工程矩阵理论(第4章-Hermite二次型)
线性代数下13正规变换hermite变换与hermite二次型
f
(n ,1)
j1
i 1 j 1
f (1,n )
f
(n
,n
)
称为f
的度量矩阵
取定基
{V上的双线性函数}
1:1对应
Mn(F)
2
上讲复习
结论：双线性函数 f 在不同基下的度量矩阵相合，即 B=PTAP.
对称双线性函数：f , )=f , ) 反对称双线性函数：f , )= -f , )
定义10.12 酉空间 V的线性 变换 σ，如果满足 ∗= ∗ ,
则称 σ 是正规变换.
结论 设σ 在一组SOB下的矩阵为A，则 σ为正规变换 ⇐⇒ (σ , σ ) = ( ∗ , ∗ ) ⇐⇒ AAH =AHA (称为正规矩阵)
性质(1) σ为正规变换 ⇒ 与 ∗有相同的特征向量 性质(2) 正规变换的属于不同特征值的特 征向量相互正交. 性质(3) 正规变换在某SOB下为对角阵；
Schimdt正 交化 (构造)
标准正交基
(i , j ) ij
(i, j 1, 2,, n)
UR分解 简化内积 正交补
A UR
(,
)
X
HY
V W W
SOB
酉阵
酉变换
AH A I
(,)
(,
)
4
本讲提要
正规变换 & Hermite变换 & Hermite二次型
qA
x1
x
H
Ax
xn
Hermite变换特征值均为实数 ⇒
矩阵分析
f ( X ) = X ( A + B) X ,
H
其中
X = ( x1 , x2 ,L , xn )
T
都是半正定H-矩阵 矩阵， 由于 A , B 都是半正定 矩阵，所以对于 任意一组不全为零的复数
x1 , x2 ,L , xn
我们有
f ( X ) = X ( A + B) X
H
= X AX + X BX ≥ 0
仍然为正定H-阵 另一方面注意矩阵 A 仍然为正定 阵, 而 反阵, 矩阵 B 为H-反阵 由上面的例题结论可知 反阵
−1
矩阵 A
−1
的特征值实部为零, B 的特征值实部为零 那么矩阵 −1 I+A B
的特征值中不可能有零, 的特征值中不可能有零 从而
I+A B ≠0
定理: 定理 对于给定的Hermite二次形 二次形 对于给定的
λ1 λ2 U H , 0 < λ ∈ R A =U i O λn
由于
A 又是酉矩阵, 又是酉矩阵
所以
λi = 1
这样必有
λi = 1
, 从而 A = I
是一个正定的H-阵 例 2 : 设 A 是一个正定的 阵, B 是一 个反H-阵 证明: 个反 阵, 证明 AB 与 BA 的特征值实 部为零. 部为零 证明: 设 λ 为矩阵的任意一个特征值 那 为矩阵的任意一个特征值, 证明 是一个正定H么有 λ I − AB = 0 . 由于 A是一个正定 阵, 所以存在可逆矩阵 Q 使得
2
证明: 设 λ1 , λ2 ,L , λn 为 A 的全部特征值 的全部特征值, 证明 由于 A 是半正定的, 所以 λi ≥ 0 . 于是有 是半正定的
线性代数 第四章 二次型
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn 2 +a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn 2 +a33 x3 + ... + 2a3 n x3 xn + ............. 2 +ann xn
定义4.2 定义4.2 设两组变量 x1 , x2 ,..., xn 和 y1 , y2 ,..., yn 具有如下关系
x1= c11 y1+ c12 y2 + ... + c1n yn x2 = c21 y1+ c22 y2 + ... + c2 n yn xn = cn1 y1+ cn 2 y2 + ... + cnn yn
∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽
存在可逆矩阵C,使得 存在可逆矩阵C,使得 C T AC =B 可逆矩阵C,
P −1 AP=B 存在可逆矩阵P, 可逆矩阵 存在C是正交矩阵,则 C T = C −1
B=C 既相似又合同. 此时若 B=CTAC = C −1 AC 则B与A既相似又合同.
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + ... + a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 +a22 x2 +a23 x2 x3 +... + a2 n x2 xn 2 +a31 x3 x1 +a32 x3 x2 + a33 x3 +... + a3 n x3 xn + ............. 2 +an1 xn x1 +an 2 xn x2 +an 3 xn x3 +... + ann xn
Hermite二次型
U H AU T
U H U 1
4
实对称矩阵的性质
1．实对称矩阵的特征值都是实数。
2． 实对称矩阵的属于不同特征值的 特征向量相互正交。
3． 对任意实对称矩阵 A ，存在正交矩阵 Q ， 使得 Q AQ 是对角阵。
T
5
H阵的性质
定理1:H阵的特征值均是实数。
29
定理8
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价：
1. A是半正定的； 2. A的特征值均大于或等于 零； Ir 3. A与 共轭合同； O 4.存在矩阵P使得A P H P; 5. A的各主子式均大于或等 于零。
30
例7
证明：正定矩阵与半正 定矩阵的和一定是正定 矩阵。
18
惯性定理
若H阵A与
矩阵形式：
a1 b1 a b 2 2 1 , 2 an bn 共轭合同，则a1 , a2 , , an与b1 , b2 , , bn中正、负项 个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
37
定理10
假设H阵A C ，A的特征值1 2 n , 则
nn
1 min R( X )
X C n
n max R( X )
X C n
38
例8
假设A是酉矩阵，证明： | X AX | maxn 1. H X C X X
H
39
, n ，所以，
i ,1 i j r i x xi 0,i j或i j r
H j
33
奇值分解定理的证明
因此， Ax1 ,
矩阵分析 课件 第四章 矩阵分解
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元 素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)
南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵(课堂PPT)
rran (Ak);
(5 )存在 r的 秩 Q 矩 使 为 A 阵 得 Q H Q ;
（ 6 ）n 存 阶 H在 e矩 rm S 使 阵 A i t得 S e 2 .
.
18
推论5.2.2 设A是n阶Herm非it负 e 定矩阵，为其
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的
标准形。
.
9
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y 1 y 1 2 y 2 y 2 n y n y n
其 1,中 2, ,n 是 He矩 rm A 的 阵 ite 特征
A C 0 (A C 0 ).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
(1)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1; (2)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
定义5.2.2 设 A,BCnn,如果存 和 在非 复零 数
xCn使得
A x Bx (5 .2 .5 )
则称λ为广义特征值问题 AxB的x特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H A d P (i 1 , a ,n ) g P ,H B I P
.
14
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵
矩阵论——Hermite二次型
第五章 Hermite 二次型§1 Hermite 阵，正规阵设函数()〉〈===∑X AX AX X x x a x x x f T j i ij n ,,,,21其中n n ij a A ⨯=)(为实对称阵，X 是实向量。
设n n C A ⨯∈，n C X ∈，则在n C （酉空间）j i ji ij H x x a AX X X AX x f ∑==〉〈=,,)( （1.1）)(x f 是实函数f f H=⇔AX X X A X H H H =⇔0)(=-⇔X A A X H H ，n C X ∈∀。
取k e X =，00=⇒=kk H m MX X ，0=⇒+=ij j i m ie e Xf fH=A A H =⇔即ji ij a a =定义1.1 设n n C A ⨯∈若A A H =则称A 为Hermite 阵。
简称为H 阵，记m H A ∈，若A 为Hermite 阵，则称共轭对称的二次齐式（1.1）为Hermite 二次型。
显然实对称阵⇔Hermite 阵（实）。
定理1.1 Hermite 阵必酉相似于一实对角阵。
证明 设A 为m H 则T 及上三角阵U ∃使T AU =H U ， 而A A H =T AU U A H ===⇒H H H U U T 所以T 是一个实对角阵。
定理1.2 Hermite 阵的特征值全为实数。
（T AU =H U ，实对角阵）定理 1.3 Hermite 阵相异特征值对应的特征向量必正交。
（0,,==〉〈=λi H j j i Ax x x x UT AU ）定义1.2 若n 阶复方阵A 满足H H AA A A =，则称A 为正规阵，如Hermite 阵是正规阵。
定理1.4 方阵A 酉相似于对角阵A ⇔是正规阵。
证明 “⇒”： 设Λ=AU H U ，（Λ为对角阵，U 为酉阵）H H H H H H H H H U U U U U U A A ΛΛ=ΛΛ=⇒ΛΛ=ΛΛ⇒ H H H AA U U =ΛΛ=“⇐”T AU =H U ，H H AA A A =⇒H H TT T T =⇒。
工程矩阵理论
精彩摘录
精彩摘录
《工程矩阵理论》是一本深入浅出，理论与实践相结合的优秀教材。它用清 晰的语言和丰富的例子，为读者揭示了矩阵理论在工程领域中的广泛应用和深远 影响。以下是本书中的一些精彩摘录，它们从不同的角度展示了矩阵理论的魅力 和重要性。
精彩摘录
“矩阵不仅是数学中的一个基本工具，也是工程师解决实际问题的重要武器。 在信号处理、控制系统、电路设计、图像处理等领域，矩阵理论都发挥着不可替 代的作用。”这段话强调了矩阵理论在工程实践中的广泛应用，提醒我们要重视 矩阵理论的学习和应用。
目录分析
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《工程矩阵理论》是一本专注于工程领域的矩阵理论教材，其目录结构精心 组织，内容深入且全面。本书旨在向工科研究生提供关于矩阵论的深入理解和应 用技能。以下是对这本书目录的详细分析。
目录分析
目录首先引入了“线性空间与线性映射”这一章节。线性空间是矩阵理论的 基础，它定义了向量空间的性质和运算规则。线性映射则描述了线性空间之间的 变换关系，这是理解矩阵在空间中如何操作的关键。
精彩摘录
“矩阵的秩是矩阵理论中的一个核心概念，它反映了矩阵行列之间的线性关 系。在解决实际问题时，通过计算矩阵的秩，我们可以判断系统的可控性、可观 性、稳定性等关键性质。”这段话揭示了矩阵秩在工程问题中的重要应用，体现 了矩阵理论在解决实际问题中的价值。
精彩摘录
“特征值和特征向量是矩阵理论中的两个重要概念，它们与矩阵的对角化、 相似变换等概念紧密相关。在控制系统的稳定性分析、信号处理中的滤波器设计 等领域，特征值和特征向量的应用广泛而深入。”这段话展示了特征值和特征向 量在矩阵理论中的重要地位，以及它们在工程实践中的应用。
精彩摘录
“矩阵分解是矩阵理论中的一个重要方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为 几个简单的矩阵的乘积。通过矩阵分解，我们可以简化计算过程，揭示矩阵的内 在结构，为解决实际问题提供便利。”这段话阐述了矩阵分解的重要性和应用， 体现了矩阵理论在解决实际问题中的灵活性和实用性。
Hermite二次型
如何建立判别方法
d1
1.设D
d2
,则D是正定的 di 0;
dn
2.若H阵A, B共轭合同，则 A正定 B正定；
d1
3.若H阵A与D
d2
共轭合同，则A正定 di 0。
dn
23
定理7
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价： 1.A是正定的； 2.A的特征值均大于零； 3.A与I共轭合同； 4.存在可逆阵P使得A PH P; 5.A的各顺序主子式均大于零。
标准形中的正项个数称为其正惯性指数， 负项个数称为其负惯性指数。
18
惯性定理 矩阵形式：
若H阵A与
a1
b1
1
a2
,
2
b2
an
bn
共轭合同，则a1, a2 , , an与b1, b2, , bn中正、负项
个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
19
规范形
如果 n n Hermite 矩阵 A 的正、负惯性指数 分别是 p, q ，则 A 必定与矩阵
Ip O O
O
Iq
O
O O O
共轭合同。称此矩阵为 A 的规范形。
20
共轭合同的充分必要条件
定理6：n nHermite矩阵A, B共轭合同
A, B有相同的正、负惯性指 数。
21
正定性
定义：设A是H阵，f ( X ) X H AX ,
若对X 0 ，f ( X 0 ) 0,
则称f 是正定的，A是正定的H阵。
U ( y1, y2, , ys ), V (x1, y2 , , xn )H
则
A
U
D O
O O
V
工程矩阵理论
双语国际教育版系统分析的数学工具——工程矩阵理论（适用于数学专业和其它理工科研究生）倪郁东编著合肥工业大学数学学院目录第一章线性空间与线性变换 1 §1.1 线性空间 1§1.2 线性变换及其矩阵 3§1.3 内积空间8§1.4 正交变换及其几何与代数特征§1.5 应用于小波变换的框架理论15 第二章矩阵的标准形理论§2.1 线性变换的特征值和特征向量29 §2.2 矩阵的相似对角化32 §2.3 特征矩阵的Smith标准形34 §2.4 矩阵的Jordan标准形34 §2.5 矩阵的最小多项式第三章矩阵分解29 §3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解29 §3.2 矩阵的QR分解32 §3.3 矩阵的满秩分解34 §3.4 矩阵的奇异值分解34§3.5 矩阵分解的应用第四章矩阵范数理论及其应用16 §4.1 范数与赋范线性空间§4.2 向量范数及其性质17 §4.3 矩阵的范数18 §4.4 范数的应用19 第五章矩阵分析及其应用20 §5.1 矩阵序列20 §5.2 矩阵级数21 §5.3 矩阵函数22 §5.4 矩阵的微分和积分25 §5.5 矩阵函数的一些应用26 §5.6 梯度分析和最优化27 第六章特征值估计及极性38 §6.1 特征值的估计38 §6.2 广义特征值问题40 §6.3 对称矩阵特征值的极性41 §6.4 广义特征值分析的应用42 第七章广义逆矩阵43 §7.1 投影矩阵43 §7.2 广义逆矩阵46 §7.3 总体最小二乘方法49第八章Matlab中的矩阵运算简介50 §8.1 基本矩阵运算50 §8.2 矩阵分解52 §8.3 广义逆矩阵和解线性系统54 参考文献57编著者说明1、体例格式为：知识要点，章节内容，各章习题。
3-2.埃尔米特二次形及若当标准型
Department of Mathematics
解:
(1)
0 i 1 x1 x1 , x2 , x3 −i 0 0 x2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 0 0 x3
i 1 + i x1 1 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 , x2 , x3 −i 0 1 x2 1 − i 1 2 x3
(1) (2)
f ( x1 , x2 , x3 ) = i x1 x2 + x1 x3 − ix1 x2 + x1 x3 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x1 + i x1 x2 + (1 + i ) x1 x3 − i x2 x1 + x2 x3 + (1 − i ) x3 x1 + x3 x1 + 2 x3 x3
f ( x) = xH Ax = y1 + y2 +L+ yp − yp+1 − yp+2 −L− yr
2 2 2 2 2 2
称为 f (x)的规范型
Department of Mathematics
写出下面Hermite二次型的 例1: 写出下面 二次型的 矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形 矩阵表达式 并用酉线性替换将其化为标准形. 并用酉线性替换将其化为标准形
由此可以看出:H-阵 的正 负惯性指数即为A 的正、 N 1 由此可以看出 I 阵A的正、负惯性指数即为 N1 p
其中: 其中
λ1 N1 =
O
我们记
Ip H A = N V1 − Ir− p 于是VV ∈ C n n×n ,且: 于是: 且 V = U N2 O I n− r
数学论文 Hermite矩阵与反Hermite矩阵
摘要Hermite矩阵是矩阵类中的一种特殊形式，它在矩阵理论中处于重要的地位，尤其是在酉空间、酉变换及复系数二次型的应用中起着主导的作用，它一方面是对实对称矩阵的推广，另一方面它在复矩阵的地位相当于实数在复数C的地位，复矩阵中的Hermite矩阵与实对称矩阵在其性质和证明方法上都十分的相似，本文主要从Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义、性质、基本定理和Hermite矩阵的正定性四个方面讨论Hermite矩阵和反Hermite矩阵.关键词：Hermite矩阵；反Hermite矩阵；正定性；酉矩阵.AbstractThe Hermite matrix forms a special class of matrices in matrix theory.It occupies an important position in the matrix theory and plays a leading role,especially in the unitary space,unitary transformation and the application of the quadratic form of coefficient of polytropy.On the one hand,it is the promotion of the real symmetric matrix ,on the other hand,the staues it occupies in the complex matrix comes up to the position that real number in the plural form C. In the nature and methods of proof ,Hermite matrices and real symmetric matrix are very similar. This article is concerned about the definition,nature,fundamental theorem of the Hemite matrix and anti-Hermite matrix and the positive definiteness of Hermite matrix.Key words：Hermite matrix;Anti-Hermite matrix;Positive definite;Unitary matrix目录一、引言 (01)二、Hermite矩阵和反Hermite矩阵的定义 (01)三、Hermite矩阵的性质定理（一）Hermite矩阵的性质 (02)（二）Hermite矩阵的定理 (02)（三）Hermite矩阵的正定性 (05)四、反Hermite矩阵的性质定理（一）反Hermite矩阵的性质 (14)（二）反Hermite矩阵的定理 (15)五、结论 (20)参考文献 (21)致谢 (22)Hermite 矩阵与反Hermite 矩阵一、引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可追溯到Sylvester 与Cayley ，特别是Cayley 1858年的工作.近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻到它们的根源，另一方面，随着计算机的广泛应用，矩阵理论在不断地发展，矩阵已成为处理数值问题的有力工具.作为数学的一个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内容，在数学以及其他科学技术领域都有十分重要的应用，如数值分析、最优化理论、运筹学与控制论、概率论与数理统计、力学、电学、信息科学、管理科学与工程技术等都与矩阵理论有着密切的关系.对称矩阵是一类非常重要的矩阵，近年来，在矩阵理论中，Hermite 矩阵的应用越来越广泛，对其研究也取得很大的进展.在复矩阵中，Hermite 矩阵实际上是实对称矩阵的推广，它在复矩阵中的地位相当于实数在复数中的地位，本文主要从Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义、性质，基本定理以及Hermite 矩阵正定性几个方面讨论Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵并给出了相关的证明，来加深对矩阵理论的理解，从而能更好地使用这些工具.二、Hermite 矩阵和反Hermite 矩阵的定义定义 1 设A 是一个n 阶复矩阵，即n n A C ´Î，H A 为A 的共轭转置，H A =A ， 则将称A 为Hermite 矩阵.若H A A =-，则称之为反Hermite 矩阵. 定义 2 设A 是一个n 阶Hermite 矩阵，若对于任一非零的n 维复向量X ，均有0H X AX >，则称A 为Hermite 正定矩阵.定义 3 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，若H H AA A A =，则称A 为正规矩阵.定义 4 设A 是一个n 阶复矩阵，H A 为A 的共轭转置，H H A A AA E ==，则将称A 为酉矩阵，它的行列式的绝对值等于1.三、Hermite 矩阵的性质定理（一）Hermite 矩阵的性质由Hermite 矩阵的定义可知，Hermite 矩阵具有如下简单的性质[][]12：（1）对所有n n A C ´Î，则H A A +，H AA 和H A A 都是Hermite 矩阵；（2）如果A 是Hermite 矩阵，则对正整数k ，k A 也是Hermite 矩阵；（3）如果A 是可逆Hermite 矩阵，则1A -也是Hermite 矩阵；（4）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则对实数k ，p ，kA pB +也是Hermite 矩阵；（5）如果A ，B 是Hermite 矩阵，则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB BA =；（6）A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n 阶方阵S ，H S AS 是Hermite 矩阵.（二）Hermite 矩阵的定理定理3-1 若A 是n 阶复矩阵，则A 是Hermite 矩阵的充分必要条件是对于任意n X C Î，H X AX 是实数；证明 必要性 因为H X AX 是数，所以()H X AX =()H H X AX =H H X A X =H X AX因此H X AX 是实数.充分性 因为对于任意X ，Y n C Î，H X AX ,H Y AY ，()()H X Y A X Y ++都是实数，而()()()()H H H H H H H X Y A X Y X Y A X Y X AX X AY Y AX Y AY ++=++=+++ 于是对任意X ，Y n C Î，H H X AY Y AX +是实数，令(,,,,,,)T j X =00100，(,,,,,,)T k Y =00100则H H X AY Y AX +=jk kj a a +是实数，这表明jk a 与kj a 的虚部值相等，但符号相反，即()()jk kj Im a Im a =-再令(,,,,,,)T j X i =0000，(,,,,,,)T k Y =00100其中i =H H X AY Y AX +=jk kj ia ia -+是实数，则jk a 与kj a 的实部相等，即()()jk kj Re a Re a =因此kj jk a a =，,,,,,j k n =123即A 是Hermite 矩阵. 定理3-2[]4（Hermite 矩阵的谱定理） 设n n A C ´Î是给定的，则A 是Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵n n U C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得H U AU =L 12(,,,)n diag l l l =，其中12,,,n l l l 均为实数，此外，A 是实Hermite 矩阵（即实对称的），当且仅当存在一个实正交矩阵n n P C ´Î和一个实对角矩阵n n C ´L ?，使得12(,,,)H n P AP diag l l l =L =，其中12,,,n l l l 均为实数.虽然Hermite 矩阵的实线性组合总是Hermite 矩阵，但它们的复线性组合就不一定是Hermite 矩阵，例如，如果A 是Hermite 矩阵，那么，只有当0A =时iA 才是Hermite 矩阵.另外，如果A 和B 是Hermite 矩阵，那()H H H AB B A BA ==，因此，AB 是Hermite 矩阵，当且仅当A 与B 可交换.定理3-3 设A 为n 阶Hermite 矩阵，则（ⅰ）A 是正规矩阵且所有特征值全是实数；（ⅱ）A 的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的.证明 （ⅰ）A 为n 阶Hermite 矩阵，由定理3-2可知A 必酉相似于实对角矩阵L ，即存在n 阶酉矩阵U ，使得H U AU =L其中L =12(,,,)n diag l l l ，(,,,)i i n l =12是A 的是特征值，且2H H A A A AA ==即A 是正规矩阵.设H A A =，l 为A 的特征值，非零向量a 为l 的特征向量，即A a l a =，H H A a a l a a =又()()H H H H A A A a a a a a a l a a ===所以H H l a a l a a =即 l l =所以l 为实数.（ⅱ）设l ，m 是A 的两个不同特征值，相应的特征向量分别为x ，y ，则Ax x l =，Ay y m =从而H H y Ax y x l =，H H x Ay x y m =因为A 是Hermite 矩阵，l ，m 均为实数，则H H y Ax y x m =于是()0H y x l m -=由于l m ¹，故x 与y 正交.定理3-4[]5（Hermite 矩阵的惯性定理） 设H 是n 阶Hermite 矩阵，则H （复）合同与0p q I A I 骣÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫=-， 而且p ,q 由H 唯一确定.其中A 称为H 的规范型，n I 表示n 阶单位矩阵，p ,q ，p q -分别称为H 的正惯性指数、负惯性指数和符号差.注：由惯性定理导出的Hermite 矩阵的正惯性指数、负惯性指数及符号差等，不仅是代数学中的重要内容，而且在几何学、物理学中都有许多重要的应用，构成几何对象及物理对象的“指标”或“守恒量” .下面讨论一下Hermite 矩阵的正定性.（三）Hermite 矩阵的正定性在讨论Hermite 矩阵的正定性之前，我们先来引入矩阵的UR 分解定理及其引理.矩阵UR 分解定理 设n n n A C ´Î，则A 可以唯一地分解为A UR =或11A RU =其中U ，1U n n U ´Î，R 是正线上三角阵，1R 是正线下三角阵。
高等代数第四章
§1 二次型及其矩阵表示教学目的: 使学生了解及掌握二次型及其矩阵的表示方法 重点: 矩阵的表示方法及矩阵合同关系 难点: 矩阵合同关系的性质 课时: 2学时 教学方法: 讲授法 教学内容:一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在数域P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式)1(222),,,(2222222112112211121nnn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f ++++++++= 称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义1 设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,, (2)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式≠ij c ,那么线性替换(2)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令.,j i a a ji ij <=由于,i j j i x x x x =所以二次型(1)可写成)3(),,,(11222112222221221112112211121∑∑===++++++++++++=ni nj ji ij n nn n n n n nn nn n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f把(3)的系数排成一个n n ⨯矩阵,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为,,,2,1,,n j i a a ji ij ==所以A A ='把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令()()∑∑===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='ni nj ji ij n nn n n n n n n n n nn n n n n n x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x a a a a a a a a a x x x AX X 11221122221211212111212121222211121121,,,,,,或AX X x x x f n '=),,,(21应该看到二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ija a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且B B A A ='=',,则B A =.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C21212222111211,,于是线性替换（4）可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者CY X =.经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系.设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 (7)是一个二次型，作非退化线性替换CY X = (8)得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ' ，例1 试写出2211ni ji i j nxx x =≤< ≤+∑∑的矩阵解:111122211112221111222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例2写出11211(,,,)n n i i i f x x x ix x -+==∑ 的矩阵解:122334123(1)n n f x x x x x x n x x -=++++-∴100212022202102102A n n ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭例3写出222121211n n n n n x x x x x x x ---+++++ 的矩阵解:(21)(21)121211212n n n n A -⨯-→⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行列二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A 与B 的关系. 把（8）代入（7），有.)()()(),,,(21BY Y Y AC C Y ACYC Y CY A CY AX X x x x f n '=''=''='='=易看出，矩阵AC C '也是对称的，由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵的关系。
矩阵论第一章6
证 由 ( A A ) = AH A 知 AH A是Hermite阵.
为证Rank(AHA)=r，只需证明方程组AHAx=0与 Ax=0 同解即可. 显然，Ax=0的解都是AHAx=0的解.
H 反之，若x0为AHAx=0的解，即 A Ax0 = 0,
则 x A Ax0 = ( Ax0 ) Ax0 = 0, 即 Ax0 = 0.
4
一、Hermite二次型
例1 复二次型
f ( x , x , x ) = ix x + x x − i x x + x x
1 2 3 1 2 1 3 2 1 3 1
的系数阵为
0 i 1 A = −i 0 0 1 0 0
显然满足AH=A,即为Hermite矩阵.化标准形的方法 同化正规矩阵对角化的方法。略 注：与写实二次型矩阵略有不同
2
一、Hermite二次型的正定性
定理1 n阶Hermite阵A的n个特征值全为实数, 且 不同特征值的特征向量必正交. 证明 (前部分上节已证,只证后部分) 设 λi , λ j 是A的两个不同特征值,α i , α j 是其相应 的特征向量, 即
H
Aαi = λiαi , Aα j = λ jα j
注 Hermite矩阵A负定的充要条件是-A是正定的， A的各阶顺序主子式满足：
( −1)
k
a11 L a1k M M
ak 1 L akk
M > 0 ( k = 1, 2,L , n )
9
二、Hermite二次型的正定性
例2 设A是n阶正定Hermite阵, 则 A , A , adjA
T −1
都是正定Hermite阵. 证明 设A = aij , aij = a ji ,即A = A.
第8讲Hermit二次型
矩阵论
i i 1 + x2 x3 + x3 x1 − x3 x2 + x3 x3 2 2 3 6 2 3
i
求酉变换 X = PY ，把该二次型化为标准型. 解： 二次型对应的矩阵为
⎛ 1 ⎜ 3 ⎜ 1 ⎜ A = ⎜− ⎜ 3 2 ⎜ i ⎜ ⎝ 6 − 1 3 2 1 6 i − 2 3 − i ⎞ ⎟ 6⎟ i ⎟ ⎟ 2 3⎟ 1 ⎟ 2 ⎟ ⎠
12
矩阵论
A 定理3.8 设 A 是正规矩阵， 是Hermite矩阵 的充分必要条件是 A 的特征值均为实数. 证明：必要性 因 A 是正规矩阵，存在酉矩阵 P
P AP=diag(λ,λ2, ,λn) 使 1 又 A 是hermite矩阵，则有 AH = A (PH AP)H = [diag(λ1, λ2 , , λn )]H PH AH P = diag(λ1, λ2 , , λn ) 于是有 比较可得 λi = λi (i = 1, 2, , n) 即 λ , λ , , λ 均为实数. 充分性 设正规矩阵 A 的特征值均为实数， H A= AAH A
其中 r ≤ n 是 f 的秩，称为 f = X H AX 的规范型.
西安理工大学
5
矩阵论
定理3.2
在埃尔米特二次型的规范型中，
正、负项的个数与满秩线性变换的选择无关. 其中正项的个数称为正惯性指数，记 S 负项的个数称为负惯性指数，记为 N S − N 称为符号差.此定理称为惯性定理.证明略 定理3.3 Hermite矩阵的特征值是实数. 证明：
西安理工大学
10
矩阵论
§3.2 正规矩阵及Hermite二次型的标准型 正规矩阵
A∈Cn×n，如果n阶复矩阵 A 满足 AH A= AAH 定义3.7设
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
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主讲: 张小向
第四章 Hermite二次型
第一节 Hermite阵, 正规阵 第二节 Hermite二次型
第三节 Rayleigh商
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
§4.1 Hermite阵, 正规阵 一. Hermite阵 定义4.1.1 设A = (aij)nn为复n阶矩阵, X = (x1, x2, …, xn)T为复n维列向量. 若AH = A, 则称A为Hermite阵, 简称为H阵. 若A为Hermite阵, 则称 f(X) = XHAX =
x1 1 令 x2 = 0 x3 0
i1 63i 1 1+3i 0 1
y1 y2 , y3
则 f = | y1|2 + | y2|2 13| y3|2. 注: 若进一步令 y1 = z1, y2 = z2, y3 = 则 f = |z1|2 + |z2|2 |z3|2.
1 z , 3 13
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.5 设A为n阶方阵, 则 A是正规阵 X n, 有||AX|| = ||AHX||. 证明: ()若A为正规阵, 则 ||AX||2 = (AX)H(AX) = XHAHAX = XHAAHX = (AHX)H(AHX) = ||AHX||2. 因而||AX|| = ||AHX||.
(4) A为Hermite阵. 证明: (3)(4)令AH A = M = (mij)nn, 则mkk = ekHMek = 0 (k = 1, 2, …, n).
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
对于任意的1 k l n, mkl + mlk = (ek+el)HM(ek+el) = 0, i(mkl mlk) = (ek+iel)HM(ek+iel) = 0, 由此可得mkl = 0, 因而AH A = M = (mij)nn = O, 即AH = A. 注② “实Hermite阵” = “实对称阵”.
注意到齐次线性方程组
g11y1 + g12y2 + … + g1nyn = 0 = z1 … gq1y1 + gq2y2 + … + gqnyn = 0 = zq yp+1 = 0 … yn = 0
中, 方程的个数 < 未知数的个数, 故有非零解.
假设p > q
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
当A为Hermite阵时, 对于任意的k = 1, 2, …, n, 令X = Cek, 则dk = ekHDek = XHAX .
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
注② 根据定理4.1.1, Hermite阵A必酉相似于实对角阵, 即存在酉矩阵U使得UHAU为实对角阵. 可见Hermite阵必共轭合同于实对角阵. 定理4.2.1 对于任意的Hermite二次型 f(X) = XHAX, f 其中AH = A, X = (x1, x2, …, xn)T, 的 存在可逆线性变换X = CY使得 标 f(X) = d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2, 准 形 其中d1, d2, …, dn全为实数.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
推论4.1.1 正规阵A的特征子空间相互正交. 证明: 根据定理4.1.4,存在酉矩阵U使得 UHAU = 为对角阵. 令U = (1, 2, …, n), = diag(1, 2, …, n), 则i为A的对应于特征值i的特征向量, 而且1, 2, …, n两两正交. 因而A的特征子空间相互正交.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
0 2+i (i2) 1 1i 2+i (1i) 1 0 1 13i 1+i 3 0 2 2i 3i1 2 2 i 0 A 1 i 1 = 0 0 1 0 I 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
(i1)
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
同时, 由 [A(ek+iel)]H[A(ek+iel)] = ||A(ek+iel)||2 = ||AH(ek+iel)||2 = [AH(ek+iel)]H[AH(ek+iel)] 可得 iekH(AHAAAH)el ielH(AHAAAH)ek = 0. 进而有ekH(AHAAAH)el = 0. 综上可得AHAAAH = O, 即AHA = AAH.
1i,jn
aijxixj
为Hermite二次型.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注① 对于f(X) = XHAX, 下列条件等价: (1) f(X) (X n); (2) (XHAX)H = XHAX (X n); (3) XH(AH A)X = 0 (X n);
将一组非零解代入下面的等式 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2, =
>0
f(X) =
=0
|z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2.
=0 0
得矛盾, 故p q. 同理可证q p. 因而p = q.
第四章 Hermite二次型
t 令T = 0 T 为n阶上三角正规阵, 1
则由THT = TTH可得 |t|2 = |t|2 + H 且 T1HT1 = T1T1H. 故 = 0 且 T1为对角阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.4 A酉相似于对角阵 A是正规阵. 证明: ()设U为酉矩阵, UHAU = 为对角阵. 则A = UUH, AHA = (UUH)H(UUH) = (UHUH)(UUH) = UHUH = UHUH = (UUH)(UHUH) = AAH. 可见A为正规阵.
注② 若A为酉矩阵, 则AHA = I = AAH. 可见酉矩阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注③上三角的正规阵T必为对角阵. 证明: (1)一阶上三角阵T是对角阵. (2)当n > 1时, 设n1阶上三角的正规阵是对角阵. 下面证明n阶上三角正规阵也是.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
例1 求可逆线性变换把Hermite二次型 f(x1, x2, x3) = |x1|2 + (1i)x1x2 + (2+i)x1x3 + (1+i)x1x2 + 3|x2|2 + (2i)x1x3 + 2|x3|2 化为标准形.
1 解: f 的矩阵A = 1+i 2 i 1 i 3 0 2+i 0 . 2
定理4.1.3 Hermite阵不同特征值对应的特征 向量必正交.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
二. 正规阵 定义4.1.2 若复矩阵A 满足AHA = AAH, 则称A为正规阵(normal matrix).
注① 若A为Hermite阵, 则AH = A, 于是AHA = A2 = AAH. 可见Hermite阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()①对于任意的k = 1, 2, …, n, ekHAHAek = (Aek)H(Aek) = ||Aek||2 = ||AHek||2 = (AHek)H(AHek) = ekHAAHek. 可见AHA与AAH的主对角元对应相等. ②对于任意的1 k l n, 由 [A(ek+el)]H[A(ek+el)] = ||A(ek+el)||2 = ||AH(ek+el)||2 = [AH(ek+el)]H[AH(ek+el)] 可得 ekH(AHAAAH)el + elH(AHAAAH)ek = 0.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.1 Hermite阵必酉相似于实对角阵. 证明: 设AH = A. 根据Schur引理, 存在酉矩阵U以及上三角矩阵T使得 UHAU = T. 于是有TH = UHAHU = UHAU = T. 可见T为实对角阵.
定理4.1.2 Hermite阵的特征值全为实数.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
定理4.2.2 (惯性定理) Hermite二次型的标准形中, 系数为正数的项数以及 系数为负数的项数都是唯一的.
证明: 设 f(X) = XHAX, 其中AH = A, r(A) = r, 则 f(X)的标准形中系数非零的项数为r. 而且可以进一步把标准形中正系数 化为1, 负系数化为1.
由DZ = X = CY得Z = D1CY.
g11 g21 1 设D C = … g n1 g12 … g1n g22 … g2n …… … ,则 gn2 … gnn
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
z1 = g11y1 + g12y2 + … + g1nyn , z2 = g21y1 + g22y2 + … + g2nyn , 1CY Z = D …, zn = gn1y1 + gn2y2 + … + gnnyn .