数学文化第五讲幻方

该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。
2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51
如果每一对角线上的元素之和也都等于幻和， 则称该方阵为完美幻方。幻方内元素全体的和称为 幻方和。在幻方中所有与其中心对称的两元素的和 如果都相等，则该幻方称为对称幻方。
二、妙趣横生的幻方
1、洛书图
294 753 618
图Ⅰ
492 357 816
图Ⅴ
672 159 834
图Ⅱ
834 159 672
图Ⅵ
165
193
1Baidu Nhomakorabea1
221
123
5、回文数幻方
5665 1001 4664 2662 2442 4884 3443 3223 2332 4334 1331 5995 3553 3773 4554 2112
该四阶完美幻方的幻和是13992。
6、马步幻方
23 18 11 6 23 10 5 24 17 12 19 22 13 4 7 14 9 2 21 16 1 20 15 8 3
（1）该幻方中，4行4列4斜对角线及4副对角线上的4个四 位数的和统统是6174。每一个田字格中的四数之和都是6174。 若再有规律地截得的长方形、平行四边形、梯形等几何图形的 4角中的四数之和也是6174。
（2）任何一个元素，通过一定的四则运算它们个个可以 变成6174。
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109
179
137
数学文化的起源——
幻方
一、幻方基本知识
1、从河洛文化说起
相传，在上古伏羲时代，洛 阳东北孟津县境内的黄河里跃出 一匹龙马，背上驮了一幅图，上 面有黑白点55个，用直线连成10 数献给伏羲。后人称之为河图， 伏羲依此而演绎成八卦，后为 《周易》来源。
又传，大禹治水时，有灵龟自洛水出，背上排列成 “带九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中央” 的图形，献给大禹，后人称之为洛书。大禹依此治水成功， 遂划天下为九州。又依此定“九章大法”治理社会，流传 下来收入《尚书》中，名为《洪范》。在中国历史中，
该幻方中蕴含着许多奇特的性质
1、距离幻方中心41的任何中心对称位置上两数 之和都为82。注意12+92=82。
2、将幻方按图中粗线分为九块，即为九个三阶 幻方。
3、若把上述九个三阶幻方的每个“幻和”值写 在九宫中，又构成一个新的三阶幻方。并且幻方中 的九个数分别是首项为111，末项为135，公差为3的 等差数列。将这些数按大小顺序的序号写在九宫格 中，它又恰好是“洛书”幻方。
17 37 397 67
307 157 107 227
127 277 257 137
347 47 37 367 尾数全是7，幻和 为798。
4、黑洞数幻方
1341 1791 1476 1566
1836 1206 1701 1431
1611 1521 1746 1296
1386 1656 1251 1881
大禹的功劳极其巨大，因为他治 水以后，中国九州才开始以农业 立国。而他成功治水的智慧就来 自“洛书”的启示。
（1）两图的结构对称。
（2）数的概念直接而又形象地包含在图书之中， 其中由黑点构成的数为偶数，白点构成的数为奇数。
2、幻方
在一个方阵中，如果每行、每列以及对角线上自 然数之和分别都等于某一个定值，则称此方阵为幻方。 这个特定值称为幻和，每格内的自然数称为元素。幻 方每边格数n称为幻方的阶。
31 81 11 21 41 61 71 1 51
49 9 65 57 41 25 17 73 33
40 45 38 39 41 43 44 37 42
32 77 14 23 41 59 68 5 50
3、素数幻方
569 59 449 239 359 479 269 659 149
尾数全是9，幻和 为1077。
120 135 114 117 123 129 132 111 126
4
9
2
3
5
7
8
1
6
（4）将幻方对角线上的数全部圈起来，再从外向里用方 框框上，则每个“回”形上圈里的八个数字与中心数41 又分别构成三阶幻方。
31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51
816 357 492
图Ⅲ
618 753 294
图Ⅶ
438 951 276
图Ⅳ
276 951 438
图Ⅷ
2、九九图
我国宋朝数学家杨辉在《续与摘奇算法》中给出了一个9阶幻方。
31 76 13 36 81 18 29 74 11 22 40 58 27 45 63 20 38 56 67 4 49 72 9 54 65 2 47 30 75 12 32 77 14 34 79 16 21 39 57 23 41 59 25 43 61 66 3 48 68 5 50 70 7 52 35 80 17 28 73 10 33 78 15 26 44 62 19 37 55 24 42 60 71 8 53 64 1 46 69 6 51
1 14 9 20 3 24 19 2 15 10 13 8 25 4 21 18 23 6 11 16 7 12 17 22 5
11 22 33 44 13 24 3 32 43 12 23 2 45 14 21 10 39 34 37 4 25 42 31 36 1 40 15 46 9 20 41 38 35 26 5 30 49 18 7 28 47 16 19 8 29 48 17 6 27