数学文化第五讲幻方
《幻方》教学课件
反射对称法
将奇数阶幻方反射后得到 偶数阶幻方。
递推构造法
通过已知的低阶幻方推导 出高阶幻方，常用的递推 关系有菲波那契数列等。
运用编程语言实现幻方构造
Python实现
使用Python的列表操作 和循环语句实现幻方的构 造。
Java实现
使用Java的数组和循环语 句实现幻方的构造。
C实现
使用C的数组和循环语句 实现幻方的构造。
幻方学习的重要性
幻方是一种具有独特魅力的数学游戏，通过学习可以帮助学生 提高数学兴趣和思维能力。
学习内容回顾
在幻方的学习过程中，学生需要掌握基本的数学原理和方法，如 对称性、组合数学等。
学习收获
通过幻方学习，学生可以提高观察力、逻辑思维和空间想象力等 多方面的能力。
对于幻方研究的展望与建议
深入探究
伪代码描述
给出算法的伪代码描述，以清晰简洁地表达算法 的实现细节。
算法复杂度分析
对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，说 明算法的效率及可行性。
优化与改进
算法优化
针对现有算法的不足之处，提出相应的优化策略和改进方案，提 高算法的效率和性能。
优化实例
通过具体实例，演示优化后的算法相比原算法的优势和特点。
《幻方》教学课件
2023-11-02
目录
• 幻方简介 • 幻方的基本构造方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的计算机实现 • 幻方在实践中的应用 • 总结与展望
01 幻方简介
幻方的定义
幻方是一种将n×n个数字排列成一个正方形，使每行、每列 和对角线上的数字之和均相等，具有神秘色彩的组合图形。
幻方最初由古希腊数学家费尔南德斯发现，被认为是数学与 艺术的完美结合。
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
趣味数学-幻方
三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
49 2 35 7 8 16
276+951+438= 1665 672+159+834= 1665
2762+9512+4382= 1172421 6722+1592+8342= 1172421
4）每列看成的三位数和 =它逆转之后的三位数。
5）每列看成的三位数的平方和 =它逆转之后的三位数平方和
行也成立
3、探究幻方的规律（3）：
24-8-7=9
10 9 5
24-9-5=10 24-10-8=6
本课小结
每行、每列、对角线上的三个数的和都相 等方格，叫“幻方”。 所有行、列、对角线上的数之和均为15。 偶数位于角上；奇数在中间。
5位于中心点，相对的两个端点数和为10。
49 2 35 7 8 16
357+753= 1100 951+159= 1100
456+654= 1100 852+258= 11700
6）每列每行每一条对角线上看成的三位数 和它逆转之后的三位数之和相等。
（7）幻和=九个数之和÷3， （8）中间数=幻和÷3. （9）C=(A+B)÷2 （如右图）
13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
幻方
分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好，最后做如下交换：
○1 B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换
○2 D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素 交换
○3 交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)
心得与体会
生活经验
学习经验与体会
这次研究让我们意识到，在生活 中，要有不怕困难，迎难而上的 心理。只要肯探索肯定会成功。
完成了本次的综合实践活动，我体会 到了团队合作的的重要性。若这次活 动没有团队成员的贡献，我想，如果 只有我一个人也许不会很快就解决问 题的。
*（^-^） *
幻方
——课题研究报告
一、幻方的历史
二、幻方的定义
三、研究幻方
三阶
四阶
四、得出结论：幻方的构五造阶方法 五、研究成果展示
六、心得与体会
目录
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代 数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2,这n2个自 然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种巧 妙的性质：在各种几何形状的表上排列适当的数字，对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或 积都是完全相同的。
2. 偶数阶
n=4×m+2, m为自然数
1) 将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列： B C D A
∵n×n=4×(2×m+1) ×(2×m+1), ∴u= n=2×m+1,分为 1~u×u2,u×u+1~2×u×u,2×u×u+1~3×u×u,3×u×u+1~4×u×u
(完整版)趣味数学-幻方
13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
对角线和=34
=40 =36 =32 =28
少6 少2 多2 多6
根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个魔中师心, 点 4个我数可和是= 3有4 魔法的
现在我们来指引 24.个数每数字中你列和2心们的和=点去数334与相字把谁对每和关行相于等
3.数字5和9谁关于 中心点相对
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
归位
5：如何填幻方（幻方的构成） 2）三阶幻方构成方法之二 画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方，作为一种具有神秘色彩的数学游戏，一直以来都吸引着人们的注意。
它的定义和规律引发了许多学者的思考和研究。
在这篇文章中，我们将深入探讨幻方的定义和规律，揭示其中的奥秘。
我们需要了解什么是幻方。
幻方是由一组整数构成的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
也就是说，幻方是一个特殊的方阵，在数值上呈现出一种平衡和对称的特性。
幻方的规律是如何产生的呢？首先，我们需要明确一个概念——幻方的阶数。
幻方的阶数表示方阵的行数和列数，通常用n表示。
根据幻方的定义，我们知道每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等，所以我们可以推断出幻方的和是多少，即n乘以每个数的平均值。
以3阶幻方为例，我们可以通过数学推导得到。
假设幻方的和为S，根据定义，每一行、每一列和对角线上的数字之和都等于S。
那么，我们可以得到以下等式：3S = n * (n^2 + 1) / 2。
通过解方程，我们可以求解出S的值。
幻方的规律还表现在数字的排列上。
对于奇阶幻方来说，数字的排列是相对简单的，可以利用一种叫做"奇序法"的方法来构造。
奇序法的基本思想是，将数字按照一定的规则填充到方阵中。
具体的规则是，从第一行的中间列开始，依次填充数字，每次向右上方移动一格。
当超出方阵边界时，需要按照特定的规则进行处理。
通过这种方法，我们可以构造出任意奇阶幻方。
对于偶阶幻方来说，数字的排列就更加复杂了。
由于偶数无法平分为两个相等的整数，所以无法使用奇序法来构造。
但是，通过一些特殊的技巧和方法，我们仍然可以构造出偶阶幻方。
其中最著名的就是四阶幻方，也被称为"洛伊斯四阶幻方"。
洛伊斯四阶幻方是由德国数学家洛伊斯于1848年发现的，它的构造方法相当巧妙。
除了基本的规律之外，幻方还有一些更加深奥的特性。
例如，幻方的对角线之和等于方阵中所有数字之和的一半。
这是一种非常有趣的性质，也是幻方研究中的一个重要发现。
幻方知识点总结
幻方知识点总结一、幻方的定义。
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
例如，一个简单的三阶幻方（3×3的方格）：begin{array}{ccc}hline8 1 6 hline3 5 7 hline4 9 2 hlineend{array}这里每行、每列和两条对角线上的数字之和都是15。
二、幻方的阶数。
1. 阶数的概念。
- 幻方的阶数是指幻方的行数（或列数），用n表示。
常见的有三阶幻方（n = 3）、四阶幻方（n=4）等。
2. 不同阶数幻方的特点。
- 三阶幻方。
- 是最基本、最常见的幻方。
它的数字组合相对固定，中心数字具有特殊性质。
在三阶幻方中，中心数字是这9个数字的平均数。
例如在上面的三阶幻方中，数字是1 - 9，它们的平均数是5，正好是中心数字。
- 四阶幻方。
- 构造相对复杂一些。
四阶幻方的幻和（每行、每列、对角线数字之和）计算为：(1 + 2+3+·s+16)÷4=(16×(16 + 1)÷2)÷4= 34。
三、幻方的构造方法。
1. 奇数阶幻方（以三阶幻方为例）——罗伯法。
- 把1（或最小的数）放在第一行正中。
- 按以下规律排列剩下的数：- 每一个数放在前一个数的右上一格。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
- 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了顶行和右列，那么就把这个数放在前一个数的下一行同一列的格内。
2. 偶数阶幻方（以四阶幻方为例）——对称交换法。
- 先将1 - 16按顺序填入4×4的方格中。
- 然后将对角线上的数字（从左上角到右下角和从右上角到左下角）进行对称交换。
例如，交换1和16，4和13，6和11，7和10，就可以得到一个四阶幻方。
幻方的规律和求法
幻方的规律和求法幻方的规律和求法：幻方可是个神奇的存在呀！简单来说，就是在一个正方形格子里，填上一些数字，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
我们可以把幻方想象成一个数字的大舞台，每个数字都像是一位演员，它们要在这个舞台上找到自己的位置，共同演绎出神奇的规律。
那些格子就像是演员们的站位，必须恰到好处，才能呈现出完美的表演。
比如说三阶幻方，就像是一个小型的数字音乐会，九个数字要在九个位置上完美配合，奏响和谐的数字乐章。
那幻方是怎么做到让每行、每列和对角线的数字和都相等的呢？这就像是一场精心编排的舞蹈，每个数字都要准确无误地迈出自己的舞步。
以三阶幻方为例，中间的数字就像是领舞的主角，它的位置至关重要。
其他数字则像是伴舞，围绕着中间数字旋转跳跃。
它们之间有着一种微妙的平衡和协调，就像一个默契十足的舞蹈团队。
我们来看看具体的规律。
首先，幻方中每行、每列和对角线上的数字之和是一个固定值，这个值是所有数字总和的三分之一。
比如三阶幻方，1 到9 这九个数字的总和是 45，那么每行、每列和对角线的和就是 15。
这就好像是一场比赛，每个队伍的目标总分是确定的，数字们要努力去达到这个目标。
其次，中间位置的数字有着特殊的地位，它往往是一个关键的平衡点。
而且，相对的两个数字之和通常等于另外两个相对数字之和，就像两队选手在进行拔河比赛，力量要保持平衡。
为了让大家更好地理解，我们来看一个具体的三阶幻方例子：4 9 23 5 78 1 6在这里，每行、每列和对角线的和都是 15。
4 和 6、9 和 1、2 和 8 等相对数字之和都是 10，是不是很神奇呢？幻方在生活中也有不少应用呢！比如在建筑设计中，一些古老的建筑可能会运用幻方的原理来布局，以求达到某种平衡和和谐。
在数学研究中，幻方更是一个重要的领域，数学家们不断探索着更复杂、更奇妙的幻方。
总之，幻方就像是一个隐藏在数字世界里的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它的规律既神奇又有趣，让我们感受到了数字的魅力和魔力。
小学数学幻方课件
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March算数学认识幻方1.幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。
宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
所谓纵横图，它是由1到2n,这2n个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
2.幻方的起源我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...3.幻方的历史发展幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
数学文化第五讲幻方
120 117
135 123
114 129
4 3
9 5
2 7
132
111
126
8
1
6
（4）将幻方对角线上的数全部圈起来，再从外向里用方 框框上，则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41 又分别构成三阶幻方。
31 22 67 30 21 66 35 26 71
76 40 4 75 39 3 80 44 8
33 51 29 71
67
17 47
8、和、积幻方（也叫加—乘幻方）
162
105 92 57 58
207
152 27 30 75
51
100 91 174 171
26
29 136 225 90
133
138 45 108 17
120
243 38 23 52
116
39 150 119 216
25
34 261 104 161
81 45 9 77 41 5 73 37 1
18 63 54 14 59 50 10 55 46
29 20 65 34 25 70 33 24 69
74 38 2 79 43 7 78 42 6
11 56 47 16 61 52 15 60 51
该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。 2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
1 11 21 31 41 51 61 71 81
8 77 69 39 33 59 29 37 18
44 78 63 67 25 47 3 28 14
34 26 46 55 17 75 76 16 24
数学 幻方知识点
数学幻方知识点一、知识概述《幻方知识点》①基本定义：幻方就是一个正方形的数阵。
在这个数阵里，横着每行数字加起来的和、竖着每列数字加起来的和以及两条对角线上数字加起来的和，都相等。
比如一个3×3的幻方，就像一个九宫格，给每个格子里填上不同的数，满足刚刚说的这些和相等的条件。
②重要程度：幻方在数学里算是比较有趣又有挑战性的一部分。
它能锻炼咱们对数字的感觉和计算能力，还能加深对数字规律的理解。
而且它和一些更高级的数学知识也有点联系，算入门数学里比较独特的一块。
③前置知识：首先要对基本的加法运算特别熟练，得能快速准确地算出一些数字的和。
另外，对数字顺序得很熟悉，比如说1到9这些自然数的顺序。
还有就是对数阵这个概念得有点概念，知道行列是怎么回事。
④应用价值：幻方可不光是在纸上玩玩数字游戏。
在编程里，特别是设计算法的时候能涉及到幻方的原理，像是怎么让程序快速找到满足幻方规则的数字组合。
而且从研究数字规律的角度看，幻方里藏着不少数学奥秘，可能对密码学之类的可以提供一些思路。
二、知识体系①知识图谱：幻方在数学里属于数字规律探索这个分支里的。
算是一种特殊的数字组合现象，不是像四则运算那样基础，但在探索数字多种组合奥秘这一块是很有代表性的。
②关联知识：和加法运算有着直接联系，因为都是靠加法来确定幻方的和是否相等的。
和数列也有点关系，幻方里每行每列的数字可以看成是一个特殊的数列。
③重难点分析：难点就是找到那一套满足幻方条件的数字组合，特别是幻方规格大一些的时候，像5×5，7×7的幻方就更难了。
重点是要清楚幻方的定义和确定幻方和的计算方法。
④考点分析：在考试里，如果是数学竞赛可能会碰到幻方的题目。
一般会考查你能不能找到幻方的缺失数字，或者判断一组数字能否组成幻方，考查方式就是给你个残缺的幻方或者一组数字，让你按幻方的规则去处理。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：幻方核心就是它的数字组合满足特定的和相等的条件。
幻方
• 相传在公元前23世纪大禹治水的时候，在 黄河支流洛水中，浮现出一个 大乌龟，甲 上背有9种花点的图案，人们将图案中的花 点数了一下，竞惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排列也相当奇 妙，后来人们就称这个图案为洛书。 • 洛书给出的9个数所排成的方阵具有绝妙的 性质，横的3行、纵的3列以及两对角线上 各自的数字之和都为15。
幻
方
• • • • •
幻方的定义 幻方的历史 奇阶幻方 偶阶幻方 幻方的神奇
• 幻方又称为魔方，它是由1到n的平方,这n 的平方个自然数按照一定的规律排列成N行、 N列的一个方阵。 • 它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状 的表上排列适当的数字，如果对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条 路线，最后得到的和都是完全相同的 • 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。
4
9
2
8
5
1
7
6
• 人们因它的性质之独特而大感兴趣，对其 进行了多方面的研究。我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书，把图２叫“九宫算”， 又叫九宫图，宋朝数学家杨辉把类似于 “九宫图”的图形叫“纵横图”，国外数 学家把它叫做“幻方”。
• 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
13 21 1 19 25 2 20
14 22
15
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12 9
8
3 2
5
双偶数阶幻方的编排方法 --------中心对称交换法
幻方定义和规律
幻方定义和规律幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
在幻方中，每个格子都填有不同的数字，而且每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
这种特殊性使幻方成为了数学界的研究热点之一。
幻方的定义非常简单，即一个n阶幻方就是一个n×n的方阵，其中每个格子中填有1到n²之间的不同整数。
对于奇数阶的幻方，填数字的规则是从第一行的中间开始，依次向右上方填充；对于偶数阶的幻方，则是从第一行的左边开始，依次向右上方填充。
幻方的规律和性质也是数学家们感兴趣的研究方向之一。
幻方的最基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等，这个相等的和被称为幻方的“幻和”。
这个幻和的计算方法是将1到n²的所有数字相加，然后除以n，即(n × (n² + 1)) / 2。
除了这个基本规律外，幻方还有一些其他的规律。
例如，对于奇数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的；而对于偶数阶幻方，每个数字在整个幻方中所出现的次数都是相等的，除了中心数字出现的次数为2。
另一个有趣的幻方规律是对称性。
幻方通常具有不同的对称性，包括水平对称、垂直对称和对角线对称。
这些对称性可以通过幻方的排列方式来实现，使得整个幻方看起来更加美观。
幻方还有一些特殊的性质和变种。
例如，拉丁方是一种特殊的幻方，其中每行和每列都包含1到n的所有数字，且每个数字只出现一次。
还有一种称为魔方的幻方，其中除了每行、每列和对角线的和相等外，每个小正方形的四个角的和也相等。
幻方不仅仅是数学的研究对象，还有一些应用价值。
例如，在密码学中，幻方可以用于生成随机数或者加密信息。
在游戏设计中，幻方可以用作谜题或者解谜的元素。
总结一下，幻方是一种特殊的方阵，具有独特的数学规律和定义。
它的基本规律是每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
幻方还具有对称性和其他特殊的性质和变种。
幻方不仅是数学的研究对象，还有一些实际应用。
通过研究和探索幻方，我们可以进一步了解数学的奥秘和美妙。
幻方的资料以及知识点
幻方的资料以及知识点Magic square is a square grid filled with distinct positive integers in a way that the sum of the numbers in each row, column, and diagonalis the same. This sum is called the magic constant. 幻方是一个填满不同正整数的正方形网格，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相同。
这个和被称为幻数。
The concept of magic square dates back thousands of years, with evidence of their existence in ancient Chinese, Indian, and Arab cultures. 幻方的概念可以追溯数千年前，早在古代中国、印度和阿拉伯文化中就有幻方的存在。
There are different types of magic squares, depending on the orderor size of the square. The most well-known type is the 3x3 magic square, where numbers 1 to 9 are used. 根据幻方的阶数或大小有不同类型的幻方。
最著名的是3x3幻方，其中使用数字1到9。
Creating a magic square is not an easy task and usually requires mathematical calculations and patterns. However, once a magic square is understood and deciphered, it can be a fascinating andfulfilling puzzle to solve. 制作一个幻方不是一件容易的事情，通常需要数学计算和模式。
幻方的基本原理
幻方的基本原理幻方的基本原理幻方是以三角数据学思想诞生的一种游戏，它利用结构、色彩和几何图形之间的关联来解决问题。
它不仅是一个可玩的游戏，也可用于教学，激发孩子的兴趣，集中注意力，帮助他们更好地理解数学知识。
本文将简要介绍幻方的基本原理，提供对幻方的基础理解。
第一步：幻方的结构一个完整的幻方以7×7的格式组成，围绕着7个团圆洞。
其中有7个3×3的子方格，每个子方格有4个单元格，单元格上可以装载相应的物件，并使用颜色来区分不同的类型。
每个团圆洞会有一个中心，这个中心一般叫做一角，可以在每个团圆洞围绕四周的四个单元格装载物件，用来完成一个完整的方格结构。
第二步：幻方的逻辑要求每个团圆洞中装载的物件必须按照一定的规律排列，也就是在幻方的限制条件下，起始项和目标项之间的数量差距应当是恒定的。
比如，在7×7的方格结构中，相邻的单元格中装载的物件之间的差距必须为7个，而相隔两个单元格时，物件的差距则必须为14个。
第三步：幻方的色彩在完成物件之间的数量差距之后，就可以利用色彩来区分物件的类型了。
常见的色彩包括红色、黄色、蓝色和绿色，每个颜色代表不同类别的物体，如令牌、飞碟、棋子和球等。
这样，结合颜色来标识物件，就可以完成整个幻方的搭建过程。
第四步：幻方的解决方法当完成幻方的装载过程之后，就可以开始解决这个幻方了。
解决幻方的一般思路就是把物件从起始单元格移动到指定的目标单元格，不可以弃用任何一个物件，直到把所有物件放置到指定的单元格中为止。
在操作的过程中，还要注意每种颜色物件装载的数量是恒定的，以此来保证数量的一致性。
以上就是幻方的基本原理，比较完整地介绍了幻方的结构、逻辑要求、装载物件和解决方法，希望能够对大家有所帮助。
幻方是一个很简单而又很有趣的游戏，它不仅可以让孩子们掌握数学的基础知识，也可以锻炼他们的思维能力。
【强烈推荐】沪教版二年级数学上册教案《幻方》
沪教版二年级数学上册教案《幻方》浦东新区康桥小学黄伊然【教材分析】《幻方》是沪教版二年级第一学期整理与提高的教学内容，本课主要是让学生了解幻方的起源，初步认识幻方，探索幻方的规律，并能运用规律求出幻方中的缺数。
【学情分析】对于二年级的学生他们已经学会百以内数的计算，教师创设“夏禹与龟”的情境，让学生简单了解幻方历史的同时激起学生对中国古代数学文化的兴趣。
在认识幻方时，通过教师的引导，使学生发现龟背上的图案表示几个不同的数，进而把洛书转变为九宫格。
学生是学习的小主人，为了让他们对幻方的特征有更真切的体验，教师把学习的主动权交给了学生，让学生通过独立观察、计算、讨论等一系列有效的活动，亲自发现数学知识内在的神奇奥秘。
【教学目标】1、对幻方有初步了解，知道幻方每行每列对角线和相等，三阶幻方有三行三列，每行，每列及每条对角线和为15。
中心数是5，两头凑十。
四个角是双数。
2、能根据幻方的规律来判断幻方，并能将不完整的幻填写完整。
3、了解数学知识背后的文化，激发对数学学习的热情。
【教学重难点】1、初步认识幻方，发现幻方的规律和特征。
2、运用幻方的特征,判断一个九宫格是不是幻方，填缺数。
【学具准备】多媒体课件，学习单【教学过程】一、创设情境，激趣导入1、听故事“夏禹与龟”2、认识洛书和九宫格3、出示课题：幻方【设计意图】导入部分教师采用了创设情境的方法，通过听故事激起学生学习的兴趣，进而认识洛书和九宫格并引出课题。
二、探究学习，合作研讨（一）初步探究幻方的秘密出示1个幻方：1、观察数字特点：1、2、3、4、5、6、7、8、9不重复2、算一算每行，每列，每条对角线的和。
3、归纳：每行，每列，每条对角线的和都是15。
4、初步判断幻方5、评价：理解星（我会判断幻方）（二）深入探究幻方的秘密1、观察幻方，发现规律（出示4个幻方）（1）同桌讨论（2）交流反馈2、评价：探究星（我找到了幻方的小秘密）【设计意图】 在整个探究环节分为初步探究和深入探究两个部分。
数学幻方
（二）由四阶幻方造法推广得到偶数阶幻方的造法，因为偶数阶自然方阵中各行、各列之和成等差关系，由于n是偶数故可得一个左右对称的和（若以上下各数之和来讨论，也可以得到上下对称的结果），且两对角线的和恰等于魔数，所以可以利用行与行、列与列（对称于中心轴）的互换而造出幻方。
（2）每一行中ｎ个数之和，共得ｎ个和；
（3）每一对角在线ｎ个数之和，共得两个和。
此每一个和称为魔数= 。
（一）由计算机测试的结果知道，二阶幻方不存在，当阶数由三阶增至四阶时，幻方个数由8个增至7040个，可见幻方数目增加得十分快速。
(二)(1)奇数阶幻方的建构法，中西方都有不同的成就，最著名的有杨辉法和达拉卢庇法，以下依序说明：
如图5排列成方阵；
第二步：如图6，画斜线；
第三部：如图7，将图2中得到的正
方形外四角的数字（1、2、6），（4、5、10）；
（16、21、22），和（20、24、25）分别向
斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1
和25交换，2和20交换，6和24交换，
5和21交换，4和16交换，10和22交换
填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。
在我十来年的数学教育教学中，每当学生接触到幻方时，他们都对幻方近乎着迷，为大千数学世界中的这些毫不起眼的数字而折服。于是通过我自己的教学不断总结，下面对幻方的小诀窍予以说明。
奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：
比如三阶幻方（九宫幻方）：
具体可以概括为以下几步：
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（2）任何一个元素，通过一定的四则运算它们个个可以 变成6174。
207
109
179
137
17 37 397 67
307 157 107 227
127 277 257 137
347 47 37 367 尾数全是7，幻和 为798。
4、黑洞数幻方
1341 1791 1476 1566
1836 1206 1701 1431
1611 1521 1746 1296
1386 1656 1251 1881
数学文化的起源——
幻方
一、幻方基本知识
1、从河洛文化说起
相传，在上古伏羲时代，洛 阳东北孟津县境内的黄河里跃出 一匹龙马，背上驮了一幅图，上 面有黑白点55个，用直线连成10 数献给伏羲。后人称之为河图， 伏羲依此而演绎成八卦，后为 《周易》来源。
又传，大禹治水时，有灵龟自洛水出，背上排列成 “带九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中央” 的图形，献给大禹，后人称之为洛书。大禹依此治水成功， 遂划天下为九州。又依此定“九章大法”治理社会，流传 下来收入《尚书》中，名为《洪范》。在中国历史中，
31 81 11 21 41 61 71 1 51
49 9 65 57 41 25 17 73 33
40 45 38 39 41 43 44 37 42
32 77 14 23 41 59 68 5 50
3、素数幻方
569 59 449 239 359 479 269 659 149
尾数全是9，幻和 为1077。
1 14 9 20 3 24 19 2 15 10 13 8 25 4 21 18 23 6 11 16 7 12 17 22 5
11 22 33 44 13 24 3 32 43 12 23 2 45 14 21 10 39 34 37 4 25 42 31 36 1 40 15 46 9 20 41 38 35 26 5 30 49 18 7 28 47 16 19 8 29 48 17 6 27
该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。
2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51
大禹的功劳极其巨大，因为他治 水以后，中国九州才开始以农业 立国。而他成功治水的智慧就来 自“洛书”的启示。
（1）两图的结构对称。
（2）数的概念直接而又形象地包含在图书之中， 其中由黑点构成的数为偶数，白点构成的数为奇数。
2、幻方
在一个方阵中，如果每行、每列以及对角线上自 然数之和分别都等于某一个定值，则称此方阵为幻方。 这个特定值称为幻和，每格内的自然数称为元素。幻 方每边格数n称为幻方的阶。
816 357 492
图Ⅲ
618 753 294
图Ⅶ
438 951 276
图Ⅳ
276 951 438
图Ⅷ
2、九九图
我国宋朝数学家杨辉在《续与摘奇算法》中给出了一个9阶幻方。
31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51
120 135 114 117 123 129 132 111 126
4
9
2
3
5
7对角线上的数全部圈起来，再从外向里用方 框框上，则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41 又分别构成三阶幻方。
31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51
165
193
151
221
123
5、回文数幻方
5665 1001 4664 2662 2442 4884 3443 3223 2332 4334 1331 5995 3553 3773 4554 2112
该四阶完美幻方的幻和是13992。
6、马步幻方
23 18 11 6 23 10 5 24 17 12 19 22 13 4 7 14 9 2 21 16 1 20 15 8 3
该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。
2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
3、若把上述九个三阶幻方的每个“幻和”值写 在九宫中，又构成一个新的三阶幻方。并且幻方中 的九个数分别是首项为111，末项为135，公差为3的 等差数列。将这些数按大小顺序的序号写在九宫格 中，它又恰好是“洛书”幻方。
如果每一对角线上的元素之和也都等于幻和， 则称该方阵为完美幻方。幻方内元素全体的和称为 幻方和。在幻方中所有与其中心对称的两元素的和 如果都相等，则该幻方称为对称幻方。
二、妙趣横生的幻方
1、洛书图
294 753 618
图Ⅰ
492 357 816
图Ⅴ
672 159 834
图Ⅱ
834 159 672
图Ⅵ