《函数的单调性与最值》学案

学习过程
一、复习预习
1、函数的概念
2、函数的三要素
3、函数的表示方法
二、知识讲解
考点1 函数的单调性
(1)单调函数的定义：
(2)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D具有(严格的)单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间．
考点2 函数的最值
三、例题精析【例题1】
【题干】讨论函数f(x)＝ax
x2－1
(a>0)的单调性
【解析】由x 2－1≠0，得x ≠±1，即
定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)．
①当x ∈(－1,1)时，设－1<x 1<x 2<1，
则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1
x 21－1－ax 2
x 22－1
＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22
－1). ∵－1<x 1<x 2<1，
∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.
又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1,1)上为减函数． ②设1<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1
＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22
－1)， ∵1<x 1<x 2，∴x 21－1>0，x 22－1>0，
x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0.
∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．
∴f (x )在(1，＋∞)上为减函数．
又函数f (x )是奇函数，
∴f (x )在(－∞，－1)上是减函数.
【例题2】
【题干】求函数y＝x2＋x－6的单调区间
【解析】令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，
在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．
∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)
【例题3】
【题干】已知f(x)＝x
x－a
(x≠a)，若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
【解析】]任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝
x1
x1－a
－x2
x2－a
＝
a(x2－x1)
(x1－a)(x2－a)
.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立．∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．
【例题4】
【题干】设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】由题意知，x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞上恒成立， 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，
所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，
解得m ≤－32或m ≥32.
即实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞
四、课堂运用
【基础】
1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．y ＝ln(x ＋2)
B ．y ＝－x ＋1
C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
D ．y ＝x ＋1x
2．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝
a
x＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1) D．(0,1]
3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ C ．(0，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12
【巩固】
4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数
f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数； ③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围
是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.
其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
【拔高】
6．讨论函数f(x)＝
mx
x－2
(m<0)的单调性．
7．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
课程小结。