Laplace展开定理.

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laplace展开定理

Laplace展开定理Laplace展开定理（Laplace’s expansion theorem）是数学中一个重要的理论，它利用线性代数的方法，将一个n阶行列式展开为n个n-1阶子行列式的和。

Laplace展开定理在代数、概率论、微积分以及工程等领域有广泛的应用。

1. Laplace展开定理的表述给定一个n阶行列式A，可以用Laplace展开定理将其展开为：|A|=∑(−1)i+jni=1a ij M ij其中，a ij是A的第i行第j列元素，M ij是A的第i行第j列元素的代数余子式。

代数余子式是将第i行第j列的元素划去后剩余元素的行列式的值。

2. Laplace展开定理的证明Laplace展开定理的证明可以通过递归的方法进行。

我们可以选择行展开或列展开两种方式，这里以行展开为例进行说明。

假设给定一个3阶行列式：A=[a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33]首先选择第一行进行展开。

根据Laplace展开定理，行列式A可以表示为：|A|=(−1)1+1a11M11+(−1)1+2a12M12+(−1)1+3a13M13其中，M11、M12、M13分别是将第一行的元素划去后剩余元素的2阶子行列式。

对于子行列式M11，可以再次应用Laplace展开定理，将其展开为：M11=(−1)1+1a22a33−(−1)1+2a23a32同理，对于M12和M13也可以进行展开。

将子行列式的展开式代入到行列式A的展开式中，可以得到完整的展开式。

证明过程中，我们可以通过递归的方式将n阶行列式展开为n个n-1阶子行列式，直到最后将2阶子行列式展开为元素的乘积。

3. Laplace展开定理的应用Laplace展开定理在数学中具有广泛的应用，下面列举几个常见的应用领域。

3.1 代数方程组求解Laplace展开定理可以应用于求解代数方程组。

给定一个线性方程组：a11x1+a12x2+⋯+a1n x n=b1a21x1+a22x2+⋯+a2n x n=b2…a n1x1+a n2x2+⋯+a nn x n=b n其中，x1,x2,…,x n是未知数，a ij和b i是已知系数。

Laplace展开定理.

D 1 i1 ik 12 k j1 jk 12 k 1 1 D i1 ik j1 jk
由此可知，D1 和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一
项都相差符号为 1 i1 ik j1 jk
…，第n列加到第n+1列，用 b12,b22, bn2 乘第1列，第2列，
第二章
行列式
…，第n列加到第n+2列，…，用 b1n ,b2n ,
…，第n列加到第2n列，则 D2n 化为
a11 a12
a1n a11b11 a12b21 a1nbn1
a21 a22
a2n a21b11 a22b21 a2nbn1
§2.8 Laplace展开定理
利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1 阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k 阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。
k 1 k n 1 行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们
的代数余子式的乘积的和等于行列式D。
证明：设D中取定k行后所得的子式为M1, M 2 , , Mt , 它的
代数余子式分别为 A1, A2, , At , 下证 D M1A1 M 2 A2 M t At
—（1）
2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。
abcd
例2.8.1 写出行列式 D g h p q 中取定第一行和
stuv
wx y z
第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。二阶子式共有 C42 6 个。

高等数学第二章课件-Laplace定理

§2.8 Laplace 定理一、k 级子式与余子式、代数余子式定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列( )，位于这些行和列的交叉点上的个元素k n ≤2k 式 D 的一个 k 级子式；的余子式；M ′次序组成的级行列式，称为 k 级子式M n k −在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是，则在 M 的余子式前1212,,,;,,,k k i i i j j j ⋯⋯M ′后称之为 M 的代1212(1)k ki i i j j j +++++++−⋯⋯加上符号数余子式，记为1212(1).k ki i i j j j A M +++++++′=−⋯⋯23 12注：① k 级子式不是唯一的.（任一 n 级行列式有个 k 级子式）． k k n nC C 时，D 本身为一个n 级子式．k n =②　时，D 中每个元素都是一个1级子式；1k =二、Laplace 定理由这 k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的设在行列式 D 中任意取 k ( ( ))行，11k n ≤≤−代数余子式的乘积和等于 D ．即若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子1122.t t D M A M A M A =+++⋯，它们对应的代数余子式12,,,t M M M ⋯式为定理（Laplace 定理）则12,,,,t A A A ⋯分别为时，1122t t D M A M A M A =+++⋯1k =即为行列式 D 按某行展开. 注：它们的代数余子式为1k kka a =⋯⋯⋯⋯2⋯(a b ==−,1,2,,i j n=⋯1n11ij i j c a b a =+。

laplace展开定理

laplace展开定理Laplace展开定理是数学中的一个重要定理，它是对函数进行分析的一种方法，可以将一个复杂的函数表示为简单的分段函数。

本文将详细介绍Laplace展开定理的定义、性质、证明及应用。

一、定义Laplace展开定理是指，对于任意一个实数t>0和任意一个具有有限变化区间[a,b]上连续函数f(x)，其Laplace变换F(s)可以表示为：F(s)=∫[a,b]f(x)e^{-sx}dx其中s为复平面上的复数。

如果f(x)在[a,b]上满足一定条件，那么可以通过Laplace展开定理将其表示为一个无穷级数形式：f(x)=∑_{n=0}^{∞}(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0}其中d^n/ds^n表示对F(s)求n次导数。

二、性质1. Laplace展开定理适用于具有有限变化区间[a,b]上连续函数f(x)。

2. Laplace展开定理可以将复杂的函数表示为简单的分段函数形式，便于进行分析和计算。

3. Laplace展开定理中的无穷级数收敛性需要满足一些条件，如Dirichlet条件和Abel条件等。

4. Laplace展开定理可以用于求解微分方程、计算概率密度函数等数学问题。

三、证明Laplace展开定理的证明涉及到一些复杂的数学知识，其中包括复变函数、级数收敛性等。

下面给出一个简单的证明思路：1. 将f(x)表示为一个幂级数形式：f(x)=∑_{n=0}^{∞}a_nx^n2. 对f(x)进行Laplace变换，得到F(s)：F(s)=∫[0,∞)f(x)e^{-sx}dx=\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_n}{s^n}3. 对F(s)进行逐项求导，并将s=0代入，得到：\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0}=(-1)^na_nx^n4. 将上述结果代入Laplace展开定理中，得到：f(x)=\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0} 5. 由于幂级数具有良好的收敛性，因此可以将无穷级数和积分号交换顺序，从而得到Laplace展开定理。

行列式的Laplace展开定理

D= 0 2 1 2 0 00212 00021
解
按
1，2
行展开。这两行共组成
C
2 5
= 10
个二阶子式，但其中不为零的只
有 3 个，即
1 M1 = 2
2 1
=
−3 ， M 2
=
1 2
0 2
=
2，M3
=
2 1
0 =4 2
对应的代数余子式为
120
220
020
A1 = (−1)1+2+1+2 2 1 2 = −7 ，A2 = (−1)1+2+1+3 0 1 2 = −6，A3 = (−1)1+2+2+3 0 1 2 = 0。
a11
a21 M M ij = ai−1,1 a i +1,1 M an1
L a1, j−1 L a2, j−1
M L ai−1, j−1 L ai+1, j−1
M L an, j−1
a1, j+1 a2, j+1
M ai−1, j+1 ai+1 , j+1
M an, j+1
L a1n L a2n
M L ai−1,n ； L ai+1,n
行列式的 Laplace 展开定理
一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D为n阶行列式，Aij为行列式元素aij的代数余子式，那么对任
意的 i ≠ j ，如下四个等式都成立。
ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + L + ain Ain = D ；
ai1 A j1 + ai2 A j2 + L + ain A jn = 0 ；

谈拉普拉斯定理及其应用

一、谈拉普拉斯定理及其应用拉普拉斯定理拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。

他用数学方法证明了行星轨道大小只有周期性变化，此即著名的拉普拉斯定理. 他的著名杰作《天体力学》是经典力学的代表著作，在《宇宙系统论》这部书中，他提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说. 他在数学和物理方面有重要贡献，他是拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者。

在了解Laplace 定理之前，首先要了解如下概念在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列 (k\leq n) ，位于这些行和列的交叉点上的 k^2 个元素按照原来次序组成一个 k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后，余下的元素按照原来的次序组成 n-k 级行列式 M' ，称为 k 级子式 M 的余子式；若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是 i_1,i_2,\cdots,i_k;j_1,j_2,\cdots ,j_k ，则在 M 的余子式 M' 前加上符号 (-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' 后称之为 M 的代数余子式，记为 A=(-1)^{i_1+i_2+\cdots+i_k+j_1+j_2+\cdots +j_k}M' .Laplace 定理：设在行列式 D 中任取 k (1\leq k\leq n-1) 行，由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积和等于 D . 即，若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式为 M_1,M_2,\cdots,M_t ，它们对应的代数余子式分别为 A_1,A_2,\cdots,A_t ，则 D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_tA_t为了更好的理解Laplace 定理，下面看个例子：先有行列式 D=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ \end{array} \right| ，取定其第一、三行，求其子式和代数余子式，并计算其值解：去定其第一、三行，其子式为：M_1=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right|=-2,\quad M_2=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=0,\quad M_3=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\M_4=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right|=2,\quad M_5=\left| \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ 0 & 3 \\\end{array} \right|=6,\quad M_6=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=-1 \\它们的代数余子式为：A_1=(-1)^{1+3+1+2}\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right|=1,\quad A_2=(-1)^{1+3+1+3}\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right|=-2,\quad A_3=(-1)^{1+3+1+4}\left| \begin{array}{ccc} -1 & 2 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right|=5 \\A_4=(-1)^{1+3+2+3}\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right|=0,\quad A_5=(-1)^{1+3+2+4}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right|=0,\quad A_6=(-1)^{1+3+3+4}\left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=0 \\所以其行列式为D=M_1A_1+M_2A_2+\cdots+M_6A_6=-7 \\经Matalb验证如下：M=[1,2,1,4;0,-1,2,1;1,0,1,3;0,1,3,1];det(M)___________-7二、证明如何证明行列式的拉普拉斯定理？首先回顾一下行列式的计算方法一个 n 阶矩阵的行列式等于其按第 i 行展开，对应元素与其代数余子式乘积的代数和，用符号表示为D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum_{j=1}^{n}{ a_{ij}A_{ij}}\quad (i=1,2,\cdots ,n) \\上式在很多教科书上被用作行列式的定义，现通常被称为“（行列式的）拉普拉斯展开式（Laplace expansion）/（行列式的）余因子展开式（cofactor expansion）”；然而，此式首先由范德蒙（Vandermonde）给出。

§2.8拉普拉斯(Laplace)定理

从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理

Laplace 展开定理

Dn
a 0 0பைடு நூலகம் 0 0 a 0 0 a 0 0 a 0 (1) n 1 0 0 0 a
0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 1 0 0 0
a n (1) n 1 (1) n a n 2
a n a n2
laplace展开定理二laplace定理行列式按某几行或几列展开定义个元素按原来的顺序余下的元素按原来的顺序余子式
Laplace 展开定理
二、 Laplace定理
行列式按某几行或几列展开定义中,
(1 k n )
个元素，按原来的顺序, 余下的元素按原来的顺序, 余子式. 其中 i1 , i 2 , , i k
矩阵
a11 a21 A a s1
a12 a22 as2
a1n a2n asn
称为方程组（1）的系数矩阵 ; a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2 n b2 而矩阵 A a a a b s sn s1 s 2 称为方程组（1）的增广矩阵．
ak 1 ... akk b11 ... b1k br 1 ... brk
(k r) (k r)
1．利用行列式定义直接计算 2．利用行列式的性质计算 3．化为三角形行列式 4．降阶法 5．逆推公式法 6．利用已知行列式（范德蒙行列式） 7．加边法（升阶法） 8．数学归纳法 9. 分拆法
例
a1 b1 c1 a2 b2 c2
1
a1 a2 1 2 1 2 c3 c4 ( 1) b1 b2 d3 d4
a1 b1 0 b3
( 1)
1 2 1 3

14 拉普拉斯展开定理分解

i1
i1
的值相等，即 AB A B .
bn2
bnn
n
a1ibin
i1
矩阵乘积的行列式表
示
n
a2ibin AB
i1
n
anibin
i1
证明＊
设
A
aij
n
,B
bij
,
n
构造2n阶行列式
a11 a12
a1n 0 0
0
a21 a22
a2n 0 0
0
D an1 an2
ann 0 0
0
1 0
0 b11 b12
c d a b c d a b
d c b a d c b a
a2 b2 c2 d2
0
0
0
0
a2 b2 c2 d2
0
0
0
0
a2 b2 c2 d2 0
0
0
0 a2 b2 c2 d2
A
A
T
A2
a2 b2 c2 d 2
4
a4>0
A a2 b2 c2 d 2 2
这个定理也就是说: 在D中任取k行（列）后，
得到的子式为 N1, N2, , NCnk ，它们的代数余子式
分别为 A1, A2 , ACnk ，则
D N1A1 N 2 A2
证明略。
N Cnk ACnk
注：① 行列式按一行(列)展开是该定理中时的特殊情况。
② a11 a1k 0 0
D ak1
2354
0230 D
2123
0110
解
r2 , r42 D
1
3 1 (1)2423

拉普拉斯(Laplace)定理

行运用Laplace 定理结果．定理结果．为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1：计算行列式 D = 1 ： 0
M 1 = 1 2 = −2, 解： 1 0
2 1 4 −1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ainbnj , i , j = 1,2,⋯ , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组：
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 − ax2 + dx3 − cx4 cx − dx − ax + bx dx1 + cx2 − bx3 − ax4 2 3 4 1
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
级子式与余子式、一、k 级子式与余子式、代数余子式
定义在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n)，位于这些行和列的交叉点上的位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列按照原来次序组成一个，称为行列级子式；式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级行列余子式；式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；

行列式的Laplace展开定理

行列式的Laplace展开定理行列式的Laplace 展开定理一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D 为n 阶行列式，A ij 为行列式元素a ij 的代数余子式，那么对任意的i ≠j ，如下四个等式都成立。

a i 1A i 1+a i 2A i 2+L +a in A in =D ； a i 1A j 1+a i 2A j 2+L +a in A jn =0；a 1j A 1j +a 2j A 2j +L +a nj A nj =D ；a 1i A 1j +a 2i A 2j +L +a ni A nj =0。

上式称为n 阶行列式按一行（列）展开的定理。

我们问：n 阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n 阶行列式是否可以按k 行或k 列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？我们先回顾n 阶行列式中元素a ij 的余子式和代数余子式的概念。

定义1 在n 阶行列式D 中，把元素a ij 所在的第i 和第j 列划去后，剩下的n −1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。

称A ij =(−1) i +j M ij 为元素a ij 的代数余子式，即a 11a 21ML La 1, j −1a 2, j −1Ma 1, j +1a 2, j +1M a i −1, j +1a i +1, j +1M a n , j +1L La 1n a 2n MM ij =a i −1, 1L a i −1, j −1a i +1, 1L a i +1, j −1M Ma n 1La n , j −1L a i −1, n ； A ij =(−1) i +j M ijL a i +1, nM La n , n二、行列式的Laplace 展开定理为了将n 阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k 行或k 列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。

定义1 在n 阶行列式D 中，任取k 行，k 列（1≤k ≤n −1) ），位于这k 行、k 列交点处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式M 称为D 的一个k 阶子式。

2§8 拉普拉斯(Laplace)定理

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例3 在行列式
1 D= 1 0 2 0 1 1 4 1 3 3 1 0 −1 2 1
中取定第1，2行。得到六个子式：
1 2 1 1 1 4 M1 = , M2 = , M3 = , 0 −1 0 2 0 1
M4 = 2 1 −1 2 , M5 = 2 4 −1 1 , M6 = 1 4 2 1 .
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结束
根据拉普拉斯定理，将D按前n行展开，则因D中前 n行除去左上角那个n级子式外，其余的n 级子式都等于0，所以
a11 a21 D= ⋮ an1 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ an 2 ⋯ ann b11 b12 ⋯ b1n b21 b22 ⋯ b2 n ⋅ = D1 D2 . ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn 2 ⋯ bnn
b12 ⋯ b1n b22 ⋯ b2 n ⋮ ⋮
−1 bn1 bn 2 ⋯ bnn
上页下页返回结束
a1n bn1 a1n bn 2 ⋯ a1n bnn
⋯
a12b21 a12b22 ⋯ a12b2n
a11 a12 ⋯ a1n
+ +
⋯
+ +
+
⋯
+ + +
a12 a11
a1n
⋮
a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann −1 0 ⋯ 0 0 −1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ −1
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结束
定理6 拉普拉斯定理）定理6（拉普拉斯定理）
设在行列式D中任意取定了k（1≤k≤n+1）个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。证明：设D中取定k行后得到的子式为证明： M 1 , M 2 ,⋯, M t , 它们的代数余子式为A1 , A2 ,⋯, At , 定理要求证明：

1.6Laplace 展开定理

A1 2 1 0 12, A2 2 2 1 6, A3 0 4 1 3
所以 D=12-6=6
3 4 1
a1
例 1.16
a2
计算2 n阶行列式
b2 an 1 bn 1 an bn bn 1 bn an an 1 a2
b1
D2 n
b2 b1
a1
解对的第n, n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1行展开）得
§1.6 Laplace 展开定理
定义：在D中,划去k阶子式N所在的k行k 列,剩余元素按原行列式D中的相对位置排成的n -k阶行列式M称为k阶子式N 的余子式. 例1 在5阶行列式 D aij 5中,取第 2,4 行和第1,4 列,
a21 a24 N a41 a44
是 D 的一个二阶子式,
选例
计算行列式
D
1 2 a s d f
3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 t 1 2 1 3 g 1 2 2 1 h 1 5 3 5 j 3 5 6 7 1 2 1 3
解
1 2 D a s d f 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 t 1 2 1 3 g 1 2 2 1 h 1 5 3 5 j 3 5 6 7
如果子式N的k行k列在D中的行标与列标分别为
i1 , i2 ,, ik , j1 , j2 ,, jk
则称 A (1)(i1 i2 ik )( j1 j2 jk ) M 为 N 的代数余子式. 例1中 N 的余子式为： a12
a13 a33 a53
a15 a35 a55
a1 a2 an D2 n bn bn an b2 b1
2 2 ( an bn ) D2 n 2

线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理

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第一章行列式
1.5 行列式按 k 行(列)展开 ——拉普拉斯(Laplace)定理
一、拉普拉斯定理二、小结、思考题
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一、拉普拉斯定理
定义（见课本 P32-33）
方阵的 k 阶子式
k 阶子式的余子式
k 阶子式的代数余子式
例如:
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25
A 为 5 阶方阵, | A | a31 a32 a33 a34 a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
比较元素 aij 的余子式、代数余子式.
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再例:
a11 a12 a13 | A | a21 a22 a23
a31 a32 a33
A 的第1, 2行元素组成的 2 阶子式:
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
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a1 0 b1 0 例计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
a12 a13 a22 a23
a11 a13 a21 a23
a11 a12 a21 a22
2 阶子式的余子式:
a31
a32
a33
2 阶子式的代数余子式:
(1)(12)(23) a31 a31 (1)(12)(13) a32 a32 (1)(12)(12) a33 a33
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观察 3 阶行列式 aij 按第三行展开式 :
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拉普拉斯定理

a1α1 a 2α 2 " a kα k a k +1, β k +1 a k + 2, β k + 2 " a nβ n
其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) +τ (( β k +1 − k )( β k + 2 − k )"( β n − k )) = (−1)τ (α1α 2 "α k β k +1β k + 2 "β n ) ，于是，这个乘积项是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致。下证一般情形：设子式 M 位于 D 的第 i1 、 i2 、…、 ik 行，第 j1 、 j 2 、…、 j k 列，其中 i1 < i2 < " < ik ；
1
a11 # D= ak1 a k +1,1 # a n1
" M " % "
a1k # a kk # a nk
a1,k +1 # a k ,k +1 a k +1,k +1 # a n ,k +1
" % "
a1n # a kn
" a k +1,k
" a k +1,n # M′ " a nn
此时， M 的代数余子式 A 为 A = (−1) (1+ 2+"+ k ) + (1+ 2+"+ k ) M ′ = M ′ M 的每一项可写作 a1α1 a 2α 2 " a kα k ，其中 α 1 、 α 2 、…、 α k 为 1、2、…、 k 的一个排列，其前面所带符号为 (−1)τ (α1α 2 "α k ) ；

拉普拉斯(Laplace)定理(最全)word资料

§2-8 拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式 3100120012104121-=D 中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ： 1042=M , M 的余子式为 1020='M . 例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中,454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a aM ='是一对互余的子式.定义10:设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121-=D 从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则定理7 两个n 级行列式nnn n n n a a a a a a a a a D2122221112111=和nnn n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n n n c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.n , X ,相互独立且具有相同的数学期望和方2,( i 1, 2,)= 个随机变量的算术平均数ni 11X , i n ==∑X 对于任意正数i X |}με-<充分大时，算术平均数必然)独立，则 22-1}e dt 2t xπ-∞=⎰)具有怎样的分布，n X +=()50,()i i E X D X ==()50,()25n n E Y n D Y ∴==　由中心极限定理，有(5000)n Y ≤)之和，即,(k p D X =3得n lim P →∞⎧⎪⎨⎪⎩四个重要定理：梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是。

Laplace定理

12
k)!
k !(n
k)!

n!
7
项，故D=M1 A1 M2 A2 Mt At .
例
21 3 0
3 2 3 D
3 1 2
0 5
, 前两行共有
C2 6

43 2!

6个子式,
1 1 1 1
21
23
20
M1 3
2 1, M2 3
3 15, M3 3
0, 0
A2

( 1)( 1 2 ) ( 1 3 )
1 1
5 4,
1
A4

( 1)1 2 2 3
3 1
5 8.
1
D 1 (3) (15) 4 (9) (8) 9.
9
例
a11
a1k
0
ak1
akk
a11
a1k b11
b1l ,
c11
c1k b11
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。 1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，1827年3月5日卒于巴黎。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1812年发表了重要的《概率分析理论》一书，在该书中总结了当时整个概率论的研究，论述了概率在选举审判调查、气象等方面的应用，导入「拉普拉斯变换」等。他是决定论的支持者，提出了拉普拉斯妖。他致力于挽救世袭制的没落：他当了六个星期的拿破仑的内政部长，后来成为元老院的掌玺大臣，并在拿破仑皇帝时期和路易十八时期两度获颁爵位，后被选为法兰西学院院长。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。