自考线性代数第三章向量空间习题

第三章 向量空间

一、单项选择题

1．设A ，B 分别为m ×n 和m ×k 矩阵，向量组（I ）是由A 的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的列向量构成的向量组，则必有（ ）

A ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关

B ．若（I ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关

C ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性无关

D ．若（Ⅱ）线性无关，则（I ）线性相关

2．设4321,,,αααα是一个4维向量组，若已知4α可以表为321,,ααα的线性组合，且表示法

惟一，则向量组4321,,,αααα的秩为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．设向量组4321,,,αααα线性相关，则向量组中（ ）

A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合

B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合

C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合

D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

4.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则（ ）

A.α1，α3线性无关

B.α1，α2，α3，α4线性无关

C.α1，α2，α3，α4线性相关

D.α2，α3，α4线性相关

5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ）

A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组

B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量

C ．s ααα,,,21 全是非零向量

D ．s ααα,,,21 全是零向量

6.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ）

A.-32

B.-4

C.4

D.32

7.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ）

A. α1，α2，α3，α4一定线性无关

B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出

C. α1，α2，α3，α4一定线性相关

D. α1，α2，α3一定线性无关

8.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.下列命题中错误．．

的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

10.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ）

A.α1必能由α2,α3，β线性表出

B.α2必能由α1,α3，β线性表出

C.α3必能由α1,α2，β线性表出

D.β必能由α1,α2,α3线性表出

11.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( )

A.α1，α2，α3，α4线性无关

B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示

D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

二、填空题

1．已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=_________.

2.设向量组1α=（a ,1,1）,2α=（1,-2,1）, 3α=（1,1,-2）线性相关，则数a =________.

3.向量组的秩为)2,1,1,0(),0,1,0,1(),2,0,1,1(321-===ααα_____________。

4．已知向量组T T T a ),2,3(,)2,2,2(,)3,2,1(321===ααα线性相关，则数=a ______.

5．设向量组T T )0,1,0(,)0,0,1(21==αα，且22211,αβααβ=-=，则向量组21,ββ的秩为______.

6.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________.

7.设4维向量=α（3,-1,0,2）T ,β=（3,1,-1,4）T ，若向量γ满足2+αγ=3β，则γ=__________.

8.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

9.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________.

三、计算题

1．求向量组α1=（1，4，3，-2），α2=（2，5，4，-1），α3=（3，9，7，-3）的秩.

2.求向量组1α=(1,1,1,3)T ，2α=(-1,-3,5,1)T ，3α=(3,2,-1,4)T ，4α=(-2,-6,10,2)T 的一个极大无关

组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.

3.设向量组为 )3,1,0,2(1-=α

)1,1,2,3(2--=α

)9,5,6,5(3--=α )5,3,4,4(4--=α

求向量组的秩，并给出一个极大线性无关组。

4．设向量组T T T T )3,6,2,0(,)1,3,0,1(,)3,1,1,2(,)0,1,4,1(4321-=--=--==αααα，

求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．

5.设向量α=（3，2），求（αT α）101.

6.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

7.设向量组,,,,T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1))(-1,1,-3,0(1,2,0,1)(2,1,3,1)=α=α=α=α求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。