人教版高中数学必修5第二章数列测试题及答案(AB卷)
最新人教A版高中数学必修5第二章测评试卷及答案
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知数列{a n}是等差数列,a1=2,其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=()A.398B.388C.189D.199a52=a3·a8,公差d≠0,a1=2,∴(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),代入数据可得d=189.故选C.(2+4d)2=(2+2d)·(2+7d),解得d=1,∴S18=18a1+18×1722.已知数列{b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=()A.16B.8C.4D.2b9是1和3的等差中项,所以2b9=1+3,即b9=2.由等比数列{b n}的性质可得b2b16=b92=4.3.已知在递减的等差数列{a n}中,a3=-1,a1,a4,-a6成等比数列,若S n为数列{a n}的前n项和,则S7的值为() A.-14 B.-9C.-5D.-1{a n}的公差为d,由已知得a3=a1+2d=-1,a42=a1·(-a6),即(a1+3d)2=a1·(-a1-5d),且{a n}为递减d=7-21=-14.数列,则d=-1,a1=1.故S7=7a1+7×624.等差数列{a n}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=()A.8B.9C.16D.17,S16>0,即a1+a16=a8+a9>0,S17<0,即a1+a17=2a9<0,所以a9<0,a8>0,所以等差数列{a n}为递减数列,且前8项为正数,从第9项以后为负数,所以当其前n项和取得最大值时,n=8.故选A.5.(2020·全国Ⅱ高考,文6)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S n=()a nA.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1{a n}的公比为q.∵a5-a3=12,a6-a4=24,∴a6-a4=q=2.a5-a3又a 5-a 3=a 1q 4-a 1q 2=12a 1=12,∴a 1=1.∴a n =a 1·q n-1=2n-1,S n =a 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1. ∴S na n=2n -12n -1=2-12n -1=2-21-n.故选B .6.已知数列{a n }满足a n +a n+1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21为( ) A.5 B.72C.92D.132a n +a n+1=12,a 2=2,∴a n ={-32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11×(-32)+10×2=72.故选B .7.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A .815B .1615C .2031D .4031n 天织的布为a n 尺,且数列{a n }为公比q=2的等比数列,由题意可得a 1(1-25)1-2=5,解得a 1=531.所以该女子第4天所织布的尺数为a 4=a 1q 3=4031. 故选D .8.在各项都为正数且不相等的等比数列{a n }中,S n 为其前n 项和,若a m ·a 2m+2=a 72=642(m ∈N *),且a m =8,则S 2m =( ) A.127 B.255 C.511D.1 023{a n }的公比为q ,则a 1q m-1·a 1q 2m+1=(a 1q 6)2.因为等比数列{a n }的各项都为正数且不相等,所以m-1+2m+1=12,解得m=4,故a 4=8.又因为a 72=642,所以a 7=64,q 3=a7a 4=8,解得q=2,所以a 1=a 423=1.故S 2m =S 8=1-281-2=255.9.已知在各项均为正数的数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,2a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),b n =1a n +an+1,记数列{b n }的前n 项和为S n ,若S n =3,则n 的值是( ) A.99B.33C.48D.92a n 2=a n -12+a n+12(n ≥2),∴数列{a n 2}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,∴a n 2=1+3(n-1)=3n-2.又a n >0,∴a n =√3n -2,∴b n =1an +a n+1=√3n -2+√3n+1=13·(√3n +1−√3n -2), 故数列{b n }的前n 项和S n =13[(√4−√1)+(√7−√4)+…+(√3n +1−√3n -2)]=13·(√3n +1-1).由S n =13(√3n +1-1)=3,解得n=33.故选B 10.已知数列{a n }满足a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n3(n ∈N *),则a n =( ) A.13n B.13n -1C.13nD.13n+1a 1+3a 2+32a 3+…+3n-1a n =n 3,①a 1+3a 2+32a 3+…+3n-2a n-1=n -13(n ≥2),② ①-②,得3n-1a n =n3−n -13=13(n ≥2),∴a n =13n (n ≥2).由①得a 1=13,经验证也满足上式,∴a n =13n (n ∈N *).故选C .11.对于正项数列{a n },定义:G n =a 1+2a 2+3a 3+…+na nn为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n }的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A .83B .125C .94D .2110G n=a1+2a2+3a3+…+na n,G n=n+2,∴n·G n=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+na n,∴n.故10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,两式相减得10·a10=21,∴a10=2110选D.12.在数列{a n}中,a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则S100=()A.0B.1 300C.2 600D.2 602a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),当n=1时,得a3-a1=0,即a3=a1;当n=2时,得a4-a2=2.由此可得,当n为+a2=n.奇数时,a n=a1;当n为偶数时,a n=2×n-22所以S100=a1+a2+…+a100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50a1+(2+4+ (100)=2 600.=50+50×(100+2)2二、填空题(每小题5分,共20分)13.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为.,当n=1时,a1=S1=-7,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-9.而a1=2×1-9=-7.综上,a n=2n-9.,又因为n∈N*.由2n-9>0,得n>92故满足a n>0的n的最小值为5.14.已知在公差不为零的正项等差数列{a n}中,S n为其前n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若a5=10,则S5=.{a n}的公差为d,则d>0.由lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,得2lg a2=lg a1+lg a4,则a22=a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d.因为d>0,所以d=a1,a5=5a1=10,解得d=a1=2.故S5=5a1+5×4×d=30.215.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=0,S5=10,数列{b n}满足b1=0,且b n+1=a n+1+b n,则数列{b n}的通项公式为.{a n }的公差为d ,则{a 1+d =0,5a 1+10d =10,解得{a 1=-2,d =2.于是a n =-2+2(n-1)=2n-4.因此a n+1=2n-2.于是b n+1-b n =2n-2,b n =b 1+(b 2-b 1)+(b 3-b 2)+…+(b n -b n-1)=0+0+2+…+(2n-4)=n 2-3n+2,故数列{b n }的通项公式为b n =n 2-3n+2.n =n 2-3n+216.(2020·全国Ⅰ高考,文16)数列{a n }满足a n+2+(-1)n a n =3n-1,前16项和为540,则a 1= .n 为偶数时,有a n+2+a n =3n-1,则(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92, 因为前16项和为540,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448.当n 为奇数时,有a n+2-a n =3n-1,由累加法得a n+2-a 1=3(1+3+5+…+n )-1+n2=34n 2+n+14,所以a n+2=34n 2+n+14+a 1,所以a 1+34×12+1+14+a 1+34×32+3+14+a 1+34×52+5+14+a 1+34×72+7+14+a 1+34×92+9+14+a 1+34×112+11+14+a 1+34×132+13+14+a 1=448,解得a 1=7.三、解答题(共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知数列{a n }是等差数列,前n 项和为S n ,且满足a 2+a 7=23,S 7=10a 3. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列,求k 的值.设等差数列{a n }的公差是d.根据题意有{a 1+d +a 1+6d =23,7a 1+7×62d =10(a 1+2d ), 解得{a 1=1,d =3.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 2=4,a k =3k-2,a k+5=3(k+5)-2, 由于a 2,a k ,a k+5(k ∈N *)构成等比数列, 所以(3k-2)2=4[3(k+5)-2],整理得3k 2-8k-16=0,解得k=4(舍去k =-43). 故k=4.18.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且2a 2=S 2+12,a 3=2. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =log 2a n +3,数列1b n b n+1的前n 项和为T n ,求满足T n >13的正整数n 的最小值.由题意知,2a 2=S 2+12,∴2a 2=a 1+a 2+12,得a 2=a 1+12.设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 3=2,∴2q =2q 2+12,化简得q 2-4q+4=0,解得q=2, ∴a n =a 3·q n-3=2·2n-3=2n-2.(2)由(1)知,b n =log 2a n +3=log 22n-2+3=n-2+3=n+1,∴1b n b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2, ∴T n =1b1b 2+1b 2b 3+…+1b n b n+1=12−13+13−14+…+1n+1−1n+2=12−1n+2=n2(n+2). 令T n >13,得n2(n+2)>13,解得n>4,∴满足T n >13的正整数n 的最小值是5.19.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *),且a 3=15,a 2=3a 5.(1)求{a n }的通项公式;(2)若b n =3a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .由2a n+1=1a n+1a n+2(n ∈N *)可知数列{1a n}为等差数列.由已知得1a 3=5,1a 2=13·1a 5, 设其公差为d ,则1a 1+2d=5,1a 1+d=13(1a 1+4d),解得1a 1=1,d=2,于是1a n=1+2(n-1)=2n-1,整理得a n =12n -1.(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(2n -1)(2n+1)=32(12n -1-12n+1), 所以S n =32(1-13+13−15+…+12n -1−12n+1)=3n2n+1. 20.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -2n . (1)求a 1,a 2.(2)设c n =a n+1-2a n ,证明数列{c n }是等比数列.(3)求数列{n+12c n}的前n 项和T n .a 1=S 1,2a 1=S 1+2,∴a 1=S 1=2.由2a n =S n +2n ,知2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,∴a n+1=S n +2n+1,①∴a 2=S 1+22=2+22=6.①式知a n+1-2a n =(S n +2n+1)-(S n +2n )=2n+1-2n =2n ,即c n =2n ,∴cn+1c n=2(常数). ∵c 1=21=2,∴{c n }是首项为2,公比为2的等比数列.c n =2n ,∴n+12c n=n+12n+1.∴数列{n+12c n}的前n 项和T n =222+323+424+…+n+12n+1,12T n =223+324+…+n 2n+1+n+12n+2,两式相减,得12T n =222+123+124+125+…+12n+1−n+12n+2=12+123×(1-12n -1)1-12−n+12n+2=34−12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2.∴T n =32−n+32n+1. 21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =a n +12n 2+32n-2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n ={1(a n -1)(a n +1),n 为奇数,4·(12)a n,n 为偶数,且数列{b n }的前n 项和为T n ,求T 2n .由于S n =a n +12n 2+32n-2,所以当n ≥2时,S n-1=a n-1+12(n-1)2+32(n-1)-2,两式相减得a n =a n -a n-1+n+1,于是a n-1=n+1,所以a n =n+2. (2)由(1)得b n ={1(n+1)(n+3),n 为奇数,(12)n ,n 为偶数,所以T 2n =b 1+b 2+b 3+…+b 2n =(b 1+b 3+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+…+b 2n ).因为b 1+b 3+…+b 2n-1=12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)=14[11×2+12×3+…+1n×(n+1)]=14(1-12+12-13+…+1n -1n+1)=n 4(n+1),b 2+b 4+…+b 2n =(12)2+(14)4+…+(12)2n =14[1-(14)n ]1-14=13[1-(14)n],于是T 2n =n4(n+1)+13[1-(14)n].22.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足3(n+1)a n =na n+1(n ∈N *),且a 1=3. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和; (3)若a nb n=2n+3n+1,求证:56≤1b 1+1b 2+…+1b n<1.3(n+1)a n =na n+1,所以an+1a n=3(n+1)n(n ∈N *), 则a2a 1=3×21,a 3a 2=3×32,a 4a 3=3×43,……a n a n -1=3×n n -1,累乘可得an a 1=3n-1×n. 又因为a 1=3,所以a n =n×3n (n ∈N *).{a n }的前n 项和为S n ,则S n =1×3+2×32+3×33+…+(n-1)×3n-1+n×3n ,①3S n =1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n +n×3n+1,② ①-②,可得-2S n =3+32+33+…+3n -n×3n+1=3(1-3n )1-3-n×3n+1=32(3n -1)-n×3n+1 =(12-n)×3n+1-32. 所以S n =(n 2-14)×3n+1+34.因为an b n=2n+3n+1, 所以1b n=2n+3n+1×1n×3n =2n+3n (n+1)×13n=3(n+1)-nn (n+1)×13n =(3n -1n+1)×13n =1n ×13n -1−1n+1×13n , 则1b 1+1b 2+…+1b n=(1×13-12×131)+(12×131-13×132)+…+(1n×13n -1-1n+1×13n )=1-1n+1×13n .因为n ∈N *,所以0<1n+1×13n≤16,即56≤1-1n+1×13n <1, 于是56≤1b 1+1b 2+…+1b n <1.。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评12 Word版含答案
高中数学必修五《数列》单元检测（含答案）一、选择题1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列【解析】 因为等比数列{a n }的公比为q ＝－14，a 1＝2，故a 2<0，a 3>0，…所以数列{a n }是摆动数列．【答案】 D2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列【解析】 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.【答案】 D3．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11的值为( )A ．48B ．72C ．144D ．192【解析】 ∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)， ∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.【答案】 D4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )A ．3B ．27C ．3或27D ．15或27【解析】 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎨⎧2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 【答案】 C5．已知等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5等于( ) A.5＋12 B.5－12 C.1－52 D ．5＋12或5－12 【解析】 由题意，得a 3＝a 1＋a 2，即a 1q 2＝a 1＋a 1q ，∴q 2＝1＋q ，解得q ＝1±52.又∵{a n }各项均为正数，∴q >0，即q ＝1＋52.∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3a 1q 3＋a 1q 4＝1q ＝5－12. 【答案】 B二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 3＝16，a 1a 2a 3…a 10＝265，则a 7等于 ．【解析】 因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265，所以a 3a 8＝213，又因为a 3＝16＝24，所以a 8＝29＝512.因为a 8＝a 3·q 5，所以q ＝2.所以a 7＝a 8q ＝256.【答案】 2567．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝ . 【解析】 由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7＝128＝27，故q ＝2. 所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.【答案】 3×2n －38．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝ .【解析】 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.【答案】 27三、解答题9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？【解】 (1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827， 所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负， 故a 1＝－32，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，b n ＝a n ＋1－a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{b n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴b n ＋1b n＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋12－a n ＋1a n ＋1－a n ＝－12. ∴{b n }是等比数列．(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－12，∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. [能力提升]1．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15＝() A．±2 B．±4C．2 D．4【解析】∵T13＝4T9.∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.又∵{a n}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.【答案】 C2．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．16 B．14C．4 D．49【解析】∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.【答案】 A3．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝.【解析】由题意知，数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{a n}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{a n}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.又∵|q|>1，∴{a n}的连续四项为－24,36，－54,81.∴q＝36－24＝－32，∴6q＝－9.【答案】－94．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，ak n，…成等比数列，求数列{k n}的通项k n.【解】依题设得a n＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，得a n＝nd.∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，k n d，…是等比数列．又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，k n，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝31＝3，由此得k1＝9.等比数列{k n}的首项k1＝9，公比q＝3，∴k n＝9×q n－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{k n}的通项为k n＝3n。
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷(带答案)
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分，共计60分）1.数列的一个通项公式是（）A.B.C.D.2.已知数列，，，且，则数列的第五项为（）A.B.C.D.3.是数列中的第（）项.A.B.C.D.4.在等差数列中,若，则（）A.45B.75C.180D.3005.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是()A.－2B.－3C.－4D.－6.在等差数列｛an｝中，设公差为d，若S10＝4S5，则等于7.设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，且a100＋b100＝100，则数列｛an＋bn｝的前100项之和是8.已知等差数列｛an｝的公差d＝1，且a1＋a2＋a3＋…＋a98＝137，那么a2＋a4＋a6＋…＋a98的值等于()9.在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于()10.公差不为0的等差数列｛an｝中，a2、a3、a6依次成等比数列，则公比等于11.若数列｛an｝的前n项和为Sn＝an－1(a≠0)，则这个数列的特征是A.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列D.非等差数列12.等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Ｔn，对一切自然数n，都有=，则等于二、填空题（每小题4分，共计16分）13.数列｛an｝的前n项和为Sn＝n2＋3n＋1，则它的通项公式为.14.已知｛｝是等差数列，且a2＝－1，a4＝＋1，则a10＝.15.在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝.16.数列1，2，3，4，…的前n项和为.三、解答题：17.（本小题满分12分）已知等差数列｛an｝中，Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，求Sm＋n.18.（本题满分12分）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.求公差d的取值范围.19.（本题满分12分）已知等差数列｛an｝中，a1＝29，S10＝S20，问这个数列的前多少项和最大?并求此最大值.20.（本题满分12分）设a1＝5，an＋1＝2an＋3(n≥1)，求｛an｝的通项公式.21.（本题满分12分）求和：1＋＋＋…＋22.（本题满分14分）已知数列｛an｝中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1，2，…)求证｛bn｝是等比数列；(2)设cn＝(n＝1，2…)求证｛cn｝是等差数列；(3)求数列｛an｝的通项公式及前n项和公式数列单元质量检测题参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.C10.D11.C12.B二、填空题13.14.－15.7016.三、解答题17.解析：设Sn＝ｐn2＋qnSn＝ｐn2＋qn＝m；①则Sm＝ｐm2＋qm＝n②①－②得：ｐ(n2－m2)＋q(n－m)＝m－n即ｐ(m＋n)＋q＝－1(m≠n)∴Sm＋n＝ｐ(m＋n)2＋q(m＋n)＝(m＋n)［ｐ(m＋n)＋q］＝－(m＋n).18.解析：由S12＞0及S13＜0可得2a1＋11d＞024＋7d＞0即又∵a3＝12，∴a1＝12－2d∴a1＋6d＜03＋d＜0∴－＜d＜－3.19.解析：设数列｛an｝的公差为d∵S10＝S20，∴10×29＋d＝20×29＋解得d＝－∴an＝－2n＋设这个数列的前n项和最大，an≥0－2n＋31≥0则需：即an＋1≤0－2(n＋1)＋31≤0∴∵n∈N，∴n＝∴当n＝15时，Sn最大，最大值为＝15×29＋(－2)＝225.20.解析：令an＝bn＋ｋ，则an＋1＝bn＋1＋ｋ∴bn＋1＋ｋ＝2(bn＋ｋ)＋3即bn＋1－2bn＝ｋ＋令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－则an＝bn－3，bn＋1＝2bn这说明｛bn｝为等比数列，q＝b1＝a1－ｋ＝8，∴bn＝8•2n－1＝2n＋2∴an＝2n＋2－3.21.解析：设Sn＝1＋＋＋…＋＋则Sn＝＋＋＋…＋＋①－②得：22.解析：(1)∵Sn＋1＝4an＋∴Sn＋2＝4an＋1＋②－①得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1，2，即an＋2＝4an ＋1－4an，变形，得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－∵bn＝an＋1－2an(n＝1，2，∴bn＋1＝由此可知，数列｛bn｝是公比为2的等比数列；由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5故b1＝a2－2a1＝3∴bn ＝3•2n－将bn＝3•2n－1代入，得cn＋1－cn＝(n＝1，2，由此可知，数列｛cn｝是公差为的等差数列，它的首项c1＝∴an＝2n•cn＝(3n－1)•2n－2(n＝1，2，…)；当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)•2n－1＋2，由于S1＝a1＝1也适合于此公式，所以所求｛an｝的前n项和公式是：Sn＝(3n－4)•2n－1＋2.。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 章末综合测评及答案
A．2
B．5
C．－12
1 D.2
【解析】 a1＝5，a2＝23，a3＝95，令 bn＝an3＋n λ，则 b1＝5＋3 λ，b2＝239＋λ，
b3＝952＋7 λ，
∵b1＋b3＝2b2，
∴λ＝－12.
【答案】 C
12．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且 a11>|a10|，则{an}的前 n 项和 Sn 中最
【解】 (1)由已知 Sn＝2an－a1，有 an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即 an＝2an－1(n≥2)，所以 q＝2. 从而 a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1. 又因为 a1，a2＋1，a3 成等差数列，即 a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以 a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得 a1＝2. 所以数列{an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 故 an＝2n. (2)由(1)得a1n＝21n， 所以 Tn＝12＋212＋…＋21n＝1211－－1212n＝1－21n. 由|Tn－1|<1 0100，得1－21n－1<1 0100， 即 2n>1 000. 因为 29＝512<1 000<1 024＝210，所以 n≥10. 于是使|Tn－1|<1 0100成立的 n 的最小值为 10. 22．(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中，已知公差 d＝2，a2 是 a1 与 a4 的等 比中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝an(n＋1)，记 Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求 Tn.
高中数学人教 A 版必修五 第二章 数列
章末综合测评(1)
(时间 120 分钟，满分 150 分)
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷.doc
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷木试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一.选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1.（5分）记Sn为等差数列｛aj的前n项和.若a4+a5=24, S6=48,则｛aj的公差为（）A. 1B. 2C. 4 D・ 82.（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？〃意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D・9盏3.（5分）儿位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了〃解数学题获取软件激活码〃的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2,4.8, 16,其中第一项是2°,接下来的两项是2°, 21,再接下来的三项是2°,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N： N>100且该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（）A. 440B. 330C. 220D. 1104.（5分）已知数列｛a n｝> ｛bj、｛cj,以下两个命题:①若｛an+bj、｛bn+cj、｛ag｝都是递增数列,则｛冇｝、｛bj、心｝都是递增数列;②若｛a n+b n｝ > ｛bn+cj、｛a n+c n｝都是等差数列，则｛a n｝> ｛bj、｛cj都是等差数列;下列判断正确的是（）A.①②都是真命题B.①②都是假命题C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题5.（5分）一给定函数y=f （x）的图象在下列图中，并且对任意（0, 1）, 由关系式a n（1=f （a n）得到的数列｛aj满足a n（1>a n, ne N*,则该函数的图象是（）y \ n+2017 6・（5分）若数列｛a n ｝, ｛b n ｝的通项公式分别为冇=（・l ）n+2016<a, b n =2+ --- , n 且a n <b n>对任意nGN*恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [-1,丄）B.[・1, 1）C.[・2, 1）D. [—2,色） 2 27. （5分）数列｛aj 是正项等比数列，｛bj 是等差数列，且a 6=b 7,则有（） A. as+agWbq+bio B. 83^*39b4_*~bioC. 83^39bioD. 33+39 与 bq+bi0 大小不确定8. （5分）已知数列｛冇｝满足:ai=l, a n+i=—葺 %+2（ne N *）, b 1= - lx,且数列｛bj 是单调递增数列，则实数入的取值范围是（ ）2A. —B.入VIC.入<色D.入<2 5 2 3 9. （5分）设厶A n B n C n 的三边长分别是a., b n , c n , AA n B n C n 的面积为S n , n^N*, 若 bi>Ci ，bi+ci=2ai ，二上耳电，5+]二巧",贝I 」（ ）A. ｛S n ｝为递减数列B. ｛S n ｝为递增数列C ・｛Sm 】｝为递增数列，｛S2」为递减数列D ・｛Smi ｝为递减数列，｛S2】为递增数列10・（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的 介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问 题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相 同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增（茴）若也=心）十）加的数量为多少尺？该问题的答案为（ ）11. （5分）已知数列｛aj 为等差数列,%其前n 项和,且a 2=3a 4-6,则S9等于A.旦尺B.些尺 29 29C ・箸尺 D.寺尺A.25B. 27 C・ 50 D. 5412・（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：〃今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.〃其意思为〃己知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列•问五人各得多少钱？〃（〃钱〃是古代的一种重量单位）.在这个问题屮，E所得为（）A. 2钱B. 2钱C. §钱D.丄钱3 3 6 213.（5分）已知等差数列｛aj的前n项和为s”且S2=10, S s=55,则过点P （n, aQ, Q （n+2, a n+2）（n^N*）的直线的斜率为（）A. 4B.丄C. - 4 D•■丄4 414.（5分）已知等差数列｛aj的前n项和为Sn，K S3=9, a2a4=21,数列｛bj满足如+且+…昌二14（疋『），若b〈丄，则n的最小值为（）a l a2 a n 2n n I。
人教版新课标A版高中数学必修5：第二章数列单元同步测试(含解析).doc
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】第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1,2,3，…)，那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ，得S n ＝2n ，a 1＝S 1＝2，a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2，a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4，…由此可知，数列{a n }既不是等差数列，也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( ) A ．6 B ．－3 C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3， a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3， a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首项为a 的数列{a n }既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意，知a n ＝a (a ≠0)，∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83， b 22＝(－1)×(－9)＝9，∴b 2＝－3， ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意，得－10＝－12＋82(n ＋2)， ∴n ＝3. 答案 B7．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15，S 5＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11)，Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19＝( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数，则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C ．S 13D ．S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7，∴a 7为常数．∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数． 答案 C10．等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62，则通项是( )A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)， ∴62＝q ×31，∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 答案 A11．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在解析 由d <0知，{a n }是递减数列， ∵|a 3|＝|a 9|，∴a 3＝－a 9，即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大． 答案 B12．若a ，b ，c 成等比数列，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A ．有两个不等实根 B ．有两相等的实根 C ．无实数根 D ．无法确定解析 a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2，x ，y ，z,18成等比数列，则x ＝________.解析 设公比为q ，则由2，x ，y ，z,18成等比数列．得18＝2q 4，∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67，则a 2013＝________.解析 由题意，得a 1＝67，a 2＝127，a 3＝57，a 4＝107，a 5＝37，a 6＝67，a 7＝127，…，∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9，S 33＝－16＋33＝17，S 50＝－25，∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21，∵a 1≠0，∴a 1＝1，令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1 两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1， 于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)已知等比数列{a n }，首项为81，数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)若S 11≠S 12，且S 11最大，求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q ， 则a 1＝81，a n ＋1a n＝q ，由a n >0，可知q >0，∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n＝log 3q (为常数)，∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知，b 1＝log 3a 1＝log 381＝4， ∵S 11≠S 12，且S 11最大，∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d >0，q ≠0，a n＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去)．故a n ＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2)，1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20．(12分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由已知，得16＝2q 3，解得 q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ，得当n ＝1时，a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1，得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1，n ∈N *， ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1， 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *，n ≥2)．(1)求证：数列{a n2n }是等差数列； (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0，∴a n 2n －a n －12n －1＝12，∴{a n 2n }是以12为首项，12为公差的等差数列． (2)由(1)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×12， ∴a n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。
高中数学必修5第二章数列测试题及答案(AB卷)
9.已知等差数列 项和为
等于（）
A． B． C． D．
10.若 是等差数列；首项 ；则使前n项和 成立的最大自然数n是：( )
A．4005B．4006C．4007D．4008
二、填空题
11．在首项为31；公差为-4的等差数列中；与零最接近的项是_______。
12．在正项等比数列 中； ；则 _______。
A． B． C． D．
6．在公比为整数的等比数列 中；若 则该数列的第3项为（）
A． B． C． D．
7.如果-1；a；b；c；-9成等比数列；那么( )
A.b=3；ac=9B.b=-3；ac=9C.b=3；ac=-9D.b=-3；ac=-9
8．设Sn为等差数列{an}的前n项和； ；则S5为( )
数学5（必修）第二章：数列(B卷)
一、选择题
1．已知等差数列 的公差为 ；若 成等比数列；则 （）
A． B． C． D．
2．设 是等差数列 的前n项和；若 （）
A．2B．-2 C．6 D．-6
3．设 是等差数列 的前n项和；若 等于（）
A．12 B．18 C．24 D．42
4．设{an}是由正数组成的等比数列； 则 （）
13．等差数列中；若 则 =_______。
的前 项和 ；求 =_______。
三、解答题
15．已知等比数列 的前 项和为 ；已知 成等差数列；求等比数列 的公比q。
16．设 是一个公差为 的等差数列；它的前10项和 且 ； ； 成等比数列.（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）求公差 的值和数列 的通项公式。
17.在等差数列 中；若 （1）求通项 ；（2）求此数列前30项的绝对值的和。
A．14 B．15C．21 D．28
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案)
第二章 数列测评(A 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为A ．11 2B ．12 2C ．13 2D ．142 答案：C ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等比数列{a n }的首项a 1＝1002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C a n ＝1002×(12)n －1<1⇒n>10，即等比数列{a n }前10项大于1，从第11项起小于1，故p 10最大．3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 A ．64 B ．81 C ．128 D ．243答案：A 公比q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2.由a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3，得a 1＝1，a 7＝26＝64.4．设{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项和等于 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案：B {a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，a 3＝3，a 6＝9.∴d ＝2，a 1＝－1，则这个数列的前6项和等于6(a 1＋a 6)2＝24.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于 A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400答案：B 设数列可记为1，－5,9，－13，…，393，－397.其奇数项与偶数项分别是公差为8，－8的等差数列．于是，S 100＝(1＋9＋13＋…＋393)－(5＋13＋…＋397)＝50×(1＋393)2－50×(5＋397)2＝－200.6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且2a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为A ．1＋32B ．1－32 C.1－52 D.5＋12答案：A 由2a 2，a 3，a 1成等差数列得2a 3＝2a 2＋a 1，∴2a 1q 2＝2a 1q ＋a 1，整理得2q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋32或q ＝1－32＜0(因等比数列各项都是正数，故舍去)．∴a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3q 2＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝(1＋32)2＝1＋32.7．(2009广东高考，理4)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于A ．n(2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C 由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n ， 则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n ⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2， 故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2.8．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 由a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2),2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a n 2＝2a n ，即a n ＝2或a n ＝0(舍去)，所以S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2.9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A ．i<4?B ．i<5?C ．i ≥5?D ．i<6? 答案：D 该程序的功能是求和∑i ＝1n1i(i ＋1)，由输出结果56＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，得n ＝5. 10．(2009山东潍坊高三第二次质检，11)已知函数f(x)＝log 2x 的反函数为f －1(x)，等比数列{a n }的公比为2，若f －1(a 2)·f －1(a 4)＝210，则2f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)等于A ．21004×2008B ．21005×2009C ．21005×2008D ．21004×2009答案：D 由题意，得f －1(x)＝2x ，故f －1(a 2)·f －1(a 4)＝4222aa ⋅＝210， ∴a 2＋a 4＝10，即2a 1＋8a 1＝10. ∴a 1＝1.则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)＝log 2(a 1·a 2·…·a 2009)＝log 220＋1＋2＋…＋2008＝1＋20082×2008＝1004×2009.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．若等差数列{a n }中，a 1＋4a 7＋a 13＝96，则2a 2＋a 17的值是__________． 答案：48 ∵a 1＋4a 7＋a 13＝96，a 1＋a 13＝2a 7， ∴a 7＝16.∴2a 2＋a 17＝a 1＋a 3＋a 17＝a 7＋a 11＋a 3＝a 7＋2a 7＝3a 7＝48.12．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0，其中正确判断的序号是__________．答案：①④ 从定义可知，数列{a n }若构成“等差比数列”，则相邻两项不可能相等，所以①正确；而等差数列与等比数列均可能为常数列，就有可能不能构成“等差比数列”，所以②③错误；如数列为{2,0,2,0,2，0，…}，则能构成“等差比数列”，所以④正确．综上所述，正确的判断是①④.13．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a(a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于__________．答案：b 2a 由a 15＋a 16a 5＋a 6＝(a 5＋a 6)q 10a 5＋a 6＝b a ，则q 10＝ba ，则a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)(q 10)2＝a ×(b a )2＝b 2a.14．对于一切实数x ，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f(n3)，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________.答案：3n 2－n 2 ∵f(x)＝[x]，∴a n ＝f(n 3)＝[n3]，n ∈N *.于是，S 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ) ＝(0＋0＋1)＋(1＋1＋2)＋…＋[(n －1)＋(n －1)＋n]＝1＋4＋…＋(3n －2)＝n[1＋(3n －2)]2＝3n 2－n 2.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009福建高考，文17)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .答案：解：(1)设{a n }的公比为q. 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n(－16＋12n －28)2＝6n 2－22n.16．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n(2n －1)(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn(n ∈N *)，试判定：是否存在自然数n ，使得b n ＝900，若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(2n －1)－(n －1)(2n －3)＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合． ∴a n ＝4n －3.∵a n －a n －1＝4(n ≥2)，∴{a n }为等差数列．(2)解：由(1)知，S n ＝2n 2－n ，∴S nn＝2n －1.∴b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.由n 2＝900，得n ＝30，即存在满足条件的自然数，且n ＝30.17．(本小题满分10分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n)＝4n －13＋n(n ＋1)2.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d)q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d)q ＝64.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n(n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝8，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . ∴{a n }为等差数列．设公差为d ，则由题意，得8＝2＋3d ，∴d ＝2. ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)∵b n ＝2n －1·2n ＝n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
高中数学人教A版必修5第二章 数列本章复习与测试(有答案)
10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。
2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测B(含答案)
第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列1,3,6,10,15,…的递推公式是().A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,所以a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2.答案:B2若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于().A.1B.2C.4D.8解析:∵a3a11a n>0,∴a7=4.∴a5答案:A3已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C解析:由题意可{a n a n+1}是以q2为公比的等比数列.由a2=2,a5q所以a1=4,a1a2=8.所以T n答案:C4设等比数列{a n}的前n项和为S n,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(). AC解析:由8a2+a5=0设数列{a n}的公比为q,则q3=-8,所以q=-2.所.答案:D5已知{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于().A.18B.20C.21D.32解析:因为{a n},{b n}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即a5+b6=2(a3+b8)-(a1+b10)=2×15-9=21.答案:C6已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27,则数列{a n}的通项公式是().A.a n=3n+1B.a n=2·3n-1C.a n=3n-1D.a n=3n解析:由a1a2a3=27a2=3.因为S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,得a1=1,从而公比q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:C7若某工厂月生产总值的平均增长率为q,则该工厂的年平均增长率为().A.qB.12qC.(1+q)12D.(1+q)12-1解析:设年初的生产总值为a,则年末的生产总值为a(1+q)12,所以年增长率答案:D8等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A解析:设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3·q+10a1,q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1答案:C9设S n为等差数列{a n}的前n项和,(n+1)S n<nS n+1(n∈N*).A.S n的最大值是S8B.S n的最小值是S8C.S n的最大值是S7D.S n的最小值是S7解析:由(n+1)S n<nS n+1,得(n+1)·a n<a n+1,所以等差数列{a n}是递增数列.a8>0,a7<0,所以数列{a n}的前7项为负值,即S n的最小值是S7.答案:D10已知函数y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴的交点为A n,B n(n∈N*),若以|A n B n|表示A n,B n间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2 015B2 015|等于().AC解析:设交点A n,B n的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2因此|A n B n|=|x2-x1|故|A1B1|+|A2B2|+…+|A n B n|+|A2 015B2 015|答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在数列{a n}中,若a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),解析:当n=2时,a2a1=a1+(-1)2,得a2=2;当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,得a3当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,得a4=3;当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,得a5所答案:12在数列{a n}中,若a2=4,a3=15,且数列{a n+n}是等比数列,则a n=.解析:设数列{a n+n}的公比为q,则q所以a n+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-n.答案:2·3n-1-n13已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q的取值范围是.解析:由题意可设三角形的三边分别因为三角形两边之和大于第三边,所以又a>0,q>0,解答案:14数列{a n}满足a n a n+1=2,且a2=1,若S n是数列{a n}的前n项和,则S31=.解析:∵a2=1,a n a n+1=2,∴a1=2,a3=2,a4=1,…,∴a n答案:4715若在下表所示的3×3正方形的9个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成等比数列,则标有*号的空格应填的数是.13*12解析:设标有*号的空格应填a,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数,则应6.根据每一行成等差数列,则第二行第二个数,且空格中的数都是正整数,则第二列第二个数a=4.1236a12答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d所以{a n}的通项公式为a n(2)由(1)知,b n当n=1,2,3时,1≤当n=4,5时,2≤当n=6,7,8时,3≤当n=9,10时,4≤所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.17(8分)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,且a1=-1,S12=186.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n∈N*恒成立.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=-1,∴S12=-1×12解得d=3.∴a n=-1+3(n-1)=3n-4,∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-4.(2)证明b n当n≥2∴数列{b n}是等比数列,首项b1q∴T n n∈N*恒成立.18(9分)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|19(10分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·解(1)设数列{a n}的公差为d.令n=1,a1a2=3.令n=2,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)由(1)知b n=(a n+1)··22n-1=n·4n,所以T n=1·41+2·42+…+n·4n,所以4T n=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+…+4n-n·4n+1·4n+1所以T n20(10分)正项数列{a n}的前n项和S n满足(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n∈N*,都有T n (1)解得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项a n=2n.(2)证明由于a n=2n,b n则b nT n。
人教A版高一必修5数学第二章数列单元测试及答案(练习检测试题卷).doc
班姓座A . a” =2“_1B . a n =(-ir (2n-l) c. a n =(-ir (l-2n) 2、 等比数列2, 4, 8, 16,…的前nA . 2n+1-l B. 2n -23、等比数列｛%｝中，已知a x a” =27, q = 3,则”为（ A . B. 4 4、 等比数列｛a”｝中，a 6 = 6, a 9 = 9 ,则a 等于（ A.5、 若数列｛%｝中，Q 广43-3n,则»最大血 A. 13 B. 14 6、 成等比数列，那么d 等于A.3 C. -2 D. ±27、 等差数列仏｝燈皿聖的和是30, A. 130 亠 170 前加项的和是100,则它的前3加项的和是（C. 210D.2608、 敎刻仏｝贏项公式是血二--------- n （M + l ）（心），若前刀项的和为罟，则项数0为（） A. 12 B.11C. 10D. 91、 1°、｛a”｝为等差数列，01 + 04 + ^7 = 39, 弘+弘+ ^产込弘+。
6 +。
9二浙江省瓯海中学高一数学必修5第二章《数列》单元测试一、选择题（每小题6分）数列1, ~3, 5, -7, 9,…的一个通项公式为（ 二、填空题（每小题6分）9、等差数列｛爲｝中,S 广40, Q] =13,11、在等差数列｛a* ｝中，1 = 20 ,则 Q] + Q]3 =色=（_ig+i ） D . C. InC. 5D. 6 D. 14 或 15 C. 16 ,如果 Q]、等差数列｛a”｝的首项a. =1(2)+ a ：的和(3)在(2)的条件(1)当a = l 时，求｛a”｝的通项公式14、(本题18分)已知数列｛a ”｝的前％项和S” =12＞在数列｛a”｝中，fl] =1,且对于任意自然数”，都有a n+1 = a n + n ,贝ija 100 = __________三、解答题13、(本题10分)求数列耳吗斗4护•的前刀项和。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评11 Word版含答案
高中数学必修五《数列》单元检测（内含答案）一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( )A ．7B ．15C ．20D ．25【解析】 S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5×(a 2＋a 4)2＝5×62＝15. 【答案】 B2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( ) A ．1B ．－1C ．2D ．12【解析】 S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3 ＝9a 55a 3＝95×59＝1. 【答案】 A3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝14，∴a 4＝7.d ＝a 4－a 13＝2，S n ＝na 1＋n (n －1)2·d＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2＝100， ∴n ＝10.【答案】 B4．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12【解析】 ∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.【答案】 B5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15【解析】 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)] ＝3×5＝15.【答案】 A二、填空题6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝ .【解析】 a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6，①S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10，②由①②联立解得a 1＝1，d ＝12.【答案】 127．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝ .【解析】 设公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1，所以a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.【答案】 408．首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝ 时，S n 取到最大值．【解析】 ∵S 3＝S 8，∴S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴a 6＝0，∵a 1>0， ∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6＝0，a 7<0.故当n ＝5或6时，S n 最大．【答案】 5或6三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一 a 1＝9，d ＝－2，S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二 由(1)知a 1＝9，d ＝－2<0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112.∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .【解】 ∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4)＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎨⎧15n －2n 2，(n ≤4)，2n 2－15n ＋56，(n ≥5). [能力提升]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18 【解析】 S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14. 【答案】 B2．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，所以193≤k ≤223.因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.【答案】 B3．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 ．【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1， S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．【答案】 11 74．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？【解】 (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.(3)由图象得{S n}中有12项大于零．。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评10 Word版含答案
高中数学必修五《数列》单元测试（内含答案）一、选择题1．等差数列前n 项和为S n ，若a 3＝4，S 3＝9，则S 5－a 5＝( ) A ．14 B ．19 C ．28 D ．60【解析】 在等差数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝3a 2＝9，∴a 2＝3，S 5－a 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 2＋a 3)＝2×7＝14.【答案】 A2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值为确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15【解析】 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7＝3×a 1＋a 132＝313×13(a 1＋a 13)2＝313S 13.于是可知S 13是常数． 【答案】 C3．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则此数列中绝对值最小的项为( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项【解析】 由⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋112d >0，a 1＋6d <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0，a 6>－d2，故|a 6|>|a 7|.【答案】 C4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27【解析】 ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.【答案】 B5．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n ＋1n B.n ＋1n C.n －1nD ．n ＋12n【解析】 ∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2.又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B. 【答案】 B 二、填空题6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝ .【解析】 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.【答案】 57．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝ . 【解析】 ∵a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2)，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8， 得7.5<k <9，∴k ＝8. 【答案】 88．若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1n (n ＋1)的前n 项和为S n ，且S n ＝1920，则n ＝ .【解析】 S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.由已知得n n ＋1＝1920， 解得n ＝19. 【答案】 19 三、解答题9．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .【解】 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 则⎩⎨⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242， 得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11.10．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图2-3-2所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：图2-3-2(1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？【解】 (1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝9，d ＝9，n ＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a 9＝a 1＋(9－1)·d ＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n 项和公式，得前9圈石板总数为： S 9＝9a 1＋9×(9－1)2d ＝9×9＋9×82×9＝405(块)． 答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．[能力提升]1．如图2-3-3所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )图2-3-3A.3n 22 B.n (n ＋1)2 C.3n (n －1)2D ．n (n －1)2【解析】 由图案的点数可知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝12，所以a n ＝3n －3，n ≥2，所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2. 【答案】 C2．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A ．15B ．24C ．18D ．28【解析】 设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， ∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值．所以n ＋126＝5，n ＝18.【答案】 C3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于 ．【解析】 由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27. 【答案】 274．S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 【解】 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3， ① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).。
高中数学 第二章 数列同步测试卷(含解析)新人教A版必修5(1)(2021年最新整理)
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数列（时间：120分钟，满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．(2014·高考福建卷）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2,S3＝12,则a6等于( ）A．8 B．10 C．12 D．142．（2014·高考重庆卷）对任意等比数列｛a n｝,下列说法一定正确的是( )A．a1，a3,a9成等比数列B．a2，a3,a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2,则a6＝（）A．－1 B．0 C．1 D．64．（2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n}的公差为d.若数列｛2a1a n}为递减数列，则（) A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>05．(2014·高考重庆卷）在等差数列{a n}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )A．5 B．8 C．10 D．146．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{a n｝的公比为( ）A．1 B．3 C.错误! D.错误!7．等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9,则a1＝( ）A.错误! B．－错误! C。
高中数学人教A版必修五 第二章 数列 学业分层测评14 Word版含答案
高中数学必修五《数列》单元检测（内含答案解析）一、选择题1．已知a n ＝(－1)n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( ) A ．1,1 B ．－1，－1 C ．1,0 D ．－1,0 【解析】 S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1. S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0. 【答案】 D2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37 【解析】 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.【答案】 B3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16 【解析】 设{a n }的公比为q ， ∵4a 1,2a 2，a 3成等差数列，∴4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， 即q 2－4q ＋4＝0， ∴q ＝2， 又a 1＝1，∴S 4＝1－241－2＝15，故选C.【答案】 C4．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80【解析】 由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32. ∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝135.【答案】 A5．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 30＋b 30＝60，则{a n ＋b n }的前30项的和为( )A ．1 000B ．1 020C ．1 040D ．1 080【解析】 {a n ＋b n }的前30项的和S 30＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 30＋b 30)＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 30)＝30(a 1＋a 30)2＋30(b 1＋b 30)2＝15(a 1＋a 30＋b 1＋b 30)＝1 080.【答案】 D 二、填空题6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.【解析】 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2.∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 【答案】 27．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 【解析】 数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝10(1－10n )1－10＋n (1＋2n －1)2＝109(10n－1)＋n 2.【答案】 109(10n －1)＋n 28．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.【解析】 ∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，∴n ＝6.【答案】 6 三、解答题9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列. (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .【解】 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4.从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .【解】 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)． 由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b nn， 所以b n ＝n (n ∈N *)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．[能力提升]1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1(n ∈N *)，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2 C ．4n －1D.13(4n －1)【解析】 a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，即S n ＝2n －1，则S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，则a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)，又a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1，a 2n ＝4n －1，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝13(4n －1)． 【答案】 D2．如图2-5-1，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n 个内切圆的面积和为( )图2-5-1A.πa 23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n π C ．2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n πD ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n π【解析】 根据条件，第一个内切圆的半径为36×3＝32，面积为34π，第二个内切圆的半径为34，面积为316π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为34π，公比为14，故面积之和为34π⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n π. 【答案】 B3．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．【解析】 每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102，∴n ≥6，∴最少天数n ＝6.【答案】 64．设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.。
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数学5（必修）第二章：数列(A 卷)
一、选择题
1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
2．等差数列9}{,7,3,}{51第则数列中n n a a a a ==项等于（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的第4项为（ ） A ．81 B ．243 C ．27 D ．192 4．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．
2
1 5．已知一等差数列的前三项依次为34,22,++x x x ，那么21是此数列的第（ ）项 A ．
2 B ．4 C ．6 D ．8
6．在公比为整数的等比数列{}n a 中，若,12,64231=+=+a a a a 则该数列的第3项为（ ） A ．
56 B ．512 C ．524 D ．5
48
7. 如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么( )
A.b=3,ac=9
B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9
D.b=-3,ac=-9 8．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，,10,141==s a ，则S 5为 ( ) A ．14 B ．15
C ．21
D ．28
9. 数列{}n a 的通项公式n n a n -+=
1，则该数列的前9项之和等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10. 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a 1a 3 =24
，则a 1a 2a 3a 4a 5等于( )
A.210
B.220
C.215
D.216 二、填空题
11．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________
12．在等差数列{a n }中，a 2=-5，a 6=a 4+6,则a 1等于______________ 13．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则15a =___________.
14．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232
=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________.
15.成等差数列的三个数的和为12，第二数与第三数之积为24，求这三个数。
16.求和：)0( (2)
≠+++a a a a n
17.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若351353==S S ，，求数列的首项1a 及公差d
18．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，10,3312=+=a a a ，求n S 。
1)C 2)C 3)A 4)C 5)D 6)C 7)B 8)B 9)B 10)C 11) 28 12) -8 13)1857 14) -2
15) 2、4、6 16) a
a a S a n S a n n n --=≠==1)
1(1,1时时
17) 3,11==d a 18) 2
1
3-=n n S
数学5（必修）第二章：数列(B 卷)
一、选择题
1．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==d
a
a a 135,21则（ ） A ．2 B ．-2 C ．6 D ．-6
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若642102S S S ，则，==等于（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．42
4．设{a n }是由正数组成的等比数列，3,222==S a 则等于5S （ ） A ．15 B ．31 C ．32 D ．63 5．若x
x
2,12,0-成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，
n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ）
A ．等差数列
B ．等比数列
C ．等差数列或等比数列
D ．都不对 7．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则1021...a a a 等于（ ） A ．4
9 B ．5
9 C ．6
9 D ．7
9
8．在等比数列{}n a 中，n n n S S S 326054，则，==等于（ ） A ．66 B ．64 C ．3260
D ．3
266 9. 已知等差数列n a n 的前}{项和为m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,122
11==-+>-+-
等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
10. 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：( )
A ．4005
B ．4006
C ．4007
D ．4008
二、填空题
11．在首项为31，公差为-4的等差数列中，与零最接近的项是_______。
12．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
13．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。
14.已知数列{}n a 的前n 项和n
n S 23+=，求n a =_______。
三、解答题
15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3213,2,S S S 成等差数列，求等比数列{}n a 的公比q 。
16．设{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，它的前10项和11010=S 且1a ，2a ，4a 成等比数列.（Ⅰ）证明d a =1； （Ⅱ）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式。
17. 在等差数列{}n a 中, 若,12,60171-=-=a a （1）求通项n a ；（2）求此数列前30项的绝对值的和。
18.已知数列{a n }满足a 1=1,且a n =2a n-1+n
2 (n ≥2,n∈N *
), (1)求证：数列{
n n
a 2
}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式；
B 卷参考答案
1)C 2)D 3)C 4)B 5)A 6)A 7)B 8)C 9)C 10)C 11) -1 12) 5 13)0 14) 1
122,51-=≥==n n a n a n 时时
15)
13
2
或 16) n a d n 5,5== 17) 765)2(;633)1(1-=n a 18) 1
22--=n n
n n a。