泛函分析小论文[1]

泛函分析论文泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。

在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。

学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。

§1 度量空间§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当x y =；（2）(,)(,)d x y d y x =；（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y≠⎧=⎨⎩当当。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i ii i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间5、空间2l ，122=1(,)[(-)]kki d x y y x ∞=∑是度量空间§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间 §1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n l im (,)=0n d x x→∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列，x是点列{}n x 的极限。

同样的类似于nR ，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。

§1.3.2稠密子集与可分空间:设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M M M ⊂表示的闭包，如果E ,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时，称M 为X 的一个稠密子集，如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。

即：{},n n M E x E x M s t x x n ⇔∀∈∃⊂→→∞在中稠密对§1.3.3 例子1、 n 维欧氏空间nR 是可分空间；2、 坐标为有理数的全体是nR 的可数稠密子集； 3、l ∞是不可分空间。

§1.4 连续映射 §1.4.1定义：设(,),(,),> 0,X (,) < (T ,T ) < ,o ooo X X d Y Y d T X Y x X d x x x dx x T x εδδε==∈ 是两个度量空间，是到中映射，如果对于任意给定的正数，存在正数 使对中一切满足 的 ，有 则称在连续。

§1.4.2 证明映射连续性的方法 1、定义法2、邻域法：对o Tx 的每一个ε—邻域U,必有o x 的某个δ—邻域V 使TV U ⊂,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。

3、极限观点（定理一）：, T ()n o n o T x x x Tx n ⇔→→→∞连续 则4、定理二:度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射 ⇔ Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集。

5、定理二（变式）：把“开集”改为“闭集”，定理二仍成立。

§1.4.3 例题例1、 设X,Y,Z 为三个度量空间，f是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z的连续映射，证明复合映射()()=((x))gf x g f 是X 到Z 的连续映射。

证明：设G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 的连续映射,1g G -是Y 中开集，又因f是X 到Y 中的连续映射，-11()f g G -是X 中的开集，即-1(g f)G 是X 中的开集，即(g f) 连续。

【分析】此题就是利用定理二来证明的。

§1.5 柯西点列和完备度量空间 §1.5.1 定义：设(,)XX d =是度量空间，{}nx 是X 中点列，如果对0ε∀>，∃正整数()N N ε=,使当,n m N >时，必有(,)n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列，如果度量空间(,)X d 中每个点列都在(,)X d 中收敛，那么称(,)X d 是完备的度量空间。

§1.5.2 相关结论1、Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、柯西点列一定是有界点列4、定理：完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件是M 为X 中的闭子空间。

（即完备性关于闭子空间具有可遗传性） 【注意】开子空间不完备。

例：1、[a,b]C 是完备度量空间； 2、2l 是完备度量空间； 3、n R 是完备的度量空间；4、实系数多项式全体[,]P a b ，[,]P a b 作为[a,b]C 的子空间不是完备度量空间；§1.6 度量空间的完备化定理1 （度量空间的完备化定理）：设(,)X X d =是度量空间，那么一定存在一完备度量空间(,)X X d = ，使X 与X的某个稠密子空间W 等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(,)X d ∧∧也是一万倍度量空间，且X 与X的某个稠密空间等距同构，则(,)X d ∧∧与(,)X d等距同构。

（其中：若( , ) = ( , )d Tx Ty d x y ，称(,)X X d =与(,)X d等距同构。

） 定理1可以通过图形象表达定理'1 ：设(,)XX d =是度量空间，那么存在唯一的完备空间(,)X X d =，使X 为X的稠密子空间。

§1.7压缩映射原理及其应用§1.7.1定义：设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果,01αα∃<<，.s t ,x y X ∀∈，(,)(,)d Tx Ty d x y α≤，则称T 是压缩映射。

§1.7.2定理1（压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程Tx x =，有且只有一个解）。

定理2（隐函数存在定理）设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<∞中处处连续，且处处有关于y 的偏导数'(,)y f x y 。

如果∃常数m 和M ，满足'0(,),y m f x y M m M <≤≤<，则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解：(,())0,[f x x x a bϕ≡∈ §1.8 线性空间§1.8.1定义：设X 是一非空集合，在X 中定义了元素的加法运算和实数（或复数）与X 中元素的乘法运算，满足下列条件：（一）关于加法：(1)交换律（2）结合律（3）有零元（4）有负元，（二）关于数乘：（1）分配律（2）结合律（3）x X ∀∈，均有1x x =，满足这样性质的集合X 称为线性空间。

例：1、nR 按自身定义的加法和数乘成线性空间2、[a,b]C 按自身定义的加法和数乘成线性空间3、空间(0)pl p >按自身定义的加法和数乘成线性空间§2 赋范线性空间§2.1赋范线性空间和巴拿赫空间§2.1.1定义：设X 是实（或复）的线性空间，如果对x X ∀∈，都有确定的一个实数，记为x与之对应，并且满足：1o0x ≥，且0x =等价于0x =；（非负性） 2o||x xαα=其中α为任意实（复）数；3o,,x y x y x y X +≤+∈，（三角不等式）则称x为向量x 的范数，称X 按范数x成为赋范线性空间。

注意：1、x 是x 的连续函数2、||||0(,)0n n x x d x x -→⇔→ （诱导距离）§2.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间 ⇔X 是赋范线性空间，且{}n x 是柯西点列。

2、要判断一个空间是否为巴拿赫空间，有三点：（1）是否为线性空间 （2）是否为赋范线性空间 （3）是否完备 3、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。

（即拓扑同构⇔范数等价） 4、定理1： [,](1)p L a b p ≥按范数1(|()|)bp ppaff t dt =⎰成赋范线性空间。

定理2：[,](1)p L a b p ≥是巴拿赫空间。

例题：1、nR 按范数x =2、空间[a,b]C 按范数max |()|a t bx x t ≤≤=成巴拿赫空间3、空间pl 是巴拿赫空间 区别与联系：1、任意赋范线性空间都是度量空间2、赋范线性空间是一种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫空间。

第八章 有界线性算子和连续线性泛函 §1 有界线性算子和线性泛函的定义§1.1定义：设X 和Y 是两个同为实（或复）的线性空间，D 是X 的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对,x y D ∀∈及数α，有()T x y Tx Ty +=+，()T x Tx αα=，则称T 为D 到Y 中的线性算子，其D 称为T 的定义域，记为()D T ，TD 称为T 的值域，记为()R T ，当T 取值于实（或复）数域时，就称T 为实（或复）线性泛函。

例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子【值得一提】1、在有限维空间上，当基选定后，线性算子与矩阵是相对应的；2、n 维线性空间上线性泛函与数组12(,,,)n ααα （向量）相对应。

定义：T 为赋范线性空间X 的子空间()D T 到赋范线性空间Y 中的线性算子，称()supx x D T Tx T x ≠∈=为算子T 在()D T 上的范数。

定理1： 设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子，则T 为有界算子的充分必要条件是T 为X 上的连续算子。

这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。

定理 2 ：设X 是赋范线性空间，f是X 上线性泛函，那么f是X 上连续泛函的充要条件为f的零空间()N f 是X 中的闭子空间。

相关结论： 1、若T 有界⇔T <∞2、T Tx T x<∞⇒≤3、若T 有界⇒ Tx T x ≤ §2 有界线性算子空间和共轭空间定义：1、有界算子全体：设X 和Y 是两个赋范线性空间，我们以()B XY →表示由X 到Y 中有界线性算子。