量，则由向量数量积的定义，有： (1)a ⊥b ⇔__a__·_b___＝___0___. (2)当 a 与 b 同向时，a· b＝_____|_a__|_|_b__|____；当 a 与 b 反向时，a· b＝－____|_a__|_|__b__|______. 特别地，a· a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a· a. (3)|a· b|≤____|__a__|_|_b__|____，当且仅当向量 a，b 共线，即 a∥b 时，等号成立．
第二章 平面向量
『规律总结』 依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状， 关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关 系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长 度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．
混淆向量的模与实数的运算
典例 5已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|的值．
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
数学必修Ⅳ人教新课标A版2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义课件(30张)
[活学活用]
1．(大纲卷)已知 a，b 为单位向量，其夹角为 60°，则(2a－b)·b
＝
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
2．已知正方形 ABCD 的边长为 2，分别求：
(1) AB·CD；Leabharlann 2) AB·AD；(3)DA·AC .
答案：(1)－4 (2)0 (3)－4
[例 2] (1)已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b| ＝ 10，则|b|＝________.
[导入新知] 1．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：
已知条件 定义 记法
向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ a与b的数量积(或内积)是数量 |a||b|cos θ
a·b＝ a||b|cos θ
(2)零向量与任一向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积均为 0 .
2．向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念： ①向量 b 在 a 的方向上的投影为 |b|cos θ . ②向量 a 在 b 的方向上的投影为 |a|cos θ . (2)数量积的几何意义： 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．
2．4
平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
[提出问题] 一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，如图． 问题 1：如何计算这个力所做的功？ 提示：W＝|s||F|cos θ.
问题 2：力 F 在位移方向上的分力是多少？
提示：|F|cos θ. 问题 3：力做功的大小与哪些量有关？ 提示：与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
[提出问题]
高中数学必修四课件：2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(共23张)
3、在实数中,若a≠0,且a·b=0,则b=0；但在数 量积中,若 a 0 ，且 a b 0 ,不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
4、已知实数a、b、c（b≠0)，则有ab=bc 得a=c.但是有 a b b c 不能得 a c 5、在实数中（a·b)c=a(b·c),
但 (a b)c a(b c)
(3)(a b) c a c b c.
等式 (a b)c a(b c)是否成立？
不成立
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 , (a b)(a b) a类似的结论？
(1)(a
b)2
谢 谢 指 导 ！
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
例3.已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60，求(a 2b) (a 3b)
变式：已知 a 3, b 4,且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
小结
向量的数量积计算时， 一要找准向量的模； 二要找准两个向量的夹角。
a b 以及判断三角形的形状
4. a b a b
例1.已知 | a | 5,| b | 4 ，a 与 b 的夹角θ=120º， 求 ab 。
2.已知 a 12, b 9,
a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
数量积的运算规律：
(1)a b b a;
(2)(a) b (a b) a (b);
方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为零，即 a 0 0。
B
| OB1 || b | cos
.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第1课时公开课优质课件
2 10
练习(1)：已知a·b=-8,|a|=2， |b|=8,求a 与b的夹角 θ
(2)：a • b = 4 3,| a |= 2，
a 与 b的夹角 θ 30, 求 | b |
例2：在ABC中，BC 8, CA 5,
C 60 ，求 CB• CA; BC • CA
解：CB• CA CB CA cos
3.几何意义
数量积 a ·b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方
向上的投影| b |cos 的乘积.
BC• CA BC CA cos
8 5 cos60
85 1 2
20
8 5 cos120
8 5 ( 1) 2
20
练习2 如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3,
DAB 60 ,求 : 1.AD BC 2.ABCD D
3.AB DA 4.AB DE
60
90
2.4.1平面向量数量积的物理 背景及其含义（第1课时）
1、数量积的物理意义：
F
S
W | F || S |
F
邻边
F1
cos 斜边 FS NhomakorabeaF1如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做的功W
可用公式计算: W | F || S | cos
2．平面向量数量积的定义： 已知非零向量 a ,b,它们的夹角是θ,
解: 1因为AD与BC平行且方向相同, A120 E
AD与BC的夹角为0.
C B
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
2
或 AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
练习(1)：已知a·b=-8,|a|=2， |b|=8,求a 与b的夹角 θ
(2)：a • b = 4 3,| a |= 2，
a 与 b的夹角 θ 30, 求 | b |
例2：在ABC中，BC 8, CA 5,
C 60 ，求 CB• CA; BC • CA
解：CB• CA CB CA cos
3.几何意义
数量积 a ·b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方
向上的投影| b |cos 的乘积.
BC• CA BC CA cos
8 5 cos60
85 1 2
20
8 5 cos120
8 5 ( 1) 2
20
练习2 如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3,
DAB 60 ,求 : 1.AD BC 2.ABCD D
3.AB DA 4.AB DE
60
90
2.4.1平面向量数量积的物理 背景及其含义（第1课时）
1、数量积的物理意义：
F
S
W | F || S |
F
邻边
F1
cos 斜边 FS NhomakorabeaF1如果一个物体在力F的作用下产生位移s, 那么力F所做的功W
可用公式计算: W | F || S | cos
2．平面向量数量积的定义： 已知非零向量 a ,b,它们的夹角是θ,
解: 1因为AD与BC平行且方向相同, A120 E
AD与BC的夹角为0.
C B
AD BC AD BC cos 0 3 31 9
2
或 AD BC AD 9
2. AB与CD平行,且方向相反 AB与CD的夹角是180
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义 课件
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
平面向量数量积的物理背景及其含义课件
(2)向量b在a上的投影不是向量而是数量，如图所示，即 为|b|cosθ，它的符号取决于角θ的范围．
(3)a·b也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积，其中a在b 的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的．
2．两个向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量， (1)a⊥b⇔ a·b＝0 . (2)当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ；当 a 与 b 反向时，a·b ＝ －|a||b| .特别地，a·a＝a2＝ |a|2 或|a|＝ a·a. (3)|a·b|≤ |a||b| .
3．平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c 和实数 λ. (1)交换律：a·b＝ b·a . (2)结合律：(λa)·b＝ λ(a·b)＝a·(λb) ． (3)分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
上)的投影 几何 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 意义 _|_b_|c_o_s_θ__的乘积
[破疑点](1)两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向 量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负 (当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ ＝90°时)．
平面向量数量积的物理背景及其含义
1．平面向量的数量符号
已知两个非零向量a与b，我Байду номын сангаас把数量_|_a_||_b_|c_o_s_θ_ 定义
叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角 记法 记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0
_|_a_|c_o_s_θ_ (|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向 投影
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林健
前面我们已经研究了向量的线性运算，向 量的线性运算包含哪些运算？这些运算的结果 是什么量？
向量的线性运算包含向量的加法、减法和 数乘向量运算，这些运算的结果都还是向量。
F
S
uv uv
W F S cos
向量数量积的定义
已知两个非零向量ra 和r b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与
a2
b2
rr r r
a b | a || b | cos
例3、已知 | a | 6，| b | 4, a与b的夹角为 600， 求（a 2b）（ a 3b）
解： （a 2b）（ a 3b）
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 62 6 4 cos600 6 42 72
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
a2
2a
b
b2
rr r r
a b | a || b | cos
例2、求证
（1）（a
b)
2
a2
2a
b
b2
(2)
（a
b)（ a
b)
a2
b2
证明：（2）(a＋b)·(a－b)
＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
r r rr r r
(2)(a) b (a b) a (b);
r r r rr rr (3)(a b) c a c b c.
rr r r
a b | a || b | cos
例2、求证
（1）（a
b)
2
a2
2a
b
b2
(2)
（a
b)（ a
b)
a2
b2
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
rr r r
a b | a || b | cos
例4、已知 | a | 3，| b | 4,当且仅当 k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
解: a kb与a kb互相垂直
a kba kb 0
又
a kb
a kb
2
a
k
2
2
b
2
2
a k 2 b 9 16k 2
k 3 4
r r r rr rr (3)(a b) c a c b c.
(3)
a
b
a
b
五、数量积的性质及 运算规律的应用
课后作业：
1、课本P108习题2.4A组1、2、3。
2、选做题：
已知a与b都是非零向量，
且a
3b与7a
5b垂直，a
4b与7a
2b 垂直，
求a与b的夹角。
思考：用向量方法证明：直径所对的圆
|;
cos0
特别地 a a a2 或 | a| a a
（其中a a常常记作a2）
cos180
(3)
a
b
a
b
0 cos 1
练习：判断下列说法是否正确
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0 × 4．若b≠0，a ·b= b ·c，则a=c × a c
b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
rr r r
a b | a || b | cos
rr rr 规定：a 0 0 a 0 ．
（1） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能省
（2）两向量的数量积是一个数量
rr r r
a b | a || b | cos
根据向量数量积的定义，完成下列表格：
(a b)c a c b c
2分别是a与c，b与c的夹角
A
a
1
O
B2
2
bB
cC
求证：
(a
b)
c
a
c
b
c
rr r r
a b | a || b | cos
分析：
(a
b)
c
a
b
c
cos
c
a
b
cos
a
c
b
c
a c cos1
b
c
c
os
2
c( a cos1
b cos2 )
要想证明
(a
1、课本第106页练习2、3
一、数量积的定义
已知非零向量 a，b， a，b
二、数量积的几何意义
数量积a
b等于a的长度
a
a
b
a
b
cos
规定：
a
0
0
a
0
与b在a方向上的投影b cos
的乘积
三、数量积的性质
r r rr
四、数量积的运算规律
(1)a b a b 0
rr
rr r r
(2)当a与b同向时，a b | a || b |;
当ar与br反向时，ar
r b
|
ar
||
r b
|;
特别地 a a a2 或 | a| a a
（其中a a常常记作a2）
已知向量 a，b，c和实数，
rr rr (1)a b b a;
r r rr r r
(2)(a) b (a b) a (b);
b
rr r r
a b | a || b | cos
回顾实数乘法运算中有关的运算律
在实数中 交换律: ab=ba 结合律： (ab)c=a(bc) 分配律： (a+b)c=ab+bc
数量积的运算律
rr r r
a b | a || b | cos
回顾实数乘法运算中的运算律，类比猜想
数量积得运算律:
（2）比较
a b的与大小a，b你有什么结论？
数量积的性质：
rr r r
a b | a || b | cos
设a，b都是非零向量，则：
r r rr
(1)a b a b 0
cos90
rr
rr r r
(2)当a与b同向时，a b | a || b |;
当ar与br反向时，ar
r b
|
ar
||
r b
的投影︱a︱cosθ的乘积。
rr r r
a b | a || b | cos
例1、已知a
5,
b
4,
分别求当a与bBiblioteka 夹角为以下角度时的数量积a
b
①、 00
②、 900
③、 1800
解：①、a
b
a
b
c
os
④、 1200
②、a
b
a
b cos
5 4 cos00 5 41 20
a cos1
b cos2
c
a
b
cos
c
a cos1
c
b
c
os
2
c
(a
b)
c
a
c
b
A
B2
2
(a
b)
c
a
c
b
c
ab B 1
O A1 c B1 C
数量积的运算律
rr r r
a b | a || b | cos
回顾实数乘法运算中的运算律，类比猜想
数量积得运算律:
已知向量 a，b，c和实数，
周角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙分uO析ur上：任要意u证ur一∠点A。CuBu求r=9证0uu°∠r ，AC只B须=9证0°向A
量AC CB ，即AC CB 0 。
B O
uur r uur r
解：设 AO a,OC b
则
uur
AC
r
a
r uur
b ,CB
r
a
r
b
，
由此可得：AuuCr
已知向量 a，b，c和实数，
交换律:
a
b
b
a
（√ ）
结合律： (ab)c a(b c)
（ ×）
(a)
b
(a b)
a
(b )
（√ ）
分配律：
(a
b)
c
a
c
b
c
（）
rr r r
a b | a || b | cos
如图，任取一点O，作OA
a，AB
b ，OC
c，
其中是a
求证：
b（即OB）与c的夹角，1与
b)
c
a
c
b
c
A
B2
2
只需证明
c
a
b
cos
c( a cos1
b cos2 )
a
1
b
B
即证明：和的投影等于投影的和 O A1 c B1 C
求证： (a
b)
c
a
c
b
c
rr ab
|
r a
r
|| b | cos
证明等：于因a、为ba在cb方（向即上OB的1）投在影c方的向和上的投影
即
a
b
cos
交换律:
a
b
b
a
（√ ）
结合律： (ab)c a(b c)
（ ×）
(a)
b
(a
b)
a
(b )
（√ ）
分配律： (a b) c a c b c
（√ ）
前面我们已经研究了向量的线性运算，向 量的线性运算包含哪些运算？这些运算的结果 是什么量？
向量的线性运算包含向量的加法、减法和 数乘向量运算，这些运算的结果都还是向量。
F
S
uv uv
W F S cos
向量数量积的定义
已知两个非零向量ra 和r b ，它们的夹
角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与
a2
b2
rr r r
a b | a || b | cos
例3、已知 | a | 6，| b | 4, a与b的夹角为 600， 求（a 2b）（ a 3b）
解： （a 2b）（ a 3b）
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 62 6 4 cos600 6 42 72
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
a2
2a
b
b2
rr r r
a b | a || b | cos
例2、求证
（1）（a
b)
2
a2
2a
b
b2
(2)
（a
b)（ a
b)
a2
b2
证明：（2）(a＋b)·(a－b)
＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
r r rr r r
(2)(a) b (a b) a (b);
r r r rr rr (3)(a b) c a c b c.
rr r r
a b | a || b | cos
例2、求证
（1）（a
b)
2
a2
2a
b
b2
(2)
（a
b)（ a
b)
a2
b2
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
rr r r
a b | a || b | cos
例4、已知 | a | 3，| b | 4,当且仅当 k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
解: a kb与a kb互相垂直
a kba kb 0
又
a kb
a kb
2
a
k
2
2
b
2
2
a k 2 b 9 16k 2
k 3 4
r r r rr rr (3)(a b) c a c b c.
(3)
a
b
a
b
五、数量积的性质及 运算规律的应用
课后作业：
1、课本P108习题2.4A组1、2、3。
2、选做题：
已知a与b都是非零向量，
且a
3b与7a
5b垂直，a
4b与7a
2b 垂直，
求a与b的夹角。
思考：用向量方法证明：直径所对的圆
|;
cos0
特别地 a a a2 或 | a| a a
（其中a a常常记作a2）
cos180
(3)
a
b
a
b
0 cos 1
练习：判断下列说法是否正确
1．若a =0，则对任一向量b ，有a ·b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a ·b =0，则b=0 × 4．若b≠0，a ·b= b ·c，则a=c × a c
b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
rr r r
a b | a || b | cos
rr rr 规定：a 0 0 a 0 ．
（1） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能省
（2）两向量的数量积是一个数量
rr r r
a b | a || b | cos
根据向量数量积的定义，完成下列表格：
(a b)c a c b c
2分别是a与c，b与c的夹角
A
a
1
O
B2
2
bB
cC
求证：
(a
b)
c
a
c
b
c
rr r r
a b | a || b | cos
分析：
(a
b)
c
a
b
c
cos
c
a
b
cos
a
c
b
c
a c cos1
b
c
c
os
2
c( a cos1
b cos2 )
要想证明
(a
1、课本第106页练习2、3
一、数量积的定义
已知非零向量 a，b， a，b
二、数量积的几何意义
数量积a
b等于a的长度
a
a
b
a
b
cos
规定：
a
0
0
a
0
与b在a方向上的投影b cos
的乘积
三、数量积的性质
r r rr
四、数量积的运算规律
(1)a b a b 0
rr
rr r r
(2)当a与b同向时，a b | a || b |;
当ar与br反向时，ar
r b
|
ar
||
r b
|;
特别地 a a a2 或 | a| a a
（其中a a常常记作a2）
已知向量 a，b，c和实数，
rr rr (1)a b b a;
r r rr r r
(2)(a) b (a b) a (b);
b
rr r r
a b | a || b | cos
回顾实数乘法运算中有关的运算律
在实数中 交换律: ab=ba 结合律： (ab)c=a(bc) 分配律： (a+b)c=ab+bc
数量积的运算律
rr r r
a b | a || b | cos
回顾实数乘法运算中的运算律，类比猜想
数量积得运算律:
（2）比较
a b的与大小a，b你有什么结论？
数量积的性质：
rr r r
a b | a || b | cos
设a，b都是非零向量，则：
r r rr
(1)a b a b 0
cos90
rr
rr r r
(2)当a与b同向时，a b | a || b |;
当ar与br反向时，ar
r b
|
ar
||
r b
的投影︱a︱cosθ的乘积。
rr r r
a b | a || b | cos
例1、已知a
5,
b
4,
分别求当a与bBiblioteka 夹角为以下角度时的数量积a
b
①、 00
②、 900
③、 1800
解：①、a
b
a
b
c
os
④、 1200
②、a
b
a
b cos
5 4 cos00 5 41 20
a cos1
b cos2
c
a
b
cos
c
a cos1
c
b
c
os
2
c
(a
b)
c
a
c
b
A
B2
2
(a
b)
c
a
c
b
c
ab B 1
O A1 c B1 C
数量积的运算律
rr r r
a b | a || b | cos
回顾实数乘法运算中的运算律，类比猜想
数量积得运算律:
已知向量 a，b，c和实数，
周角为直角。
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙分uO析ur上：任要意u证ur一∠点A。CuBu求r=9证0uu°∠r ，AC只B须=9证0°向A
量AC CB ，即AC CB 0 。
B O
uur r uur r
解：设 AO a,OC b
则
uur
AC
r
a
r uur
b ,CB
r
a
r
b
，
由此可得：AuuCr
已知向量 a，b，c和实数，
交换律:
a
b
b
a
（√ ）
结合律： (ab)c a(b c)
（ ×）
(a)
b
(a b)
a
(b )
（√ ）
分配律：
(a
b)
c
a
c
b
c
（）
rr r r
a b | a || b | cos
如图，任取一点O，作OA
a，AB
b ，OC
c，
其中是a
求证：
b（即OB）与c的夹角，1与
b)
c
a
c
b
c
A
B2
2
只需证明
c
a
b
cos
c( a cos1
b cos2 )
a
1
b
B
即证明：和的投影等于投影的和 O A1 c B1 C
求证： (a
b)
c
a
c
b
c
rr ab
|
r a
r
|| b | cos
证明等：于因a、为ba在cb方（向即上OB的1）投在影c方的向和上的投影
即
a
b
cos
交换律:
a
b
b
a
（√ ）
结合律： (ab)c a(b c)
（ ×）
(a)
b
(a
b)
a
(b )
（√ ）
分配律： (a b) c a c b c
（√ ）