工程矩阵理论(第4章-Hermite二次型)
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注② 若A为酉矩阵, 则AHA = I = AAH. 可见酉矩阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注③上三角的正规阵T必为对角阵. 证明: (1)一阶上三角阵T是对角阵. (2)当n > 1时, 设n1阶上三角的正规阵是对角阵. 下面证明n阶上三角正规阵也是.
§4.2 Hermite二次型
注① 若CHAC = diag(d1, d2, …, dn), 则XHAX经过变换X = CY化为 XHAX = YHCHACY = YHDY = d1 y1 y1 + d2 y2 y2 + … + dn yn yn
= d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
设 f(X)经可逆线性变换X = CY化为 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2,
经可逆线性变换X = DZ化为 |z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2. 下面证明p = q. 假设p > q.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
定理4.2.2 (惯性定理) Hermite二次型的标准形中, 系数为正数的项数以及 系数为负数的项数都是唯一的.
证明: 设 f(X) = XHAX, 其中AH = A, r(A) = r, 则 f(X)的标准形中系数非零的项数为r. 而且可以进一步把标准形中正系数 化为1, 负系数化为1.
(2i)
1 0 0 0 1 13i (13i) 0 3i1 3 1 i 1 2 i 0 1 0 0 0 1
(1+3i)
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 13 i1 63i 1 1+3i 0 1
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
当A为Hermite阵时, 对于任意的k = 1, 2, …, n, 令X = Cek, 则dk = ekHDek = XHAX .
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
注② 根据定理4.1.1, Hermite阵A必酉相似于实对角阵, 即存在酉矩阵U使得UHAU为实对角阵. 可见Hermite阵必共轭合同于实对角阵. 定理4.2.1 对于任意的Hermite二次型 f(X) = XHAX, f 其中AH = A, X = (x1, x2, …, xn)T, 的 存在可逆线性变换X = CY使得 标 f(X) = d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2, 准 形 其中d1, d2, …, dn全为实数.
t 令T = 0 T 为n阶上三角正规阵, 1
则由THT = TTH可得 |t|2 = |t|2 + H 且 T1HT1 = T1T1H. 故 = 0 且 T1为对角阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.4 A酉相似于对角阵 A是正规阵. 证明: ()设U为酉矩阵, UHAU = 为对角阵. 则A = UUH, AHA = (UUH)H(UUH) = (UHUH)(UUH) = UHUH = UHUH = (UUH)(UHUH) = AAH. 可见A为正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
例1 求可逆线性变换把Hermite二次型 f(x1, x2, x3) = |x1|2 + (1i)x1x2 + (2+i)x1x3 + (1+i)x1x2 + 3|x2|2 + (2i)x1x3 + 2|x3|2 化为标准形.
1 解: f 的矩阵A = 1+i 2 i 1 i 3 0 2+i 0 . 2
工程矩阵理论
主讲: 张小向
http://math.seu.edu.cn
第四章 Hermite二次型
第一节 Hermite阵, 正规阵 第二节 Hermite二次型
第三节 Rayleigh商
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
§4.1 Hermite阵, 正规阵 一. Hermite阵 定义4.1.1 设A = (aij)nn为复n阶矩阵, X = (x1, x2, …, xn)T为复n维列向量. 若AH = A, 则称A为Hermite阵, 简称为H阵. 若A为Hermite阵, 则称 f(X) = XHAX =
§4.2 Hermite二次型
注: Hermite二次型 f(X)的标准形中, 系数为正数的项数称为f(X)的正惯性指数, 系数为负数的项数称为f(X)的负惯性指数, 系数非零的项数称为f(X)的秩.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
二. Hermite二次型的正定性 定义4.2.1 A Hermite阵 f(X) = XHAX Hermite二次型 X 0 f(X) > 0 f(X), A正定 X 0 f(X) < 0 f(X), A负定 f(X) 0 (X) f(X), A半正定 f(X) 0 (X) f(X), A半负定 注① A正定 A负定. 注② diag(d1, …, dn)正定 d1, …, dn > 0.
1i,jn
aijxixj
为Hermite二次型.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注① 对于f(X) = XHAX, 下列条件等价: (1) f(X) (X n); (2) (XHAX)H = XHAX (X n); (3) XH(AH A)X = 0 (X n);
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
0 2+i (i2) 1 1i 2+i (1i) 1 0 1 13i 1+i 3 0 2 2i 3i1 2 2 i 0 A 1 i 1 = 0 0 1 0 I 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
(i1)
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
推论4.1.1 正规阵A的特征子空间相互正交. 证明: 根据定理4.1.4,存在酉矩阵U使得 UHAU = 为对角阵. 令U = (1, 2, …, n), = diag(1, 2, …, n), 则i为A的对应于特征值i的特征向量, 而且1, 2, …, n两两正交. 因而A的特征子空间相互正交.
由DZ = X = CY得Z = D1CY.
g11 g21 1 设D C = … g n1 g12 … g1n g22 … g2n …… … ,则 gn2 … gnn
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
z1 = g11y1 + g12y2 + … + g1nyn , z2 = g21y1 + g22y2 + … + g2nyn , 1CY Z = D …, zn = gn1y1 + gn2y2 + … + gnnyn .
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.5 设A为n阶方阵, 则 A是正规阵 X n, 有||AX|| = ||AHX||. 证明: ()若A为正规阵, 则 ||AX||2 = (AX)H(AX) = XHAHAX = XHAAHX = (AHX)H(AHX) = ||AHX||2. 因而||AX|| = ||AHX||.
x1 1 令 x2 = 0 x3 0
i1 63i 1 1+3i 0 1
y1 y2 , y3
则 f = | y1|2 + | y2|2 13| y3|2. 注: 若进一步令 y1 = z1, y2 = z2, y3 = 则 f = |z1|2 + |z2|2 |z3|2.
1 z , 3 13
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
同时, 由 [A(ek+iel)]H[A(ek+iel)] = ||A(ek+iel)||2 = ||AH(ek+iel)||2 = [AH(ek+iel)]H[AH(ek+iel)] 可得 iekH(AHAAAH)el ielH(AHAAAH)ek = 0. 进而有ekH(AHAAAH)el = 0. 综上可得AHAAAH = O, 即AHA = AAH.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()①对于任意的k = 1, 2, …, n, ekHAHAek = (Aek)H(Aek) = ||Aek||2 = ||AHek||2 = (AHek)H(AHek) = ekHAAHek. 可见AHA与AAH的主对角元对应相等. ②对于任意的1 k l n, 由 [A(ek+el)]H[A(ek+el)] = ||A(ek+el)||2 = ||AH(ek+el)||2 = [AH(ek+el)]H[AH(ek+el)] 可得 ekH(AHAAAH)el + elH(AHAAAH)ek = 0.
(4) A为Hermite阵. 证明: (3)(4)令AH A = M = (mij)nn, 则mkk = ekHMek = 0 (k = 1, 2, …, n).
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
对于任意的1 k l n, mkl + mlk = (ek+el)HM(ek+el) = 0, i(mkl mlk) = (ek+iel)HM(ek+iel) = 0, 由此可得mkl = 0, 因而AH A = M = (mij)nn = O, 即AH = A. 注② “实Hermite阵” = “实对称阵”.
注意到齐次线性方程组
g11y1 + g12y2 + … + g1nyn = 0 = z1 … gq1y1 + gq2y2 + … + gqnyn = 0 = zq yp+1 = 0 … yn = 0
中, 方程的个数 < 未知数的个数, 故有非零解.
假设p > q
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()根据Schur引理, 存在酉矩阵U使得 UHAU = T为上三角矩阵. 于是由AHA = AAH可得 THT = (UHAU)H(UHAU) = (UHAHU)(UHAU) = UHAHAU = UHAAHU = (UHAU)(UHAHU) = (UHAU)(UHAU)H = TTH. 可见T为上三角的正规阵, 因而T是对角阵.
第四章 Hermite二次型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.1 Hermite阵必酉相似于实对角阵. 证明: 设AH = A. 根据Schur引理, 存在酉矩阵U以及上三角矩阵T使得 UHAU = T. 于是有TH = UHAHU = UHAU = T. 可见T为实对角阵.
定理4.1.2 Hermite阵的特征值全为实数.
将一组非零解代入下面的等式 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2, =
>0
f(X) =
=0
|z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2.
=0 0
得矛盾, 故p q. 同理可证q p. 因而p = q.
第四章 Hermite二次型
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型 一. Hermite二次型的标准形 XHAX
X = CY
YHCHACY
nn,
AH = A (CHAC)H = CHAHC = CHAC
定义4.2.1 设A
C为n阶可逆阵,
则称A与CHAC共轭合同.
第四章 Hermite二次型
定理4.1.3 Hermite阵不同特征值对应的特征 向量必正交.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
二. 正规阵 定义4.1.2 若复矩阵A 满足AHA = AAH, 则称A为正规阵(normal matrix).
注① 若A为Hermite阵, 则AH = A, 于是AHA = A2 = AAH. 可见Hermite阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注③上三角的正规阵T必为对角阵. 证明: (1)一阶上三角阵T是对角阵. (2)当n > 1时, 设n1阶上三角的正规阵是对角阵. 下面证明n阶上三角正规阵也是.
§4.2 Hermite二次型
注① 若CHAC = diag(d1, d2, …, dn), 则XHAX经过变换X = CY化为 XHAX = YHCHACY = YHDY = d1 y1 y1 + d2 y2 y2 + … + dn yn yn
= d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
设 f(X)经可逆线性变换X = CY化为 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2,
经可逆线性变换X = DZ化为 |z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2. 下面证明p = q. 假设p > q.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
定理4.2.2 (惯性定理) Hermite二次型的标准形中, 系数为正数的项数以及 系数为负数的项数都是唯一的.
证明: 设 f(X) = XHAX, 其中AH = A, r(A) = r, 则 f(X)的标准形中系数非零的项数为r. 而且可以进一步把标准形中正系数 化为1, 负系数化为1.
(2i)
1 0 0 0 1 13i (13i) 0 3i1 3 1 i 1 2 i 0 1 0 0 0 1
(1+3i)
1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 13 i1 63i 1 1+3i 0 1
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
当A为Hermite阵时, 对于任意的k = 1, 2, …, n, 令X = Cek, 则dk = ekHDek = XHAX .
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
注② 根据定理4.1.1, Hermite阵A必酉相似于实对角阵, 即存在酉矩阵U使得UHAU为实对角阵. 可见Hermite阵必共轭合同于实对角阵. 定理4.2.1 对于任意的Hermite二次型 f(X) = XHAX, f 其中AH = A, X = (x1, x2, …, xn)T, 的 存在可逆线性变换X = CY使得 标 f(X) = d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2, 准 形 其中d1, d2, …, dn全为实数.
t 令T = 0 T 为n阶上三角正规阵, 1
则由THT = TTH可得 |t|2 = |t|2 + H 且 T1HT1 = T1T1H. 故 = 0 且 T1为对角阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.4 A酉相似于对角阵 A是正规阵. 证明: ()设U为酉矩阵, UHAU = 为对角阵. 则A = UUH, AHA = (UUH)H(UUH) = (UHUH)(UUH) = UHUH = UHUH = (UUH)(UHUH) = AAH. 可见A为正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
例1 求可逆线性变换把Hermite二次型 f(x1, x2, x3) = |x1|2 + (1i)x1x2 + (2+i)x1x3 + (1+i)x1x2 + 3|x2|2 + (2i)x1x3 + 2|x3|2 化为标准形.
1 解: f 的矩阵A = 1+i 2 i 1 i 3 0 2+i 0 . 2
工程矩阵理论
主讲: 张小向
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第四章 Hermite二次型
第一节 Hermite阵, 正规阵 第二节 Hermite二次型
第三节 Rayleigh商
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
§4.1 Hermite阵, 正规阵 一. Hermite阵 定义4.1.1 设A = (aij)nn为复n阶矩阵, X = (x1, x2, …, xn)T为复n维列向量. 若AH = A, 则称A为Hermite阵, 简称为H阵. 若A为Hermite阵, 则称 f(X) = XHAX =
§4.2 Hermite二次型
注: Hermite二次型 f(X)的标准形中, 系数为正数的项数称为f(X)的正惯性指数, 系数为负数的项数称为f(X)的负惯性指数, 系数非零的项数称为f(X)的秩.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
二. Hermite二次型的正定性 定义4.2.1 A Hermite阵 f(X) = XHAX Hermite二次型 X 0 f(X) > 0 f(X), A正定 X 0 f(X) < 0 f(X), A负定 f(X) 0 (X) f(X), A半正定 f(X) 0 (X) f(X), A半负定 注① A正定 A负定. 注② diag(d1, …, dn)正定 d1, …, dn > 0.
1i,jn
aijxixj
为Hermite二次型.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注① 对于f(X) = XHAX, 下列条件等价: (1) f(X) (X n); (2) (XHAX)H = XHAX (X n); (3) XH(AH A)X = 0 (X n);
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
0 2+i (i2) 1 1i 2+i (1i) 1 0 1 13i 1+i 3 0 2 2i 3i1 2 2 i 0 A 1 i 1 = 0 0 1 0 I 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
(i1)
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
推论4.1.1 正规阵A的特征子空间相互正交. 证明: 根据定理4.1.4,存在酉矩阵U使得 UHAU = 为对角阵. 令U = (1, 2, …, n), = diag(1, 2, …, n), 则i为A的对应于特征值i的特征向量, 而且1, 2, …, n两两正交. 因而A的特征子空间相互正交.
由DZ = X = CY得Z = D1CY.
g11 g21 1 设D C = … g n1 g12 … g1n g22 … g2n …… … ,则 gn2 … gnn
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
z1 = g11y1 + g12y2 + … + g1nyn , z2 = g21y1 + g22y2 + … + g2nyn , 1CY Z = D …, zn = gn1y1 + gn2y2 + … + gnnyn .
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.5 设A为n阶方阵, 则 A是正规阵 X n, 有||AX|| = ||AHX||. 证明: ()若A为正规阵, 则 ||AX||2 = (AX)H(AX) = XHAHAX = XHAAHX = (AHX)H(AHX) = ||AHX||2. 因而||AX|| = ||AHX||.
x1 1 令 x2 = 0 x3 0
i1 63i 1 1+3i 0 1
y1 y2 , y3
则 f = | y1|2 + | y2|2 13| y3|2. 注: 若进一步令 y1 = z1, y2 = z2, y3 = 则 f = |z1|2 + |z2|2 |z3|2.
1 z , 3 13
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
同时, 由 [A(ek+iel)]H[A(ek+iel)] = ||A(ek+iel)||2 = ||AH(ek+iel)||2 = [AH(ek+iel)]H[AH(ek+iel)] 可得 iekH(AHAAAH)el ielH(AHAAAH)ek = 0. 进而有ekH(AHAAAH)el = 0. 综上可得AHAAAH = O, 即AHA = AAH.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()①对于任意的k = 1, 2, …, n, ekHAHAek = (Aek)H(Aek) = ||Aek||2 = ||AHek||2 = (AHek)H(AHek) = ekHAAHek. 可见AHA与AAH的主对角元对应相等. ②对于任意的1 k l n, 由 [A(ek+el)]H[A(ek+el)] = ||A(ek+el)||2 = ||AH(ek+el)||2 = [AH(ek+el)]H[AH(ek+el)] 可得 ekH(AHAAAH)el + elH(AHAAAH)ek = 0.
(4) A为Hermite阵. 证明: (3)(4)令AH A = M = (mij)nn, 则mkk = ekHMek = 0 (k = 1, 2, …, n).
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
对于任意的1 k l n, mkl + mlk = (ek+el)HM(ek+el) = 0, i(mkl mlk) = (ek+iel)HM(ek+iel) = 0, 由此可得mkl = 0, 因而AH A = M = (mij)nn = O, 即AH = A. 注② “实Hermite阵” = “实对称阵”.
注意到齐次线性方程组
g11y1 + g12y2 + … + g1nyn = 0 = z1 … gq1y1 + gq2y2 + … + gqnyn = 0 = zq yp+1 = 0 … yn = 0
中, 方程的个数 < 未知数的个数, 故有非零解.
假设p > q
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()根据Schur引理, 存在酉矩阵U使得 UHAU = T为上三角矩阵. 于是由AHA = AAH可得 THT = (UHAU)H(UHAU) = (UHAHU)(UHAU) = UHAHAU = UHAAHU = (UHAU)(UHAHU) = (UHAU)(UHAU)H = TTH. 可见T为上三角的正规阵, 因而T是对角阵.
第四章 Hermite二次型
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.1 Hermite阵必酉相似于实对角阵. 证明: 设AH = A. 根据Schur引理, 存在酉矩阵U以及上三角矩阵T使得 UHAU = T. 于是有TH = UHAHU = UHAU = T. 可见T为实对角阵.
定理4.1.2 Hermite阵的特征值全为实数.
将一组非零解代入下面的等式 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2, =
>0
f(X) =
=0
|z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2.
=0 0
得矛盾, 故p q. 同理可证q p. 因而p = q.
第四章 Hermite二次型
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型 一. Hermite二次型的标准形 XHAX
X = CY
YHCHACY
nn,
AH = A (CHAC)H = CHAHC = CHAC
定义4.2.1 设A
C为n阶可逆阵,
则称A与CHAC共轭合同.
第四章 Hermite二次型
定理4.1.3 Hermite阵不同特征值对应的特征 向量必正交.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
二. 正规阵 定义4.1.2 若复矩阵A 满足AHA = AAH, 则称A为正规阵(normal matrix).
注① 若A为Hermite阵, 则AH = A, 于是AHA = A2 = AAH. 可见Hermite阵一定是正规阵.