概率论与数理统计第18讲-资料

fY (x) fX (
x) fX ( 2x
x)
1
1
x
e2
2 x
1 1 x
kx 2 e 2
3
二元正态分布
定义 若二元连续型随机变量(X,Y)的联合概率 密度为
f
(x,
y)
k
exp
1
2(1
2)
(s2
2st
t2
)
其中s x 1 ,t y 2 ,k
1
1
2
212 1 2
1, 2,1,2, 均为常数,1 0,2 0,| |1
18
类似定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差 矩阵. 若 cij=cov(Xi,Xj)
=E{[XiE(Xi)][XjE(Xj)]} i,j=1,2,…,n 都存在, 则称
c11 c12 L c1n
c
c21
c22
L
c2n
为(X1,X2,…,Xn)
L L L L 的协方差矩阵
=0.
12
证 因为独立必不相关, 因此我们证当X与Y不
相关即=0时必相互独立. 这时
f
(x,
y) 1
212
exp21
x1 1
2
y2 2
2
1
(x1)2
e 212
21
1
(y2)2
e 222
22
fX(x)fY(y)
13
定义 若连续型随机变量X的概率密度f(x)为
x2n21 f(x)k1n 称X服从具有n个自由度的t分布,简记为t(n).
y)
k exp
s2 2
1
2(1 2)
(t
s)2
7
定理 二元正态分布的边缘分布为一元正态 分布
8
证
fX (x)
f
(x,
y)dy,而因dy
2dt,
f X
(x)
2 1
1 1
2
exp
s2 2
(t s)2 2(1 2 )
dt
1
s2
e2
2 1
1
(t s)2
2
1
C
c11
c21
c12 c22
,易验算
( X )T C1( X )
1
(1
2)
x1 1 1
2
2
x1 1 1
x2 2 2
x2 2 2
2
21
故二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度可用 矩阵表示为
f( x 1 ,x 2 ) ( 2 ) 2 /1 2 |C |1 /2 e x p 2 1 ( X ) T C 1 ( X )
称(X ,Y)服从二元正态分布.
4
指数上的二次型可以写为
s22stt2s2s2 2s2 22stt2 s2(12)(ts)2
5
s2 2st t2 s2(12)(t s)2
则整个指数上的项可以写为
s2 2
1
2(12)
(t
s)2
6
s2 2
1
2(1 2)
(t
s)2
即联合概率密度可写为
f
(x,
E{[XE(X)]k} 为k阶中心矩
E(|X|k)
为k阶绝对原点矩
E(|XE(X)|k)
为k阶绝对中心矩
E(XkYl)
为X和Y的k+l混合矩
E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}
为X和Y的k+l阶混合中心矩
16
由定义可见 X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩 X的方差D(X)是X的二阶中心矩 协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩
14
定义 若连续型随机变量X的概率密度f(x)为
f
(x)
kx
n1 2
1
1
n1 n2
n1 n2
2 x
0
x0 x0
称X 服从具有第一个自由度为n1,第二
个自由度为n2的F分布,简记为F (n1, n2 ).
15
矩的概念
定义 设X和Y为随机变量, k,l为正整数, 称
E(Xk)
为k阶原点矩(简称原点矩)
c
n
1
cn2
L
cnn
19
n 维正态概率密度
先考虑二维正态概率密度, 二维正态随机变
量(X1,X2)的概率密度为
f (x , x ) 2 1 1 e 1 2
12
1 2(1 2
)
x1 1 1
2
2
x1 1 1
x2 2 2
x2 2 2
2
2
20
记X
x1 x2
,
1
2
,协方差矩阵
23
n维正态分布的几个重要性质 1. n维正态变量(X1,X2,…,Xn)的每一个分量 Xi(i=1,2,…,n)都是正态变量; 反之, 若 X1,X2,…,Xn都是正态变量, 且相互独立, 则 (X1,X2,…,Xn)是n维正态变量. 注:性质中若不具有相互独立性, 则反之不一 定成立.
24
2. n维正态变量(X1,X2,…,Xn)服从n维正态分 布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合
2
st 1
2
exp
s2 2
(t s)2 2(1 2)
dtds
s
2
exp
s2 2
2
t 1
2
exp
(t s)2 2(1 2)
dtds
s2 2
exp
s2 2
ds
11
定理 服从二元正态分布的随机变量(X,Y), 它 们独立的充分必要条件是X与Y的相关系数
概率论与数理统计
第18讲
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1
正态分布与G-分布的关系 定理 如X~N(0,1), 则X2~2(1)
2
证 Q X ~ N (0,1), f X ( x)
1
x2
e2
2
令Y X 2,其概率密度为fY (x) 则 当 x 0时 , fY ( x) 0;当 x 0时
其中(X)T是(X)的转置.
22
设XT=(X1,X2,…,Xn)是一个n维随机向量, 若它 的概率密度为
f(x1,x2,L,xn)
(2)n/1 2|C|1/2exp 1 2(X)TC1(X)
则称X服从n维正态分布. 其中, C是 (X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵, |C|是它的行列
式, C1表示C的逆矩阵, X和是n维列向量, (X)T是(X)的转置.
2
exp
2(1
2)
dt
1
e
(
x 1
2
2 1
)
2
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
9
同样可证
fY(y) 212exp (y2 2 22)2
因此, 联合概率密度中的参数1,2,1,2分
别是X和Y的期望值和标准差.
还可证明参数就是X与Y的相关系数.
10
E{[X E(X )][(Y E(Y )]} D(X ) D(Y )
17
将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩
c11=E{[X1E(X1)]2}, c22=E{[X2E(X2)]2},
c12=E{[X1E(X1)][X2E(X2)]},
c21=E{[X2E(X2)][X1E(X1)]},
排成矩阵的形式: c 1 1 c 1 2
c
2
1
c22
称此对称矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.