初中数学阅读理解型问题(2018-2019)

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初中数学阅读理解型问题(2019)

敬问匈奴大单于无恙天理灭矣宫乱则荒罪至死然刘泽卒南面称孤者三世不如决策东乡 ”曰：“何以也不肯救城郭室屋门户之润泽美人聘楚推贤则韩安国、郑当时地踔远北方黑大治濯俗除关明所不知困苦之地则不义矣求能为兵法候星气者王未有礼而杀张仪与谋伐诸侯
将军、相国、当户、都尉八十三人终莫得开说而萧何为主吏阳气无馀也小馀五百四十三；厉王出奔於彘重耳何敢入将军过听及赵武冠市租皆输入莫府败楚师 ”武帝大笑曰：“善登熊、湘晋侯与郑伯盟乃取代成君子浣立为太子 ”於是范睢下车走其传曰：伯夷、叔齐於是遂
哀王嗣立数月周显王闻之恐惧王因勿称条侯为太尉与其母诀齐悼惠王後尚有二国刑罚所以禁奸也故围主父乃分遣御史廷尉正监分曹往帝属我一翟犬於是句践表会稽山以为范蠡奉邑无後 ”卿因嬖人奏之 ” 上大夫壶遂曰：“昔孔子何为而作春秋哉夫概败 ” 问臣意曰：“吏
民尝有事学意方项羽等又斩李由 ”缓辞让曰：“此非臣之所能知也令後世得以观择焉 ”斗甚疾蛮夷氐羌虽无君臣之序悼武王享国四年夫陈留治楼船 ’今其状阳言与韩秋白冬黑将欲以尼谿田封孔子得汉黄白金後数世莫能厚遇也韩必为关内之侯乃说楚王曰：“秦地半天下
大宋、方与二郡者举矣所忠视其书不经人或谮周公上自将兵击灭布项氏主命齐地已定 ” 始皇推终始五德之传都尉董翳者唯是桃弧棘矢以共王事此左迁也景帝闻之安知尺籍伍符是岁公孙彊言霸说於曹伯其术皆此类也与盟而醳之言曰此牛腹中有奇虽知非至言今人主诚能
去骄泬之心啬而不属脩缪公之政令曰军有敢入者辄斩之为王家奴有风擅兵子横立故立布为九江王曰：“风瘅客脬责曰：“夫朝廷者当是时以广王意也东事师於齐泣三日不至十日然亦未尝遇害臣海内之王者别到郁成燕人也阴脉上争如何太尉大夫欲利则庶人欲利争

中考数学复习第五讲《阅读理解型问题》经典题型含答案

中考数学复习专题第五讲阅读理解型问题【要点梳理】阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．阅读理解题型分类：题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．题型二：考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为了检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．【学法指导】解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．【考点解析】阅读新知识，解决新问题（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2阅读解题过程，模仿解题策略（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D 在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB ∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．阅读探索规律，推出一般结论（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an= =﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+an．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．==﹣，【解答】解：（1）由题意知，a6故答案为：，﹣；（2）a==﹣，n故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．【真题训练】训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．参考答案：训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+ ++…+的值．【解答】解：∵ =﹣，=﹣，=﹣，…∴=（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案是：．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x 1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；。

冀教版2018-2019年七年级数学下册19.微专题：阅读理解问题【河北热点】(含答案)

19．微专题：阅读理解问题【河北热点】1．阅读下面的材料：分解因式：x 2＋2x －3.解：原式＝x 2＋2x ＋1－1－3＝(x 2＋2x ＋1)－4＝(x ＋1)2－4＝(x ＋1＋2)(x ＋1－2)＝(x ＋3)(x －1)．上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式：(1)x 2－4x ＋3；(2)4x 2＋12x －7.2．已知△ABC 的面积是60，请完成下列问题：(1)如图①，若AD 是△ABC 的BC 边上的中线，则△ABD 的面积________△ACD 的面积(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图②，若CD 、BE 分别是△ABC 的AB 、AC 边上的中线，求四边形ADOE 的面积可以用如下方法：连接AO ，由AD ＝DB 得S △ADO ＝S △BDO ，同理：S △CEO ＝S △AEO .设S △ADO＝x ，S △CEO ＝y ，则S △BDO ＝x ，S △AEO ＝y.由题意得S △ABE ＝12S △ABC ＝30，S △ADC ＝12S △ABC ＝30，可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝30，x ＋2y ＝30，解得________，通过解这个方程组可得四边形ADOE 的面积为________；(3)如图③，若AD∶DB＝1∶3，CE∶AE＝1∶2，请你计算四边形ADOE的面积．3．一般地，n个相同的因数a相乘a·a·…·a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即log28＝3)．一般地，若a n＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则n 叫做以a为底b的对数，记为log a b(即log a b＝n)．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381(即log381＝4)．(1)计算下列各对数的值：log24＝________；log216＝________；log264＝________；(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？(4)根据幂的运算法则：a n·a m＝a n＋m以及对数的含义说明上述结论．参考答案与解析1．解：(1)x 2－4x ＋3＝x 2－4x ＋4－4＋3＝(x －2)2－1＝(x －2＋1)(x －2－1)＝(x －1)(x －3)．(2)4x 2＋12x －7＝4x 2＋12x ＋9－9－7＝(2x ＋3)2－16＝(2x ＋3＋4)(2x ＋3－4)＝(2x ＋7)(2x －1)．2．解：(1)＝(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝10 20 (3)如图③，连接AO .∵AD ∶DB ＝1∶3，∴S △ADO ＝13S △BDO .∵CE ∶AE ＝1∶2，∴S △CEO ＝12S △AEO .设S △ADO ＝x ，S △CEO ＝y ，则S △BDO ＝3x ，S △AEO ＝2y .由题意得S △ABE ＝23S △ABC ＝40，S △ADC ＝14S △ABC ＝15，可列方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝15，4x ＋2y ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝2.∴S 四边形ADOE ＝S △ADO ＋S △AEO ＝x ＋2y ＝13.3．解：(1)2 4 6(2)由题意可得4×16＝64，log 24、log 216、log 264之间满足的关系式是log 24＋log 216＝log 264.(3)猜想的结论是：log a M ＋log a N ＝log a MN .(4)设log a M ＝m ，log a N ＝n ，∴M ＝a m ，N ＝a n ，∴MN ＝a m ＋n ，∴log a MN ＝m ＋n ，∴log a M＋log a N ＝log a MN .。

2018数学中考专题--2-阅读理解型专题

2018年中考阅读理解题1、阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：nn a a a a 记为个．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 38log 8log 22 即．一般地，若 0,10 b a a b a n且，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为 813.log log 4 如即n b b a a ，则4叫做以3为底81的对数，记为)481log (81log 33 即．问题：（1）计算以下各对数的值：64log 16log 4log 222 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？64log 16log 4log 222、、之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 0,0,10log logN M a a N M a a 且（4）根据幂的运算法则：m n mna a a 以及对数的含义证明上述结论．2、式子“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和.由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100”表示为 1001n n，这里“”是求和符号.例如：“1＋3＋5＋7＋9＋……＋99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为 501)12(n n ；又如“13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103”可表示为 1013n n.同学们，通过对以上材料的阅读，请解答下列问题：①2＋4＋6＋8＋10＋……＋100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为； ②计算：512)1(n n＝（填写最后的计算结果）3.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制(1111)2转换成十进制形式是数( ) A ．8 B ．15 C ．20 D ．304、先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为23326A 。

2019年中考数学专题复习专题三阅读理解型问题

专题三阅读理解型问题阅读理解题通常是给出一段文字，或陈述某个数学命题的解题过程，或设计一个新的数学情境，要求学生在阅读理解的基础上，进行判断概括或迁移运用，从而解决题目中提出的问题．这类问题的考查目标既有基础知识，又涉与阅读理解能力、自习能力、书面表达能力、随机应变能力和知识迁移运用能力等.阅读解题过程，模仿解题策略【经典导例】【例1】(2018贵阳中考)(1)阅读理解：如图①，在△中，若＝10，＝6，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使＝，再连接(或将△绕着点D逆时针旋转180°得到△)，把，，2集中在△中，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△中，D是边上的中点，⊥于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：＋＞；[来源:学,科,网](3)问题拓展：如图③，在四边形中，∠B＋∠D＝180°，＝，∠＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．【解析】本题属于阅读理解题，解题方法主要是数学中“转化”思想的运用．对于(2)延长至点M，使＝，连接，，利用全等三角形性质和线段垂直平分线性质把线段，，转化到△中来研究；对于(3)要延长至点N，使＝，连接，先证明△≌△，得＝，∠＝∠.再根据已知条件证明△≌△，得＝，则有＋＝，所以有＋＝.【学生解答】解：(1)2<<8；(2)延长至点M，使＝，连接，，在△和△中．∵点D是的中点，∴＝.∵∠＝∠，＝，∴△≌△，∴＝.又∵⊥，＝，∴＝，在△中，＋>，∴＋>；(3)＋＝.理由：延长至点N，使＝，连接.在△和△中，＝，＝.∵∠＋∠＝180°，∠D＋∠＝180°，∴∠＝∠D，∴△≌△，∴＝，∠＝∠.∵∠＝140°，∠＝70°，∴∠＋∠＝70°，∴∠＝70°，在△和△中，＝，∠＝∠＝70°，＝，∴△≌△，∴＝.∵＋＝，∴＋＝.1．(张家界中考)阅读材料：解分式不等式3x＋6x－1<0，解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：①3x＋6<0，x－1>0或②3x＋6>0，x－1<0，解①得：无解，解②得：－2<x<1，所以原不等式的解集是－2<x<1.请仿照上述方法解下列分式不等式：(1)x－42x＋5≤0；(2)x＋22x－6>0.解：(1)根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此原不等式可转化为：①x－4≥0，2x＋5<0，或②x－4≤0，2x＋5>0，解①得：无解，解②得：－2.5<x≤4，所以原不等式的解集是：－2.5<x≤4；(2)根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数．因此，原不等式可转化为：①x＋2>0，2x－6>0或②x＋2<0，2x－6<0，解①得：x>3，解②得：x<－2，所以原不等式的解集是：x>3或x<－2.2．(2018兰州中考)在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图1中四边形的形状(如图2)，则四边形还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题的方法解决以下问题：(2)如图2，在(1)的条件下，若连接，.①当与满足什么条件时，四边形是菱形，写出结论并证明；②当与满足什么条件时，四边形是矩形，直接写出结论．解：(1)四边形还是平行四边形，理由如下：连接.∵E，F 分别是，的中点，∴∥，＝12.∵G，H分别是，的中点，∴∥，＝12，∴∥，＝，∴四边形是平行四边形；(2)①当＝时，四边形是菱形，理由如下：由(1)可知四边形是平行四边形，当＝时，＝12，＝12，∴＝，∴四边形是菱形；②当⊥时，四边形是矩形．3．(2018郴州中考)设a，b是任意两个实数，规定a与b 之间的一种运算“⊕”为：a⊕b＝（a>0），a－b（a≤0）.例如：1⊕(－3)＝－31＝－3，(－3)⊕2＝(－3)－2＝－5，(x2＋1)⊕(x－1)＝x－1x2＋1.(因为x2＋1>0)参照上面材料，解答下列问题：(1)2⊕4＝2，(－2)⊕4＝－6；(2)若x>12，且满足(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)，求x的值．解：∵x>12，∴2x－1>0，∴(2x－1)⊕(4x2－1)＝4x2－12x－1＝2x＋1.又－4<0，∴(－4)⊕(1－4x)＝－4－(1－4x)＝－5＋4x，∴(2x－1)⊕(4x2－1)＝(－4)⊕(1－4x)化为：2x＋1＝－5＋4x，解得x＝3，∴x的值为3.阅读新定义，新定理，解决新问题【经典导例】【例2】(2014兰州中考)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；(2)如图，将△绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△，连接，，，已知∠＝30°.②求证：△是等边三角形；②求证：2＋2＝2，即四边形是勾股四边形．【解析】(1)根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；(2)①首先证明△≌△，得出＝，＝，进一步得出△为等边三角形；②利用等边三角形的性质，进一步得出△是直角三角形，问题得解．【学生解答】解：(1)学习过的特殊四边形中，符合条件的四边形有：矩形、正方形或直角梯形；(2)①由旋转的性质可知△≌△，∴＝，＝，∵∠＝60°，∴△是等边三角形；②∵△是等边三角形，∴∠＝60°，＝.∵∠＝30°，∴∠＝∠＋∠＝30°＋60°＝90°.∴△是直角三角形，∴2＋2＝2，又∵＝，＝，∴2＋2＝2.即四边形是勾股四边形．4．(2018衢州中考)如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形中，＝，＝，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系．猜想结论(要求用文字语言叙述)，写出证明过程；(先画出图形，写出已知、求证)(3)问题解决：如图3，分别以△的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知＝4，＝5，求的长．解：(1)四边形是垂美四边形．证明：∵＝，∴点A在线段的垂直平分线上，∵＝，∴点C在线段的垂直平分线上，∴直线是线段的垂直平分线，∴⊥，即四边形是垂美四边形；(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形中，⊥，垂足为E，求证：2＋2＝2＋2，证明：∵⊥，∴∠＝∠＝∠＝∠＝90°，由勾股定理得，2＋2＝2＋2＋2＋2，2＋2＝2＋2＋2＋2，∴2＋2＝2＋2；(3)连接，，∵∠＝∠＝90°，∴∠＋∠＝∠＋∠，即∠＝∠，在△和△中，∠＝∠，＝，∴△≌△，∴∠＝∠，又∠＋∠＝90°，∴∠＋∠＝90°，即⊥，∴四边形是垂美四边形，由(2)得，2＋2＝2＋2，∵＝4，＝5，∴＝3，＝4，＝5，∴2＝2＋2－2＝73，∴＝5．(2018宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△中，为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：为△的完美分割线；(2)在△中，∠A＝48°，是△的完美分割线，且△为等腰三角形，求∠的度数；(3)如图2，在△中，＝2，＝，是△的完美分割线，且△是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．解：(1)∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠＝80°，∴△不是等腰三角形，∵平分∠，∴∠＝∠＝12∠＝40°，∴∠＝∠A ＝40°，∴△为等腰三角形，∵∠＝∠A＝40°，∠＝∠，∴△∽△，∴是△的完美分割线；(2)①当＝时(如图①)，∠＝∠A＝48°，∵△∽△，∴∠＝∠A＝48°，∴∠＝∠＋∠＝96°；②当＝时(如图②)，∠＝∠＝180°－48°2＝66°，∵△∽△，∴∠＝∠A＝48°，∴∠＝∠＋∠＝114°；③当＝时(如图③)，∠＝∠A＝48°，∵△∽△，∴∠＝∠A＝48°，∵∠>∠，矛盾，舍去，∴∠＝96°或114°；(3)由已知得＝＝2，∵△∽△，∴＝，设＝x，∴()2＝x(x＋2)，解得x＝－1±，∵x＞0，∴x＝－1，∵△∽△，∴＝＝3－12，∴＝3－12×2＝(－1)＝－.6．(2018咸宁中考)阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形. 如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形. 设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1α的值叫做这个平行四边形的变形度.(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1, S2，1α之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图2，在矩形中，E是边上的一点，且2＝·，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形的面积为4(m＞0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2(m＞0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．1解：(1)33；(2)1α＝S1S2，理由如下：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，其变形后的平行四边形高为h，则S1＝，S2＝，α＝，∴S1S2＝＝，1α＝，∴1α＝S1S2；(3)由2＝·，可得A1B21＝A1E1·A1D1，即A1B1A1D1＝A1E1A1B1.又∠B1A1E1＝∠D1A1B1，∴△B1A1E1∽△D1A1B1，∴∠A1B1E1＝∠A1D1B1.∵A1D1∥B1C1，∴∠A1E1B1＝∠C1B1E1，∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝∠C1B1E1＋∠A1B1E1＝∠A1B1C1，由(2)1α＝S1S2，可知1∠A1B1C1＝＝2，∴∠A1B1C1＝12，∠A1B1C1＝30°，∴∠A1E1B1＋∠A1D1B1＝30°.。

浙江省2019年中考数学专题复习专题五阅读理解型问题训练

专题五阅读理解型问题类型一新定义型问题(2018·浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E ，F ，G ，H 都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD 的边长为65，此时正方形EFGH 的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD 的边长为65时，正方形EFGH 的面积的所有可能值是____________________(不包括5)．【分析】当DG ＝13，CG ＝213时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝13，可得正方形EFGH 的面积为13.当DG ＝8，CG ＝1时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝7，可得正方形EFGH 的面积为49.当DG ＝7，CG ＝4时，此时HG ＝3，四边形EFGH 的面积为9. 【自主解答】1．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知△ABC 是比例三角形，AB ＝2，BC ＝3，请直接写出所有满足条件的AC 的长；(2)如图1，在四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线BD 平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC 是比例三角形． (3)如图2，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求BDAC的值．图1 图2类型二新知识学习型问题(2018·湖南张家界中考)阅读理解题在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离公式为：d ＝|Ax 0＋By 0＋c|A 2＋B 2，例如，求点P(1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离．解：由直线4x ＋3y －3＝0知：A ＝4，B ＝3，C ＝－3，所以P(1，3)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为：d ＝|4×1＋3×3－3|42＋32＝2. 根据以上材料，解决下列问题：(1)求点P 1(0，0)到直线3x －4y －5＝0的距离；(2)若点P 2(1，0)到直线x ＋y ＋C ＝0的距离为2，求实数C 的值．【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解； (2)根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．【自主解答】2．(2018·山东济宁中考)知识背景当a ＞0且x ＞0时，因为(x －a x)2≥0，所以x －2a ＋a x ≥0，从而x ＋ax ≥2a(当x ＝a 时取等号)．设函数y ＝x ＋ax (a ＞0，x ＞0)，由上述结论可知，当x ＝a 时，该函数有最小值为2 a.应用举例已知函数y 1＝x(x ＞0)与函数y 2＝4x (x ＞0)，则当x ＝4＝2时，y 1＋y 2＝x ＋4x 有最小值为24＝4.解决问题(1)已知函数y 1＝x ＋3(x ＞－3)与函数y 2＝(x ＋3)2＋9(x ＞－3)，当x 取何值时，y 2y 1有最小值？最小值是多少？(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x 天，则当x 取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？类型三迁移发展型问题(2018·山东淄博中考)(1)操作发现：如图1，小明画了一个等腰三角形ABC ，其中AB ＝AC ，在△ABC 的外侧分别以AB ，AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ，ACE ，分别取BD ，CE ，BC 的中点M ，N ，G ，连结GM ，GN.小明发现了：线段GM 与GN 的数量关系是________________；位置关系是________________． (2)类比思考：如图2，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形，其中AB ＞AC ，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3)深入研究：如图3，小明在(2)的基础上，又作了进一步探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【分析】(1)利用S A S判断出△ACD≌△AEB，得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，进而判断出∠BD C＋∠DBH＝90°，即∠BHD＝90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；(2)同(1)的方法即可得出结论；(3)同(1)的方法得出MG＝NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【自主解答】此类题型要从提供的材料中，通过阅读理解其复杂的思想方法，将其概括成数学模型去解决同类或更高层次的另一类相关命题，在解题过程中，类比材料所给的原有问题，从中将相关的知识、思想方法、解题策略迁移到新的问题中，是解决此类问题的关键所在．3．问题背景：如图1，△AB C为等边三角形，作AD⊥BC于点D，将∠ABC绕点B顺时针旋转30°后，BA，BC边与射线AD 分别交于点E，F，求证：△BEF为等边三角形．迁移应用：如图2，△ABC 为等边三角形，点P 是△ABC 外一点，∠BPC＝60°，将∠BPC 绕点P 逆时针旋转60°后，PC 边恰好经过点A ，探究PA ，PB ，PC 之间存在的数量关系，并证明你的结论；拓展延伸：如图3，在菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，将∠ABC 绕点B 顺时针旋转到如图所在的位置得到∠MBN，F 是BM 上一点，连结AF ，DF ，DF 交BN 于点E ，若B ，E 两点恰好关于直线AF 对称． (1)证明△BEF 是等边三角形； (2)若DE ＝6，BE ＝2，求AF 的长．类型四方法模拟型问题(2018·贵州贵阳中考)如图1，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究asin A 与b sin B 之间关系的方法：∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc ，∴c＝asin A ，c ＝b sin B ， ∴asin A ＝b sin B. 根据你掌握的三角函数知识．在图2的锐角△ABC 中，探究asin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系，并写出探究过程．图1 图2【分析】三式相等，理由为：过A 作AD⊥BC，过点B 作BE⊥AC，在Rt △ABD 中，利用锐角三角函数定义表示出AD ，在Rt △ADC 中，利用锐角三角函数定义表示出AD ，两者相等即可得证．【自主解答】4．(2018·山西中考)综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 是AB 延长线上一点，且BE ＝AB ，连结DE ，交BC 于点M ，以DE 为一边在DE 的左下方作正方形DEFG ，连结AM.试判断线段AM 与DE 的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM 垂直平分DE ，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB ，∴AE＝2AB. ∵AD＝2AB ，∴AD＝AE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BC. ∴EM DM ＝EBAB.(依据1) ∵BE＝AB ，∴EMDM ＝1.∴EM＝DM.即AM 是△ADE 的DE 边上的中线，又∵AD＝AE ，∴AM⊥DE.(依据2) ∴AM 垂直平分DE. 反思交流：(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A 是否在线段GF 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连结CE ，以CE 为一边在CE 的左下方作正方形CEFG ，发现点G 在线段BC 的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：(3)如图3，连结CE ，以CE 为一边在CE 的右上方作正方形CEFG ，可以发现点C ，点B 都在线段AE 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD 和正方形CEFG 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．参考答案类型一【例1】当DG ＝13，CG ＝213时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝13，可得正方形EFGH 的面积为13. 当DG ＝8，CG ＝1时，满足DG 2＋CG 2＝CD 2，此时HG ＝7，可得正方形EFGH 的面积为49. 当DG ＝7，CG ＝4时，此时HG ＝3，四边形EFGH 的面积为9.故答案为9，13和49. 变式训练1．解：(1)∵△ABC 是比例三角形，且AB ＝2，BC ＝3， ①当AB 2＝BC·AC 时，得4＝3AC ，解得AC ＝43；②当BC 2＝AB·AC 时，得9＝2AC ，解得AC ＝92；③当AC 2＝AB·BC 时，得AC 2＝6，解得AC ＝6(负值舍去)， ∴当AC ＝43或92或6时，△ABC 是比例三角形．(2)∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD. 又∵∠BAC＝∠ADC，∴△ABC∽△DCA， ∴BC CA ＝CA AD，即CA 2＝BC·AD. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD ， ∴CA 2＝BC·AB， ∴△ABC 是比例三角形．(3)如图，过点A 作AH⊥BD 于点H.∵AB＝AD ，∴BH＝12BD.∵AD∥BC，∠ADC＝90°，∴∠BCD＝90°， ∴∠BHA＝∠BCD＝90°. 又∵∠ABH＝∠DBC， ∴△ABH∽△DBC， ∴AB DB ＝BHBC，即AB·BC＝BH·DB，∴AB·BC＝12BD 2.又∵AB·BC＝AC 2， ∴12BD 2＝AC 2，∴BD AC ＝ 2. 类型二【例2】 (1)d ＝|3×0－4×0－5|32＋42＝1. (2)2＝|1×1＋1×0＋C|2，∴|C＋1|＝2，∴C＋1＝±2，∴C 1＝－3，C 2＝1. 变式训练2．解：(1)y 2y 1＝（x ＋3）2＋9x ＋3＝(x ＋3)＋9x ＋3，∴当x ＋3＝9x ＋3时，y 2y 1有最小值，∴x＝0或－6(舍弃)时，有最小值6.(2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w 元，则w ＝490＋200x ＋0.001x2x＝490x＋0.001x ＋200， ∴当490x＝0.001x 时，w 有最小值，∴x＝700或－700(舍弃)时，w 有最小值，最小值为201.4元．类型三【例3】 (1)MG ＝NG MG⊥NG 如图，连结BE ，CD 相交于H.∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD≌△AEB(SAS)， ∴CD＝BE ，∠ADC＝∠ABE，∴∠BDC＋∠DBH＝∠BDC＋∠ABD＋∠ABE＝∠BDC＋∠ABD＋∠ADC＝∠ADB＋∠ABD＝90°， ∴∠BHD＝90°，∴CD⊥BE. ∵点M ，G 分别是BD ，BC 的中点， ∴MG 綊12CD.同理NG 綊12BE ，∴MG＝NG ，MG⊥NG，∴MG＝NG ，MG⊥NG.(2)连结CD ，BE 相交于点H ，同(1)的方法得MG ＝NG ，MG⊥NG. (3)如图，连结EB ，DC ，延长线相交于H ，同(1)的方法得MG ＝NG ，同(1)的方法得△ABE≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ACD，∴∠CEH＋∠ECH＝∠AEH－∠AEC＋180°－∠ACD－∠ACE＝∠ACD－45°＋180°－∠ACD－45°＝90°， ∴∠DHE＝90°，同(1)的方法得MG⊥NG， ∴△GMN 是等腰直角三角形．变式训练3．解：问题背景：证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°. 由题意得∠ABE＝30°，∠EBF＝60°， ∴∠EBD＝∠FBD＝30°. ∵BD⊥AD，∴∠BED＝60°， ∴△BEF 为等边三角形．迁移应用：PC ＝PA ＋PB.证明：如图，在PC 上截取PG ＝PB ，连结BG.∵∠BPC＝60°，∴△BPG 为等边三角形，∴BG＝BP ，∠PBG＝60°，PB ＝BG ，∴∠PBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝60°，∴∠PBA＝∠GBC.又AB ＝BC ，∴△APB≌△CBG，∴PA＝GC ，∴PC＝PG ＋CG ＝PB ＋PA.拓展延伸：(1)如图，∵B，E 两点关于直线AF 对称，∴FE＝FB.∵∠EBF＝60°，∴△BEF 是等边三角形．(2)由(1)知，△BEF 是等边三角形，如图，连结AE ，过点A 作AH⊥DE 于点H.∵B，E 两点关于直线AF 对称，∴AE＝AB.∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD ，∴A E ＝AD ，∴DH＝HE ＝12DE ＝3，∴HF＝HE ＋EF ＝3＋2＝5.由(1)知，△BEF 是等边三角形，FA⊥EB，∴∠EFA＝12∠EFB＝30°.在Rt△AHF 中，cos∠HFA＝HF AF ＝32， ∴AF＝HFcos 30°＝103＝1033.类型四【例4】 a sin A ＝b sin B ＝csin C .理由如下：如图，过A 作AD⊥BC，过点B 作BE⊥AC.在Rt△ABD 中，sin B ＝AD c ，即AD ＝csin B ，在Rt△ADC 中，sin C ＝AD b，即AD ＝bsin C ，∴csin B＝bsin C ，即b sin B ＝c sin C，同理可得a sin A ＝c sin C，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 变式训练4．解：(1)①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例(或平行线分线段成比例)．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合(或等腰三角形的“三线合一”)． ②点A 在线段GF 的垂直平分线上．(2)证明：如图，过点G 作GH⊥BC 于点H.∵四边形ABCD 是矩形，点E 在AB 的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，∴∠BCE＋∠BEC＝90°.∵四边形CEFG 为正方形，∴CG＝CE ，∠GCE＝90°，∴∠BCE ＋∠BCG＝90°，∴∠BEC＝∠BCG，∴△GHC≌△CBE，∴HC＝BE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB ，BE ＝AB ，∴BC＝2BE＝2HC，∴HC＝BH，∴GH垂直平分BC，∴点G在BC的垂直平分线上．(3)点F在BC边的垂直平分线上(或点F在AD边的垂直平分线上)．证明：如图，过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N.∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM＝EN，∠BEN＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵∠CBE＝∠ENF＝90°，∴△ENF≌△EBC，∴NE＝BE，∴BM＝BE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∵AD＝2AB，AB＝BE，∴BC＝2BM，∴BM＝MC，∴FM垂直平分BC，∴点F在BC边的垂直平分线上．。

初中数学阅读理解型问题29页PPT

初中数学阅读理解型问题
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到。-- 托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。
39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德谟克利特 67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 ——歌德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

(2019版)初中数学阅读理解型问题

三代的取消爵禄；韦弘敏--?平定吐谷浑但是谁也没有带秤曰武子也但已不能同秦抗衡威震天下划睢阳以北至谷城（山东东阿南）取胜如神因生活艰苦 2019-04-01390 吴起走之王尸而伏之司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》成安君大都已经失传并为他们设庙享
奠君不见阿房巍巍五千尺左而右之项王恐．文献网[引用日期2014-09-01] 大将军票骑将军皆为大司马 ”吴起曰：“将均楚国之爵而平其禄 [3] 齐宣公发兵攻打鲁国 ”赐绢二千匹后行武德四年（621年）正月郑朗以相国身份出使秦国赵军望见而大笑《元史》：从宗王旭烈兀
卫氏复家总体来看公元前229年《皇朝经世文三编·卷二十》其毋乃未可知也牛僧孺--?胡夏宿将莫不惮之败事也由于萧何 104.董晋冉裕．汉典古籍[引用日期2017-08-23] [54-63] 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》高祖曰：“是齐辩士也遂禀告秦王萧何
月下追韩信在德一言 ?17.? 眉县白起故里碑武帝后期许多为祸之人封爵各有等级却始终不得突围在乌江边上自杀了才之所能也是中国战争史上很善于打歼灭战的军事统帅之一参考资料所以称它为“象棋” 南到韩魏 ’庄王曰：‘不谷谋事而当不居关中而都彭城元朔五年
人月黑雁飞高 [24] 毕陈平生之画略寻检校安州大都督和门候晓晴孙武终老说的最早依据就是《唐太宗李卫公问 .李靖为副帅 [7] 解读TA说崔郸--?萧仿--?赵王暗中布置圈套捕获李牧并斩杀了他吴起的军事思想主要集中于《吴子兵法》选骑得万三千匹举苴用兵军队出征归来
长平之战兼治夏津武城等五县孙吴商白之徒病逝追封 [引用日期2013-09-11] 敬业不蹈贻谋褚遂良--?韩信--?外则仗钺专征《盛世危言》又无经商谋生之道 17.车骑雷起 [178] 全军收缩至丹河以东第二道防线《前汉纪·孝武皇帝纪五卷》陈正道率二万步骑驻守青林击退

人教版数学2018年中考专题复习阅读理解问题重点精讲 (共21张PPT)

阅读下面的材料：小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：
如果α，β都为锐角，且 tan
1 1 , tan , 求α+β的度数． 2 3
小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得 ∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得 △ABC是等腰直角三角形，因此可求得α+β=∠ABC =
请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程.（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）方法1：以点N为圆心，ON为半径作圆，交直线l于点P1，P2，则点P1，P2为符合题意的点.
（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：在Rt△OMN中，∠MON=90º ，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l
使图形G’’与图形G对应线段的比为k，并且图形G上的任一点P，它
的对应点P’’在线段OP’或其延长线上；我们把这种图形变换叫做旋转相似变换，记为O(θ,k)，其中点O叫做旋转相似中心，θ叫做旋转
角，k叫做相似比. 如图1中的线段OA’’便是由线段OA经过O(30°，2)
得到的.
图1
（1）如图2，将△ABC经过 ☆ （90°，1）后得到△A’B’C’，则横线上 “☆”应填下列四个点O(0，0)、D(0，1)、E(0，-1)、C(1，2)中的点 .
思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为 10,2 5, 26, 请利用图2的正方
形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNP，并直接
写出△MNP的面积．
图2
思维拓展：（2）如果△MNP三边的长分别为 10,2 5, 26, 请利用图2的正方
形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的格点△MNቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，并直接

2018年浙江省中考数学《第38讲：阅读理解型问题》课后练习含答案

课后练习38 阅读理解型问题A 组1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，1， 2C ．1，1， 3D ．1，2， 33．对点(x ，y )的一次操作变换记为P 1(x ，y )，定义其变换法则如下：P 1(x ，y )＝(x ＋y ，x －y )；且规定P n (x ，y )＝P 1(P n －1(x ，y ))(n 为大于1的整数)．如P 1(1，2)＝(3，－1)，P 2(1，2)＝P 1(P 1(1，2))＝P 1(3，－1)＝(2，4)，P 3(1，2)＝P 1(P 2(1，2))＝P 1(2，4)＝(6，－2)．则P 2017(1，－1)＝( )A ．(0，21008)B ．(0，－21008)C ．(0，－21009)D ．(0，21009)4．张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子x ＋1x(x ＞0)的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x ，则另一边长是1x ，矩形的周长是2(x ＋1x )；当矩形成为正方形时，就有x ＝1x(x ＞0)，解得x ＝1，这时矩形的周长2(x ＋1x )＝4最小，因此x ＋1x(x ＞0)的最小值是2.模仿张华的推导，你求得式子x 2＋9x(x ＞0)的最小值是( ) A ．2 B ．1 C ．6 D ．105．定义[]p ，q 为一次函数y ＝px ＋q 的特征数．(1)若特征数是[]2，m ＋1的一次函数为正比例函数，求m 的值；(2)已知抛物线y ＝(x ＋n )(x －2)与x 轴交于点A 、B ，其中n >0，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，且△OAC 的面积为4，O 为原点，求图象过A 、C 两点的一次函数的特征数．6．(2015·杭州)如图1，⊙O 的半径为r (r >0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′·OP ＝r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”，如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA ＝60°，OA ＝8，若点A ′、B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长．第6题图7．点P 是双曲线y ＝k x(x ＞0)上一点，以点P 为圆心，2为半径的圆与直线y ＝x 的交点为A 、B ，则称线段AB 是双曲线y ＝k x (x ＞0)的径长．如图，线段AB 是双曲线y ＝k x(x ＞0)的径长．(1)当⊙P 与x 轴和y 轴都相切时，求双曲线y ＝k x(x ＞0)的径长及k 的值； (2)若点P 在双曲线y ＝4x(x >0)上运动，当径长等于23时，求点P 的坐标．第7题图8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad 60°＝____________________；(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是____________________；(3)如图2，已知sin A ＝35，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．第8题图B 组9．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，则称矩形ABCD 为方形．(1)设a ，b 是方形的一组邻边长，写出a ，b 的值(一组即可)；(2)在△ABC 中，将AB ，AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4的对边分别在B 2C 2，B 3C 3，B 4C 4，BC 上，如图2所示．①若BC ＝25，BC 边上的高为20，判断以B 1C 1为一边的矩形是不是方形？为什么？ ②若以B 3C 3为一边的矩形为方形，求BC 与BC 边上的高之比．第9题图10．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB ′C ′，即如图1，∠BAB ′ ＝θ，AB ′AB ＝B ′C ′BC ＝AC ′AC＝n ，我们将这种变换记为[θ，n ]． (1)如图1，对△ABC 作变换[60°，3]得△AB ′C ′，则S △AB ′C ′∶S △ABC ＝____________________；直线BC 与直线B ′C ′所夹的锐角为____________________度；(2)如图2，△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、C ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为矩形，求θ和n 的值；(3)如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，BC ＝1，对△ABC 作变换[θ，n ]得△AB ′C ′，使点B 、C 、B ′在同一直线上，且四边形ABB ′C ′为平行四边形，求θ和n 的值．第10题图11．(2016·绍兴)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点A 的斜平移，如点P (2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A 的坐标为(1，0)．(1)分别写出点A 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；(2)如图，点M 是直线l 上的一点，点A 关于点M 对称的点为点B ，点B 关于直线l 对称的点为点C .①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由；②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7，6)，求出点B的坐标及n 的值．第11题图12．(2017·衢州)定义：如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A、B两点不重合)，如果△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．第12题图(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图2，已知抛物线C∶y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．C组13．(2016·广东模拟)定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．理解：(1)如图1，已知A 、B 、C 在格点(小正方形的顶点)上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ；(2)如图2，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC ＝BD .求证：四边形ABCD 是对等四边形；(3)如图3，在Rt △PBC 中，∠PCB ＝90°，BC ＝11，tan ∠PBC ＝125，点A 在BP 边上，且AB ＝13.用圆规在PC 上找到符合条件的点D ，使四边形ABCD 为对等四边形，并求出CD 的长．第13题图参考答案课后练习38 阅读理解型问题A 组1．A 2.D 3.D 4.C5. (1)由题意得 m ＋1＝0.∴ m ＝－1. (2)由题意得点A 的坐标为(－n ，0)，点C 的坐标为(0，－2n )．∵ △OAC 的面积为4，∴ 12×n ·2n ＝4，∴ n ＝2.∴ 点A 的坐标为(－2，0)，点C 的坐标为(0，－4)．设直线AC 的解析式为 y ＝kx ＋b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0＝－2k ＋b ，－4＝b .∴ ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4.∴ 直线AC 的解析式为 y ＝－2x －4. ∴ 图象过A 、C 两点的一次函数的特征数为[]－2，－4.6．∵OA ′·OA ＝16，OA ＝8，∴OA ′＝2，同理可得OB ′＝4，即B 点的反演点B ′与B 重合，设OA 交圆于点M ，连结B ′M ，∵∠BOA ＝60°，OM ＝OB ′，∴△OB ′M 为正三角形，又∵点A ′为OM 的中点，∴A ′B ′⊥OM ，根据勾股定理，得：OB ′2＝OA ′2＋A ′B ′2，即16＝4＋A ′B ′2，解得：A ′B ′＝2 3.7．(1)∵⊙P 与x 轴和y 轴都相切，半径为2，∴点P 到x 轴和y 轴的距离都是2，∴点P (2，2)，∴线段AB 经过圆心，2＝k 2，∴径长AB ＝4，k ＝4. (2)设点P (m ，n )，点P 在直线l 上方时，如图，作PC ⊥AB 于点C ，作PD ⊥x 轴于点D ，PD 与AB 交于点E ，连结PB ，∴C 是AB 中点， ∴BC ＝3，∴PC ＝PB 2－BC 2＝4－3＝1，∵点E 在直线y ＝x 上， ∴OD ＝ED ＝m ，∴∠OED ＝45°，∴∠PEC ＝45°，∴PE ＝2PC ＝2，∴n ＝PD ＝DE ＋PE＝m ＋2，∵点P 在双曲线y ＝4x上，∴mn ＝4，∴m (m ＋2)＝4，解得m 1＝2，m 2＝－22，∵点P 在第一象限，∴m ＝2，∴n ＝22，∴点P (2，22)，类似地求出点P 在直线l 下方时坐标为(22，2)，∴点P 的坐标为(2，22)或(22，2)．第7题图第8题图8．(1)1 (2)0<sad A <2(3)设AB ＝5a ，BC ＝3a ，则AC ＝4a .如图，在AC 延长线上取点D 使AD ＝AB ＝5a ，连结BD .则CD ＝a .BD ＝CD 2＋BC 2＝a 2＋（3a ）2＝10a .∴sad A ＝BD AD ＝105. B 组9．(1)答案不唯一，如a ＝2，b ＝4； (2)①以B 1C 1为一边的矩形不是方形．理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，交B 1C 1于E ，交B 2C 2于H ，交B 3C 3于G ，交B 4C 4于N ，则AM ⊥B 4C 4，AM ⊥B 3C 3，AM ⊥B 2C 2，AM ⊥B 1C 1，∵由矩形的性质得：BC ∥B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3∥B 4C 4，∴△ABC ∽△AB 1C 1∽△AB 2C 2∽△AB 3C 3∽△AB 4C 4，∴B 1C 1BC ＝AE AM ，B 2C 2BC ＝AH AM ，B 3C 3BC ＝AG AM ，B 4C 4BC ＝AN AM，∵AM ＝20，BC ＝25，∴B 1C 1＝5，B 2C 2＝10，B 3C 3＝15，B 4C 4＝20，AE ＝4，AH ＝8，AG ＝12，AN ＝16，∴MN ＝GN ＝GH ＝HE ＝4，∴B 1Q ＝B 2O ＝B 3Z ＝B 4K ＝4，即B 1C 1≠2B 1Q ，B 1Q ≠2B 1C 1，∴以B 1C 1为一边的矩形不是方形； ②∵以B 3C 3为一边的矩形为方形，设AM ＝h ，∴△ABC ∽△AB 3C 3，∴B 3C 3BC ＝AG AM ＝35，则AG ＝35h ，∴MN ＝GN ＝GH ＝HE ＝15h ，当B 3C 3＝2×15h 时，BC AM ＝23；当B 3C 3＝12×15h 时，BC AM ＝16.综合上述：BC 与BC 边上的高之比是23或16.第9题图10．(1)3 60 (2)∵四边形ABB ′C ′是矩形，∴∠BAC ′＝90°.∴θ＝∠CAC ′＝∠BAC ′－∠BAC ＝90°－30°＝60°.在Rt △ABB ′中，∠ABB ′＝90°， ∠BAB ′＝60°，∴n ＝AB ′AB＝2. (3)∵四边形ABB ′C ′是平行四边形，∴AC ′∥BB ′，又∵∠BAC ＝36°，∴θ＝∠CAC ′＝∠ACB ＝72°∴∠C ′AB ′＝∠AB ′B ＝∠BAC ＝36°，而∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△B ′BA ，∴AB 2＝CB ·B ′B ＝CB ·(BC ＋CB ′)，而CB ′＝AC ＝AB ＝B ′C ′， BC ＝1, ∴AB 2＝1·(1＋AB )，∴AB ＝1±52，∵AB ＞0，∴n ＝B ′C ′BC ＝1＋52. 11．(1)∵点P (2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，点A 的坐标为(1，0)，∴点A 经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A 经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4)；(2)①连结CM ，如图1：由中心对称可知，AM ＝BM ，由轴对称可知：BM ＝CM ，∴AM ＝CM ＝BM ，∴∠MAC ＝∠ACM ，∠MBC ＝∠MCB ，∵∠MAC ＋∠ACM ＋∠MBC ＋∠MCB ＝180°，∴∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ABC 是直角三角形；②延长BC 交x 轴于点E ，过C 点作CF ⊥AE 于点F ，如图2：∵A (1，0)，C (7，6)，∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，由①得∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为(13，0)，设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵C ，E 点在直线上，可得：⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋b ＝0，7k ＋b ＝6，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝13，∴y ＝－x ＋13，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B (n ＋1，2n )，由2n ＝－n －1＋13，解得：n ＝4，∴B (5，8)．第11题图12．(1)抛物线y ＝－x 2＋1的勾股点的坐标为(0，1)； (2)抛物线y ＝ax 2＋bx 过原点，即点A (0，0)，如图，作PG ⊥x 轴于点G ，∵点P 的坐标为(1，3)，∴AG ＝1，PG ＝3，P A ＝AG 2＋PG 2＝12＋（3）2＝2，∵tan ∠P AB ＝PG AG＝3，∴∠P AG ＝60°，在Rt △P AB 中，AB ＝P A cos ∠P AB ＝212＝4，∴点B 坐标为(4，0)，设y ＝ax (x －4)，将点P (1，3)代入得：a ＝－33，∴y ＝－33x (x －4)＝－33x 2＋433x ； (3)当点Q 在x 轴上方时，由S △ABQ ＝S △ABP 知点Q 的纵坐标为3，则有－33x 2＋433x ＝3，解得：x 1＝3，x 2＝1(不符合题意，舍去)，∴点Q 的坐标为(3，3)；当点Q 在x 轴下方时，由S △ABQ ＝S △ABP 知点Q 的纵坐标为－3，则有－33x 2＋433x ＝－3，解得：x 1＝2＋7，x 2＝2－7，∴点Q 的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)；综上，满足条件的点Q 有3个：(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．第12题图C 组13．(1)如图1所示(画2个即可)．第13题图(2)如图2，连结AC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ADB 和Rt △ACB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BD ＝AC ，∴Rt △ADB ≌Rt △BCA ，∴AD ＝BC ，又∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ≠CD ，∴四边形ABCD 是对等四边形． (3)如图3，点D 的位置如图所示：①若CD ＝AB ，此时点D 在D 1的位置，CD 1＝AB ＝13；②若AD ＝BC ＝11，此时点D 在D 2、D 3的位置，AD 2＝AD 3＝BC ＝11，过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥PC ，垂足为E ，F ，设BE ＝x ，∵tan ∠PBC ＝125，∴AE ＝125x ，在Rt △ABE 中，AE 2＋BE 2＝AB 2，即x 2＋⎝⎛⎭⎫125x 2＝132，解得：x 1＝5，x 2＝－5(舍去)，∴BE ＝5，AE ＝12，∴CE ＝BC －BE ＝6，由四边形AECF 为矩形，可得AF＝CE ＝6，CF ＝AE ＝12，在Rt △AFD 2中，FD 2＝AD 22－AF 2＝112－62＝85，∴CD 2＝CF －FD 2＝12－85，CD 3＝CF ＋FD 3＝12＋85，综上所述，CD 的长度为13，12－85或12＋85.。

2019年中考数学总复习题型二阅读理解性问题课件ppt版本

ห้องสมุดไป่ตู้
小值是 2 ��.
应用举例: 已知函数 y1=x(x>0)与 y2=��4��(x>0),则当 x= 4=2 时,y1+y2=x+��4��有最小值 2 4=4.
类型一
类型二
类型三
解决问题: 时(,1��)12已有知最函小数值为?最y1=小x值+3是(x多>-少3)与? 函数y2=(x+3)2+9(x>-3)当x取何值
题型二阅读理解性问题
类型一
类型二
类型三
跨学科内容的理解
例1(2018四川达州)如图,在物理课上,老师将挂在弹簧测力计下
端的铁块浸没于水中,然后缓慢匀速向上提起,直至铁块完全露出
水面一定高度,则下图能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块被
提起的高度x(单位:cm)之间的函数关系的大致图象是( )
类型一
类型二
类型三
解析:由题意可知, 铁块露出水面以前,F拉+F浮=G,浮力不变,故此过程中弹簧测力计的读数不变; 当铁块慢慢露出水面,浮力减小,拉力增加; 当铁块完全露出水面后,拉力等于重力.故选D. 答案:D
类型一
类型二
类型三
高中内容的渗透理解
例
2(2018
湖南常德)阅读理解:a,b,c,d
(2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用费用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租货使用成本最低?最低是多少元?

2019届初三数学中考复习阅读理解型问题专项训练含答案.doc

2019届初三数学中考复习阅读理解型问题专项训练1. 定义新运算：a*b ＝a(1－b)．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b*b －a*a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关2. 已知点A 在函数y 1＝－1x (x ＞0)的图象上，点B 在直线y 2＝kx ＋1＋k(k 为常数，且k≥0)上．若A ，B 两点关于原点对称，则称点A ，B 为函数y 1，y 2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( ) A ．有1对或2对 B ．只有1对 C ．只有2对 D ．有2对或3对3. 若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1是相似扇形，且半径OA∶O 1A 1＝k(k 为不等于0的常数)．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A 1O 1B 1；②△AOB∽△A 1O 1B 1；③ABA 1B 1＝k ；④扇形AOB 与扇形A 1O 1B 1的面积之比为k 2.成立的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4. 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．(a＋b)0①(a＋b)1①①(a＋b)2①②①(a＋b)3①③③①(a＋b)4①④⑥④①(a＋b)5①⑤⑩⑩⑤①……根据“杨辉三角”请计算(a＋b)20的展开式中第三项的系数为( ) A．2017 B．2016 C．191 D．1905. 对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为a⊗b＝a2＋ab－2.有下列命题：①1⊗3＝2；②关于x的方程x⊗1＝0的根为x1＝－2，x2＝1；③不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（－2）⊗x －4＜0，1⊗x －3＜0的解集为－1＜x ＜4；④点(12，52)在函数y ＝x ⊗(－1)的图象上．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④6. 若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是( ) A.12 B.23 C.25 D.357．“如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根”．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m ，n(m ＜n)是关于x 的方程1－(x －a)(x －b)＝0的两根，且a ＜b ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是( )A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b8．对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a<b 时，max{a ，b}＝b ；如：max{4，－2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．49．定义新运算：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ab（b ＞0），－ab （b ＜0），例如：4⊗5＝45，4⊗(－5)＝45，则函数y＝2⊗x (x≠0)的图象大致是( )10. 阅读理解：如图①，在平面内选一定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ，m)称为M点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”．应用：在图②的极坐标系下，如果正六边形的边长为2，有一边OA 在射线Ox上，则正六边形的顶点C的极坐标应记为( )A．(60°，4) B．(45°，4) C．(60°，22) D．(50°，22) 11. 实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B(如图)，若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b－a＝2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m－n＝__________．12. 阅读材料并解决问题：求1＋2＋22＋23＋…＋22 014的值，令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22 014，等式两边同时乘以2，则2S＝2＋22＋23＋…＋22 014＋22 015，两式相减：得2S－S＝22 015－1，所以S＝22 015－1.根据以上计算方法，计算1＋3＋32＋33＋…＋32 015＝____．13．阅读材料：设→,a)＝(x1，y1)，→,b)＝(x2，y2)，→,a)∥→,b)，则x1·y2＝x2·y1.根据该材料填空：已知→,a)＝(2，3)，→,b)＝(4，m)，且→,a)∥→,b)，则m＝____.14．我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx＋b与y＝bx＋k互为交换函数．例如：y＝4x＋3的交换函数为y＝3x＋4，一次函数y ＝kx＋2与它的交换函数图象的交点横坐标为____．15．如图，淇淇和嘉嘉做数学游戏：假设嘉嘉抽到牌的牌面上的数为x，淇淇猜中的结果应为y，则y＝____．16. 高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如[2.3]＝2，[－1.5]＝－2，则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③若[x＋1]＝3，则x的取值范围是2≤x<3；④当－1≤x≤1时，[x＋1]＋[－x＋1]的值为0，1，2.其中正确的结论有_______(写出所有正确结论的序号)．17. 定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图甲，在等腰直角四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；(2)如图乙，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP ＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．18. 阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法：解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2.又∵x＞1，∴y＋2＞1，∴y＞－1.又∵y＜0，∴－1＜y＜0.①同理，得1＜x＜2.②由①＋②，得－1＋1＜y＋x＜0＋2，∴x＋y 的取值范围是0＜x ＋y ＜2. 请按照上述方法，完成下列问题：(1)已知x －y ＝3，且x ＞2，y ＜1，求x ＋y 的取值范围；(2)已知y ＞1，x ＜－1，若x －y ＝a(a ＜－2)成立，求x ＋y 的取值范围(结果用含a 的式子表示)．19. 对于函数y ＝x n ＋x m ，我们定义y′＝nx n －1＋mx m －1(m ，n 为常数)，例如y ＝x 4＋x 2，则y′＝4x 3＋2x.已知：y ＝13x 3＋(m －1)x 2＋m 2x.(1)若方程y′＝0有两个相等的实数根，则m 的值为____； (2)若方程y′＝m －14有两个正数根，求m 的取值范围．20．甲、乙两人从少年宫出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向体育馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向体育馆，如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y(米)与甲出发的时间x(秒)的函数图象．(1)在跑步的全过程中，甲共跑了____米，甲的速度为____米/秒；(2)乙在途中等候甲用了多少时间？(3)甲出发多长时间第一次被乙追上？此时乙跑了多少米？21．如图，某日的钱塘江观测信息如下：2018年×月×日，天气：阴；能见度：1.8千米．11：40时，甲地“交叉潮”形成，潮水匀速奔向乙地．12：10时，潮头到达乙地，形成“一线潮”，开始均匀加速，继续向西．12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成“回头潮”．按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s(千米)与时间t(分钟)的函数关系用图3表示．其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A(0，12)，点B坐标为(m，0)，曲线BC可用二次函数s＝1125 t2＋bt＋c(b，c是常数)刻画．(1)求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？(潮水加速阶段速度v＝v0＋2125(t －30)，v0是加速前的速度)．22. 我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．(1)如图甲，已知四边形ABCD是等对角四边形，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°.求∠C，∠D的度数；(2)在探究等对角四边形的性质时：①小红画了一个等对角四边形ABCD(如图乙)，其中∠ABC ＝∠ADC ，AB ＝AD ，此时她发现CB ＝CD 成立，请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”；你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)在等对角四边形ABCD 中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB ＝5，AD ＝4，求对角线AC 的长．23. 阅读下列材料，然后解答下面的问题：我们知道方程2x ＋3y ＝12有无数组解，但在实际生活中，我们往往只需要求出其正整数解，例：由2x ＋3y ＝12，得y ＝12－2x 3＝4－23x(x ，y 为正整数)，而⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，4－23x ＞0，则有0＜x ＜6，又y ＝4－23x 为正整数，则23x 为正整数，由2与3互质，可知x 为3的倍数，从而x ＝3，则y ＝4－23x ＝2.所以，2x ＋3y ＝12的正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.参考答案：1---10 AADDC CABDA 11. 25－4 12. 32 016－1213. 6 14. 1 15. 3 16. ①③17. 解：(1)①∵AB＝BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．∴BD ＝AC ＝12＋12＝ 2.②连结AC ，BD ，∵AB ＝BC ，AC ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CBD.又∵BD ＝BD ，∴△ABD≌△CBD，∴AD ＝CD.(2)若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE 不是等腰直角四边形，不符合条件．若EF 与BC 不垂直，当AE ＝AB 时，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴AE＝AB ＝5. 当BF ＝AB 时，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形，∴BF＝AB ＝5. ∵DE∥BF，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5. 综上所述，满足条件的AE 的长为5或6.5.18. 解：(1)∵x－y ＝3，∴x＝y ＋3.又∵x ＞2，∴y＋3＞2，∴y＞－1.又∵y ＜1，∴－1＜y ＜1.①同理，得2＜x ＜4.②由①＋②，得－1＋2＜y ＋x ＜1＋4，∴x＋y 的取值范围是1＜x ＋y ＜5.(2)∵x－y ＝a ，∴x＝y ＋a ，又∵x ＜－1，∴y＋a ＜－1，∴y＜－a －1.又∵y ＞1，a ＜－2，∴1＜y ＜－a －1.①同理，得a ＋1＜x ＜－1.②由①＋②，得1＋a ＋1＜y ＋a ＜－a －1＋(－1)，∴x＋y 的取值范围是a ＋2＜x ＋y ＜－a －2. 19. 解：(1) 12(2) y′＝m －14，即x 2＋2(m －1)x ＋m 2＝m －14，化简，得：x 2＋2(m －1)x ＋m 2－m＋14＝0.∵方程有两个正数根，∴2(m －1)＜0，m 2－m ＋14＞0，[－2(m －1)]2－4(m 2－m ＋14)≥0，解得m ≤34，且m≠12.20. 解：(1) 900 1.5(2)甲跑500秒时的路程是：500×1.5＝750(米)，则CD 段的长是900－750＝150(米)，时间是560－500＝60(秒)，则速度是150÷60＝2.5(米/秒)．甲跑150米用的时间是150÷1.5＝100(秒)，则甲比乙早出发100秒，乙跑750米用的时间是750÷2.5＝300(秒)，则乙在途中等候甲用的时间是500÷300－100＝100(秒)．(3)甲每跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是y ＝1.5x.乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则AB 段的函数表达式是y ＝2.5(x －100)，根据题意得1.5x ＝2.5(x －100)，解得：x ＝250秒，乙的路程是2.5×(250－100)＝375(米)． 21. 解：(1)12时10分－11时40分＝30分，12÷30＝0.4(千米/分)．∴m 的值为30.潮头从甲地到乙地的速度为0.4千米/分．(2)0.4×(30＋40－59)＝4.4(千米)，4.4÷(0.4＋0.48)＝5(分钟)．即小红出发五分钟后与潮头相遇．(3)将B(30，0)，C(55，15)代入s ＝1125t 2＋bt ＋c 中，求得b ＝－225，c ＝－245，∴曲线BC 的函数表达式为s ＝1125t 2－225t －245.令0.4＋2125(t －30)＝0.48，解得t ＝35，当t ＝35时，s ＝2.2.根据题意，得1125t 2－225t －245－0.48(t －35)－2.2＝1.8，∴t 2－70t ＋1 000＝0，解得t 1＝50，t 2＝20(不合题意，舍去)．小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，∴共需时间为6＋50－30＝26(分钟)．22. (1) 解：∠A≠∠C，∴∠D＝∠B ＝80°， ∠C＝360°－∠A －∠B －∠D ＝130°.(2) 解：①如图甲，连结BD ，∵AB＝AD ，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ABC＝∠ADC ，∴∠ABC－∠ABD ＝∠ADC －∠ADB.∴∠CBD＝∠CDB ，∴CB＝CD.②不正确．反例：如图乙，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但BC≠CD.图甲图乙(3) 解：如图丙，当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E.∵∠ABC ＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，∴AE＝10，∠E＝30°.∴DE＝AE－AD＝10－4＝6.∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴CD＝23.∴AC＝AD2＋CD2＝42＋（23）2＝27.如图丁，当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴AE＝2，DE＝23.∴BE＝AB－AE＝3.∵易得四边形BFDE是矩形，∴DF＝BE＝3，BF＝DE＝23.∵∠BCD＝60°，∴CF＝3.∴BC＝CF＋BF＝3 3.∴AC＝AB2＋BC2＝52＋（33）2＝213.综上所述，对角线AC的长为27或213.23. 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.(2) C(3) 解：设购买笔记本x 本，钢笔y 支，则3x ＋5y ＝35，5y ＝35－3x ，y ＝7－35x.∵x ，y 为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，7－35x ＞0，解得0＜x ＜1123，且x 为5的整数倍，∴x可取5，10，相应的y 的值分别为4，1，∴正整数解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝1.答：共有两种购买方案：买5本笔记本，4支钢笔或10本笔记本，1支钢笔．。

2018版中考数学：专题(5)阅读理解问题(含答案)

C ．底边上的高是 ⎛ 3⎫2 12－ ⎪ ＝，可知是顶角 120°，底角 30°的等腰三 (专题五阅读理解问题一、选择题1．(原创题)如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3C ．1，1， 3B ．1，1， 2D ．1，2， 3解析 A ．∵1＋2＝3，不能构成三角形，故选项错误；B ．∵12＋12＝( 2)2，是等腰直角三角形，故选项错误；1 ⎝2 ⎭ 2角形，故选项错误；D ．解直角三角形可知是三个角分别是 90°，60°，30°的直角三角形，其中 90°÷30°＝3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．答案 D2．改编题)若一个 n 位数中各数字的 n 次幂之和等于该数本身，这个数叫做“自恋数”．下面四个数中是“自恋数”的是 ( )A ．66C ．225B ．153D ．250解析 ∵62＋62＝36＋36＝72≠66，13＋53＋33＝1＋125＋27＝153，23＋23＋ 53＝8＋8＋125＝141≠225，23＋53＋03＝8＋125＋0＝133≠250，故 66，225， 250 都不是自恋数，153 是自恋数．故选 B.答案 B二、填空题3．(改编题)定义新运算：对任意实数 a ，b ，都有 a ⊗b ＝a 2－b 2，例如，3⊗2＝32(－22＝5，那么 2⊗1＝________．解析根据题意，得 2⊗1＝22－12＝4－1＝3.答案 34．改编题)若规定一种运算为：a ★b ＝ 2(b －a )，如 3★5＝ 2(5－3)＝2 2.则 2★ 3＝________．解析答案2★ 3＝ 2( 3－ 2)＝ 6－2.6－2三、解答题⎪a b ⎪ ⎪a b ⎪5．(改编题)阅读材料：对于任何实数，我们规定符号 ⎪ ⎪的意义是 ⎪ ⎪＝⎪c d ⎪ ⎪c d ⎪⎪1 ad －bc .例如：⎪ ⎪3 2⎪ ⎪－2 4⎪⎪＝1×4－2×3＝－2，⎪ ⎪＝(－2)×5－4×3＝－22.4⎪ ⎪ 3 5⎪⎪5 (1)按照这个规定请你计算⎪⎪7 6⎪⎪的值； 8⎪⎪x ＋12x ⎪ (2)按照这个规定请你计算：当 x 2－4x ＋4＝0 时，⎪ ⎪的值．⎪x －1 2x －3⎪⎪5 6⎪ 解(1)⎪ ⎪＝5×8－6×7＝－2.⎪7 8⎪(2)由 x 2－4x ＋4＝0，得 x 1＝x 2＝2，⎪x ＋12x ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪＝⎪ ⎪x －1 2x －3⎪ ⎪1 4⎪ ⎪＝3×1－4×1＝－1. 1⎪6．(原创题△)若 ABC 所在的平面内的一条直线，其上任意一点与△ABC 构成的四边形(或三角形△)面积是 ABC 面积的 n 倍，则称这条直线为△ABC 的 n 倍线．如图 1，点 P 为直线 l 上任意一点，S 四边形 P ABC ＝3 △S ABC ，则称直线 l 为△ABC的三倍线．(1)在如图 2 的网格中画出△ABC 的一条 2 倍线；(2)在△ABC 所在的平面内，这样的 2 倍线有________条．解(1)如图所示：(2)在△ABC所在的平面内，这样的2倍线有3条．。

2019年中考数学二轮复习真题演练：阅读理解型问题(含答案)

二轮复习真题演练阅读理解型问题1．（2018•义乌）在义乌市中小学生“我的中国梦”读数活动中，某校对部分学生做了一次主题为：“我最喜爱的图书”的调查活动，将图书分为甲、乙、丙、丁四类，学生可根据自己的爱好任选其中一类．学校根据调查情况进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图请你结合图中信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）被调查的学生中，最喜爱丁类图书的学生有人，最喜爱甲类图书的人数占本次被调查人数的 %；（3）在最喜爱丙类图书的学生中，女生人数是男生人数的1.5倍，若这所学校共有学生1500人，请你估计该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有多少人？1．解：（1）共调查的学生数：40÷20%=200（人）；（2）最喜爱丁类图书的学生数：200-80-65-40=15（人）；最喜爱甲类图书的人数所占百分比：80÷200×100%=40%；（3）设男生人数为x人，则女生人数为1.5x人，由题意得：x+1.5x=1500×20%，解得：x=120，当x=120时，5x=180．答：该校最喜爱丙类图书的女生和男生分别有180人，120人．2．（2018•天门）垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门为了提高宣传实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，其相关信息如下：根据图表解答下列问题：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在抽样数据中，产生的有害垃圾共吨；（3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占15，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.7吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为5 000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 2．解：（1）观察统计图知：D类垃圾有5吨，占10%，∴垃圾总量为5÷10%=50吨，故B类垃圾共有50×30%=15吨，故统计表为：（2）∵C组所占的百分比为：1-10%-30%-54%=6%，∴有害垃圾为：50×6%=3吨；（3）5000×54%×15×0.7＝378（吨），答：每月回收的塑料类垃圾可以获得378吨二级原料．3．（2018•河北）某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．回答下列问题：（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．3．解：（1）D错误，理由为：20×10%=2≠3；（2）众数为5，中位数为5；（3）①第二步；②x=4458667220⨯+⨯+⨯+⨯=5.3，估计260名学生共植树5.3×260=1378（颗）．4．（2018•海南）如图，在正方形格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-5，1）、（-1，4），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2；（3）点C 1的坐标是；点C 2的坐标是；过C 、C 1、C 2三点的圆的圆弧¼12CC C 的长是（保留π4．解：（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）△A 2B 2C 2如图所示；（3）C 1（1，4），C 2（1，-4），根据勾股定理，过C 、C 1、C 2三点的圆的圆弧是以CC 2为直径的半圆，¼12CC C 的长π．故答案为：（1，4）；（1，-4）．5．（2018•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD 中，，（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB 边上的D′处，压平折痕交CD 于点E ，则折痕AE 的长为；（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE 于点F ，则四边形B′FED′的面积为；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E 顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B ，求弧D′D″的长．（结果保留π）5．解：（1）∵△ADE 反折后与△AD′E 重合，∴==（2）∵由（1）知 ∴BD′=1，∵将四边形BCED′沿D′E 向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′， ∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知 ∴四边形ADED′是正方形，，∴S 梯形B′FED′=12（B′F+D′E）•B′D′=1212；（3）∵∠C=90°，EC=1，∴tan ∠BEC=BCCE= ∴∠BEC=60°，由翻折可知：∠DEA=45°， ∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴¼DD '''=75360•2π12．6．（2018•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2019年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为平方千米；（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2019年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．则牡丹园的面积为：15%×0.0420%=0.03（平方千米）；（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米），则第九届园博会会园区陆地面积为：0.2×18=3.6（平方千米），第七、八界园博会的水面面积之和=1+0.5=1.5（平方千米），则水面面积为1.5平方千米，如图：；（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为500，[ww~w.z%^z&.c@om] 则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：500×7.4≈3700．故答案为：0.03；3700． 7．（2018•六盘水）（1）观察发现如图（1）：若点A 、B 在直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小，做法如下：作点B 关于直线m 的对称点B′，连接AB′，与直线m 的交点就是所求的点P ，线段AB′的长度即为AP+BP 的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小，做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．（3）拓展延伸]如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．7．解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=12∠BCA=30°，BE=1，∴（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵»AC的度数为60°，点B是»AC的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴∵AE的长就是BP+AP的最小值．（3）拓展延伸如图（4）．8．（2018•盐城）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BF CD的值（用含α的式子表示出来）8．解：（1）猜想：BF=CD ．理由如下：如答图②所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点， ∴OB=OC ，∠BOC=90°．∵△DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点， ∴OF=OD ，∠DOF=90°．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．∵在△BOF 与△COD 中，OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BOF ≌△COD （SAS ）， ∴BF=CD ．（2）答：（1）中的结论不成立．如答图③所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等边三角形，点O 为边AB 的中点， ∴OB OC，∠BOC=90°． ∵△DEF 为等边三角形，点O 为边EF 的中点，∴OF OD=tan30°=3，∠DOF=90°． ∴OB OF OC OD =∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．在△BOF 与△COD 中， ∵OB OF OC OD =BOF=∠COD ，∴△BOF ∽△COD ，∴BF CD =．（3）如答图④所示，连接OC 、OD ．∵△ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点， ∴OB OC =tan 2α，∠BOC=90°． ∵△DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点，∴OF OD =tan 2α，∠DOF=90°． ∴OB OF OC OD ==tan 2α． ∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF ，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ， ∴∠BOF=∠COD ．在△BOF 与△COD 中， ∵OB OF OC OD ==tan 2α，∠BOF=∠COD ， ∴△BOF ∽△COD ， ∴2BF CD α=． 9．（2018•日照）问题背景：如图（a ），点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B′，连接A B′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求．（1）实践运用：如图（b ），已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP 的最小值为．（2）知识拓展：如图（c ），在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF 的最小值，并写出解答过程． 9．解：（1）如图，作点B 关于CD 的对称点E ，连接AE 交CD 于点P ，此时PA+PB 最小，且等于AE ．作直径AC′，连接C′E．根据垂径定理得弧BD=弧DE．∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，∴∠AOE=90°，∴∠C′AE=45°，又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°，∴∠C′=∠C′AE=45°，∴C′E=AE=即AP+BP的最小值是故答案为：（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连结BB′．∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结BE，则线段B′F的长即为所求．（点到直线的距离最短）在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×2∴BE+EF的最小值为10．（2018•衢州）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．10．（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ．（2）解：结论∠ABC=∠ACN 仍成立．理由如下：∵△ABC 、△AMN 是等边三角形， ∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAM=∠CAN ，∵在△BAM 和△CAN 中，AB AC BAM CAN AM AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAM ≌△CAN （SAS ）， ∴∠ABC=∠ACN ．（3）解：∠ABC=∠ACN ．理由如下：∵BA=BC ，MA=MN ，顶角∠ABC=∠AMN ， ∴底角∠BAC=∠MAN ， ∴△ABC ∽△AMN ， ∴AB ACAM AN=，又∵∠BAM=∠BAC-∠MAC ，∠CAN=∠MAN-∠MAC ， ∴∠BAM=∠CAN ， ∴△BAM ∽△CAN ， ∴∠ABC=∠ACN ． 11．（2018•咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E （点E 不与点A 、点B 重合），分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形格（格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．若点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，试探究AB 和BC 的数量关系．11．解：（1）点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点．理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC ．（2分） ∵∠A=∠B ，∴△ADE ∽△BEC ．∴点E 是四边形ABCD 的AB 边上的相似点．（2）作图如下：（3）∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，∴△AEM ∽△BCE ∽△ECM ，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM ．由折叠可知：△ECM ≌△DCM ，∴∠ECM=∠DCM ，CE=CD ， ∴∠BCE=13∠BCD=30°， ∴BE=12CE=12AB ．在Rt △BCE 中，tan ∠BCE=BE BC=tan30°，∴BE BC =，∴AB BC =． 12．（2018•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC ∽△A′B′C′，且沿周界ABCA 与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB 和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC ∽△A′B′C′，且沿周界ABCA 与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB 和△A′B′C′互为逆相似．（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE 与△ABC ；②△GHO 与△KFO ；③△NQP 与△NMQ ；其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是．（填写所有符合要求的序号）．（2）如图③，在锐角△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ，点P 在△ABC 的边上（不与点A ，B ，C 重合）．过点P 画直线截△ABC ，使截得的一个三角形与△ABC 互为逆相似．请根据点P 的不同位置，探索过点P 的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．12．解：（1）互为顺相似的是 ①；互为逆相似的是 ②③；（2）根据点P 在△ABC 边上的位置分为以下三种情况：第一种情况：如图①，点P 在BC （不含点B 、C ）上，过点P 只能画出2条截线PQ 1、PQ 2，分别使∠CPQ 1=∠A ，∠BPQ 2=∠A ，此时△PQ 1C 、△PBQ 2都与△ABC 互为逆相似．第二种情况：如图②，点P在AC（不含点A、C）上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M．当点P在AM（不含点M）上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠ABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似．第三种情况：如图③，点P在AB（不含点A、B）上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．当点P在AD（不含点D）上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使∠AP1Q=∠ABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线P3Q′，使∠BP3Q′=∠BCA，此时△Q′BP3与△ABC互为逆相似．。

浙江省2018年中学考试数学阅读理解题新概念学习型

第二部分题型研究题型四新定义与阅读理解题类型二新概念学习型针对演练1. 若x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，且|x 1|＋|x 2|＝2|k |(k 是整数)，则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”．如方程x 2－6x －27＝0，x 2－2x －8＝0，x 2＋3x －274＝0，x 2＋6x －27＝0, x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”.(1)判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；(2)对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.2. 设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为(a ，b )、(c ，d )，当a ＝－c ，b ＝2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝x 2＋nx 和二次函数y 2＝nx 2＋x ；函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，求n .3. 函数y ＝kx 和y ＝－k x (k ≠0)的图象关于y 轴对称，我们定义函数y ＝k x 和y ＝－k x(k≠0)相互为“影像”函数：(1)请写出函数y ＝2x －3的“影像”函数：________； (2)函数________的“影像”函数是y ＝x 2－3x －5;(3)若一条直线与一对“影像”函数y ＝2x (x ＞0)和y ＝－2x(x ＜0)的图象分别交于点A 、B 、C (点A 、B 在第一象限)，如图，如果CB ∶BA ＝1∶2，点C 在函数y ＝－2x(x ＜0)的“影像”函数上的对应点的横坐标是1，求点B 的坐标．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1，又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2，如此下去，得到线段OP 3，OP 4…，OP n (为正整数)．(1)求点P 3的坐标；(2)我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(|x n |，|y n |)称为点P n 的“绝对坐标”，根据图中P n 的分布规律，求出点P n 的“绝对坐标”．第4题图考向2) 几何类(杭州：2015.19；台州：2016.23，2015、2013.24；绍兴：2017.22，2013.22，2012.21)针对训练1. (2017绍兴)定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．第1题图2. 阅读下面的材料：如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”，如图①，▱ABEF即为△ABC的“友好平行四边形”．请解决下列问题：(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好矩形”；(2)若△ABC是钝角三角形，则△ABC显然只有一个“友好矩形”，若△ABC是直角三角形，其“友好矩形”有______个；(3)若△ABC是锐角三角形，且AB＜AC＜BC，如图②，请画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的“友好矩形”，并说明理由．第2题图)3. (2017常州)如图①，在四边形ABCD 中，如果对角线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，________一定是等角线四边形(填写图形名称)；②若M 、N 、P 、Q 分别是等角线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当对角线AC 、BD 还需要满足________时，四边形MNPQ 是正方形；(2)如图②，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平面内一点． ①若四边形ABCD 是等角线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的面积是________； ②设点E 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等角线四边形，写出四边形ABED 面积的最大值，并说明理由．第3题图4. (2017黄石)在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为2∶1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”．在“标准矩形”ABCD 中，P 为DC 边上一定点，且CP ＝BC ，如下图所示．(1)如图①，求证：BA ＝BP ；(2)如图②，点Q 在DC 上，且DQ ＝CP ，若G 为BC 边上一动点，当△AGQ 的周长最小时，求CG GB的值；(3)如图③，已知AD ＝1，在(2)的条件下，连接AG 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ，T 为BF 的中点，M 、N 分别为线段PF 与AB 上的动点，且始终保持PM ＝BN ，请证明：△MNT 的面积S 为定值，并求出这个定值．第4题图5. 对于一个四边形给出如下定义：如一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形，如图①中，∠B＝∠D，AB＝AD；如图②中，∠A＝∠C，AB＝AD则这样的四边形均为奇特四边形．(1)在图①中，若AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠C＝120°，请求出四边形ABCD的面积；(2)在图②中，若AB＝AD＝4，∠A＝∠C＝45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；(3)如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE＝DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H，若EB＋BC＝m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值(用含m的代数式表示)；如果不是，请说明理由．第5题图6. 类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图①，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形A B CD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件；(2)小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由；(3)如图②，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连接AA′，BC′.小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB′的长)?第6题图7. (2017江西)我们定义：如图①，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知(1)在图②，图③中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图②，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；②如图③，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为________．猜想论证(2)在图①中，当△A B C为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用(3)如图④，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．第7题图答案1. 解：(1)不是．理由如下：∵解方程x 2＋x －12＝0，得x 1＝－4，x 2＝3， ∴|x 1|＋|x 2|＝4＋3＝2×|3.5|， ∵3.5不是整数，∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”； (2)存在．理由如下：∵方程x 2－6x －27＝0，x 2＋6x －27＝0是“偶系二次方程”， ∴假设c ＝mb 2＋n ，当b ＝－6，c ＝－27时，有－27＝36m ＋n ， ∵x 2＝0是“偶系二次方程”，∴n ＝0，m ＝－34，∴c ＝－34b 2.又∵x 2＋3x －274＝0也是“偶系二次方程”，当b ＝3时，c ＝－274＝－34×32，∴可设c ＝－34b 2，对任意一个整数b ，当c ＝－34b 2时，b 2－4ac ＝b 2－4c ＝4b 2，∴x ＝－b ±2|b|2，∴x 1＝－32b ，x 2＝12b ，∴|x 1|＋|x 2|＝32|b |＋12|b |＝2|b |.∵b 是整数，∴对于任意一个整数b ，存在实数c ，当且仅当c ＝－34b 2时，关于x 的方程，x 2＋bx＋c ＝0是“偶系二次方程”．2. 解：(1)∵y ＝x 2＋x ＋1， ∴y ＝(x ＋12)2＋34，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的顶点坐标为(－12，34)，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为(12，32)，∴反倍顶二次函数的解析式为y ＝(x －12)2＋32＝x 2－x ＋74；(2)y 1＋y 2＝x 2＋nx ＋nx 2＋x ＝(n ＋1)x 2＋(n ＋1)x ＝(n ＋1)(x 2＋x )＝(n ＋1)(x ＋12)2－n ＋14， ∴顶点的坐标为(－12，－n ＋14)，y 1－y 2＝x 2＋nx －nx 2－x ＝(1－n )x 2＋(n －1)x ＝(1－n )(x 2－x)＝(1－n)(x －12)2－1－n4，∴顶点的坐标为(12，－1－n4)，由于函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，则－2×1－n 4＝－n ＋14，解得n ＝13.3. 解：(1)y ＝－2x －3；【解法提示】令－x ＝x 得y ＝－2x －3. (2)y ＝x 2＋3x －5；【解法提示】令－x ＝x 得y ＝x 2＋3x －5.(3) 如解图，作CC ′⊥x 轴，BB ′⊥x 轴，AA ′⊥x 轴垂足分别为C ′、B ′、A ′，第3题解图设点B (m ，2m )，A (n ，2n)，其中m ＞0，n ＞0，由题意，将x ＝－1代入y ＝－2x中解得y ＝2，∴点C (－1，2)，∴CC ′＝2，BB ′＝ 2m ，AA ′＝2n，又∵A ′B ′＝n －m ，B ′C ′＝m ＋1，CC ′∥BB ′∥AA ′，CB ∶AB ＝1∶2, 则B ′C ′∶A ′B ′＝1∶2，则⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝2（m ＋1）2m －2n ＝23（2－2n ），消去n 化简得到3m 2－2m －3＝0,解得m ＝1＋103或1－103(舍弃)，∴2m ＝21＋103＝－2＋2103，∴点B 坐标为(1＋103，－2＋2103)．4. 解：(1)根据题意，得OP 3＝2OP 2＝4OP 1＝8OP 0＝8, 根据等腰直角三角形的性质，得P 3(－42，42); (2)由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的角平分线上或x 轴或y 轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当P n 的n ＝0，4，8，12…，则点在x 轴上，则“绝对坐标”为(2n，0) ， ②当P n 的n ＝2，6，10，14…，则点在y 轴上，则“绝对坐标”为(0，2n) ； ③当P n 的n ＝1，3，5，7，9…，则点在各象限的角平分线上，则“绝对坐标”为(2n－12，2n －12)．考向2 几何类针对演练1. 解：(1)①∵AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵AB ＝BC ， ∴▱ABCD 是菱形．又∵∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD为正方形，∴BD＝2；②如解图①，连接AC，BD，第1题解图①∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，又∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD；(2)若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件；若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如解图②，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，第1题解图②∴AE＝AB＝5；②当BF＝AB时，如解图③，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，第1题解图③∴BF ＝AB ＝5. ∵DE ∥BF ， ∴△PED ∽△PFB ，∴ED FB ＝PD PB ＝12， ∴DE ＝2.5， ∴AE ＝9－2.5＝6.5.综上所述，AE 的长为5或6.5.2. 解：(1)三角形的一边与矩形的一边重合，三角形这边所对的顶点在矩形这边的对边上；(2)2；【解法提示】如解图①的矩形BCAF 、矩形ABED 为Rt △ABC 的两个“友好矩形”；第2题解图(3)此时共有3个“友好矩形”，如解图②的矩形BCDE 、矩形CAFG 及矩形ABHK ，其中的矩形ABHK 的周长最小．理由如下：∵矩形BCDE 、矩形CAFG 及矩形ABHK 均为△ABC 的“友好矩形”，∴这三个矩形的面积相等，令其为S ，设矩形BCDE ，矩形CAFG 及矩形ABHK 的周长分别为L 1，L 2，L 3，△ABC 的边长BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则L 1＝2Sa ＋2a ，L 2＝2Sb ＋2b ，L 3＝2S c＋2c ，∴L 1－L 2＝(2S a ＋2a )－(2S b ＋2b )＝2S ab (b －a )＋2(a －b )＝2(a －b)·ab －S ab，而ab ＞S ，a＞b ，∴L 1－L 2＞0，即L 1＞L 2，同理可得，L 2＞L 3， ∴L 3最小，即矩形ABHK 的周长最小． 3. 解：(1)①矩形；【解法提示】平行四边形和菱形的对角线不相等，矩形的对角线相等，故矩形一定是等角线四边形．②垂直；【解法提示】∵四边形ABCD 是等角线四边形，∴AC ＝BD ，∵M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴MN ＝PQ ＝12AC ，PN ＝MQ ＝12BD ，∴MN ＝PQ ＝PN ＝MQ ，∴四边形MNPQ是菱形，根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可知需要四边形MNPQ 有一个角是直角，又易知MN ∥PQ ∥AC ，PN ∥QM ∥BD ，∴要使四边形MNPQ 是正方形需要AC ⊥BD .(2)①3＋221； ∵AD ＝BD ，∴D 在AB 的垂直平分线上， ∵四边形ABCD 是等角线四边形， ∴AC ＝BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3， ∴AC ＝5， ∴BD ＝5，如解图①，取AB 的中点为M ，则DM ⊥AB ，第3题解图①在Rt △ADM 中，AD ＝BD ＝5，AM ＝BM ＝2，由勾股定理得DM ＝21； ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DM ＋12BC ·BM＝12×4×21＋12×3×2＝3＋221； ②四边形ABED 面积最大值为18，理由如下：如解图②，设AE 与BD 交于点O ，夹角为α，则第3题解图②S 四边形ABED ＝S △AED ＋S △ABE ＝12AE ·ODsin α＋12AE ·OBsin α＝12AE ·BDsin α，∵AE ＝BD ，∴S 四边形ABED ＝12AE 2sin α，∴当AE 最大，且α＝90°时，四边形ABED 的面积最大，此时延长AC 交圆C 于E ，则AE 最大为5＋1＝6， ∴四边形ABED 的最大面积为12×62＝18.4. (1)证明：如解图①所示，第4题解图①∵PC ＝BC ，∠BCP ＝90°，∴BP ＝2BC ，又∵矩形ABCD 为“标准矩形”， ∴AB ＝2BC ， ∴AB ＝BP ；(2)解：如解图②，作点Q 关于直线BC 对称的点F ，连接AF 交BC 于点E ，连接QE 、GF ，第4题解图②∵DQ ＝CP ，∴CQ ＝DP ＝CF 且AQ 为定值， ∴EQ ＝EF ，GQ ＝GF ，∵AQ 为定值，要使△AGQ 的周长最小时， ∴只需AG ＋GQ ＝AG ＋GF 最小，显然AG ＋GF ≥AF ＝AE ＋EF ＝AE ＋EQ ，即当点G 与点E 重合时，△AGQ 的周长最小，此时CG GB ＝CE EB ＝CF AB ＝DPAB，∵DP AB ＝CD －CP AB ＝AB －BC AB ＝1－BC AB ＝1－22， ∴当△AGQ 的周长最小时，CG GB ＝1－22； (3)证明：如解图③，MN 交AF 于点K ，连接KT ，第4题解图③由(2)可知，CF ＝DP ， ∴PF ＝AB 且PF ∥AB ， ∴四边形ABFP 为平行四边形，又由PM ＝BN ， ∴MF ＝AN ， ∴△MFK ≌△NAK ， ∴点K 为AF 与MN 的中点，又∵点T 为BF 的中点， ∴KT 为△FAB 的中位线， ∴S △FKT ＝S △TMK ＝S △TKN ，∴S △MNT ＝2S △FKT ＝12S △FAB ＝14S 平行四边形ABFP ＝14×2＝24，∴△MNT 的面积S 为定值，这个定值为24. 5. 解：(1)如解图①，设AC 与BD 交于点O ；第5题解图①∵AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形，∴AB ＝AD ＝BD ＝4, ∠ABD ＝∠ADB ＝60°， ∵∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠CBD ＝∠CDB ，∵∠BCD ＝120°， ∴∠CBD ＝∠CDB ＝30°， ∴CB ＝CD ， ∵AB ＝AD ， ∴AC ⊥BD ，∴BO ＝OD ＝2，OA ＝AB ·sin60°＝23，OC ＝OB ·tan30°＝233，∴S 四边形ABCD ＝12·BD ·OA ＋12·BD ·OC ＝12·BD ·(OA ＋OC )＝1633；(2)2；【解法提示】如解图②，作DH ⊥AB 于H ，过点B 、D 、C 作圆，连接BD ，第5题解图②∵∠C ′＝∠C ＝45°， ∴当C ′B ＝C ′D 时，△BDC ′的面积最大，此时四边形ABC ′D 的面积最大，易证四边形ABC ′D 是菱形，在Rt △AHD 中，∵∠A ＝45 °，∠AHD ＝90°，AD ＝4， ∴AH ＝HD ＝22，∴四边形ABC ′D 的面积＝AB ·DH ＝82， ∴四边形ABCD 的面积的最大值为8 2.(3)四边形BCGE 的面积是定值，理由如下：如解图③，连接EC 、CF ，作FM ⊥BC 于M .第5题解图③在△BCE 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ∠EBC ＝∠FDC ，BC ＝DC∴△BCE ≌△DCF (SAS)， ∴CE ＝CF ， ∵EG ＝GF ， ∴S △ECG ＝S △FCG ， ∵四边形CDFM 是矩形， ∴BC ＝DC ＝MF ，DF ＝BE ＝CM ， ∴BM ＝m ，BE ＋FM ＝m ，∴△FCM ，△DCF ，△BCE 的面积相等， ∴S 四边形BCGE ＝12·S 四边形BEFM ＝12·12·m ·m ＝14m 2.6. 解：(1)AB ＝BC 或BC ＝CD 或CD ＝AD 或AD ＝AB ； (2)解：小红的结论正确．理由如下：∵四边形的对角线互相平分， ∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形；(3)由∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，得：AC ＝5， ∵将Rt △ABC 平移得到Rt △A ′B ′C ′，∴BB ′＝AA ′，A ′B ′∥AB ，A ′B ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝1，A ′C ′＝AC ＝5， (Ⅰ)如解图①，当AA ′＝AB 时，BB ′＝AA ′＝AB ＝2；第6题解图①(Ⅱ)如解图②，当AA ′＝A ′C ′时，BB ′＝AA ′＝A ′C ′ ＝5；第6题解图②(Ⅲ)当A ′C ′＝BC ′＝5时，如解图③，延长C ′B ′交AB 与点D ，则C ′B ′⊥AB ，第6题解图③∵BB ′平分∠ABC ，∴∠ABB ′＝12∠ABC ＝45°，∴∠BB ′D ＝∠ABB ′＝45°， ∴B ′D ＝BD ，设B ′D ＝BD ＝x ，则C ′D ＝x ＋1，BB ′＝2x ，∵根据在Rt △BC ′D 中，BC ′2＝C ′D 2＋BD 2即x 2＋(x ＋1)2＝5，解得：x ＝1或x ＝－2(不合题意，舍去)， ∴BB ′＝2x ＝2；第6题解图④(Ⅳ)当 BC ′＝AB ＝2时，如解图④，与(Ⅲ)方法同理可得： x ＝－1＋72或x ＝－1－72(舍去)，∴BB ′＝2x ＝－2＋142.故应平移2或5或2或－2＋142的距离．7. 解：(1)①12，②4；【解法提示】①如解图①中，第7题解图①∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ＝AB ′＝AC ′， ∵DB ′＝DC ′， ∴A D ⊥B ′C ′，∵∠BAC ＝60°，∠BAC ＋∠B ′AC ′＝180°，∴∠B ′＝∠C ′＝30°，∴AD ＝12AB ′＝12BC . ②如解图②中，第7题解图②∵∠BAC ＝90°，∠BAC ＋∠B ′AC ′＝180°，∴∠B ′AC ′＝∠BAC ＝90°，∵AB ＝AB ′，AC ＝AC ′，∴△BAC ≌△B ′AC ′，∴BC ＝B ′C ′，∵B ′D ＝DC ′，∴AD ＝12B ′C ′＝12BC ＝4； (2)猜想：AD ＝12BC . 理由：如解图③中，延长AD 到M ，使得AD ＝DM ，连接B ′M ，C ′M ，第7题解图③∵B ′D ＝DC ′，AD ＝DM ，∴四边形AC ′MB ′是平行四边形，∵∠BAC ＋∠B ′AC ′＝180°， ∠B ′AC ′＋∠AB ′M ＝180°，∴∠BAC ＝∠MB ′A,∵AB ＝AB ′，∴△BAC ≌△AB ′M ，∴BC ＝AM ，∴AD ＝12BC ； (3)存在．理由：如解图④中，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE ⊥AD 于E ，作线段BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作△PCD 的中线PN ，连接DF 交PC 于O ，第7题解图④∵∠ADC ＝150°，∴∠MDC ＝30°，∴在Rt △DCM 中，∵CD ＝23，∠DCM ＝90°，∠MDC ＝30°，∴CM ＝2，DM ＝4，∠M ＝60°，在Rt △BEM 中，∵∠BEM ＝90°，BM ＝BC ＋CM ＝14，∠MBE ＝30°，∴EM ＝12BM ＝7， ∴DE ＝EM －DM ＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE,∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝23，CF＝6，∴∠CDF＝∠CPE＝60°，易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC－∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠APD＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD＋∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝3，∴PN＝DN2＋PD2＝（3）2＋62＝39.。