浅谈矩阵在信息学竞赛中的应用

浅谈矩阵在信息学竞赛中的应用天津南开中学 肖天矩阵，是线性代数中的基本概念之一。

一个m ×n 的矩阵就是m ×n 个数排成m 行n 列的一个数阵。

由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用。

它是这样定义的，只有当矩阵A 的列数与矩阵B 的行数相等时A ×B 才有意义。

一个m ×n 的矩阵(a i ,j )左乘一个n ×p 的矩阵(b i ,j )，会得到一个m ×p 的矩阵(c i ,j )，满足p j m i b a c n k jk k i j i ≤≤≤≤⋅=∑=1,11,,,矩阵乘法满足结合率，但不满足交换率。

还有一个与矩阵紧密相关的概念——向量。

（行）向量可以看成是一个行数为1的矩阵，因此它可以左乘一个矩阵得到一个新的（行）向量。

本文讨论的是矩阵一方面的作用：它能表示一组事物变化的过程。

而矩阵乘法就是把事物变化过程连接起来的工具。

具体地说，就是用向量表示一个对象的一组属性，用矩阵表示这些属性变化的过程，用表示初始属性的向量与若干个矩阵连乘，所得向量表示的就是一系列变化后的属性。

上面说得有些抽象，让我们来看两个实际应用中的例子。

几何变换图形的几何变换有着广泛的应用，矩阵在其中起到了重要作用。

图形变换是以点变换为基础的，把一个图形看作若干顶点和连结它们的边，对顶点进行变换后重新把边连起来，就得到了变换后的图形。

下面我们介绍如何进行点的变换。

在介绍之间先要明确一下点的表示法。

通常应用的是齐次坐标表示法——用(n +1)维向量表示一个n 维坐标（我也不理解为什么叫“齐次”）。

例如一个二维空间内的点P (x ,y )可以表示为(kx ,ky ,k )。

也就是说，一个点的表示并不唯一。

这样表示有诸多好处，这里不再赘述。

下面我们以二维图形的几何变换为例进行说明。

对点的变换是通过矩阵完成的。

用表示点P 的向量(kx ,ky ,k )左乘一个3阶矩设(x y1)X=(x’y’1)变换后的坐标就是(x’,y’)。

如果要对点P(x,y)连续进行n个变换X1,X2,…,X n，则可以通过(x y1)X1X2…X n=(x’y’1)求出变换后的坐标(x’,y’)。

由于矩阵乘法满足结合率，所以可以改变运算顺序。

设A=X1X2…X n，则有(x y1)A=(x’y’1)这说明，我们可以用一个3阶方阵A，等价的表示一系列变换连起来的结果。

这样做有一个好处，就是在变换方式较少而变换次数较多时，问题往往可以转化成求一个矩阵幂的形式。

我们知道，求一个数的n次幂的时间复杂度只有O(log n)，类似的，求一个矩阵的n次幂也只要O(log n)次矩阵乘法。

这是下面用矩阵解题的一般步骤（但也不是说所有题都一定这样做）：先用矩阵表示变换过程，然后把若干变换过程合并起来，最后用表示初始状态的向量左乘它。

递推数列对于线性递推关系的递推数列，也可以用类似上面的方法。

设有一个p阶递推数列{a n}，其递推关系为a n=C1a n-1+C2a n-2+…+C p a n-p则可以设A n=(a n a n-1 …a n-p+1)。

递推关系可以表示为A n+1=A n T其中T为一个p阶矩阵：（空位都是零）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-p p C C C C T 111121 这样，求数列中第n 项时（n 远大于p ），我们可以根据S n =S p T n -p 通过矩阵求幂得到一个时间复杂度O(p 3log n )的算法。

到这里，你已经可以基本看到矩阵在解题中起到什么作用了。

下面让我们看一道具体的题目。

例1：细菌（IPSC2003）题目大意：（这里略去了题目背景）有N （这些数重复执行着M （M ≤20）条指令（编号从0开始），即第S 时刻执行第((S -1) mod M )条指令。

求在第T （T ≤109）时刻执行指令后，所有b i 的值。

分析：由数据规模就可以看出，时间复杂度O(NT )的模拟是不可行的。

观察到M 的值比较小，所以我们应该找出这一组指令的特点，然后用高效的算法重复这一过程。

每一时刻的状态显然可以用一个向量(b 0,b 1,…,b N -1)来表示，因此我们来看看能不能把每条指令都用一个N 阶方阵来表示。

实际上，在找到这些矩阵之前，就可以断定这是一定可行的。

因为，每条指令执行后，每个新的b i 的值都与原来的(b 0,b 1这样，问题转化为给定一个向量B =(b 0,b 1,…,b N -1)，以及M 个N 阶矩阵C i (0≤i <M )，求向量B ’=BC 0C 1…C M -1C 0C 1…C M -1……这个可以转化为B ’=B (C 0C 1…C M -1)T div M C 0…C (T mod M )-1求幂的部分只需要对数次矩阵乘法。

因此这个算法的时间复杂度只有O(N 3(log(T div M )+M ))。

（div 表示做除法并去商的整数部分，mod 表示取余数）可以看出，矩阵可以简洁地表示出一个线性转化关系的全部信息。

在重复这种转化过程时，对数时间的求幂算法就会发挥重要的作用。

类似的题目还有下面这一道。

例2：硬币（Sgu173）题目大意：有N 枚硬币，开始时正面或反面朝上。

还有一个(K -1)维二进制向量A 。

接下来，我们要对这N 枚硬币进行M 次操作。

第i 次操作是：选定K 个连续的硬币，然后对这K 个硬币进行D i 次转换。

对于给定的K 个硬币一排C ，转换过程是这样的：∙ 把C 中的硬币向左循环一个位置；∙ 从左起第一个到第(K -1)个依次检查每一个硬币，如果C i 是反面朝上且A i =1，则翻转最右面一枚硬币。

显然，对确定的K 枚硬币进行转换，结果由向量A 完全确定。

但向量A 并不是已知的，你只知道L 次转换的情况（转换前及转换后硬币的状态）。

保证只有一个满足条件的向量A 。

给定每次操作选了哪些硬币以及重复了多少次，你的任务是通过这N 枚硬币所有操作完成后的最终状态求出初始状态。

数据规模：2≤N ≤50，1≤M ≤10，1≤L ≤200，2≤K ≤N ，D i ≤106分析：解这题显然要分两步。

先要求出向量A ，这一步就是解一个线性方程组，不再赘述。

第二步就是通过向量A 对转换进行倒推。

由于D i 很大，显然不能一步一步地倒推。

可以发现，每一次转换后，前(K -1)枚硬币的状态很容易确定，而最后一枚的状态也不过是它原先的状态加上前(K -1)枚硬币的状态与向量A 对应元素乘积之和模2的余数，都是线性关系（用1表示反面，0表示正面）（你可以把它看成一个K 阶递推数列）。

因此，一个K 阶矩阵就可以表示一次转换过程。

设A =(a 1,a 2,…,a K -1)，则这个矩阵为（空位都是零）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1211111K a a a T 接下来的工作就简单了。

对第i 次操作，求出T 的D i 次幂。

设转换前的硬币状态为X =(X 1,X 2,…,X K )，转换后为C =(C 1,C 2,…,C K )，则可列方程XT =C 。

这是一个线性方程组。

从后向前对每次操作解一次方程就可以求出初始状态了。

算法复杂度为))log (O(32N D M K LK Mi i +++∑。

我在最初做这道题的时候，找到的算法时间复杂度比上面这个稍高一点，为))log (O(32∑++Mi i D M N LN 。

当时，我没有注意到每次转换只与K 枚硬币有关，而是用一个N 阶矩阵表示。

（上面那个矩阵是这个N 阶矩阵的一个子矩阵，而其它位置中只有主对角线上是1，其余的是0。

）忽略了每次转换只与K 枚硬币有关这一点造成了时间上的浪费，不过解题的过程稍微简化了一点：表示M 次操作的矩阵都是面向所有硬币的，所以可以把这些操作的矩阵乘起来，得到一个表示所有操作的矩阵，这样只需要解一个方程组就可以了。

比较一下上面两种方法。

一个是以每一次操作的矩阵为系数矩阵解方程（系数矩阵通常写成上面给出的操作矩阵转置的形式），前一次方程组的解是后一个方程组的常数项；另一个是以所有操作矩阵的乘积为系数矩阵解方程，只解一次方程。

这是不是说可以把线性方程组的系数矩阵相乘呢？让我们来看下面这道题。

例3：开关灯（笔者原创）题目描述：（呵呵，这是我自己出的第一道题，也许有些罗嗦。

如果您嫌长，可以跳过前四段）天天在小时候玩过一个开关灯的小游戏。

游戏是这样的，有5×5的方格，每个格子里有一盏灯和一个按钮。

按下一个按钮会改变其所在格以及与之相邻的格子内灯的状态（由开到关，或由关到开）。

一开始，有一些灯是开的，另一些是关的。

通过按动按钮使所有灯都关上是游戏的目标。

玩了一段时间后，天天就觉得没意思了。

因为每次只要尽量把亮的灯都集中到一条边上或一个角落里，之后往往出现相同的局面。

时间长了，他记住了很多局面的定式，经常轻而易举地就过关了。

于是天天给游戏增加了难度。

游戏中每个按钮所支配的灯仍是确定的，但没有规律，可以在游戏开始前由游戏者规定或由计算机随机产生。

游戏的目的不变。

这样，天天创造出了自己数不清的游戏，于是又产生了浓厚的兴趣，一直持续到他接触了信息学竞赛。

天天学会编程实现高斯消元法之后，发现改造后的游戏不过等价于一个线性方程组，他只要编个程序就可以解决了，甚至连N ×N （N ≤10）的问题程序都可以在瞬间出解。

游戏又变得没有意思了。

玩了这么长时间，天天对这个游戏颇有感情，特别想恢复它的挑战性，于是苦思冥想之后将游戏扩展到了三维。

一个M ×N ×N （M ≤100000，N ≤10）的方块，划分为M 层，每层N 行N 列个单元。

每个单元内有一盏灯和一个按钮。

每个按钮控制着与它同一层的某些灯（由游戏者规定或计算机随机产生），若它不是在最底层，它还控制与它所在单元相邻（有公共面）的下面一个单元里的灯。

另外，层间的控制关系在所有层中都是一样的。

也就是说，如果某一层中第X 行Y 列的按钮控制着该层第X’行Y’列的灯，那么每一层第X行Y列的按钮都控制着同层第X’行Y’列的灯。

按下一个按钮，就会改变所有它控制的灯的状态。

一开始，只有最上面一层的某些灯是开的，其余都是关着的。

游戏的目的还是通过按动按钮使所有灯都关上。

显然，每个按钮至多被按一次。

（游戏开始前，天天已经确认了在第一层中存在唯一的方案使该层所有灯都关上。

）这么大的规模，当然要用程序解决了。

即使这样，由于按钮太多，找到一个完整的方案也不太现实。

不过，天天还是关心给定所有按钮的支配关系，问题是否有解，如果有解最下面一层哪些按钮要被按下——这就是你的任务。

分析：显然，下面的决策不会影响到上面，所以我们可以从上到下一层一层的解决。