高三数学上学期第二次段考试题理

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2021年高三数学上学期第二次联考试题理(I)

2021年高三数学上学期第二次联考试题理(I)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。

⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。

⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。

⒌考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

参考公式：柱体体积公式：（其中为底面面积，为高）锥体体积公式：（其中为底面面积，为高）球的表面积、体积公式：（其中为球的半径）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|y=lg}，N={y|y=x2+2x+3}，则（∁R M）∩N=（） A． {x|0＜x＜1} B． {x|x＞1} C．{x|x≥2} D． {x|1＜x＜2}3、采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2 ...960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落人区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A. 15B. 10C. 9D. 74.设{} 是公差为正数的等差数列，若，且，则等于（）A．120 B． 105 C． 90 D．755.由和所围成图形面积是（）A. B. C. D.6．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A ．B ．C ．或D ．或 7．定义某种运算，运算原理如图所示，则的值为（）A ．15B ．13C ．8D ．4第7题图第8题图8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（） A ．54 B.27 C.18 D.9 9. .如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP PB ＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为（） A ．－2 B ．2 C.23 D ．－113第9题图第10题图 10．如图,在平行四边ABCD 中,=90.,2AB 2+BD 2 =4,若将其沿BD 折成直二面角 A-BD-C,则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为（）A. B. C. D.11. 抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则的最大值为（） A ． B ． 1 C ． D ． 212.已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是（）. . . .第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 的展开式中的常数项为________． 14.若数列是正项数列，)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则_____．15．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为_______．16.在a 、b 、c,若其面S=_______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题12分）设的内角所对的边分别为且. (1)求角的大小;(2)若,求的周长的取值范围.18、(本小题满分12分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为分）进行统计，制成如下频率分布表．分数（分数段）频数（人数）频率 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合计（1）求出上表中的的值；（2）按规定，预赛成绩不低于分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格.①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率； ②记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望. 19．（本小题12分）如图，在四棱锥中，⊥平面，于，为线段上一点，且，（1）求证：平面；（2）若，，，且求与面所成角的正弦值。

安徽省皖南八校2024届高三数学上学期第二次大联考试题含解析

考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2450M x x x =∈--≤N ，{}04N x x =≤≤，则M N ⋂=（）A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{}04x x ≤≤ D.{}14x x ≤≤【答案】B 【解析】【分析】解不等式求出集合M ，根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】解2450x x --≤，得：15x -≤≤，所以{}{}*151,2,3,4,5M x x =∈-≤≤=N ，{}04N x x =≤≤，所以{1,2,3,4}M N ⋂=.故选：B.2.形如a b c d我们称为“二阶行列式”，规定运算a b ad bc c d=-，若在复平面上的一个点A 对应复数为z ，其中复数z 满足1ii 12i 1z -=+，则点A 在复平面内对应坐标为（）A.(3,2)B.(2,3)C.(2,3)- D.(3,2)-【答案】A 【解析】【分析】根据题意结合复数的运算可得32i z =+，结合复数的几何意义分析求解.【详解】由题意可得：()(12i)(1i)3i i -+-=-+=z z ，则()i 3i 32i =++=+z ，所以点A 在复平面内对应坐标为(3,2).故选：A.3.已知动点M 10y --=，则动点M 的轨迹是（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】C 【解析】【分析】根据方程表示的几何意义结合抛物线定义，即可判断出答案.10y --=1y =+，表示动点(,)M x y 到点(0,1)F 和直线1y =-的距离相等，所以动点M 的轨迹是以(0,1)F 为焦点的抛物线，故选：C.4.已知向量(2,)a m = ，(1,1)b m =+- ，且a b ⊥ ，若(2,1)c = ，则a 在c方向上的投影向量的坐标是（）A.42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】a b ⊥ ，故2(1)0m m +-=，解得2m =-，所以(2,2)a =-，则a 在c方向上的投影向量为a ccc c =⋅⋅42,55⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A.5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为（）A.2023B.2823C.3D.2863【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.【详解】因为1111ABCD A B C D -是正四棱台，1124AB A B ==，160A AB ∠=︒，侧面以及对角面为等腰梯形，故()1111122cos AB A B AA A AB -==∠，12AO AC ==22AB =111122AO A B ==，所以1OO ==，所以该四棱台的体积为(1111112282(1648)333ABCD D A B C V OO S S =++=⋅=++，故选：B.6.已知数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1067S =，则5a 的最大值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，确定数列前4项的值，后5项与5a 的差，即可列式计算得解.【详解】数列{}n a 是递增数列，且*n a ∈N ，而数列{}n a 的前10项和为定值，为使5a 取最大，当且仅当前4项值最小，后5项分别与5a 的差最小，则12341,2,3,4a a a a ====，657585951051,2,3,4,5a a a a a a a a a a -=-=-=-=-=，因此10121051061567S a a a a =++⋅⋅⋅+=++=，解得57a =，所以5a 的最大值为7.故选：C7.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 满足()()0g x g x +-=，且()f x ，()g x 在(],0-∞单调递减，则（）A.()()f g x 在[)0,∞+单调递减B.()()g g x 在(],0-∞单调递减C.()()g f x 在[)0,∞+单调递减D.()()ff x 在(],0-∞单调递减【答案】C 【解析】【分析】利用函数的奇偶性与单调性一一判定选项即可.【详解】由题意知()f x 在[)0,∞+单调递增，()g x 为奇函数，在R 上单调递减.设120x x ≤<，则()()21g x g x <0≤，()()()()21f g x f g x >，所以()()f g x 在[)0,∞+单调递增，故A 错误，设120x x <≤，则()1g x >()2g x ，()()()()12g g x g g x <，()()g g x 在(],0-∞单调递增，故B 错误；设120x x ≤<，则()1f x ()2f x <，()()()()12g f x g f x >，所以()()g f x 在[)0,∞+单调递减，故C 正确；取()21f x x =-，则()()()2211ff x x=--，()()00f f =，()()11f f -=-，此时()()f f x 在(],0-∞不单调递减，故D 错误.故选:C.8.已知点P 在直线60x y +-=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（）A.B.1+ C. D.1+【答案】B 【解析】【分析】结合点P 在直线60x y +-=上，求出切点弦AB 的方程，确定其所经过的定点，确定当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，即可求得答案.【详解】根据题意，设点(,)P m n ，则6m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则有OA ⊥PA ，OB PB ⊥，则点A ，B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为,22m n D ⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r OP =2=，则其方程为2222224m n m n x y +⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，变形可得220x y mx ny +--=，联立22224x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆D 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=，又由6m n +=，则有mx +()640m y --=，变形可得()640m x y y -+-=，则有0640x y y -=⎧⎨-=⎩，可解得23x y ==，故直线AB 恒过定点22,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在圆2214:133C x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上，14,33C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当CQ AB ⊥时，C 到直线AB 的距离最大，M 到直线AB 的距离也最大，则点M 到直线AB 距离的最大值为111CQ +==.故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.一组数据2、3、3、4、5、7、7、8、9、11的第80百分位数为8.5B.在回归分析中，可用决定系数2R 判断模型拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好C.若变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.1P ξ>=D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为1x ，2x 和21s ，22s ，若12x x =，则总体方差()2221212s s s =+【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据百分位数的计算方程，可得答案；对于B ，结合拟合的定义，可得答案；对于C ，根据正态分布的对称性，可得答案；对于D ，利用方差的计算，可得答案.【详解】对于A ，数据2、3、3、4、5、7、7，8、9、11共10个数，因为1080%8⨯=，因此，这组数据的第80百分位数为898.52+=，故A 正确，对于B ，在回归分析中，可用决定系数2R 的值判断模型拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好，故B 错误；对于C ，因为变量ξ服从()217,N σ，(1718)0.4P ξ<≤=，则(18)0.5(1718)0.50.40.1P P ξξ>=-<≤=-=，故C 正确；对于D ，不妨设两层的样本容量分别为m ，n ，总样本平均数为x ，则()()222221212m n s s x x s x x m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++，易知只有当m n =，12x x =时，有()2221212s s s =+，故D 错误.故选：AC.10.已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且(0)1f =，若()g x =()f x a +为奇函数，则a 可能取值为（）A.π3B.5π12C.π6D.π12-【答案】BD 【解析】【分析】根据图像有2A =，根据(0)2sin 1f ϕ==及π2ϕ<，确定ϕ值，再根据图像确定2π11π12T ω=>，结合11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ω，确定()f x 解析式，又要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，求a 值.【详解】由图象可得2A =，再根据(0)2sin 1f ϕ==，π2ϕ<，故π6ϕ=，又2π11π12T ω=>，则24011ω<<，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以11ππ2π126k ω⨯+=，Z k ∈，得2ω=，故π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；要使()()g x f x a =+为奇函数，则(0)()0g f a ==，所以π2π6a k +=，Z k ∈，得ππ212k a =-，当0k =时12πa =-，当1k =时5π12a =，所以B 、D 符合，其它选项不符合.故选：BD11.若函数()e e x x f x a b cx -=++，既有极大值点又有极小值点，则（）A.0ac < B.0bc < C.()0a b c +< D.240c ab +>【答案】ACD【解析】【分析】根据极值定义，求导整理方程，结合一元方程方程的性质，可得答案.【详解】由题知方程2e e ()e e 0ex x xxxa c bf x a b c -+-'=-+==，2e e 0x x a c b +-=有两不等实根1x ，2x ，令e x t =，0t >，则方程20at ct b +-=有两个不等正实根1t ，2t ，其中11e x t =，22e xt =，212120Δ4000a c abc t t a bt t a ≠⎧⎪=+>⎪⎪⎨+=->⎪⎪=->⎪⎩，24000c ab ac ab ⎧+>⎪<⎨⎪<⎩，()00bc a b c ab ac >⎧⎨+=+<⎩，故ACD 正确，B 错误.故选：ACD.12.已知一圆锥，其母线长为l 且与底面所成的角为60︒，下列空间几何体可以被整体放入该圆锥的是（）1.73≈， 1.41≈）A.一个半径为0.28l 的球B.一个半径为0.28l 与一个半径为0.09l 的球C.一个边长为0.45l 且可以自由旋转的正四面体D.一个底面在圆锥底面上，体积为30.04l π的圆柱【答案】ABC 【解析】【分析】作出相应的空间图形及轴截面，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】如图1，球1O 与圆锥侧面、底面均相切，球2O 与球1O 、圆锥侧面相切，作圆锥的轴截面如图2，设小球1Q 半径为1r ，球1Q 与BC 边相切于点E ，60CBA ∠=︒，30DCB ∠=︒，1O E BC ⊥，所以112CO r =，132CD r ==，130.286r l ∴=>，故A 正确；设小球2O 半径为2r ，同理可知21130.09318r r l l ==>，故B 正确；将棱长为a 的正四面体放置到正方体中，如图则正四面体的外接球即正方体的外接球，易知正方体的外接球球心在体对角线的中点O 处，半径为1B D 的一半长，易知，2BC a =，所以12B D a =，故棱长为a 的正四面体外接球半径为4a ，则46a ≤则边长3a l ≤，20.453l l >，故C 正确；如图3，一圆柱内接圆锥，作圆锥的轴截面如图4，设圆柱底面半径为3r ，高为h ，因为3r CD h DB CD -=，又易知，13,22BD l CD ==，代入3r CD h DB CD -=，整理得到332h l =-，所以圆柱的体积()()2223333333332π2ππ2V r h l r l r r r ⎛⎫==⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭，令()()23333π2602V r lr r '=-=，得30r =或313r l =，则体积在10,3l ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,32l l ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()333max π30.044π5V l l r =∴<，故D 错误.图1图2图3图4故选：ABC.【点睛】关键点晴，本题的关键在于将空间问题转化成平面问题来处理.三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式(2)(1)n x x -+的展开式中，所有项系数和为256-，则2x 的系数为______（用数字作答）.【答案】48-【解析】【分析】利用赋值法求得n ，再根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令1x =可得二项式(2)(1)nx x -+的所有项系数和为2256n -=-，所以8n =.二项式8(1)x +的展开式的通项公式为18C rrr x T +=⋅，0r =，1， (8)所以(2)(1)nx x -+的展开式中，2x 的系数为1288C 2C -=48-.故答案为：48-14.随机变量ξ有3个不同的取值，且其分布列如下：ξ4sin α4cos α2sin 2αP1414a则()E ξ的最小值为______.【答案】54-【解析】【分析】根据分布列性质求得a 的值，即可求得()E ξ的表达式，结合三角换元以及二次函数性质，即可求得答案.【详解】依题意知11144a ++=，则12a =，则()sin cos sin 2E ξααα=++，设πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故22sin 2(sin cos )11t ααα=+-=-，所以2215()124E t t t ξ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t ⎡=-∈⎣时，()E ξ取最小值54-，故答案为：54-15.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l 的距离为，则双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22=BF AF ，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴=，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.16.已知函数22ln e ()21e xa f x a x x x=+-+，(0)a >有唯一零点，则a 的值为______.【答案】2【解析】【分析】设2e (0)e x a t t x=>，转化为方程ln e t t =有唯一解e t =，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，利用导数判断单调性并求出最小值可得答案.【详解】由题意知224e 21e ln x a x x x+=-有唯一解，0x >，故2222e e 21ln e ln e ln e e l ln n x x x a a a x a x x x x=--=--=，设2e (0)e x a t t x=>，即ln e t t =，设(e n )l t F t t =-，则11()e F t t '=-，当(0,e)t ∈时，()0F t '<，函数()F t 单调递减，当(e,)t ∈+∞时，()0F t '>，函数()F t 单调递增；min ()(e)0F t F ==，故方程ln e t t =有唯一解e t =，即2e e e x a x=有唯一解，即2ln 2a x x =-有唯一解，设ln ()22g x a x x =-+，()2a g x x '=-，0a >，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x 趋近于0和x 趋近于+∞时，()g x 趋近于-∞，故只需满足ln 2022a a g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，设()ln 22a h a a a =-+，()ln 2a h a '=，当(0,2)a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，当(2,)a ∈+∞时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增，故min ()(2)0h a h ==，故2a =成立.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是构造函数，利用导数判断单调性四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S，且满足1n a =+，*N n ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n n b a a a +⋅=+，求数列{}n b 的前n 和n T .【答案】（1）21n a n =-，*N n ∈（2）2221n n n T n+=+【解析】【分析】（1）根据数列递推式求出首项，得出当2n ≥时，()211114n n S a --=+，和()2114n n S a =+相减并化简可得12n n a a --=，即可求得答案；（2）利用（1）的结果可得12n n n n b a a a +⋅=+的表达式，利用等差数列的前n 项和公式以及裂项法求和，即可求得答案.【小问1详解】由1n a =+得()2114n n S a =+，则()211114a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()211114n n S a --=+，所以()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ----+=+，因为{}n a 是正项数列，所以10n n a a ->+，所以12n n a a --=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以12(1)21n a n n =+-=-，*N n ∈.【小问2详解】由（1）可得，21n a n =-，所以122112121(21)(21)2121n n n n b a n n a a n n n n +=+=-+=-+--+-+⋅，所以(121)111111213352121n n n T n n +-⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭21121n n =+-+2221n n n =++.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22b a ac -=.（1）求证：2B A =；（2）如图：点D 在线段AC 上，且12AD BD CD ==，求cos C 的值.【答案】（1）证明见解析（2）368【解析】【分析】（1）在ABC 中根据余弦定理、正弦定理及三角公式化简可得；（2）由第一问在BCD △中结合正弦定理可得2a c =，在ABC 中根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】证明：由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，又22b a ac -=，可得22cos c ac ac B -=，即2cos c a a B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos C A A B -=，而sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，代入上式，可得sin sin si )cos co i s n s n(A A B A B B A =-=-，所以πA B A +-=（舍）或A B A =-，即2B A =.【小问2详解】因为2B A =，AD BD =，所以=A ABD CBD ∠∠=∠，在BCD △中，由正弦定理得sin sin sin sin CD CBD A a BD C C c∠∠===∠∠，而12BD CD =，可得2a c =，代入22b a ac -=，可得=b ，由余弦定理得222222(2)co 2s 8c c a b c C ab +-+-===.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，棱PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 是矩形，6PA AD ==，点N 为棱PD 的中点，点E 在棱AD 上，3AD AE =.（1）求证：PC AN ⊥；（2）已知平面PAB 与平面PCD 的交线l 与直线BE 所成角的正切值为12，求二面角N BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又因为四边形ABCD 是矩形，所以AD CD ⊥，因为,PA AD A PA CD ⋂=⊂、平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AN ⊂平面PAD ，所以CD AN ⊥.因为N 为PD 中点，PA AD =，所以PD AN ⊥，因为PD CD D ⋂=，所以AN ⊥平面PCD ，因为PC ⊂平面PCD ，所以AN PC ⊥.【小问2详解】在矩形ABCD 中，//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊂/平面PCD ，所以//AB 平面PCD .又AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以//AB l .所以l 与直线BE 所成角即为ABE ∠.在Rt ABE △中，123AE AD ==，AB AE ⊥，所以4tan A AE A E B B ∠==.以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,2,0)E ，(0,3,3)N 所以(4,2,0)BE =- ，(4,3,3)BN =-.设平面BNE 的法向量为(,,)m x y z = ，则4204330m BE x y m BN x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取23,6z x y =⇒=-=-，可得(3,6,2)m =-- .又(0,0,6)AP = 为平面BDE 的一个法向量，所以122cos ,67m 7m AP AP m AP ⋅===⨯ .由图可知，二面角N BE D --为锐角，所以二面角N BE D --的余弦值为27.20.人工智能（AI ）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m （*m ∈N ）分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得1-分.若该答题机器人答对每道题的概率均为12，每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X ，当2X m =时，答题结束，机器人挑战成功，当X 0=时，答题也结束，机器人挑战失败.（1）当3m =时，求机器人第一轮答题后累计得分X 的分布列与数学期望；（2）当4m =时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.【答案】（1）分布列见解析，()3E X =（2）111024【解析】【分析】（1）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可；（2）根据超几何分布分类讨论计算即可.【小问1详解】当3m =时，第一轮答题后累计得分X 所有取值为4，3，2，根据题意可知：()1114224P X ==⨯=，()11132222P X ==⨯⨯=，()1112224P X ==⨯=，所以第一轮答题后累计得分X 的分布列为：X 432()P X 141214所以()1114323424E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】当4m =时，设“第六轮答题后，答题结束且挑战成功”为事件A ，此时情况有2种，分别为：情况①：前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②：前4轮答题中，得1分的有3轮，得1-分的有1轮，第5.6轮都得1分；所以()3232335411111111C C 4244441024P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.如图，已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左右顶点分别为A 、B ，P 是椭圆M 上异于A 、B 的动点，满足14PA PB k k ⋅=-，当P 为上顶点时，ABP 的面积为2.（1）求椭圆M 的方程；（2）若直线AP 交直线:4l x =于C 点，直线CB 交椭圆于Q 点，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）2214x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设椭圆上顶点0(0,)P b ，根据题意求出,a b 即可得解；（2）分直线PQ 斜率是否存在，设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，先根据斜率不存在求出定点M ，方法1，联立直线AC 与椭圆方程，求出,P Q 两点的坐标，然后证明,,P M Q 三点共线即可.方法2，当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，联立方程，利用韦达定理求出12x x +，12x x ，再结合已知，求出,k m 的关系，即可得出结论.方法3，易得3BQ PA k k =，根据椭圆的对称性可得3PB QA k k =，再利用斜率公式构造对偶式，进而可求出PQ 的方程，从而可得出结论.【小问1详解】设椭圆上顶点0(0,)P b ，则002214P A P B b b b k k a a a =⋅==--⋅-，又01222ABP S ab =⨯=△，两式联立可解得2a =，1b =，所以椭圆M 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(4,)C t ，当直线PQ 斜率不存在时，12x x =，12y y =-则直线:(2)6t AC y x =+，:(2)2t BC y x =-所以()()11112,622t y x t y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可解得11x =，此时直线PQ 方程为1x =，过定点(1,0)；下面证明斜率存在时，直线PQ 也经过(1,0)，法1（设而求点）：联立直线AC 与椭圆方程：22(2),61,4t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()2222944360t x t x t +++-=，()()42216494360t t t ∆=-+->，由韦达定理有212429t x t --=+，即2121829t x t -=+，所以()1126269t t y x t =+=+，所以P 点坐标为2221826,99t t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得Q 点坐标为222222,11t t t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，设点(1,0)M ，则222936,99t t MP t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ ，22232,11t t MQ t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为2222229326309191t t t t t t t t ---⋅-=++++，所以//MP MQ ，所以直线PQ 过定点(1,0)M ，证毕.法2（直曲联立）：当直线PQ 斜率存在时，设直线PQ 为y kx m =+，由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，而14PA PB k k ⋅=-，可得34BQ PB k k =-⋅，即()()21122112322224y y y y x x x x ⋅==-----，整理得()121212346120x x y y x x +-++=①，联立直线PQ 与椭圆方程：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222418440k x kmx m +++-=，所以()()()222222644414416410k m k m k m∆=-+-=+->，则2241k m +>，由韦达定理有122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+②，所以()()()2222121212122441m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+⋅③，将②③代入①得2222224448346120414141m m k km k k k --⨯+⨯+⨯+=+++，可得(2)()0k m k m ++=，所以2m k =-或m k =-，当2m k =-时，直线PQ 为2y kx k =-，经过(2,0)B ，舍去，所以m k =-，此时直线PQ 为y kx k =-，经过定点(1,0)，直线PQ 过定点得证.法3（构造对偶式）：由6PA t k =，2BQ t k =，可知3BQ PA k k =，又14PA PB k k ⋅=-，由椭圆对称性易知14QA QB k k =-⋅，所以3PB QA k k =，可得21211221121221121212322362326322y y x x x y x y y y y y x y x y y y x x ⎧=⨯⎪-+-=--⎧⎪⇒⎨⎨-=--⎩⎪=⨯⎪-+⎩①②，由①②可得122121x y x y y y =--，直线PQ 为()121112y y y y x x x x --=--，令0y =得，1221211x y x y x y y -==-，所以直线PQ 过定点(1,0)，证毕.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()e e x x f x a -=-，（R a ∈）.（1）若()f x 为偶函数，求此时()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）设函数()()(1)g x f x a x =-+，且存在12,x x 分别为()g x 的极大值点和极小值点.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若(0,1)a ∈，且()()120g x kg x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）20y +=（2）（i ）(0,1)(1,)⋃+∞；（ii ）(,1]-∞-【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，求出a 的值，然后利用导数求切线方程.（2）（ⅰ）对()g x 进行求导，将()g x 既存在极大值，又存在极小值转化成()0g x =必有两个不等的实数根，利用导数得到()g x 的单调性和极值，进而即可求解；（ⅱ）对()g x 进行求导，利用导数分析()g x 的极值，将()()120g x kg x +>恒成立转化成11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，构造函数，利用导数分类讨论求解即【小问1详解】()f x 为偶函数，有()e e ()e e x x x x f x a f x a ---=-==-，则1a =-，所以()e e x x f x -=--，()e ex x f x -'=-+所以(0)2f =-，(0)0f '=所以()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20y +=.【小问2详解】（ⅰ）()()(1)e e (1)x x g x f x a x a a x -=-+=--+，()()2e 1e 1e (1)e 1()e e (1)e e x x x x x x x x a a a g x a a ----++'=+-+==，因为函数()g x 既存在极大值，又存在极小值，则()0g x '=必有两个不等的实根，则0a >，令()0g x '=可得0x =或ln x a =-，所以ln 0a -≠，解得0a >且1a ≠.令{}min 0ln ,m a =-，{}max 0ln ,n a =-，则有：x (,)m -∞m (,)m n n (,)n +∞()g x '+0-0+()g x 极大值极小值可知()g x 分别在x m =和x n =取得极大值和极小值，符合题意.综上，实数a 的取值范围是(0,1)(1,)⋃+∞.（ⅱ）由(0,1)a ∈，可得ln 0a ->，所以10x =，2ln x a =-，()11g x a =-，()21(1ln )g x a a a =-++且有()()210g x g x <<，由题意可得[]11(1)ln 0a k a a a -+-++>对(0,1)a ∀∈恒成立，由于此时()()210g x g x <<，则0k <，所以()()()1ln 11k a a k a +>--，则11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，令ln 11()11x h x x k x -⎛⎫=--⋅ ⎪+⎝⎭，其中01x <<，则2222212(1)211112()1(1)(1)(1)x x x x k k h x x k x x x x x ⎛⎫+--++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=--⋅== ⎪+++⎝⎭，令2210x x k ++=，则()2224144k k k -∆=-=.①当0∆≤，即1k ≤-时，()0h x '≥，()h x 在(0,1)上是严格增函数，所以()(1)0h x h <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⋅ ⎪+⎝⎭，符合题意；（2）当0∆>，即10k -<<时，设方程2210x x k ++=的两根分别为3x ，4x 且34x x <，则3420x x k +=->，341x x =，则3401x x <<<，则当31x x <<时，()0h x '<，则()h x 在()3,1x 上单调递减，所以当31x x <<时，()(1)0h x h >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>-⋅ ⎪+⎝⎭，不合题意.综上所述，k 的取值范围是(,1]-∞-.。

高三数学上学期第二次阶段测试试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校一中2021届高三数学上学期第二次阶段测试试题文〔含解析〕说明：1.本套试卷有选择题和非选择题两局部构成，其中选择题60分，非选择题90分，总分150分.考试时间是是120分钟.2.每一小题在选出答案以后，用铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.考试过程中考生答题必须使用0.5毫米黑色水笔答题，答案必须写在指定的答题区域，在其它区域答题无效.第一卷选择题〔60分〕一、选择题〔本大题有12个小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合要求〕 1.设集合{}{}222320A xx B x x x =-<=-+<，.那么R AC B =A.(][)0,12,4B.()1,2C.∅D.()(),04,-∞+∞【答案】A 【解析】【分析】解二个不等式，化简集合,A B ，先求出R C B ,最后求出R A C B ⋂.【详解】因为2204x x -<⇒<<，232012x x x -+<⇒<<，所以{}{}0412A x x B x x =<<=<<，，因此{}1,2R C B x x x =≤≥或，所以R A C B =(][)0,12,4，故此题选A.【点睛】此题考察了集合的交集、补集运算，正确解不等式是解题的关键. 2.复数31ii+〔i 是虚数单位〕在复平面上对应的点位于〔〕． A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】复数31ii(1i)1i i +=+=-+，其在复平面上对应的点为(1,1)-，该点位于第二象限．应选B ．点晴:此题重点考察复数的根本运算和复数的概念.首先对于复数的四那么运算，要实在掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)()()i,(,,,)a b c d ac bd adbc a b c d ++=-++∈R ，其次要熟悉复数的相关根本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a ，虚部为b (,)a b ，一共轭复数为i(,)a b a b -∈R 3.以下函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是〔〕A.1y x=B.1y x =+C.lg y x=D.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判断每一个函数的奇偶性和单调性得解. 【详解】A.1y x=,是奇函数不是偶函数，所以该选项错误； B.()1,()1()f x x f x x f x =+∴-=+=,所以函数是偶函数，由于函数||y x =在区间()0,∞+上是增函数，所以函数1y x =+在区间()0,∞+上单调递增，所以该选项是正确的；C.lg y x =不是偶函数，所以该选项是错误的；D.1()()2xf x f x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以函数是偶函数，由于函数||y x =在区间()0,∞+上是增函数，1()2x y =在()0,∞+上是减函数，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是减函数，所以该选项错误.应选：B【点睛】此题主要考察函数的奇偶性和单调性的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.4.函数()1f x x x =-，假设()2log 6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.53c f =，那么a ，b ，c的大小关系为〔〕 A.a b c << B.b a c << C.c a b<<D.c b a <<【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为奇函数，且可判断出()f x 在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性将b 变为29log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭；比较自变量之间的大小关系，根据单调性可得函数值之间的大小关系，从而得到结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为：{}0x x ≠，且()1f x x x-=-+()f x ∴为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数当()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增且0.52229032log 4log log 62<=<=<<()()0.52293log log 62f f f ⎛⎫∴<< ⎪⎝⎭即：c b a << 此题正确选项：D【点睛】此题考察利用函数奇偶性和单调性比较大小的问题，关键是可以通过函数性质将问题转化为自变量之间的比较.1:(,),22p x y D x y ∀∈+≥-，2:(,),22p x y D x y ∃∈+≥， 3:(,),23p x y D x y ∀∈+≤4:(,),21p x y D x y ∃∈+≤-，〕 A.23,p pB.12,p pC.13,p pD.14,p p【答案】B 【解析】试题分析：画出可行域，如下列图，设2x yz +=，那么122zy x =-+，当直线l 过点(2,1)A -时，z 取到最小值，min 22(1)0z =+⨯-=，故2x y +的取值范围为20x y +≥12,p p ，选B ．【考点定位】1、线性规划；2、存在量词和全称量词．【此处有视频，请去附件查看】 6.执行如下列图的程序框图，那么输出的i =〔〕A.3B.4C.5D.6【答案】C 【解析】依次循环为02S i =+==；3S i ===；1,4S i ===；1,5S i =>=；完毕循环，输出5i =，选C.点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7.函数1()ln ||f x x x=+的图象大致为()A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】分别令1001,e,e ex=-，根据()f x 的函数值，对选项进展排除，由此得出正确选项. 【详解】由四个选项的图像可知()11f =，令1ex =，()11e 11e f f ⎛⎫=-+>= ⎪⎝⎭，由此排除C 选项.令e x =，()()1e 111ef f =+>=，由此排除B 选项.由于()1001001e 1000ef -=->，排除D选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考察函数图像的判断，考察利用特殊点排除的方法，属于根底题. 8.设函数()()321f x x a x ax =+-+．假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为() A.2y x =-B.y x =-C.2y x =D.y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，应选D.点睛：该题考察的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.9.在各项为正数的等比数列{}n a 中，2a 与8a 的等比中项为8，那么374a a +取最小值时，首项1a =〔〕A.8B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】由题意可得58a =，可得23723248a a q q+=+，由根本不等式和等比数列的通项公式可得结果. 【详解】∵22285588a a a a ==⇒=，设公比为0q q >（），∴22537522243232482832a a a a q q q q q+=+=+⨯= 当且仅当22328q q =，即22q =时取等号，此时5142a a q ==，应选C. 【点睛】该题考察的是有关应用根本不等式求最值的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，利用根本不等式求最值，属于简单题目.10.(cos 2,sin ),(1,2sin 1),,2a b πααααπ⎛⎫==-∈⎪⎝⎭，假设25a b ⋅=，那么tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是〔〕A.13B.27C.17D.23【答案】C 【解析】【分析】运用平面向量数量积的坐标表示公式，结合25a b ⋅=，可以求出3sin 5α=，结合,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，根据同角三角函数的关系式，可以求出3tan 4α=-，最后利用两角和的正切公式求出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】222cos2sin (2sin 1)12sin 2sin sin 1sin 5a b ααααααα⋅=+-=-+-=-=，所以3sin 5α=. 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-，所以3tan 4α=-，所以tan 11tan 41tan 7πααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭. 【点睛】此题考察了平面向量数量积的坐标表示公式，考察了同角的三角函数关系式，考察了两角和的正切公式，考察了数学运算才能. 11.函数1()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图象恒过定点A ，假设点A 在直线10mx ny --=上，其中m 0>，0n >，那么12m n+的最小值为〔〕 A.4 B.5 C.6D.3+【答案】D 【解析】【分析】由指数函数的性质得出点A 的坐标，将点A 的方程代入直线方程得出1m n +=，然后将代数式12m n+与m n +相乘，展开后利用根本不等式可得出12m n+的最小值. 【详解】令10x -=，得1x =，那么()0121f a =-=-，∴函数()y f x =的图象恒过点()1,1A -，点A 在直线10mx ny --=上，可得1m n +=，由根本不等式得()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为3+，应选：D. 【点睛】此题考察根本不等式求最值，考察指数型函数过定点问题，解题的关键在于根据条件得出定值条件，并对代数式进展合理配凑与变形，考察分析问题与解决问题的才能，属于中等题. 12.定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，假设函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，那么m 的取值范围是〔〕A.[)3.54，B.(]3.5,4C.(]5,5.5D.[)55.5，【答案】A 【解析】【分析】由()()20f x f x -+=得出函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称以及函数()y f x =的周期为2，由函数()y f x =为奇函数得出()00f =，并由周期性得出()2f = ()40f =，然后作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象，列举前10个交点的横坐标，结合第11个交点的横坐标得出实数m 的取值范围。

2021年高三数学上学期第二次联考试题理(III)

2021年高三数学上学期第二次联考试题理(III)一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共12小题，每小试题5分，共60分）1．.已知椭圆（a>b>0）上到点A （0， b ）距离最远的点是B （0，－b ），则椭圆的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤|PQ |≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．r ≤1＜R ＜3B ．1＜r ＜3≤RC ． 1＜r ＜R ＜3D ．1＜r ＜3＜R3．已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是A ．B ．C ．D ．4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则等于A ．B ．C ．D ．5．60,,,,=∠∆A C B A c b a ABC 的对边且分别为角中，已知,若，且，则的周长等于A ． B.12 C.10+ D.5+6．若椭圆的面积为，则A ．B ．C ．D ．7．函数的图象大致为8．设点P 是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．9．已知，满足，，，则在区间上的最大值与最小值之和为 A ．-3 B ．3 C ． D ．10．定义在区间[0,1]上的函数的图象如图所示，以、、为顶点的ABC 的面积记为函数,则函数的导函数的大致图象为11．已知函数的部分图像如图所示，A 、B 、C 分别是函数图像与轴交点、图像的最高点、图像的最低点．若，且．则的解析式为A ．B ．C ．D ． 12．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在．．，使得，那么称为集合的聚点，用表示整数集，下列四个集合：①，②，③，④整数集．其中以0为聚点的集合有（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④ 二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）13．若，则tan= ___________ .14．若函数在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是__________. 15．定义在R 上的函数满足：()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数，则不等式（其中e 为自然对数的底数）的解集为___________.16．圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形（实线所示，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为．三、解答题：（6小题，共70分）17．（本小题10分）已知函数)()21(15),212(3)2(1)(R x x x x x x x x f ∈⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<--= （Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）已知，命题关于的不等式对任意恒成立；命题函数是增函数，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．18．（本小题12分）已知函数，其中，.（Ⅰ）当时，求在区间上的最大值与最小值；（Ⅱ）若，求，的值．19．（本小题12分）已知函数（其中）．当时，函数有极大值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；D CD B C A (P )A（Ⅲ）任取，，证明：．20．（本小题12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 满足：且a 、b 、c 成等比数列，（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若，判断三角形形状.21．（本小题12分）已知函数（）.（Ⅰ）若函数图象上的点都在不等式组表示的平面区域内，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数422()()(1)1h x x f x x bx ⎡=++++⎣在上有零点，求的最小值. 22．（本小题12分）设函数，其中，曲线过点，且在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．高三数学(理)试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题只有一个正确答案，共12小题，每小试题5分，共60分）1.C2. C3. B4. B5. A6. D7. C8. C9. A10.D11. A12. B二、填空题：（4小题，每小题5分，共20分）13.14.【解析】考查和的交点情况，由于直线的方向确定，画出图象易知，当直线和相切时，仅有一个公共点，这时切点是，切线方程是，将直线向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点.15． 16. ．三、解答题：（6小题，共70分）17.【解析】（本小题10分）（Ⅰ）结合图象，知函数在处取得最小值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，解得命题……………………3分对于命题，函数是增函数，则则命题：或……………………6分由“或”为真，“且”为假可知有以下两种情形：若真假，则，解得：；…………8分若假真，则，解得：或故实数的取值范围是：，或，或.…………10分18.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）当时，()()sin 42sin cos 2cos sin 224f x x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭……………………3分因为，从而，………………4分故在上的最大值为，最小值为－1……………………6分（Ⅱ）由，得………………8分又知解得．………………12分考点：的综合应用19.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题知，解得…2分（Ⅱ）由题可知函数的定义域为，又……………………4分由得；得；故函数单调增区间为，单调减区间为…………………………7分（Ⅲ）因为，由（1）知函数的单调减区间为，故在上单调递减，；…………………………8分； ……………………9分①………………11分依题意任取，欲证明，只需要证明，由①可知此式成立，所以原命题得证．………………12分考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求最值；3.利用导数证明不等式．20.【解析】（Ⅰ）∵∴………………2分又∵………………4分∴而成等比数列，所以不是最大故B 为锐角，所以…………………………6分（Ⅱ）由，则，……8分所以，又因为所以………………………………10分所以，三角形ABC 是等边三角形.………………12分考点：1.三角函数基本公式；2.同角间三角函数关系；3.正弦定理解三角形21.【解析】（本小题12分）（Ⅰ）由题意可知，在上恒成立，…………2分令，则，代入得在上恒成立，即，即对恒成立，即在上恒成立，………………………………4分此时，只需且，所以有.……………………6分（Ⅱ）（II ）依题意：422()()(1)10h x x f x x bx ⎡=++++=⎣在上有解，即，令，则，代入得方程在上有解，………………………………8分设（），当，即时，只需，的几何意义就是表示点到原点距离的平方，在此条件下，有；………………10分当，即时，只需，即，即，的几何意义就是表示点到原点距离的平方，在此条件下，有. 所以，的最小值为.……………………12分22.【解析】（本小题12分）（Ⅰ），，，，……2分（Ⅱ），设，，则，，…………4分在上单调递增，，在上单调递增，．．………………6分（Ⅲ）设，，由（Ⅱ）中知，，，………………8分①当，即时，，在单调递增，，成立．………………10分②当，即时，，，令，得，当时，，在上单调递减，，不成立．综上，．………………12分考点：（1）导数的运算及其几何意义；（2）利用导数求函数的最值及分类讨论思想的应用；（3）构造函数的应用，注意小步设问寻找解决问题的突破口。

河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试(二)数学试题含答案

河南省部分名校2024-2025学年高三上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：（答案在最后）1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(2)30},(,2)(4,)A xx x B =-+>=-∞⋃+∞∣，则()R A B ⋂=ð（）A.[2,3)B.(1,2)-C.(,3)(4,)-∞⋃+∞D.(1,4]-【答案】A 【解析】【分析】首先求解集合A ，再根据交，并，补的运算，即可求解.【详解】()2230230x x x x -+>⇔--<，即()()130x x +-<，得13x -<<，即()13A ,=-,[]R 2,4B =ð，所以()[)R 2,3A B ⋂=ð.故选：A2.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.-1B.32-C.12-D.32【答案】C 【解析】【分析】结合三角函数的定义求cos α和sin α，再代入两角和的余弦公式，即可求解.【详解】由终边点31,22P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭可知，cos 2α=-，1sin 2α=-，所以πππ111cos cos cos sin sin 66622222ααα⎛⎫+=-=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C3.已知函数e ,1()ln 2,1(4),1x x f x x f x x -⎧<⎪==⎨⎪->⎩，则()(9)f f =（）A.2eB.1C.ln 2D.12【答案】D 【解析】【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用.【详解】由题意，()()()1lnln 221(9)(5)(1)(ln 2)ee2f f f f f f f -======.故选：D.4.已知π6cos 46α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.56-B.23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 1212463αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而π2sin 2cos 223αα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.故选：C5.函数2e ()e 1xx x f x =+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再集合函数值的正负，以及取向，即可判断选项.【详解】函数的定义域为R ，且()()22e e e 1e 1x xx x x x f x f x ---⋅-⋅-===-++，所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，且当0x >时，()0f x >，故排除C ，()1e e x xx f x =+，当x →+∞时，0y →，故排除D ，满足条件的只有B.故选：B6.若命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，则实数k 的取值范围是（）A.(,-∞B.(∞-C.(),-∞⋃+∞D.)⎡+∞⎣【答案】A 【解析】【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果.【详解】由题意，命题“21,e e 10x x x k +∃∈-+<R ”是假命题，等价于其否定“21,e e 10x x x k +∀∈-+≥R ”是真命题，令()e0xt t =>，则2e 10t kt -+≥对0t ∀>恒成立，即1e k t t ≤+，需满足min 1e k t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，而0t >，1e t t +≥=，当且仅当1e t t =，即e et =时取等号.所以min1e t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭k ≤故选：A.7.将函数π()cos (06)6f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，若()g x 是奇函数，则()f x 在区间(0,π)内的极值点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由平移关系与奇函数性质可得()f x 的对称性，求得()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质求解即可.【详解】若()g x 是奇函数，则()g x 图象关于(0,0)对称，由题意得()g x 的图象向左移π6个单位长度得到函数()f x 的图象，故()f x 的图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos 066ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则,662k k πππωπ-+=+∈Z ，解得62,k k ω=--∈Z ，又因为06ω<<，则当1k =-时，4ω=.()cos 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π()0,x ∈，令ππ25π4,666t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭极值点的个数与()f x 在区间(0,π)内的极值点个数相同.而函数()cos h t t =在π25π,66⎛⎫⎪⎝⎭内的所有极值点为π,2π,3π,4π，共4个.故()f x 在区间(0,π)内的极值点个数也为4个.故选：D.8.已知函数()f x 的定义域为(),1f x -R 为奇函数，()2f x +为偶函数，则()()()1216f f f =+++L （）A.0B.16C.22D.32【答案】B 【解析】【分析】由()1f x -为奇函数得对称中心为 벘ࢿ，结合(2)f x +为偶函数，求周期为8，从而求出()()()128f f f +++ ，即可得到()()()1216f f f +++ 的值.【详解】因为()1f x -为奇函数，则()01f =，且函数()f x 的图象关于 벘ࢿ中心对称，即()()2f x f x +-=，因为()2f x +为偶函数，所以()()22f x f x +=-，则()()4f x f x +=-，所以()()42f x f x ++=，()()482f x f x +++=，所以()()8f x f x =+，故()f x 的周期为8，因为()()()()()()()()152,262,372,482f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()1216212816f f f f f f ⎡⎤+++=+++=⎣⎦ ，故选：B .【点睛】关键点点睛：由()1f x -为奇函数，()2f x +为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数()f x 的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知110a b<<，则（）A.22a b >B.ln()ln()b a ->-C.()2222()a ba b +>+ D.2a ab<【答案】BCD 【解析】【分析】首先判断0b a <<，再结合不等式的性质，函数的单调性，以及作差法，即可判断选项.【详解】由110a b<<，可知，0b a <<，所以22a b <，故A 错误；0b a ->->，对数函数ln y x =单调递增，所以()()ln ln b a ->-，故B 正确；()()()222220a b a b a b +-+=->，即()()2222a b a b +>+，故C 正确；()2a ab a a b -=-，由0b a <<，可知()20a ab a a b -=-<，即2a ab <，故D 正确.故选：BCD10.已知函数1()sin 2sin cos f x x x x=+，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的值域为(,)-∞-⋃+∞C.()f x 的图象关于直线3π4x =对称D.()f x 以π为周期【答案】ACD 【解析】【分析】首先化简函数()2sin 2sin 2f x x x=+，再根据奇函数的定义，判断A ，通过换元分析函数2y t t =+的单调性，即可求函数的值域，判断B ，证明()3π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，判断C ，根据()()πf x f x +=，即可判断D.【详解】()2sin 2sin 2f x x x=+，sin 20x ≠，则π2π2k x k x ≠⇒≠，Z k ∈，则函数的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，函数的定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，所以函数是奇函数，故A 正确；设[)(]sin 21,00,1t x =∈- ，2y t t=+在区间(]0,1单调递减，[)3,y ∈+∞，因为函数是奇函数，所以函数的值域是(][),33,∞∞--⋃+，故B 错误；()()()3π22sin 3π2sin 22sin 3π2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=+= ⎪-⎝⎭，所以函数()f x 关于3π4x =对称，故C 正确；()()()()22πsin 22πsin 2sin 22πsin 2f x x x f x x x+=++=+=+，所以函数()f x 的周期为π，故D 正确.故选：ACD11.已知对任意0x >，不等式32e 2ln 0x ax ax x -+≥恒成立，则实数a 的可能取值为（）A.1B.e 2C.eD.2e 【答案】ABC 【解析】【分析】将不等式运算转化为指对同构形式，整体换元转化不等式，分离参数后再构造函数求最值可得a 的范围.【详解】由0x >，32e 2ln 0xax ax x -+≥可化为2e 2ln 0xax a x x-+≥，则又可化为()2222e e e ln 0ln 0x x x a x x a x x x--≥⇔-≥，令2()x e x xϕ=，则3e (2)()x x x x ϕ-'=，令()0x ϕ'=，得2x =，当02x <<时，()0x ϕ'<，则()ϕx 在(0,2)单调递减；当2x >时，()0x ϕ'>，则()ϕx 在(2,)+∞单调递增；故2mine ()(2)4x ϕϕ==，且当x →+∞，()x ϕ→+∞.再令2e xt x =，则2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则关于t 的不等式ln 0t a t -≥在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，即ln ta t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令()ln t h t t =，2e ,4t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则2ln 1()(ln )t h t t -'=，由()0h t '=解得e t =，当2e e 4t ≤<时，()0h t '<，则()h t 在2e ,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减；当t e >时，()0h t '>，则()h t 在(e,)+∞单调递增；所以min ()(e)e h t h ==，要使ln t a t ≤在2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，则e a ≤.故选：ABC.【点睛】方法点睛：解决指对混合不等式时，通常需要利用指对运算挖掘同构特点（指对同构）进行整体代换，从而构造新函数解决问题，其运算实质还是指对互化与指数、对数恒等式的变换.常见变形方式有：()ln ln ln e e e ee e ln l ,n e ,ln ln e ,,x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x+--===+=-=.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){,12},{ln 20}P yy x a x Q x x ==+-<≤=-<∣∣，若x P ∈是x ∈Q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______.【答案】[]0,2【解析】【分析】化简集合,P Q ，再结合P 是Q 的必要不充分条件列不等式族求解.【详解】由y x a =+，12x -<≤，则12a y a -<≤+，所以{}12P y a y a =-<≤+，由()ln 20x -<，即()ln 2ln1x -<，解得12x <<，所以{}12Q x x =<<，因为P 是Q 的必要不充分条件，所以1122a a -<⎧⎨+>⎩，且11a -=，22a +=也符合题意，解得02a ≤≤.所以实数a 的取值范围为 벘h .故答案为： 벘h .13.已知,a b 均为正实数，且23a b ab +=，则1332a b +--的最小值为_____________.【解析】【分析】由已知条件等式配凑积为定值(3)(2)6a b --=的形式，再利用基本不等式求解可得最小值.【详解】由23a b ab +=，得230ab a b --=，则236(3)(2)6ab a b a b --+=--=，由已知0,0a b >>，则23(3)0a ab b b a =-=->，所以3a >，且32(2)0b ab a a b =-=->，所以2b >.所以30,20a b ->->，故1332a b +≥--当且仅当1332a b =--，即32a b ==+所以1332a b +--.14.已知曲线e x y =上有不同的两点P 和Q ，若点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，则实数k 的取值范围为_____________.【答案】()0,1【解析】【分析】由曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，将问题转化为曲线ln y x =与2y kx x =-有2个交点，即方程ln 1x kx x=-有2个不同的实根，进而转化为()ln xh x x =和1y kx =-有两个交点，利用导数求函数()ln xh x x=的大致图象，结合图象即可求解.【详解】曲线e x y =与ln y x =关于直线y x =对称，又点,P Q 关于直线y x =的对称点,P Q ''在曲线2y kx x =-上，∴曲线()ln 0y x x =>与2y kx x =-有2个交点，即2ln x kx x =-有2个不同的实根，即方程ln 1xkx x=-有2个不同的实根，设函数()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'=，∴当0e x <<时，，在()0,e 上单调递增，当e x >时，，在()e,+∞上单调递增，()()max 1e eh x h ∴==，再根据当0x →时，()h x ∞→-，当x →+∞时，()0h x →，作出的大致图象，如图，由于直线1y kx =-过定点()0,1-，当直线1y kx =-与的图象相切时，设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，此时00200ln 11ln x x x k x x +-==，即002ln 10x x +-=，可得01x =，此时切线的斜率为1，由图可知，01k <<时，直线1y kx =-与的图象有2个交点，∴实数k 的取值范围为 벘ࢿ，故答案为： 벘ࢿ.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数32()2g x x mx mx n =+-+的图象在点(1,(1))g --处的切线与直线820x y +-=垂直.（1）求m 的值;（2）已知()g x 在区间[1,2]-上的最小值为5-，求()g x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）1m =-（2）1.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解；（2）利用导数判断()g x 的单调性，结合()g x 的最小值为5-，求出n ，并求出最大值.【小问1详解】由已知，得2()34g x x mx m '=+-，由题知(1)348g m m '-=--=，解得1m =-.【小问2详解】由（1）可知，32()2g x x x x n =-++，21()3413(1)3g x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，,(),()x g x g x '的变化情况如表所示：x 1-11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1,2)2()g x '+0-0+()g x 4n - 极大值427n + 极小值n 2n +4n n -< ，min ()45g x n ∴=-=-，1n ∴=-，max 42,()2 1.27n n g x n +<+∴=+= 即()g x 在区间[1,2]-上的最大值为1.16.已知向量(cos sin ),(cos sin ,2cos )m x x x n x x x =+=- ，函数()g x m n =⋅ .（1）求()g x 的最小正周期;（2）若函数()()f x g x a =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π（2）[1,2).【解析】【分析】（1）首先利用数量积公式和二倍角公式，辅助角公式，化简函数，再求周期；（2）由题意转化为y a =与函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象恰有两个交点，利用整体代入的方法，结合正弦函数的图象，即可求解.【小问1详解】22()cos sin cos g x m n x x x x =⋅=-+，cos 222sin 26x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()g x ∴的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由题知()g x a =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实数根，即函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象与直线y a =恰有两个交点，令72,0,,,6266u x x u ππππ⎡⎤⎡⎤=+∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，作出72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =，如图.由图知，当12a ≤<时，72sin ,66y u u ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象与直线y a =有两个交点，∴实数a 的取值范围为[1,2).17.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知57cos 14C =，4a =，且ABC V 的面积为（1）求c ；（2）延长CB 至点D ，使得ABD △是等腰三角形，求sin DAC ∠.【答案】（1）2（2）32114【解析】【分析】（1）首先根据同角三角函数的平方关系求出sin C ，然后根据三角形的面积公式求出b 的值，再利用余弦定理求解即可；（2）首先利用余弦定理的推论求出1cos 2ABC ∠=-，进而得到3ABD π∠=，根据ABD △是等腰三角形得到ABD △是边长为2的等边三角形，再利用ADC ABD ABC S S S =+ 求解即可.【小问1详解】cos 14C = ，(0,π)C ∈，sin 14C ∴===，1121sin 42214ABC S ab C b ==⨯⨯⨯= ，b ∴=∴由余弦定理得222222cos 424414c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，2c ∴=；【小问2详解】如图，由（1）及余弦定理可得，222222421cos 22422a cb ABC ac +-+-∠===-⨯⨯，2π3ABC ∴∠=，π3ABD ∴∠=， ABD △是等腰三角形，∴ABD △是边长为2的等边三角形，2AD AB ==，224ADC ABD ABC S S S =+=⨯+=又1sin 2ADC S AD b DAC DAC =⨯∠=∠= 321sin14DAC ∴∠=.18.已知函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y ++-=-.（1）求(1),(1)f f -;（2）判断()f x 的奇偶性;（3）若当1x >时，()0f x >，且(2)1f =，求不等式(2)(1)2f x f x +--<的解集.【答案】（1）0；0（2）偶函数（3）2(,2)2,(2,)5⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，即可得到()()()f a f b f ab +=，再令1b =-，即可得解；（3）首先说明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再得到(4)2f =，则不等式转化为(2)(44)f x f x +<-，再结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.【小问1详解】因为对任意,x y ∈R 且||||x y ≠，都满足()22()()f x y f x y f x y++-=-，令1,0x y ==，得(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f ∴=，令1,0x y =-=，得(1)(1)(1)0f f f -+-==，(1)0f ∴-=.【小问2详解】对任意非零实数a ，b ，令,22a b a b x y +-==，可得()()()f a f b f ab +=.在上式中，令1b =-，得()(1)()f a f f a +-=-，即对任意非零实数a ，都有()()f a f a =-，()f x ∴是偶函数.【小问3详解】对任意12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，有22111,0x x f x x ⎛⎫>∴> ⎪⎝⎭，由（2）知()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在区间(0,)+∞上单调递增.(2)1,211(2)(2)(4)f f f f =∴=+=+= ，(2)(1)2f x f x +--< ，(2)(1)2(1)(4)(44),f x f x f x f f x ∴+<-+=-+=-()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，∴原不等式转化为0|2||44|x x <+<-，解得2x <-或225x -<<或2x >，∴原不等式的解集为2(,2)2,(2,)5∞∞⎛⎫--⋃-⋃+ ⎪⎝⎭.19.已知函数()(2)e (2)1x f x x ax x =---+.（1）若()f x 仅有一个极值点且()2f x >-恒成立，求实数a 的取值范围;（2）当a 变化时，求()f x 的图象经过的所有定点的坐标，并请写出一个函数tan()y A x ωϕ=+，使其图象经过上述所有定点;（3）证明：21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦.【答案】（1）(]e 3,0-（2）ππtan 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()(1)e 2x f x x a =--'分类讨论函数极值并求函数最小值满足条件即可；（2）令a 的系数为0求定点，结合特殊角的正切值写出满足题意的一个函数即可；（3）化简函数解析式求导函数，利用隐零点回代的方法求证函数最小值大于0可得.【小问1详解】由题知()()(1)e 22(1)e 2x x f x x ax a x a '=--+=--，①当0a ≤时，20x e a ->恒成立，∴当1x <时，()0,()'<f x f x 在(,1)-∞单调递减，当1x >时，()0,()'>f x f x 在(1,)+∞单调递增，则()f x 仅有一个极值点，且min ()(1)e 1f x f a ==-++.要使()2f x >-恒成立，得(1)e 12f a =-++>-，解得e 3a >-.所以e 30a -<≤；②当0a >时，由()0f x '=，得11x =或()2ln 2x a =.当ln(2)1a =，即e 2a =时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在R 上单调递增，即函数()f x 无极值点，不满足题意；当ln(2)1a >时，即2e a >时，1ln(2)a <当1x <时，()0f x '>，()f x 在(,1)-∞单调递增；当1ln(2)x a <<时，()0f x '>，()f x 在()1,ln(2)a 单调递减；当ln(2)x a >时，()0f x '>，()f x 在()ln(2),a +∞单调递增；则()f x 在1x =与ln(2)x a =处都取极值，即有两个极值点，故不满足题意；同理，当ln(2)1a <时，即0e 2a <<时，()f x 也有两个极值点，故不满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(]e 3,0-.【小问2详解】令(2)0x x -=，可得0x =或2x =，(0)1,(2)1f f =-= ，()f x ∴的图象经过的所有定点的坐标为(0,1)-和(2,1).函数tan()y A x ωϕ=+图象过(0,1)-和(2,1)，则tan 1A ϕ=-，且()tan 21A ωϕ+=.当ππ1,,44A ωϕ===-时，函数ππ()tan 44x x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π14(0)tan ϕ⎛⎫-⎝==-⎪⎭，且1(2)ta 4n πϕ==满足题意.图象经过点(0,1)-和(2,1)的函数tan()y A x ωϕ=+可以是ππtan 44y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.(函数解析式不唯一)【小问3详解】要证21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤++-->+-⎣⎦，即证21(21)e e 2ln 304x x x x ---+>.设21()(21)e e 2ln 34x x g x x x =---+，则()222()e e e 1e x x x x g x x x x x '⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭0,e 10,x x x >∴+> 设2()e (0)x h x x x=->，则()h x 在区间(0,)+∞上单调递增，232(1)e 20,e 303h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭故存在唯一的02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002e 0x h x x =-=，即002e x x =，即00ln ln 2x x =-+.∴当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '<；当0x x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上单调递减，在区间()0,x +∞上单调递增，()min 0()()g x g x g x ∴≥=()00200121e e 2ln 34x x x x =---+()20000122212ln 2234x x x x ⎛⎫=-⨯--++ ⎪⎝⎭0201232ln 2.x x =-+-设21()232ln 2t x x x =-+-，则()t x 在区间2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴当2,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2491()32ln 22(1ln 2)033412t x t ⎛⎫>=-+-=+-> ⎪⎝⎭，21(2)e 4(1)1e 2ln 34x x f x ax x x ⎡⎤∴++-->+-⎣⎦.【点睛】方法点睛：在导函数应用题型中，有些题目零点不会解，可以采用设出零点，利用导数为0条件代回函数解析式求解最值的方法，一般步骤如下：（1）用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程()0f x '=，并结合()f x 的单调性得到零点的取值范围．（2）以零点为分界点，说明导函数()f x '的正负，进而得到()f x 的最值表达式．（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小．。

高三数学上学期第二次检测试卷理含解析试题

有实数解；q：当
时，f〔f〔1〕〕=0，那么以下命题为真命题的是
A．p∧q B．〔￢p〕∧q C．p∧〔￢q〕 D．p∨〔￢q〕
6．假设方程
表示双曲线，那么实数的取值范围是
A．
B．
C．或者
D．以上答案均不对
7．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为
A．n＜2021 B．n≤2021 C．n＞2021 D．n≥2021 4．2021 年 3 月 2 日至 16 日，全国 HY 在召开，甲、乙两近 5 年与会代表名额数统计如下图，设甲、乙的数据平均数分别为，中位数分别为 y1，y2，那么
【解析】
从算法流程图中提供的运算程序可知：当
时，运算程序完毕，所以判断框内应填
，应选答案 B。
4．B 【解析】【分析】分别计算甲、乙的平均数和中位数，由此得出选项. 【详解】
，应选 B. 【点睛】本小题主要考察茎叶图的识别，考察平均数和中位数的计算，属于根底题，直接计算求得相应的结果，再进展比拟即可. 5．B
个数，有
种排法；最后再将 3 插入四个数的空间，有
种方法，所以由分布计数原
理可得所有不同的偶数个数为 11．C
，应选答案 D。
【解析】
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二 O 二二年二月七日
设椭圆右焦点为，那么的周长
，当
三点一共线时，等号成立，所以，此时
，所以此时
的面积为
，应选择 C.
方法点睛：此题关键是通过图形分析，考虑到
，当
三点一共线时，
等号成立，这样就可以根据椭圆定义将周长转化为定值，这样就可以得出直线过右焦点，
此时为通径，于是

高三数学上学期第二次联考试题理PDF

卜人入州八九几市潮王学校高三理科数学参考答案一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕131174.F+V －E=21(,1]-∞ 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕17、解：〔1〕∵2222cos 4ca b ab C =+-=∴2c =故ABC ∆的周长为5.………………………………………………………………………………6分〔2〕∵1cos 4C =且C 为ABC ∆的内角∴sin C =由正弦定理sin sin a c A C =得sin A =∴7cos 8A = ∴11cos()cos cos sin sin 16A C A C A C -=+=…………………………………………………………………………12分 18、解：(1〕依题知21()2n n n S a a =+……………………………………………………………………………………………………①∴21111()2a a a =+，又0n a >∴11a =21111(a a ),n 22n n n S ---=+≥……………………………………………………………………………………………②由①-②得22111()2n n n n n a a a a a --=-+-∴22111,0nn n n n a a a a a ---+=-->n 且a ,那么11n n a a --=∴{}n a 是等差数列，∴1(1)1n a n n =+-⨯=…………………………………………………………………………6分(2)∵11()()22n n nn b a n ==， ∴2311112()3()222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n1（）2，∴23411111()2()3()2222n T n =⨯++⨯+⋅⋅⋅+⨯n+11（）2，两式相减得123111111()()()-()22222n n T n +=+++⋅⋅⋅+⨯n 1（）2，∴11()112()2(2)()12212nn n n T n n -=-=-+-.…………………………………………………………………………12分19．解：〔1〕证明：在梯形ABCD 中，因为0//,1,60AB CD AD DC CB ABC ===∠=，所以2AB =，所以22202cos 603AC AB BC AB BC =+-=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE平面ABCD AC =，因为BC⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．．．．．．．．．．．．5分〔2〕由〔1〕可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如下列图的空间直角坐标系，令(03FMλλ=≤≤，那么())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,M ,0,1C AB λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-，设()1,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由1100n AB n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩得300y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，那么()11,3,3n λ=-，．．．．．．．．．．．7分∵()21,0,0n =是平面FCB 的一个法向量．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴()()122212cos 133134n n n n θλλ===++-⨯-+．．．．．．．．．．．．．．10分∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ7，当3λ=cos θ有最大值12． ∴71cos 2θ⎤∈⎥⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20..解：(1)当l 1与x 轴重合时，k 1＋k 2＝k 3＋k 4＝0，即k 3＝－k 4， ∴l 2垂直于x 轴，得|AB |＝2a ＝2，|CD |＝＝，得a ＝，b ＝，∴椭圆E 的方程为＋＝1. -----------------------------------------------------------4分 (2)焦点F 1，F 2坐标分别为(－1，0)，(1，0)，当直线l 1或者l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或者(1，0)， ------------------------------------5分当直线l 1，l 2斜率存在时，设斜率分别为m 1，m 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由得(2＋3m )x 2＋6mx ＋3m －6＝0，∴x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，k 1＋k 2＝＋＝m 1＝m 1＝m 1＝－， --------------------------------------------------------------------7分同理k 3＋k 4＝－， -----------------------------------------------------------------------------8分 ∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴＝，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，由题意知m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0 -------------------------------------------------------------------9分设P (x ，y )，那么·＋2＝0，即＋x 2＝1(x ≠±1)， ------------------------------------------------10分又当直线l 1或者l 2斜率不存在时，P 点坐标为(－1，0)或者(1，0)也满足此方程， ∴点P (x ，y )在椭圆＋x 2＝1上，存在点M (0，－1)和点N (0，1)，使得|PM |＋|PN |为定值，定值为2. ---------------------------------12分21、解〔1〕10,(),x f x a x'>=-………………………………………………………………………1分 ()0,()0+f x f x '>∞若a<0,在（，）上单调递增,3)0,0(),ae x f x =->→→-∞3且f(e 时，此时，f(x)存在唯一零点；………………3分10,x a'==1-ax 若a>0,f (x)=x -4当-lna-4>0,即0<a<e 时，f(x)有两个零点。

广东省普通高中(粤光联考)2024届高三上学期第二次调研考试数学含答案

广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学本试卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己所在的学校、姓名、班级、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡名题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z 满足()22i i z -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合{}23830A x x x =--≤，{}1B x x =>，定义集合{},A B x x A x B -=∈∉且，则A B -=（）A.1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.(]1,33.已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，则“()f x ，()g x 为周期函数”是“()()f x g x +为周期函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知1F ，2F 是椭圆1C ：()22221x y a b a b +=>>的两个焦点，双曲线2C ：222213x y m m -=的一条渐近线l 与1C 交于A ，B 两点.若12F F AB =，则1C 的离心率为（）A.2 B.21-1-5.在8331x ⎛+++ ⎝的展开式中，所有有理项的系数之和为（）A.84B.85C.127D.1286.已知{}n a 是等差数列，数列{}n na 是递增数列，则（）A.10a > B.20a < C.30a > D.40a <7.如图，直线1y =与函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象的三个相邻的交点为A ，B ，C ，且AB π=，2BC π=，则()f x =（）A.22sin 33x π⎛⎫+⎪⎝⎭ B.2sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 333x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.sin 32x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭8.半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD EFGH -就是一个半正多面体，其中四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面ABCD 与平面EFGH 之间的距离为（）C.112D.102二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题含答案解析

广东省惠州市2024届高三上学期第二次调研数学试题一、单选题(共24 分)1已知集合A={x|1≤x≤3}B={x|y=ln(2−x)}则A∩B=（）A[1,2)B(1,2)C(1,3)D(1,3]【答案】A【分析】先求集合B中的x的取值范围再根据交集运算求解即可【详解】∵B={x|y=ln(2−x)}∴B={x|x<2}则A∩B=[1,2)故选：A【点睛】本题考查集合的交集运算属于基础题2复数z满足iz=2+i其中i为虚数单位则|z|=（）A1B√3C2D√5【答案】D【分析】由复数的运算与模的概念求解．【详解】由题意得z=2+ii=1−2i|z|=√1+4=√5故选：D3已知向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)．若a⃗∥b⃗⃗则m=（）A6B−6C−32D2 3【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解【详解】由向量a⃗=(−3,1)b⃗⃗=(m,2)且a⃗∥b⃗⃗则−3×2−m=0解得m=−6．故选：B4已知a=ln12,b=(12)−3,c=tan15°1−tan215°则abc的大小关系是（）A a>b>cB c>b>aC b>c>aD a>c>b 【答案】C【分析】分别化简a,b,c即可明显比较出三者大小关系【详解】因为a=ln12=−ln2<0b=(12)−3=8c=tan15°1−tan215°=12tan30°=√36<1所以b>c>a故选：C5在一次篮球比赛中某支球队共进行了8场比赛得分分别为：2930382537404232那么这组数据的第75百分位数为（）A375B38C39D40【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为25,29,30,32,37,38,40,52而8×75%=6故第75百分位数为38+402=39故选：C6金针菇采摘后会很快失去新鲜度甚至腐烂所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存．已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后时间t（天）满足的函数解析式为ℎ=mln(t+a)(a>0)．若采摘后1天金针菇失去的新鲜度为40%采摘后3天金针菇失去的新鲜度为80%．那么若不及时处理采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知√2≈1.414结果取一位小数）（）A40天B43天C47天D51天【答案】C【分析】由已知条件两式相除求出a设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1再与已知一式相除可求得t．【详解】由已知{mln(1+a)=0.4mln(3+a)=0.8相除得ln(3+a)ln(1+a)=2ln(3+a)=2ln(1+a)(1+a)2=3+a因为a>0故解得a=1设t天后开始失去全部新鲜度则mln(t+1)=1又mln(1+1)=0.4所以ln(t+1)ln2=10.42ln(t+1)=5ln2=ln32(t+1)2=32t+1=√32=4√2=4×1.414=5.656t=4.656≈4.7．故选：C．7已知F1F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点点P在椭圆上且在第一象限过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线垂足为AO为坐标原点若|OA|=√3b则该椭圆的离心率为（）A2√23B√63C√33D√23【答案】B【分析】由椭圆的定义与几何性质得边长关系再由离心率的概念求解．【详解】设F1P与F2A交于点Q由题意PA⊥F2APA平分∠F2PQ则|PQ|=|PF2|A是F2Q中点|QF1|=|PF1|+|PQ|=2a 而O是F1F2中点故OA是△F1F2Q的中位线|QF1|=2|OA|则2a=2√3ba=√3bc2=a2−b2=23a2e=ca=√63故选：B8已知函数f (x )=e |x|−12g (x )={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0若关于x 的方程g(f (x ))−m =0有四个不同的解则实数m 的取值集合为（） A (0,ln22) B (ln22,1) C {ln22} D (0,1)【答案】A 【分析】设t =f(x)根据f(x)的解析式可得f(x)的单调性、奇偶性即可作出f(x)的图象即可求得t 的最小值利用导数判断g(x)的单调性结合t 的范围作出g(t)的图象数形结合可得 m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意即可得答案【详解】设t =f(x)则g(t)−m =0有四个不同的解因为f(−x)=e |−x|−12=e |x|−12=f(x)所以t =f(x)为偶函数且当x >0时f(x)=e x −12为增函数所以当x ≤0时t =f(x)为减函数所以t min =f(0)=e 0−12=12即t ≥12当x >0时g(x)=(x −1)lnx则g ′(x)=lnx +1x(x −1)=lnx −1x+1令g ′(x)=0解得x =1所以当x ∈(0,1)时g ′(x)<0g(x)为减函数当x ∈(1,+∞)时g ′(x)>0g(x)为增函数又g (12)=−12ln 12=ln22作出x >0时g(x)的图象如图所示：所以当m ∈(0,ln22)时y =g(t),t ≥12的图象与y =m 图象有2个交点且设为t 1,t 2作出t =f(x)图象如下图所示：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交点即g(f (x ))−m =0有四个不同的解满足题意综上实数m 的取值范围为(0,ln22)故选：A 【点睛】解题的关键是根据解析式利用函数的性质作出图象将方程求根问题转化为图象求交点个数问题考查分析理解数形结合的能力属中档题二、多选题(共 9 分)9已知数列{a n }的前n 项和为S n =11n −n 2则下列说法正确的是（） A {a n }是递增数列B a 2=8C数列{S n}的最大项为S5和S6D满足S n>0的最大的正整数n为10【答案】BCD【分析】由a n与S n关系求通项判断AB由二次函数性质判断CD．【详解】由S n=11n−n2得当n=1时a1=10当n≥2时a n=S n−S n−1=11n−n2−11(n−1)+(n−1)2=−2n+12n=1时也满足故a n=−2n+12a2=8A错误B正确故当n=5或n=6时S n最大故C正确由二次函数y=11x−x2的对称轴为112满足S n>0得0<n<11最大的正整数n为10故D正确故选：BCD10某班级到一工厂参加社会实践劳动加工出如图所示的圆台O1O2在轴截面ABCD中AB=AD= BC=2cm且CD=2AB则（）A该圆台的高为1cm B该圆台轴截面面积为3√3cm2cm3C该圆台的侧面积为6πcm2D该圆台的体积为7√3π3【答案】BCD【分析】由勾股定理即可求得圆台的高即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由台体的侧面积公式可判断C选项；由圆台的体积公式即可判断D选项【详解】如图作BE⊥CD交CD于E易得CE=CD−AB2=1则BE=√22−12=√3则圆台的高为√3cm A错误；圆台的轴截面面积为12×(2+4)×√3=3√3cm2B正确；圆台的侧面积为S侧=π(1+2)×2=6π故C正确；圆台的体积为13×√3×(π+4π+√π⋅4π)=7√3π3cm3D正确故选：BCD11某校高二年级在一次研学活动中从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观要求所有景点全部参观且不重复记“第k站参观甲地的景点”为事件A k k=12…7则（）A P(A6)=37B P(A2∣A1)=13C P(A1+A2)=27D P(A2A3)=1249【答案】AB【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项继而根据条件概率的计算公式可判断B选项结合对立事件判断D选项【详解】由题意可得P(A6)=C31A66A77=37,A正确；P(A1)=C31A66A77=37,P(A2A1)=A32A55A77=17,P(A2∣A1)=P(A2A1)P(A1)=1737=13故B正确；由于P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)=37+37−17=57C错误；P(A2A3)=C31C41A55A77=1242=27,所以D错误故选：AB三、单选题(共3 分)12已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)在[−π3,π6]上单调f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)则ω的可能取值为（）A127B95C67D35【答案】ABD【分析】由三角函数的性质判断周期后求解．【详解】f(x)在[−π3,π6]上单调则T2≥π6−(−π3),T≥π而f(π6)=f(4π3)=−f(−π3)有以下情况①4π3−π6=7π6=kT,k∈Z而T≥π则k=1T=7π6ω=2πT=127②4π3−(−π3)=5π3=kT+T2,k∈Z而T≥π则k=1T=10π9ω=2πT=95或k=0T=10π3ω=2πT=35综上ω的可能取值为1279 5 3 5故选：ABD四、填空题(共12 分)13在(x+2x )5的展开式中x3的系数是___________【答案】10【分析】由二项式定理求解．【详解】(x+2x )5的展开通项为T r+1=C5r x5−r(2x)r=C5r⋅2r x5−2r当r=1时x3的系数为10故答案为：1014已知抛物线C:y2=4x的焦点为F准线为l与x轴平行的直线与l和C分别交于AB两点若|AF|= |BF|则|AB|=______【答案】4【分析】抛物线的定义结合题意得到△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H |AB |=2|FH |即可得出答案【详解】由抛物线的定义可知|AF |=|BF |=|AB |△ABF 为等边三角形设准线l 与x 轴交于点H 则|FH |=2|AB |=2|FH |=4 故答案为：415已知点A (2,−1,3)若B (1,0,0)C (1,2,2)两点在直线l 上则点A 到直线l 的距离为______ 【答案】3 【分析】先求与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量u ⃗⃗然后由公式d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2可得【详解】依题意AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,−3)而BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,2) 故与BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向相同的单位向量为u ⃗⃗=√2√2)则所求距离d =√AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅u ⃗⃗)2=√11−2=3 故答案为:316已知正四面体ABCD 的棱长为2P 为AC 的中点E 为AB 中点M 是DP 的动点N 是平面ECD 内的动点则|AM|+|MN|的最小值是_____________【答案】√33+36【分析】取CE中点O先由OP⊥面CDE得N在线段DO上再把△PDO沿PD翻折到平面APD上得到|AM|+ |MN|的最小值即A到OD的距离再借助三角函数的知识求出最小值即可【详解】取CE中点O连接DO,OP由正四面体可知DE⊥AB,CE⊥AB又DE∩CE=E∴AB⊥面CDE又OP∥AB∴OP⊥面CDE当|AM|+|MN|最小时MN⊥面CDE故N在线段DO上由OP⊥面CDE可得OP⊥OD又OP=12AE=14AB=12DP=√22−12=√3OD=√3−14=√112将△PDO沿PD翻折到平面APD上如图所示：易知∠ADP=30∘sin∠ODP=OPDP =2√3cos∠ODP=ODDP=√112√3,则sin∠ODA=sin(∠ODP+30∘)=sin∠ODPcos30∘+cos∠ODPsin30∘=3+√3312故|AM|+|MN|的最小值即A到OD的距离即AD⋅sin∠ADO=2×3+√3312=3+√336故答案为：√33+36五、问答题(共6 分)已知{a n}为等差数列{b n}是公比为正数的等比数列a1=b1=2a2=2b1−1b3=2a2+217 求数列{a n}和{b n}的通项公式；18 设数列{c n}满足c n=1a n log2b n记{c n}的前n项和为S n求S2023【答案】17 a n=n+1,b n=2n18 20232024【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项公式列方程组求解（2）由裂项相消法求解．【17题详解】设{a n}的公差为d{b n}的公比为q(q>0)由题得{2+d=2×2−12q2=2(2+d)+2解得{d=1q=2则a n=n+1,b n=2n【18题详解】c n=1a n log2b n=1n(n+1)=1n−1n+1S2023=1−12+12−13+⋯+12023−12024=20232024六、解答题(共18 分)如图已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中所有棱长均为2底面ABCD是正方形侧面ADD1A1是矩形点P为D1C1的中点且PD=PC19 求证：DD 1⊥平面ABCD ；20 求平面CPB 与平面DPB 的夹角的余弦值【答案】19 证明详见解析 20√55【分析】（1）通过证明DD 1⊥AD,DD 1⊥CD 来证得DD 1⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系利用向量法求得平面CPB 与平面DPB 夹角的余弦值【19题详解】设Q 是CD 的中点连接PQ 由于P 是C 1D 1的中点所以DD 1//PQ 由于PD =PC 所以PQ ⊥CD 所以DD 1⊥CD 由于四边形ADD 1A 1是矩形所以DD 1⊥AD 由于CD ∩AD =D,CD,AD ⊂平面ABCD 所以DD 1⊥平面ABCD 【20题详解】由于四边形ABCD 是正方形结合（1）的结论可知AD,CD,DD 1两两相互垂直以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系D (0,0,0),P (0,1,2),B (2,2,0),C (0,2,0)DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,0),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),CP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,2)设平面DPB 的法向量为m ⃗⃗⃗=(x,y,z )则{m ⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y +2z =0m ⃗⃗⃗⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y =0 故可设m ⃗⃗⃗=(2,−2,1)设平面CPB 的法向量为n ⃗⃗=(a,b,c ) 则{n ⃗⃗⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a =0n ⃗⃗⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−b +2c =0故可设n ⃗⃗=(0,2,1) 设平面CPB 与平面DPB 的夹角为θ 则cosθ=|m⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=3×√5=√55已知函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 21 求a,b ；22 若过点(1,m )存在三条直线与曲线y =f (x )相切求买数m 的取值范围【答案】21 a =2,b =−3 22 (−14,0) 【分析】（1）根据题意可得f ′(1)=0,f (1)=0即可得解；（2）切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)根据导数的几何意义可得切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)从而可得m =−4x 03+9x 02−6x 0+1再根据过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根利用导数求出函数y =−4x 3+9x 2−6x +1的单调区间及极值即可得解【21题详解】由题意知f ′(x )=3ax 2+2bx因为函数f (x )=ax 3+bx 2+1(a,b ∈R )在x =1处取得极值0 所以f ′(1)=3a +2b =0,f (1)=a +b +1=0解得a =2,b =−3 经检验符合题意所以a =2,b =−3；【22题详解】由（1）可知函数f (x )=2x 3−3x 2+1所以f ′(x )=6x 2−6x设切点坐标为(x 0,2x 03−3x 02+1)所以切线方程为y −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(x −x 0)因为切线过点(1,m ) 所以m −(2x 03−3x 02+1)=(6x 02−6x 0)(1−x 0)即m =−4x 03+9x 02−6x 0+1令ℎ(x )=−4x 3+9x 2−6x +1则ℎ′(x )=−12x 2+18x −6=−6(2x −1)(x −1) 令ℎ′(x )=0解得x =12或x =1当x 变化时ℎ′(x ),ℎ(x )的变化情况如下表所示因此当x =12时ℎ(x )有极小值ℎ(12)=−14 当x =1时ℎ(x )有极大值ℎ(1)=0过点(1,m )存在3条直线与曲线y =f (x )相切等价于关于x 的方程m =−4x 3+9x 2−6x +1有三个不同的根则−14<m <0 所以实数m 的取值范围是(−14,0) 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导根据导数的方法求出函数的单调区间与极值根据函数的基本性质作出图象然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题突出导数的工具作用体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由f (x )=0分离变量得出a =g (x )将问题等价转化为直线y =a 与函数y =g (x )的图象的交点问题23ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c 已知asin A+C 2=bsinA ．（1）求B ；（2）若ΔABC 为锐角三角形且c =1求ΔABC 面积的取值范围．【答案】(1) B =π3;(2)(√38,√32) 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式得到关于B 的三角方程最后根据A,B,C 均为三角形内角解得B =π3 (2)根据三角形面积公式S △ABC =12ac ⋅sinB 又根据正弦定理和c =1得到S △ABC 关于C 的函数由于△ABC 是锐角三角形所以利用三个内角都小于π2来计算C 的定义域最后求解S △ABC (C)的值域【详解】 (1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得A+C 2=π2−B2此时asinA+C 2=bsinA 就变为asin (π2− B2)=bsinA ．由诱导公式得sin (π2−B2)=cos B2所以acos B2=bsinA ．在△ABC 中由正弦定理知a =2RsinA,b =2RsinB 此时就有sinAcos B2=sinAsinB 即cos B2=sinB再由二倍角的正弦公式得cos B2=2sin B2cos B2解得B =π3． [方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB 的值可得∠B 的值】由解法1得sinA+C 2=sinB 两边平方得sin 2A+C 2=sin 2B 即1−cos(A+C)2=sin 2B ．又A +B +C =180°即cos(A +C)=−cosB 所以1+cosB =2sin 2B 进一步整理得2cos 2B +cosB −1=0 解得cosB =12因此B =π3．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C 的比例关系】根据题意asinA+C 2=bsinA 由正弦定理得sinAsinA+C 2=sinBsinA因为0<A <π故sinA >0 消去sinA 得sin A+C 2=sinB ． 0< B <π0<A+C 2<π因为故A+C 2=B 或者A+C 2+B =π而根据题意A +B +C =π故A+C 2+B =π不成立所以A+C 2=B又因为A +B +C =π代入得3B =π所以B =π3 (2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C 的范围然后由面积函数求面积的取值范围】因为△ABC 是锐角三角形又B =π3所以π6<A <π2,π6<C <π2 则S △ABC =12acsinB= 12c 2⋅ac⋅sinB =√34⋅sinA sinC=√34⋅sin(2π3−C)sinC= √34⋅sin2π3cosC−cos 2π3sinC sinC=38tanC+√38．因为C ∈(π6,π2)所以tanC ∈(√33,+∞)则1tanC ∈(0,√3) 从而S △ABC ∈(√38,√32)故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法二]【由题意求得边a 的取值范围然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a ．因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3 所以{cosA =b 2+1−a 22b >0,cosC =b 2+a 2−12ab >0,即{b 2+1−a 2>0，b 2+a 2−1>0. 又由余弦定理得b 2=a 2+1−a 所以{2−a >0,2a 2−a >0, 即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)． [方法三]【数形结合利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图在△ABC 中过点A 作AC 1⊥BC 垂足为C 1作AC 2⊥AB 与BC 交于点C 2．由题设及（1）知△ABC 的面积S △ABC =√34a 因为△ABC 为锐角三角形且c =1,B =π3所以点C 位于在线段C 1C 2上且不含端点从而c ⋅cosB <a <ccosB 即cos π3<a <1cosπ3即12<a <2所以√38<S △ABC <√32故△ABC 面积的取值范围是(√38,√32)．【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系从而确定角的大小(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用24已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合且双曲线的离心率为√5(1)求双曲线的方程；(2)若有两个半径相同的圆C1,C2它们的圆心都在x轴上方且分别在双曲线C的两条渐近线上过双曲线右焦点且斜率为−1的直线l与圆C1,C2都相切求两圆圆心连线的斜率的范围．【答案】（1）5x2−54y2=1；（2）(−2,2)【分析】（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．再利用离心率计算公式e=ca=√5及a2+ b2=c2即可解得ab；（2）利用点斜式得直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．进而可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切利用点到直线的距离公式可得√2=√2经过化简可得n与t的关系再利用斜率计算公式即可得出k=2t+2nt−n把n与t的关系代入即可得出k的取值方法．【详解】解：（1）由抛物线y2=4x得焦点(1,0)得双曲线的c=1．又e=ca=√5a2+b2=c2解得a2=15b2=45．∴双曲线的方程为5x2−54y2=1．（2）直线l的方程为x+y−1=0．由（1）可得双曲线的渐近线方程为y=±2x．由已知可设圆C1:(x−t)2+(y−2t)2=r2圆C2:(x−n)2+(y+2n)2=r2其中t>0n<0．因为直线l与圆C1C2都相切所以√2=√2得直线l与t+2t−1=n−2n−1或t+2t−1=−n+2n+1即n=−3t或n=3t−2设两圆C1C2圆心连线斜率为k则k=2t+2nt−n 当n=−3t时k=2t−6t4t=−1；当n=3t−2时k=2t+2nt−n =4t−2−t+1∵t>0n<0∴0<t<23故可得−2<k<2综上：两圆C1C2圆心连线斜率的范围为(−2,2)．七、应用题(共6 分)某企业对生产设备进行优化升级升级后的设备控制系统由2k−1(k∈N∗)个相同的元件组成每个元件正常工作的概率均为p（0<p<1）各元件之间相互独立当控制系统有不少于k个元件正常工作时设备正常运行否则设备停止运行记设备正常运行的概率为p k（例如：p2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；p3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）25 若p=23当k=2时求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和数学期望并求p2；26 已知设备升级前单位时间的产量为a件每件产品的利润为4元设备升级后在正常运行状态下单位时间的产量是原来的2倍且出现了高端产品每件产品成为高端产品的概率为14每件高端产品的利润是8元记设备升级后单位时间内的利润为Y（单位：元）（i）请用p k表示E（Y）；（ii）设备升级后若将该设备的控制系统增加2个相同的元件请分析是否能够提高E（Y）【答案】25 分布列见解析数学期望为2P2=202726 （i）E(Y)=10ap k；（ii）当12<p<1时E(Y)提高；当0<p≤12时E(Y)没有提高【分析】（1）结合二项分布的知识求得分布列、数学期望从而求得p2（2）（i）求得Y的分布列从而求得E(Y)（ii）通过差比较法对p进行分类讨论来分析能否提高E(Y)【25题详解】因为k=2所以控制系统中正常工作的元件个数X的可能取值为0,1,2,3因为每个元件的工作相互独立且正常工作的概率均为p =23所以X ∼B (3,23) 所以P (X =0)=C 30⋅(23)0⋅(13)3=127P (X =1)=C 31⋅(23)1⋅(13)2=29P (X =2)=C 32⋅(23)2⋅(13)1=49P (X =3)=C 33⋅(23)3⋅(13)0=827所以控制系统中正常工作的元件个数X 的分布列为：控制系统中正常工作的元件个数X 的数学期望为E (X )=3×23=2p 2=P (X =2)+P (X =3)=49+827=2027【26题详解】（i ）设备升级后在正常运行状态下单位时间内的利润为a2×8+3a 2×4=10a所以Y 的分布列为：所以E (Y )=10a ×p k +0×(1−p k )=10ap k（ii ）若控制系统增加2个元件则至少要有k +1个元件正常工作设备才能正常工作设原系统中正常工作的元件个数为ξ第一类：原系统中至少有k +1个元件正常工作其概率为P (ξ≥k +1)=p k −C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k−1；第二类：原系统中恰好有k 个元件正常工作新增2个元件中至少有1个正常工作其概率为P (ξ=k )=C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1⋅[1−(1−p )2]=C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )；第三类：原系统中恰好有k −1个元件正常工作新增2个元件全部正常工作其概率为P (ξ=k −1)=C 2k−1k−1⋅p k−1⋅(1−p )k ⋅p 2=C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k所以p k+1=p k −C 2k−1k ⋅p k ⋅(1−p )k−1+C 2k−1k ⋅p k+1⋅(1−p )k−1⋅(2−p )+C 2k−1k−1⋅p k+1⋅(1−p )k=p k +C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以p k+1−p k =C 2k−1k⋅p k ⋅(1−p )k ⋅(2p −1)所以当12<p <1时p k+1−p k >0p k 单调递增即增加2个相同元件设备正常工作的概率变大；当0<p ≤12时p k+1−p k ≤0即增加2个相同元件设备正常工作的概率没有变大因为E (Y )=10ap k所以当12<p <1时E (Y )提高；当0<p ≤12时E (Y )没有提高。

高三数学上学期第二次试题含解析试题

金丽衢十二校2021学年高三第二次联考本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学试题一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】解：A={x|x＜0，或者x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或者2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B正确．应选：B．和是双曲线的两个焦点，那么〔〕A. B. 2 C. D. 4【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程可求焦距，即可得.【详解】由可知所以，那么，所以.【点睛】此题主要考察了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题.，，那么〔〕A. 5B. 6C. 7D.【答案】D【解析】【分析】根据复数模的性质知，即可求解.【详解】因为，，所以应选D.【点睛】此题主要考察了复数模的性质，属于中档题.4.某几何体的三视图如下图〔图中单位：〕，那么该几何体的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其外表积为，选B.考点：1.三视图；2.外表积.平面，直线平面，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据题意，由于直线平面，直线∥平面，假如两个平面平行，那么必然能满足，但是反之，假如，那么对于平面可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，应选A考点：本试题主要是考察了立体几何中点线面的位置关系运用。

点评：解决该试题的关键是利用面面平行的性质定理和线面平行、垂直的性质定理来纯熟的断定其位置关系，同时结合了充分条件的概念，来断定命题的条件和结论之间的关系运用，属于根底题。

6.甲和乙两人HY的从五门选修课课程中任选三门进展学习，记两人所选课程一样的门数为，那么为〔〕A. 1.2B. 1.5C. 1.8D. 2【答案】C【解析】【分析】由得=1,2,3，分别求出相应的概率，由此能求出.【详解】由得=1,2,3，, , ,所以,应选C【点睛】此题主要考察了离散型随机变量，离散型随机变量的期望，属于中档题.的图像大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式结合所给图象，采用排除法即可选出.【详解】函数定义域为，当时，，，故排除选项B,D，当时，，，故排除C,所以选A.【点睛】此题主要考察了指数函数的性质与图像，无限趋近的思想，属于中档题.8.，，和为空间中的4个单位向量，且，那么不可能等于〔〕A. 3B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论.【详解】因为而，所以因为，，，是单位向量，且，所以不一共线，所以，应选A.【点睛】此题主要考察了向量与不等式的关系，涉及向量的一共线问题，属于难题.的底面边长为，高为，它在六条棱处的六个二面角〔侧面与侧面或者者侧面与底面〕之和记为，那么在从小到大的变化过程中，的变化情况是〔〕A. 一直增大B. 一直减小C. 先增大后减小D. 先减小后增大【答案】D【解析】【分析】利用无限逼近的思想，当，有，当，有，当刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为，利用的值，可分析出，即可选出答案.【详解】当〔比0多一点点〕，有；当，有；当刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为，那么，于是，所以，即，所以与的变化情况相符合的只有选项.【点睛】此题主要考察了无限逼近的极限思想，二面角，余弦二倍角公式，属于中档题.满足：，，那么的值所在区间为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为，所以可得：所以.【点睛】此题主要考察了数列的递推关系，不等式的性质，属于中档题.二、填空题。

高三数学上学期第二次教学质量检测试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校南开2021届高三数学上学期第二次教学质量检测试题理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项是符合题目要求的。

1.sin240︒的值是〔〕A.C. D.2【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式计算得到答案.︒︒︒=-︒=-【详解】sin240=sin(180+60)sin602应选：C【点睛】此题考察了三角函数的计算，属于根底题型.z满足23i i z+=〔其中i是虚数单位〕，那么z的虚部为〔〕-A.2B.2-C.3D.3【答案】B【解析】【分析】利用复数计算公式化简得到答案.【详解】23i23i i 32z z i i++=∴==-，虚部为2- 应选：B【点睛】此题考察了复数的计算，属于简单题型.p q ∨p q ∧为假〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】 .p q ∨,p q p q ∧为假，p q ∧,p q p q ∨为假.p q ∨p q ∧为假〞的充分不必要条件应选：A【点睛】此题考察了充分非必要条件，意在考察学生的推理才能.4.111d ex x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值是〔〕 A.e 2- B.eC.e 1+D.e 1-【答案】A 【解析】【分析】直接利用定积分公式计算得到答案.【详解】11111111d 1d d ln 1102e e ee ex x x x x e e x x ⎛⎫-=-=-=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 应选：A【点睛】此题考察了定积分的计算，意在考察学生的计算才能.(),a b 上的函数()f x 的导函数的图象，那么函数()f x 的极值点的个数为〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】根据图像得到函数的单调区间，判断极值点. 【详解】如下列图：设导数的零点分别为1234,,,x x x x 那么函数()f x 在1(,)a x 单调递增，12(,)x x 单调递减，23(,)x x 单调递增，34(,)x x 单调递增，4(,)x b 单调递减.故函数()f x 在1x 取极大值，在2x 取极小值，在4x 取极大值.应选：B【点睛】此题考察了根据函数图像判断函数的极值点，混淆导函数图像和原函数图像是容易发生的错误.22(,)23z f x y x y xy ==++在()1,2处偏导数的全过程：2(,)43x x y x y f '=+,(,)16y f x y xy =+'，所以2(1,2)413216x f =⨯+⨯=',(1,2)161213y f =+⨯⨯='，由上述过程，二元函数()22(,)ln z f x y x y ==+，那么(1,2)(1,2)x y f f ''+=〔〕A.29B.65 C.25D.15【答案】B【解析】【分析】根据题目给出的运算法那么，计算得到答案. 【详解】()22(,)ln zf x y x y ==+那么2222(,)(1,2)5x x x f x y f x y ''=∴=+；2224(,)(1,2)5y y y f x y f x y ''=∴=+ 应选：B【点睛】此题考察了函数的新定义问题，意在考察学生的应用才能和计算才能.A.0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x > B.x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠C.函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2πD.42log 323=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】A.0,4x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，cos sin x x >420,,4x x πππ⎛⎫⎛⎫∈∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos sin )04x x x π-=+>，即cos sin x x >，正确B.x ∀∈R ，sin cos 2x x +≠，sin cos )4x x x π+=+≤，故sin cos 2x x +≠，正确C.函数()|sin cos |f x x x =+的最小正周期为2π()|sin cos |)4f x x x x =+=+，最小正周期为π，错误D.42log 323=，根据对数运算法那么知：24222log32log 3log 32223===，正确应选：C【点睛】此题考察了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考察学生的综合应用才能.π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π且其图象关于直线2π3x =对称，那么A.函数()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.函数()f x 在π2π,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数C.将函数()f x 的图象向右平移ϕ个单位得到函数3sin y x ω=的图象D.函数()f x 的一个对称中心是5π,012⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先计算得到()3sin(2)6f x x π=+，再依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】π()3sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，最小正周期为22ππωω=∴=图象关于直线2π3x =对称，所以252,1326k k k ππϕπϕππ⨯+=+∴=-=，6π=ϕ 所以()3sin(2)6f x x π=+3(0)3sin62f π==，A 错误；π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么32,632x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦函数先增后减，B 错误；函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到：3sin(2)6x π-，C 错误；5()3sin 012f ππ==，D 正确. 应选：D【点睛】此题考察了三角函数表达式，单调性，平移，对称，意在考察学生对于三角函数性质的综合应用才能.1()e ax f x x x-=-在()0,∞+上有两个零点，那么实数a 的取值范围是 A.2,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,eD.12,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】取1()e 0ax f x x x -=-=化简得到2ln x a x =，设2ln ()xg x x=，求导确定函数图像得到答案. 【详解】取212ln (0)11()e 0e e axax ax f x x x x x x a x x x---=-=∴=∴=>∴=设2ln ()x g x x =，21ln '()2xg x x-=，()g x 在(0,)e 上单调递增，(,)e +∞上单调递减画出函数图像：根据图像知：20,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭应选：B【点睛】此题考察了函数的零点问题，参数别离转化为图像的交点问题是解题的关键.π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间π,,4t t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值与最小值之差的取值范围是A.12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.C.2⎤⎥⎣⎦D.12⎡-⎢⎣ 【答案】D 【解析】【分析】将题目等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围，讨论ϕ的范围计算最大最小值，综合得到答案.【详解】π()sin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ5ππ,22,24121122x t t x t t ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，原题等价于sin y x =在,2πϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值之差的取值范围不失一般性：设0ϕπ≤≤当04πϕ≤≤时：最大值最小值差为sin 1ϕ-，满足：1sin 11ϕ≤-≤当0ϕ=是取最大值1，当4πϕ=时取最小值12-当42ππϕ<<时：最大值最小值差为sin()12πϕ+-，满足：1sin()1122πϕ-<+-< 当2πϕπ≤≤时：最大值最小值差为sin sin()2πϕϕ-+，满足：当34πϕ=)14πϕ-≥综上所述：最大值与最小值之差的取值范围是12⎡-⎢⎣【点睛】此题考察了三角函数的最值问题，分类讨论是一个常用的方法，需要纯熟掌握，意在考察学生的计11.ABC △内角,,A B C 对应的边长分别是,,a b c ，且2a =，1b =，2C A =，那么c 的值是D.【答案】C 【解析】【分析】如下列图，作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D ，根据余弦定理得到22222154024m m m m--+=，计算得到答案. 【详解】如下列图：作ACB ∠的角平分线与AB 交于点D那么12AD AC BD BC ==，设,2AD m BD m ==，那么CD m =，分别利用余弦定理得到： 22222154cos ,cos 24m m ADC BDC m m --∠=∠=，ADC BDC π∠+∠=故222221540243m m m m m --+=∴=，3cAB m ===应选：C【点睛】此题考察了余弦定理解三角形，意在考察学生解决问题的才能和计算才能.()4ln 3f x x ax =-+存在两个不同零点1x ，2x ，函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点3x ，4x ，且满足3124x x x x <<<，那么实数a 的取值范围是A.143,4e -⎛⎫ ⎪⎝⎭B.14-⎛⎫ ⎪⎝⎭C. D.(,3)-∞【答案】A【分析】求导根据有两个零点得到144e0a -<<；再根据二次函数有两个解得到144ea -<<，根据零点的大小关系得到333()4ln 30f x x ax =-+<，消元得到2334ln 10x x -+<，构造函数计算得到答案.【详解】4()4ln 3(0)'()f x x ax x f x a x=-+>∴=-，当0a ≤时，4'()0f x a x =->恒成立，()f x 单调递增，最多有一个零点，不满足当0a >时，()f x 在4(0,)a 上单调递增，4(,)a+∞上单调递减满足444()4ln 30f a a a a=-+>，解得144e a -< 综上所述：144e 0a -<<函数2()2g x x ax =-+存在两个不同零点，那么280a a ∆=->∴<-或者a >故144e a -<<零点满足3124x x x x <<<，那么333()4ln 30f x x ax =-+<且444()4ln 30f x x ax =-+<又因为23320x ax -+=，代换得到2334ln 10x x -+<考虑函数2()4ln 1F x x x =-+，验证知，(1)0F =，2442'()2x F x x x x-=-=()F x 在上单调递增，)+∞上单调递减故312x a =<，解得3a >此时422x a +=>，2(2)4ln 2210F =-+<，满足4()0f x < 综上所述：143,4e a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察了函数的零点问题，综合性强，计算量大，通过消元得到函数2()4ln 1F x x x =-+是解题的关键，意在考察学生的综合应用才能.二、填空题：()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是______.【答案】[1,)+∞ 【解析】【分析】求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1a x≤，计算得到答案. 【详解】1()ln '()0f x x ax f x a x =-∴=-≤在()1,+∞恒成立即1a x≤恒成立，故1a ≥ 故答案为：[1,)+∞【点睛】此题考察了利用导数计算函数的单调性，意在考察学生的计算才能. 14.tan()2αβ+=，1tan 3β=，那么锐角α=______. 【答案】π4【解析】【分析】tan()tan()ααββ=+-，利用和差公式展开得到答案.【详解】12tan()tan 3tan()tan()121tan()tan 134αββπααββαββα-+-=+-==∴++==+ 故答案为：π4【点睛】此题考察了三角函数的计算，意在考察学生的计算才能.11,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭且和函数()ln f x x =的图象相切的直线的斜率为______.【答案】1e【解析】【分析】设切点00(,ln )x x ，求导得到0001ln 11x e k x x +==+，验证知0x e =是方程的解，再确定11()ln 1(0)g x x x x e=-+->单调递增，得到答案.【详解】设切点为00(,ln )x x ，1()ln '()f x x f x x=∴=故0001ln 11x e k x x +==+即0011ln 10x x e-+-=，验证知0x e =是方程的解. 21111()ln 1(0)'()0g x x x g x x e x x=-+->∴=+>函数单调递增，故0x e =是唯一解.此时011kx e== 故答案为：1e【点睛】此题考察了函数的切线问题，验证解方程再判断唯一解是常用的方法，需要同学们纯熟掌握.()cos 2sin f x x x =+，假设1x ，2x 分别为()f x 的最小值点和最大值点，那么()12cos x x -=______.【答案】14- 【解析】【分析】设sin (11)xt t =-≤≤，函数化简为219()2()48f t t =--+，得到21sin 4x =，1sin 1x =-，再利用和差公式展开得到答案. 【详解】2()cos 2sin 12sin sin f x x x x x =+=-+，设sin (11)x t t =-≤≤max 19()()48f t f ==，此时211sin 44t x =∴=min ()(1)2f t f =-=-，此时11sin 1t x =-∴=-故答案为：14-【点睛】此题考察了函数的最值，三角恒等变换，意在考察学生的计算才能. 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

2021年高三数学上学期第二次联考试题理

2021年高三数学上学期第二次联考试题理(考试时间 120分钟, 本卷满分150分 )第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2.已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限3. 等差数列的前n项和为，若，则等于（）A．12 B．18 C．24 D．424.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.如右图所示,曲线y=x2和直线x=0,x=1及y=所围成的图形(阴影部分)的面积为()A. B. C. D.6.已知递增等比数列{a n}满足a3·a7=6,a2+a8=5,则=()A.B . C.D.7.已知cos,且-π<α<-,则cos等于()A. -B. -C. D8．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的除以的余数），若输入的，分别为495，135，则输出的= ( )A．90 B．45 C．5 D． 09.已知，，，则( )（A）（B）（C）（D）10. 若两个非零向量a,b,满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角是()A. B. C. D.11.由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为60°的扇形,则该几何体的侧面积为()A.12+πB.6+4πC.12+2πD.6+π12.已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是（）A． B． C. D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．设a>0,b>0.若a+b=1,则的最小值是 .14．在的展开式中，的系数为_________（用数字作答）．15.在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为_______16.在数列{a n}中,已知a1=1,a n+1-a n=sin,记S n为数列{a n}的前n项和,则S2 017= .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021年高三数学上学期第二次检测考试试题理

2021年高三数学上学期第二次检测考试试题理选择题（每小题5分，满分70分）1．设集合，, 则（）A. B. C. D.2 已知命题，命题.下面结论正确的是（）A．命题“”是真命题 B. 命题“”是假命题C．命题“”是真命题 D．命题“”是假命题3、下列说法正确的是（）A. “”是“在上为增函数”的充要条件B. 命题“使得”的否定是：“”C. “”是“”的必要不充分条件D. 命题p：“”，则p是真命题4已知，，则（）A． B． C． D．5. 已知函数, 则下列结论正确的是 ( )A．是偶函数 B. 是增函数C．的值域为[－1，＋∞) D. 是周期函数6.曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ )A． B. C． D．7曲线在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（）A. B. 或 C. D. 或8．已知函数是奇函数，当时， , 且，则的值为（）A. B. 3 C. 9 D.9 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）A. B. C. D.10．函数的图象大致是（）11．若f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2，且f(x1)=x1,则关于x 的方程3(f(x))2 +2af(x)+b=0的不同实根个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 612、已知函数的图象与直线交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（）A．－1 B． 1－log20132012 C．-logxx D．113．函数是奇函数,且在上单调递增,则等于（）A.0B.-1C.1D.14．对于任意的实数a、b，记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x)(x ∈R)是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g(x) (x∈R)是正比例函数，其图象与x ≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是( ) A．y=F(x)为奇函数B．y=F(x)有极大值F(-1)C．y=F(x)的最小值为-2，最大值为2D．y=F(x)在(-3,0)上为增函数填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．15. 设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 .16. 已知函数f(x)=㏒a(3-ax)在[0,1]上是关于x的减函数，则a的取值范围是17.已知函数f(x)＝2+㏒2x,x∈[1,2]则函数y=f(x)+f(x2)的值域为18.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 --- （单位：元）解答题19.本题满分12分）命题p实数满足（其中a>0），命题q实数满足(1)若a=1，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.20. .(本题满分12分）已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数。

齐鲁名校联盟-天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题(解析版)

绝密★启用前“天一大联考·齐鲁名校联盟” 2024—2025学年高三年级第二次联考数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =（） A {}2,4,5,6 B. {}4,6 C. {}2,4,6D. {}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = .故选：A.2. 已知0,0m n >>，且3m n +=的最大值为（） A. 8B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值..【详解】由0,0m n >>，3m n +=，得6(2)(1)m n =+++≥，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，+≤的最大值为. 故选：B3. 函数)()(e e x x f x x −=−的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可. 【详解】函数)()(e e x x f x x −=−的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x −=−=−−，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x −<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意. 故选：B4. 一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.π B.1750π9C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h =，体积为2211ππ1033V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r ，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h =2200011ππ5π33V r h ⋅⋅，所以该圆台的体积为0πV V −=−. 故选：C5. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++−>，即N n ∗∀∈，10na q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件. 故选：D6. 函数221,2()2,2x x f x x x −<−= −≥−的最小值为（）A. 4−B. 2−C. 3D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值. 【详解】当2x <−时，函数()21x f x =−在(,2)−∞−上单调递增，31()4f x −<<−；当2x ≤−时，函数2()2f x x =−在[2,0]−上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=−，所以当0x =时，min ()2f x =−. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+−，所以11a =，211k k a a =+−=，32211a k k a =+−=+，43312k k a a =+−=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =×⇒2k =或0k =（舍去）. 故选：A8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =−−，若函数442xxy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(iii x y =+=∑（） A. 0 B.20252C. 2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442xx y =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =−−，得()(1)1f x f x +−=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42x x g x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x xg x g x −−+−=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,)22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i −−= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y −−+=+=，20262026()()2i i i i x y x y −−+++=，所以202512(202520252)i ii x y =+=×=∑. 故选：C【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +−=⇔++−=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =−⇔+=−，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（） A. 若,a b c >∈R ，则22ac bc > B. 若22,a bc c c >∈R ，则a b > C. 若a b >，则22a b > D. 函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c>，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =−时，2sin 3sin y x x=+=−<D 错误. 故选：BC.10. 如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A. 3P 的边数为128B. 24027S =C. n P 的边数为34n ×D. 834()559nn S =−⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD. 【详解】依题意，令0P 图形边长为a21=，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34×； 2P 图形边长为23a，边数为234×；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ×，C 正确；3P 的边数为334192×=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P −所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，2()3n a，的则121(34)()3n n n n a S S −−=+×，整理得1114()39n n n S S −−−=×，数列1{}n n S S −−是等比数列，1P图形的面积21413()33a S =+=， 121321144[1()]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S −−−=+×−=+−+−−×++=− ，D 正确； 2831640558127S =−×=，B 正确.故选：BCD11. 已知函数()32,f x x ax a =−+∈R ，则（）A. ()f x 的图象关于点()0,2对称B. (),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C. 当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y −+=D. 当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =−，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax=−的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =−+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a =时，()32f x x x =−+，()231f x x ′=−. 由()2f x ′=⇒2312x −=⇒1x =或1x =−.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =−，则2y =，所以()f x 在1x =−处的切线方程为：()221y x −=+即240x y −+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a ′=−，若0a ≤，则()0f x ′≥在(),−∞+∞上恒成立，则()f x 在(),−∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x ′<⇒x <<()0f x ′>⇒x <或x >.所以函数()f x 在,−∞和 +∞ 上单调递增，在上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有0f >（因为()02f =，所以0f < 不成立），即320a −+>⇒3a <，得0<<3a . 综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=−++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______. 【答案】{0,2} 【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =−−=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得B A ，当0a =时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x −++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ′∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 32θθ=−）【解析】.【详解】依题意，由10928GPI IPK KPG θ′∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ′∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接GI 并取其中点O ，连接OH，则tan2GOOHθ==，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 60AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI 都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG是平行四边形，有GI AC =OH =因此一个菱形面积为1222GHI S GI OH =⋅⋅ ，所以上顶的面积为3.的故答案14. 已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =−，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】 ①. 1e− ②. []0,2 【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x =′− 显然，当10,e x ∈时，ff ′(xx )<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞ ∈时，ff ′(xx )>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e ef =−；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x =−=− 所以()2ln g x x a x a =−−′ 由题可知()2ln 0g x x a x a ′−−≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞′→−，故不成立；当0a =时，()2g x x ′=，因为xx ∈(0,+∞)，所以gg ′(xx )=2xx >0，故成立；为当0a >时，由2ln 0x a x a −−≥恒成立，得21ln x a x+≥恒成立，即max21ln x a x +≥ 不妨令()1ln xh x x+=，所以()2ln x h x x −=′ 所以显然当xx ∈(0,1)时，ℎ′(xx )>0，ℎ(xx )单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′(xx )<0，ℎ(xx )单调递减；所以()()max11h x h ==，即2102a a≥⇒<≤ 综上所述：[]0,2a ∈ 故答案为：1e−；[0,2]【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==−+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a < （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=−−−，再求n S 进行判断即可. 【小问1详解】因为211n n n a a a +=−+⇒()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=−+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>. 故20242026a a <. 【小问2详解】由211n n n a a a +=−+⇒()2111n n n n n a a a a a +−=−=−，所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−⇒111111n n n a a a +=−−−. 所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+==− −−∑∑1111111111n n a a a ++=−=−−−−. 由（1）可知：12n a +>，所以1n S <16. 已知函数()f x 与其导函数()f x ′的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f −>=′.（1）判断()y f x ′=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)−+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x −=−两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()exf x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案. 【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=，所以()y f x ′=为偶函数. 【小问2详解】.因为当0x >时，()2()f x f x ′−>，所以()2()f x f x ′>. 构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()exf x f x h x ′−′=，所以当0x >时，()0,()h x h x >′在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞−−上小于零，在(1,0)−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)−+∞ .17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADO CDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD °∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ∩=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M ，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OA OD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P −−−，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =−==−−=，设平面PAD 的法向量为mm��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，同理设平面PBC 的法向量为nn�⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)，则2222220n PB x y z n BC x y ⋅=−−= ⋅=+= ，可取(1,1,1)n =− .所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅所以平面PBC 与平面PAD所以平面PBC 与平面PAD18. 设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+−≠. （1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线. （i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2). 【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−；（ii ）不经过. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小. 【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+−的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111k x k f x x x −−′=+=−−，当0k <时，11k −>，由()0f x ′<，得11x k <<−；由()0f x ′>，得1x k >−，函数()f x 在(1,1)k −上单调递减，在(1,)k −+∞上单调递增，当0k >时，11k −<，则恒有()0f x ′>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k −，单调递增区间是(1,)k −+∞；当0k >时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间. 【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t ′=+−，而()ln(1)f t t k t =+−，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y k t k t x t t +−−=+−−，即(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k kt t y k t k t t t t −=++−−=++−−−−，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t −=+−=−+−−−，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t −′=−+=>−−−，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t −++−≠−，所以直线l 不经过点(2,2).19. 设数阵111202122x x X x x=，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k Bn n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t −，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t −，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n −=”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X −经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ==，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X Bn n n==，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8−；（4）如果01336X=，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0 （2）40（3）证明见解析（4）()013B T X = 【解析】【分析】（1）先写出12134X − =−，再计算得22134X −=− ，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X −− = −−，21336X= 即可得到答案. 【小问1详解】因为021,{2,5}34X B==，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X −= −，1X 经过5M 变换后得到数阵22134X − =−，所以()021340B T X =−+−+=. 【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X −= − 或32134X − = −，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X −−= −−，可得()010,4B T X =−种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，123min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X=，可得()010,8B T X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}Bn n =∈，则32134X −= − 或32134X − = −，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0B T X 取值的和为404(10)8104040×+×−+×+×=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中， ①含有11x 且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ③同时含有11x 和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ； ④不含11x 也不含21x 的子集共421−个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x . 若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中， ①含有11x 的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ②不含11x 的子集共521−个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++−−+++++++=−−同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x −−.所以所有()0B T X 取值的和为()112112222x x x x −−−−，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8−. 【小问4详解】如果01336X=，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X −−= −− ，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X=，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。

高三数学上学期第二次考试试题理含解析试题

HY 中学2021届高三数学上学期第二次考试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，那么∁B A=〔〕 A. [3，+∞〕B. 〔3，+∞〕C. 〔﹣∞，﹣1]∪[3，+∞〕D.〔﹣∞，﹣1〕∪〔3，+∞〕【答案】A 【解析】因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；应选A.2.以下说法错误的选项是〔〕A. 命题“假设2430x x -+=，那么3x =〞的逆否命题是“假设3x ≠，那么2430x x -+≠〞B. “1x >〞是“||0x >〞的充分不必要条件C. 假设p q ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题D. 命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥〞【答案】C 【解析】【分析】由命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进展否认,可得A 正确；由“||0x >〞的充要条件为“0x ≠〞,可得B 正确；由“且〞命题的真假可得C 错误；由特称命题的否认为全称命题可得D 正确，得解.【详解】解:对于选项A,命题的逆否命题为将条件、结论互换,再同时进展否认, 可得命题“假设2430x x -+=，那么3x =〞的逆否命题是“假设3x ≠，那么2430x x -+≠〞,即A 正确；对于选项B, “||0x >〞的充要条件为“0x ≠〞,又“1x >〞是“0x ≠〞的充分不必要条件,即B 正确；对于选项C, p q ∧为假命题，那么p 、q 至少有1个为假命题,即C 错误；对于选项D,由特称命题的否认为全称命题可得命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么非p ：“x R ∀∈，210x x ++≥〞,即D 正确, 应选:C .【点睛】此题考察了四种命题的关系、充分必要条件及特称命题与全称命题，重点考察了简单的逻辑推理，属根底题.3.m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于以下四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒③αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α，n m n α⊂⇒ 其中正确命题的个数有〔〕 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】A 【解析】①m α⊂，n α⊂，m β，n β，那么α与β可能相交，①错；②n m ，n α⊂，那么m 可能在平面α内，②错；③αβ，m α⊂，n β⊂，那么m 与n 可能异面，③错；④m α，n α⊂，那么m 与n 可能异面，④错，故所有命题均不正确，应选A ．【方法点晴】此题主要考察线面平行的断定与性质、面面平行断定与性质，属于中档题. 空间直线、平面平行或者垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图〔尤其是画长方体〕、现实实物判断法〔如墙角、桌面等〕、排除挑选法等；另外，假设原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 4.假设cos 〔8π-α〕=16，那么cos 〔34π+2α〕的值是〔〕 A.1718B. 1718-C. 1819D. 1819-【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值．【详解】∵cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝16，∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫ ⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718.应选：A.【点睛】此题考察了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是根底题．5.等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，那么使得n S 取最小值时的n 为〔〕． A. 1 B. 6C. 7D. 6或者7【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开场为正数，所以使得取最小值时的为，应选B ．考点：等差数列的性质.6.假设直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，那么41a b+的最小值是〔〕 A.12B. 4C. 9D.14【答案】C 【解析】【分析】由圆的HY 方程可得，圆22(1)(2)4x y +++=的直径长为4，由题意可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，那么1a b +=，0,0ab ，再结合重要不等式求()a b +⋅41()a b+的最小值即可. 【详解】解：将圆的一般方程222410x y x y ++++=，化为HY 式可得22(1)(2)4x y +++=，结合直线()2200,0ax by a b ++=>>被圆222410x y x y ++++=截得弦长为4，可得直线()2200,0ax by a b ++=>>过圆的圆心()1,2--，即2220a b --+=，那么1a b +=，0,0ab ，那么41a b +=()a b +⋅41()a b +=445529b a b aa b a b++≥+⋅=，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号，应选：C .【点睛】此题考察了圆的方程及直线与圆的位置关系，重点考察了重要不等式及运算才能，属中档题.7.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，AA 1⊥底面ABC ，且AB =2， AA 1=1，那么直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为〔〕2510 15 5【答案】C 【解析】【分析】先作出直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角，再根据直角三角形求结果. 【详解】取A 1B 1中点M ，连C 1M,BM,因为在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC 是等边三角形，所以底面A 1B 1C 1是等边三角形，从而C 1M ⊥A 1B 1,因为AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥底面A 1B 1C 1，即AA 1⊥C 1M ，从而C 1M ⊥平面ABB 1A 1，因此1C BM ∠为直线BC 1与平面ABB 1A 1所成角,因为2111315125,3sin 55C B C M C BM =+==∠==,选C.【点睛】此题考察线面角，考察根本分析求解才能，属根底题. 8.一个简单几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为A. 36π+B. 66π+C. 312π+D. 12【答案】A 【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为211113433436,4332V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，应选A. 9.,x y 满足约束条件20,{220,220.x y y x x y +-≤-+≥-+≥假设2z y ax =-获得最大值的最优解不唯一，那么实数a 的值是〔〕A.12或者1- B. 1或者12-C. 2或者1D. 2或者1-【答案】B【解析】试题分析:由2z y ax =-得，2y ax z =+，作出可行域如以下图所示，当22a =或者21a =-时，即1a =或者12a =-时，2z y ax =-获得最大值的最优解不唯一，应选B.考点：线性规划.10.函数()()2730323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，假设对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立，那么实数a 的取值范围为( ) A. (]0,1 B. (]0,2C. []1,2D. []2,9【答案】B 【解析】【分析】分别求出()f x a +在[]3,3-的值域，以及()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域，令()f x a +在[]3,3-的最大值不小于()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值，得到a 的关系式，解出即可.【详解】对于函数()f x ，当0x ≤时，()733f x x =+，由30x -≤≤，可得()[]4,3f t ∈-，当0x >时，()()222314f x x x x =-++=--+，由03x <≤，可得()[]0,4f x ∈，∴对任意[]3,3t ∈-，()[]4,4f t ∈-，()[]4,4f t a a a +∈-+对于函数()cos 42sin 46g x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2,663x πππ⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()4g x ⎡⎤∴∈+⎣⎦，∴对于0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()4g s ⎡⎤∈⎣⎦，对任意[]3,3t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()(0)f t a g s a +≤>成立， 46a ∴+≤，解得02a <≤，实数a 的取值范围为(]0,2，应选B ．【点睛】此题主要考察函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用一共分四种情况：〔1〕12,,x D x E ∀∈∀∈ ()()12f x g x ≥只需()()min max f x g x ≥；〔2〕1,x D ∀∈2x E ∃∈ ()()12f x g x ≥，只需()min f x ≥ ()min g x ；〔3〕1x D ∃∈，2,x E ∀∈ ()()12f x g x ≥只需()max ,f x ≥ ()max g x ；〔4〕12,x D x E ∃∈∃∈，()()12f x g x ≥，()max f x ≥ ()min g x . 11.O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不一共线的三点，动点P 满足()sin sin AB AC OP OA AB BAC Cλ=++，(0,)λ∈+∞，那么动点P 的轨迹一定通过ABC∆的〔〕 A. 重心 B. 垂心C. 外心D. 内心【答案】A 【解析】试题分析：由正弦定理得sin sin AB B AC C t ==，所以()1OP OA AB AC tλ=+⋅+，而2AB AC AD +=，所以()1AB AC tλ⋅+表示与AD 一共线的向量AP ，而点D 是BC 的中点，即P 的轨迹一定是通过三角形的重心，应选A. 考点：平面向量.【思路点晴】此题主要考察向量的加法和减法的几何意义，考察理解三角形正弦定理，考察了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵敏应用三角形法那么和平行四边形.当涉及到向量或者点的坐标问题时，应用向量一共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.12.函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，那么k 的取值范围是( ) A. 13(,)34B. 13(,)24C. 1(,1)3D. 1(,1)2【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果.【详解】()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增由此可得()f x 图象如以下图所示：其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点设(),ln 2C m m m m -，0m >，那么ln 21ln 10AC m m m k m m -+=-=-，解得：1m =1AC k ∴=-设23,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，那么23132220AB n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31222AB k ∴=-+=-11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，那么1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭此题正确选项：D【点睛】此题考察根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是可以通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进展求解. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且313n n S n T n +=+，那么220715a ab b +=+______．【答案】83【解析】【分析】根据等差数列的性质可得2201212171512121a a a a Sb b b b T ++==++，结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，由等差数列的性质，可得121220121211217151212121()221()2a a a a a a Sb b b b b b T +++===+++，又313n n S n T n +=+，所以2202171521321182133a a Sb b T +⨯+===++.故答案为83【点睛】此题主要考察等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和，熟记等差数列的性质与前n 项和公式，即可得出结果.14.12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．【答案】32【解析】【分析】可知这样即可求出 a b ⋅ 及b 的值，从而得出a 在b 方向上的投影的值．【详解】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【点睛】考察单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．15.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，假设180A C +=︒，6AB =，4BC =，5CD =，5AD =，那么四边形ABCD 面积是______．【答案】6【解析】【分析】在ABD ∆，BCD ∆中，利用余弦定理可得6060cos A -=4141cos C -，再结合180A C +=︒可得1cos 5A =，再结合三角形面积公式可得11sin sin 22ABD BCDS S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯，将值代入运算即可. 【详解】解：连接BD ，在ABD ∆中，2222cos 6060cos BD AB AD AB AD A A =+-⋅=-，在BCD ∆中，2222cos 4141cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-，所以6060cos A -=4141cos C -，因为180A C +=︒，所以cos cos A C =-，所以1cos 5A =，那么26sin 5A =，所以四边形ABCD 面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯ 12612665451062525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故答案为：106.【点睛】此题考察了余弦定理及三角形的面积公式，重点考察理解三角形及运算才能，属中档题.16.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为,,,,O E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH ∆∆∆∆，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】500327π【解析】如图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ，正方形的边长为()0x x >，那么,6,22x x OI IE ==-该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，246222x x x ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，那么22OC =224223OP -=()(22232R R =+，解得3R =3450033273V ππ==5003π. 三、解答题：一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.17.等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设()()1111n n n n a b a a ++=--，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】〔Ⅰ〕a n =1()2n〔n ∈N *〕〔Ⅱ〕1-n 1121+-【解析】【分析】(Ⅰ)根据条件列关于公比与首项的方程组，解得结果代入等比数列通项公式即可，(Ⅱ)先化简n b ，再根据裂项相消法求结果.【详解】解：〔Ⅰ〕设公比为q ，那么0,q >因为52a ，4a ，64a 成等差数列，所以24a =52a +64a ，即211202q qq q =+>∴=因为2434a a =，所以111111114()()2222n n n a q a a -=∴=∴=⋅=〔Ⅱ〕b n =()()1111n n n a a a ++-- =()()nn n 122121+-- =n 121--n 1121+-，n∈N *， ∴数列{b n }的前n 项和S n =2112121⎛⎫- ⎪--⎝⎭+23112121⎛⎫- ⎪--⎝⎭+…+n n 1112121+⎛⎫- ⎪--⎝⎭=1-n 1121+-，n∈N *．【点睛】此题考察等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考察根本分析求解才能，属中档题.18.ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=．〔1〕求C 的大小；〔2〕假设c =，求ABC ∆周长的最大值．【答案】〔1〕23C π=；〔2〕2+．【解析】【分析】〔1〕由正弦定理化角为边可得222a b c ab +-=-，再结合余弦定理可得1cos 2C =-，再求C 即可；〔2〕由正弦定理化边为角可得l 2sin 2sin A B =+l 2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由03A π<<利用三角函数值域的求法即可得解.【详解】解：〔1〕ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=. ∴由，得(2)(2)2222a b ca b b a c R R R+⋅++⋅=⋅，即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=. 〔2〕3c =，sin sin a bA B∴==2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，那么l a b c =++2sin 2sin A B =+2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin 33A A A ππ=++sin A A =+2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<，232sin 33A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭23≤+，故ABC ∆周长的最大值为23+.【点睛】此题考察了正弦定理及辅助角公式，主要考察了三角函数的值域，重点考察了三角函数的有界性及运算才能，属中档题.19.如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.〔1〕证明：平面PAB ⊥平面PAD ；〔2〕假设PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕33-【解析】【详解】〔1〕由90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．〔2〕在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由〔1〕可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如下图的空间直角坐标系Fxyz .由〔1〕及可得2,0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0CB =，2222PA ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =.设(),,n x y z =是平面PCB 的法向量，那么0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,20,x y z x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2n =--.设(),,m x y z =是平面PAB 的法向量，那么0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =. 那么3cos ,3n m n m n m ⋅==-，所以二面角A PB C --的余弦值为3【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考察主要表达在以下几个方面： ①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.()()11,A x f x ,()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0)2πωϕ>-<<图象上的任意两点,且角ϕ的终边经过点()1,3P -,假设12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π．〔1〕求函数()f x 的解析式；〔2〕假设方程[]23()()0f x f x m -+=在4(,)99x ππ∈内有两个不同的解,务实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin(3)3f x x π=-；(2).【解析】【详解】试题分析：(1)由角ϕ的终边经过点()1,3P -可得3πϕ=-，由12()()4f x f x -=时,12x x -的最小值为3π可得周期23T π=得3ω∴=，即可求出函数的解析式；〔2〕先解得()f x 在4(,)99x ππ∈的值域，将问题转化成一元二次方程在给定的范围内解的个数问题，再将一元二次方程个数问题转化成二次函数与直线交点为个数问题，可解得m 的值. 试题解析：〔1〕角ϕ的终边经过点(1,3)P -，tan 3ϕ=-，02πϕ-<<，3ϕπ∴=-．由12()()4f x f x -=时,的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，3ω∴=．∴()2sin(3)3f x x π=-(2〕4(,)99x ππ∈∴3(0,)3x ππ-∈，∴0sin(3)13x π<-≤．设()f x t =，问题等价于方程230t t m -+=在〔0，1] 内有两个不同的解．∵-m = 3t 2 -t ，t ∈(0, 1]．作出曲线C ：y = 3t 2 -t ，t ∈ (0, 1)与直线l ：y = -m 的图象．∵t =16时，y =112-；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2． ∴当时，直线l 与曲线C 有两个公一共点．∴m 的取值范围是：.考点：函数的图象、二次函数图象、一次函数图象.【思路点晴】第一问考察了三角函数的定义、函数性质．由题意很容易求出()f x 的解析式。

广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试数学含解析

惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．2024.10注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分l已知集合A={�2�x<5}，集合B={xl x2-4x<O}，则A^B=( ）A.(o,s)B.[2,4) c.(4,5) o.(-00,O)u[2,+oo)2已知复数z满足z2+l = 0,则lz+ll=( )A.3B.2C.l D．五3已知等差数列{a,,}前9项的和为27，如＝8，则a.oo= ()A.100B.99C.98 0.974在正方体ABCD-'4iB1Cp1中，棱BC,A戊的中点分别为E,F，则直线E F与平面ABBA所成角的正弦值为（）石 B. 森2石 D. 痀5已知向凳a,b满足：a=(✓3,1)，叫＝石，（兹－b ）·6=3，则向豐6在向榄五上的投影向榄为（）A胃气）B[竿i)C［告）叶亨订6已知函数f(x)=log2厅－2ax),aeR,则“a:s;O"是“函数f(x)在(1，七吩上单调递增＂的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知“水滴＂的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”)所围成的几何体如图所示，将“水滴＂的轴截面看成由线段AB,AC 和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C 所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切已知“水滴＂的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行千水4平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为－，则sin乙BAC=<A3416 24A.-B .- C.—D .—55252538在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多千文科生，女生多千男生，则关千本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A理科男生多千文科女生B文科女生多千文科男生C理科女生多干文科男生D理科女生多于理科男生二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关千每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4, 3, 1,5, 3, 2,5, 1, 3则关千这组数据的结论正确的是（）A极经是4B众数小千平均数c ．方差是2D数据的第80百分位数为4.510函数f (x) =A sin (cvx+ <p)(A> O,a> > 0树<§）的部分图象如图所示，现将f(x )的图象向左平移巴6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(2亡7兀X12兀A.<p =－一6B.(i)=2c ．函数）1= xf (x ＋王）是奇函数12 D.g (x )=2c os （2x -¾)II 如图，心形曲线L:x 2+(y -|入扩＝1与Y 轴交于A ,B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）ypXBA点［孚叩11(-1,1.）均在L 上B.IO月的最大值和最小值之和为3C 点P 的纵坐标的最大值为J5D.I PAl+IPB 怍2石三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在（x+1)5的二项展开式中，各项的系数和为13椭圆于fi =l (a >b>O )的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是R 、F2，若I A F.I ,I F.Fzl,IF.纠成等比数列，则此椭圆的离心率e=.14若关千X的方程ln(ax4)＝[二了有实根，则a江护的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分13分）已知函数f(x)=�X 2一x-2ln x(l)求曲线y=f(x)在点(l,f(1)）处的切线方程：(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的晟小值16（木题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA J_底面ABCD,AB II CD,AD=CD=l.乙BAD=120'，乙ACB=90°.D C(l)求证：BC上平面PAC:(2)若PA＝石，求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值l7 （本题满分15分）已知双曲线C:x2-y2=l及直线l:y＝虹－1(])若l与C有两个不同的交点，求实数K的取值范围：(2)若l与C交千A,B两点，O是坐标原点，且t:.OAB的面积为J5，求实数K的值18（本题满分17分）记t:,.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB, t anC均为整数(I)求tanA,tanB, t anC的值，(2)设AC的中点为D,求乙CDB的余弦值19（本题满分17分）若数列{a,,}(1 s n s k, n E N*, k EN*）满足a,，叶0,1}，则称数列{a,,｝为K项0-1数列，由所有k项0-1数列组成集合M ks4)时，a,,=0,求数列{(-l)飞，｝的所有(])若伈｝是12项0-1数列，当且仅当n=3p(p E N*,p项的和；(2)从梊合M人．中仔意取出两个数列｛动，｛丸｝，记X=区|a,－b/|i=I＠求随机变量X的分布列，并证明：E(X)＞一：k2＠若用某软件产生k(k2'.:2)项0-1数列，记事件A =“第一次产生数字1"'B=“第二次产生数字l"'且0<P(A ) <1,0<P (B) <l若P(BIA)<P(B区），比较P(Al B)与P(AI B )的大小惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号2345 678答案BDc BAADcl 【解析】因为B ={xl O < x <4}，所以A nB={xl 2�x<4}故选：B 2【解析】因为z 2+l=O,即z 2= -1,所以z ＝土，所以卜＋11=11士11=f言75了＝J5故选：D.的公妇为d，由已知得：｛9a, +36d =273【解析】设等劳数列{a ,,}，解得a,= -1, cl = 1,a, +9d =8所以a 100=a , + 99d = -1 + 99 = 98故选：C.4【解析】连接FB ，在正方体ABCD -f\B ,C 1D 1中，BC..l 平面A BB A ，棱BC 的中点为E,则BE..l 平面A BB I A ，而BFc 平面A BB A ，故BE..l BF,则乙EFB 即为迎线EF 与平面A BB I A 所成角，设正方体棱长为2,则BE=l,BF=.JB I F 2+B阻＝j了I ＝心，BE1✓6则EF =✓BF 2+BE 2＝拆，故sin乙E FB =－－＝－－＝一－故选：BEF拆6A lni ,DI L ,“K ,＇,'…,'} ，夕,j A5【解析】由例＝石，（2ii-b)·b =3,得2li·b -lbi 2=2li·b -2=3,即a 6=－525由已知得la:1=2,所以向摄6在向量a上的投影向量为彗向＝＼卢＝｀石，l)＝厂产，i)故选：A .as l6【解析】若函数f(x)在（l，切）上单调递增，则｛，解得a5-，Il-2a之02所以“a�O"是＂函数f(x)在(1.冲~)上单调递增”的充分不必要条件．故选：A7【解析】设优弧BC 所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA ,OB ,OC 易知“水滴＂的＂竖直商度”为OA +R, OA +R 45 “水平宽度”为2R,由题意知＝一，解得OA=－R 因为AB 与圆弧相切千点B ,2R 3 3OB R 3 所以B 在Rt 心ABO 中，sin乙BAO =—=—=－冗OA 5 :::...R5，又乙BAO e l 0，一，（』4所以COS乙BAO=.Jl-sm 汔BAO ＝一，由对称性知，5乙BAO ＝乙CA O,则乙BAC=2乙BAO,3 4 24所以sin 乙BAC=2sin 乙BAOcos 乙BA0=2x-=-x-=—故选：D.5 5 258【解析】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有X 2人：文科女生有）'1人，文科男生有）5人；根据题意可知：X 1 + X 2 > Y i + Y 2'X i +Y i > X 2 + Y 2'根据同向不等式可加的性质有：X 1 + X 2 + X 1 + Y 1 > Y 1 + Y 2 + X 2 + Y 2'即X 1> Y 2，所以理科女生多千文科男生，C正确其他选项没有足够证据论证故选：C .二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号I 9 I 10 I 11全部正确选项I A D I ABO I ACD9【解析】数据从小到大排列为：1,1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5对千A,该组数据的极差为5-1=4,故A正确：对于B,众数为3,平均数为lx2+2+3x4+4+5x210=3,两者相等，故B错误；对干C,方差为而伈－3)2x2+(2-3)2xl+(3-3)2x4+(4-3)2xl+(S-3)2x2] = 1.8,故C错误，对千D,10x80%=8,这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D正确故选：AD.10【解析】由图像可知：f(x)ma x = 2, A= 2:又f(0)=2s叩＝－l,故sinrp＝一L，又lrp|＜巴，所以rp＝－巴，所以A项正确，2 2 6已知f（气＝2sin（五0－勹＝0,由五点作图法可知：卫坛－巴＝亢，解得：OJ=2'所以B项正l2 12 6 l2 6确；故f(x) =2sin（三）则xj.（咕）＝2xsin2x设h(x)=xf.（咕）＝2xsin2x则h(-x)= 2(-x)sin(-2x) =2.xsin2x= h(x)，所以函数y=.-1;小号）是偶函数，故C项错误g(x)=f(x十艺）＝2s i n[2(x+：)－去］＝2s i n(2x＋艺）＝2c o s[�-(2x＋艺）］=2cos甘－2x)=2cos（三），所以D项正确故选：ABD.五II【解析】A选项，经验算，点(—,0和(-1,1)的坐标满足曲线L的方程x2 +(y-lxl)2 =L所以` o)和(-l,l）均在L上故2A项：确B 选项，I OP l ＝心三了，因为曲线L:x江(y-I 入扩＝l 关千Y 轴对称，当x 以0时，x 2 +(y-x)2 =l,设x=cos0, y-x= s in0,0e[－豆］，2 2.l+co s20 所以IOPl 2=.,\,:2+y 2=cos 20+(cos0+sin0)2 =l+�+sin20 23 1 3森l =-＋sin20+－cos20=－＋—sin (20 + rp ),其中tanrp ＝一，2 22 22 所以OP l min =[工石－�,10P 1m ax =[工石＋12 2 2 2 2 2，所以10月的最大值和最小值之和为石，故B项错误；C 选项，因为曲线L:x 2+(y -l x 忙＝1关千Y 轴对称，当x习0时，x 2+(y-x)2 =I ,则(y-x)2 =1-.,\,，2，所以y =x 土』7了因求，占P 的纵坐标的最大值，故取y =x+.[i':了，2又y 2=(x ＋石二了）＝1+2x../I 二了＝1+2[x.了7平1+.,\,;2+(l －入＂2)=2（当且仅当x 2＝上时等号2成立），所以y�.,fi ，故C项正确；x -D 选项，IPA I +I P B� 2✓3等价千点P 在椭圆上－＋—＝1内（包含椭圆），由B 项可知，即满足：322(cos0+sin0)2 +3cos 20 � 6,即2(l+sin20)+3(1+cos20)�6，整理得：23 4sin20 + 3cos20 � 5,即5sin(20+/3）�5'其中其中tan/3＝－，即sin(20+/3）�l 恒成立，则故D4项正确故选：A BD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.32五5314.e i12.【解析】当x =l 时，二项式展升式各项的系数和为25=32故答案为：3213【解析】由题意知I Mi l =a-c,I F;Fz l =2c,IF;科＝c+a,且三者成等比数列，则IFiFi l 2= IAF;I .I F;BIl石石即4c 2= (c-a )(c +a )= c 2 -a 2,所以e 2=－，所以e =—故答案为：—－55514【解析】设方程ln （釭＋勹＝k的实根为X。

高三数学上学期第二次段考试题理扫描

高级中学2021届高三数学上学期第二次段考试题理〔扫描版〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高中高三年级第二次段考理数参考答案一、选择题1-5 CADDC 6-10 AADAC 11-12 BD二、填空题13、π24 14、5050 15、3616、①③④ 三、解答题17、]1,32[tan sin 21,2cos ,,2)1(-∈====∠=⋅→→θθθθab S ab ACB CB CA 得由所以412);,0(],1,32[tan πθππθθ≤≤∈-∈所以而 2分()sin 2,cos2m =A A ，()cos2,sin 2n =B B∴22sin 2cos 21m =A+A =，1n =θπ2sin 2sin )22sin()22sin(2sin 2cos 2cos 2sin -=-=-=+=+=⋅C C B A B A B A n m θ2sin 45||44|||2|222-=+⋅+=+n n m m n m，，所以因为226412πθππθπ≤≤≤≤]3,1[2sin 45∈-θ,∴[]3,12，∈+→→n m 6分(2)2)4cos(cos sin 34)4sin()(--+-+=πθθθπθθf2cos sin 34)cos (sin 2--+=θθθθ 8分设)4sin(2cos sin πθθθ+=+=t243412ππθππθπ≤+≤≤≤，所以因为所以]2,26[∈t ，23223222134222-++-=--⋅-=t t t t y 对称轴∉=126t ]2,26[,所以当26=t 时，2max -=y 10分18.〔1〕证明：∵底面ABCD 是菱形，60=∠ABC ，∴2===AC AD AB ，在B AA 1∆中，由21221B A AB AA =+知AB AA ⊥1. 同理，AD AA ⊥1.又∵A AD AB = ，∴⊥1AA 平面ABCD . 6分〔2〕解：当11=EDEA 时，//1B A 平面EAC . 7分证明如下：连结BD 交AC 于O ，当11=EDEA 时，即点E 为D A 1的中点时，连接OE ，那么B A OE 1//，∴//1B A 平面EAC .直线B A 1与平面EAC 之间的间隔等于点1A 到平面EAC 的间隔 .∵点E 为D A 1的中点，可转化为D 到平面EAC 的间隔，ACD E EAC D V V --=， 9分设AD 的中点为F ，连接EF ，那么1//AA EF ，∴⊥EF 平面ACD ，且1=EF ，可求得3=∆ACD S ， ∴333131=⨯⨯=-ACD E V . 又2=AE ，2=AC ，2=CE ，27=∆AEC S ， ∴3331=⋅∆d S AEC 〔d 表示点D 到平面EAC 的间隔〕，7212=d ， ∴直线B A 1与平面EAC 之间的间隔为7212. 12分19解：〔1cos 2sin cos cos A C B A C A =,)2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，4分又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2A =，又A 为三角形内角，因此，6A π=. 6分〔2〕255cos()2sin sin cos 1sin cos()1226C B B C B B ππ--=+-=+--，553sin coscos sin sin 1sin 1)16626B B B B B B πππ=++-=-=--，8分由6A π=可知，5(0,)6B π∈，所以2(,)663B πππ-∈-， 10分从而1sin()(,1]62B π-∈-,2)1(1]62B π--∈-，故25cos()2sin 22CB π--的取值范围为2(1]2-. 12分 20、解：〔1〕11a =,211222a S a === ∵12n n na S +=，∴1(1)2n n n a S --= (2n ≥)，两式相减得，1(1)2n n n na n a a +--=(2n ≥) ∴1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n ++=( 2n ≥), 1(3).1n n a nn a n -=≥-∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---223343221122334211(3n ≥)，又11a =,22=a 也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N )。

高三数学上学期第二次阶段性考试试题

二中2021届高三数学上学期第二次阶段性考试试题一、选择题：本大题一一共13个小题,每一小题4分,一共52分.前10题为单项选择，后三题为多项选择题，选对而不全得2分。

{}|2A x x =≤，集合{}3|log 1B x x =<，那么A B =〔〕A ．{}|2x x ≤B ．{}|3x x <C ．{}|02x x <≤D ．{}|12x x <≤2.以下命题中假命题的是〔〕A ．x R ∃∈，lg 0x =B ．,x R ∃∈tan 0x =C ．x R ∀∈，20x >D ．x R ∀∈，20x >3.以下函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是〔〕A ．y =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2xy -={}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，假设7703S π=，那么4sin a =〔〕A ．2-B ．12-C ．12D ．2a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=，那么||b =〔〕ABC ．2D ．3()cos(2)6f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象〔〕A ．向左平移6π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，那么cos C =〔〕A ．14- B ．24-C ．14D ．24331x x y =-的大致图象是〔〕9.我国数学名著?九章算术?中，有长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n．① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列〔记为〕1a ，2a ，3a ，…，n a ．那么2n ≥时，12231n n a a a a a a -+++=…〔〕 A ．2(1)n -B ．(1)n n -C ．2nD ．(1)n n +223,0,()|2|ln ,0x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩零点的个数为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．411.〔多项选择题〕以下函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是〔〕 A ．3y x = B ．1ln ||y x = C ．sin y x = D ．1y 2x⎛⎫= ⎪⎝⎭12.〔多项选择题〕设{}*()n a n N ∈是等比数列，以下命题正确的选项是〔〕A.{}2*()na n N ∈是等比数列； B. *1()n n a a n N +∈是等比数列；C.*1()n n a a n N ++∈是等比数列； D.是等差数列.13．〔多项选择题〕函数()sin 3f x x x =，那么以下命题正确的选项是〔〕()f x ()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；()f x 的图像关于直线6x π=()f x 在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减二、填空题〔每一小题4分，满分是16分，将答案填在答题纸上〕 14.数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，那么“21a a >〞是“数列{}n a 单调递增〞的___条件． 15.计算：cos102sin 20sin10︒-︒=︒________．16.函数()()22ln 0f x x x =-++∞在，上的极大值为___________．x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，那么称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数〞．函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]1,2上的“中间函数〞，那么实数k 的取值范围是_______．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共82分.〕 18.〔本小题10分〕函数22()cos ()sin 6f x x x π=--．〔1〕求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；〔2〕求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．19.〔本小题14分〕n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-． (I)证明{}2n S n -+为等比数列； (II)设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T20.〔本小题4分〕ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3C π=．〔1〕假设224ab a c =-，求sin sin BA的值；〔2〕求sin sin A B 的取值范围．21.〔本小题14分〕定义域为R 的函数()22x x bf x a-+=+是奇函数.(I)求,a b 的值；(1I)假设不等式()()2210f kx f x +->恒成立，务实数k 的取值范围．22.〔本小题15分〕．数列}{n a 满足：2,121==a a ，正项数列}{n b 满足1+=n n n a a b ()*N n ∈，假设}{n b 是公比为2的等比数列〔Ⅰ〕求}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕n S 为{}n a 的前n 项和，求n S ．23.〔本小题15分〕函数3221()(1)3f x x ax a x b =-+-+〔a ，b R ∈〕．〔1〕假设()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值；〔2〕假设()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．二中高三阶段性测试二数学试题答案一、选择题1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、BD 12、AB 13、CD 二、填空题14.充要条件 15.3 16.17.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题18.解：〔1〕2211()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6232f x x x x x ππ⎡⎤=--=+---⎢⎥⎣⎦ 1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦133(sin 2cos 2)222x x =+3sin(2)23x π=+，所以函数()f x 的最小正周期为π．由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．〔2〕因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin(2)123x π-≤+≤，所以3()4f x ≥-，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为34-． 19.解：〔Ⅰ〕当时，；时原式转化为：，即，所以，所以为首项为，公比为的等比数列.〔Ⅱ〕由〔1〕知：，所以. 于是，20.解：〔1〕由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得3b a =，由正弦定理sin sin B b A a =，得sin 3sin BA=．〔2〕由题意可知23A B π+=．231sin sin sin sin()sin (cos sin )322A B A A A A A π=-=+311sin 2cos 2444A A =-+11sin(2)264A π=-+．因为203A π<<，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126A π-<-≤，所以sin sin A B 的取值范围是3(0,]4．21.解：(Ⅰ)因为在定义域为的奇函数，所以，即.又由，即，检验知，当时函数为奇函数.所以.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，故函数在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式：，等价于，即因为减函数，由上式可得．即有：恒成立，当时不成立；当时需解得.综上k 的取值范围为.22.解：(1)因为112212n n n n n n n n b a a a b a a a +++++===所以，数列{}n a 奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2因为121,2a a ==，所以12,2n n nn a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为正奇数，为正偶数(2)当n 是偶数时()()1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++＝2323n •-当n 是奇数时11122213232423n n n n n n S S a ----=+=•-+=•-综上得212323,423nn n n S n -⎧•-⎪=⎨⎪•-⎩为偶数，为奇数23.解：〔1〕∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =， ∵点(1,2)在()y f x =的图象上，∴21213a ab =-+-+，又'(1)1f =-，∴21211a a -+-=-，∴2210a a -+=，解得1a =，83b =． ∴3218()33f x x x =-+，2'()2f x x x =-，由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点． ∵8(0)3f =，4(2)3f =，(2)4f -=-，(4)8f =， ∴()f x 在区间[]2,4-上的最大值为8，最小值为4-．〔2〕因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点．而'()0f x =的两根为1a -，1a +，假设1a -，1a +都在(1,1)-上，那么111,111,a a -<+<⎧⎨-<-<⎩解集为空集，这种情况不存在；假设有一个根在区间(1,1)-上，那么111a -<+<或者111a -<-<， ∴(2,0)(0,2)a ∈-．。

高三数学上学期第二次段考试题 理

2021年高三数学上学期第二次联考试题 理(I)