专题五--二次函数的最值问题

专题五 二次函数的最值问题

【要点回顾】

1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．

二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a

=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a

=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．

2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：2

y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；

第二步：讨论：

(1)若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；

②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；

③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

(2) 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02

m n x +≤

，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。

【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）5322--=x x y ； （2）432

+--=x x y ．

同步练习：已知函数1x 2x 2

1y 2++= （1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；

（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点；

（3）观察图象：x 为何值时，y 随x 的增大而增大；

（4）观察图象：当x 为何值时，y>0时，当x 为何值时，y=0；当x 为何值时，y<0。

例2 已知函数2

,2y x x a =-≤≤，其中2a ≥-，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．

同步练习：当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．

例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

同步练习：已知二次函数,322--=x x y （1）x 为何值时0=y ？

（2）x 为何值时0>y ？ （3）x 为何值时0

例4当1t x t ≤≤+时，求函数21522

y x x =--的最小值(其中t 为常数)．

同步练习：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．

3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．

4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．

5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．