2016-2017年广东省广州市天河区高一上学期期末数学试卷与答案Word版
广东省广州高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．设全集，集合M 满足，，则（ ） {}1,2,3,5,8U ={}1,8U M =ðA ． B ．C ．D ．1M ∈2M ∉3M ∈5M ∉【答案】C【分析】根据补集的定义求出，即可得到结果. {}235M =，，【详解】因为，所以， {}1,8U M =ð{}235M =，，则，所以C 正确. 3M ∈故选：C.2．对于实数，“”是“”的,,a b c a b >22ac bc >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a ＞b”⇒“ac ＞bc ”必须有c ＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B 【解析】不等式的性质点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．3．不等式的解集是（ ） 26190x x --<A ． B ．∅R C ．D ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】由一元二次不等式的解法求解即可.【详解】不等式可化为，即，解得，26190x x --<29610x x -+>2(31)0x ->13x ≠故原不等式的解集为.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.4．某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为（其中，k 是正常数）．已知0e ktW M -=0M 经过1h ，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到50%90%0.1h ，参考数据：）（ ） lg 20.3010≈A ．3.0hB ．3.3hC ．6.0hD ．6.6h【答案】B【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用e 0.5k -=()0.10.5t=0.5log 0.1t =换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，()00150%e kM M --=e 0.5k -=设过滤的污染物需要的时间为，则，90%t ()00190%e ktM M --=所以，()()0.1e e 0.5ttkt k--===所以. 0.5lg 0.1111log 0.1 3.3lg 0.5lg 20.311200lg t -====≈≈故选：B.5．已知函数的大致图象如图所示，则（ ）log ,log ,log ,log a b c d y x y x y x y x ====①②③④A ．B ． a c b a +<+a d b c +<+C ．D ．b c a d +<+b d a c +<+【答案】A【分析】作直线，则由，可得，进而由不等式性质可以判断A 正1y =log 1a a =01c d a b <<<<<确，由不等式可加性可判断BCD 错误.【详解】作直线，则由， 1y =log 1a a =可得，01c d a b <<<<<则由不等式性质可得，所以A 正确.a cb a +<+由不等式可加性可得，故D 错误， a c b d +<+不能推出B 、C ，故B 、C 错误. 故选：A.6．方程的实数解所在的一个区间是（ ）e 410x x -+=A ．B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用函数零点存在定理即可求解.【详解】设，()e 41xf x x =-+，，1211e 41022f -⎛⎫-=+⨯+> ⎪⎝⎭()00e 40120f =-⨯+=>，，1211e 411022f ⎛⎫=-⨯+=> ⎪⎝⎭()1e 41e 30f =-+=-<，3233e 41022f ⎛⎫=-⨯+=<=< ⎪⎝⎭所以，所以存在，使，()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x =所以方程的实数解所在的一个区间是.e 410x x -+=1,12⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.7．下列函数中，最小正周期为，且在上单调递减的是（ ） π2π(,0)4-A ．B ．)πsin(42y x =+)πcos(42y x =-C ． D ．tan(π2)y x =+|sin(π2)|y x =+【答案】D【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，根据周期公式及三角函数的性质进行求解判断.【详解】，函数的最小正周期为；当时，，则此函c πsin(4)os 42y x x =+=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-数在区间上单调递增，故A 错误；π(,0)4-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间s πcos(4)in 42y x x =-=π2)π(,04x ∈-4(π,0)x ∈-上是单调递减，在区间上是单调递增，故B 错误；(,π48)π--()π8,0-，函数的最小正周期为；当时，，则此函数在区间tan(π2)tan 2y x x =+=π2)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-上单调递增，故C 错误； π(,0)4-，因为的最小正周期为，则此函数的最小正周期为|sin(π2)||sin 2||sin 2|y x x x =+=-=sin 2y x =ππ2；当时，，，则此函数在区间上单调递减，故)π(,04x ∈-π2(,0)2x ∈-|sin 2|sin 2y x x ==-π(,0)4-D 正确. 故选：D.8．设，，，则 3log 2a =5log 3b =8log 5c =A ． B ．C ．D ．b ac <<a b c <<b<c<a c<a<b 【答案】B【分析】根据对数函数的性质，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】由对数性质，可得：，(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即；5851log 3log 5log 8∴<=b c <而，，3332log 2log log 3a ==<=5552log 3log log 3b ==>=综上所述，. a bc <<故选：B.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及基本不等式的应用，属于常考题型.二、多选题9．已知命题，则（ ） 2:R,10p x x x ∀∈-+>A ．命题p 是真命题 B ．命题p 的否定是“” 2R,10x x x ∀∈-+=C ．命题p 是假命题 D ．命题p 的否定是“”2R,10x x x ∃∈-+≤【答案】AD【分析】利用配方法可判断命题的真假，根据全称命题的否定是特称命题写出命题的否定．【详解】，则命题p 是真命题；2213R,1024x x x x ⎛⎫∀∈-+=-+> ⎪⎝⎭命题p 的否定是“”，故A 、D 正确． 2R,10x x x ∃∈-+≤故选：AD ．10．已知幂函数的图象过点，则（ ） ()y f x =(A ． B ．的值域是 ()12f x x =()f x [0,)+∞C ．是偶函数 D ．在上是减函数()f x ()f x (0,)+∞【答案】AB【分析】求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质判断即可. 【详解】设，()f x x α=∵的图象过点，∴，∴，()y f x =(1233α==12α=∴，从而可得，的定义域为，值域是，既不是奇函数也不是偶函12()f x x =()f x [0,)+∞[0,)+∞()f x 数，在上是增函数，故A 、B 正确；C 、D 错误. [0,)+∞故选：AB.11．已知，且，则（ ）5sin 13π3x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ππ32x <<A ． B ．5sin 13π6x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12cos 132π3x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭C ． D ．tan 12π53x ⎛⎫= ⎪⎝-⎭5cos 135π6x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BCD【分析】根据角的范围及三角函数同角关系式求得，．由cos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan π3x -⎛⎫⎪⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断A ；由结sin sin 2πππ63x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦πc c 2ππ3s 3o os x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦合诱导公式计算求解可判断B ；由结合诱导公式计算求解可判断C ；由tan tan ππ33x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝-⎭-⎝⎭结合诱导公式计算求解可判断D. πc 2os 5ππ6s 3co x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】由得，则，.ππ32x <<ππ063x -<-<12cos 13π3x -⎛⎫== ⎪⎝⎭tan 12π53x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故A 错误； 12sin sin cos 213ππππ633x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；12cos cos cos 132ππππ333x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；tan ta 2ππ533n 1x x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，故D 正确. 5cos cos sin 135ππππ6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：BCD.12．已知，则（ ） 01a b <<<A ．B ． b a a b <log log a b b a >C ．D ．log log 2a b b a +>sin(sin )sin a b <【答案】ACD【分析】由的单调性可得，由的单调性可得，从而可判断A ；由x y a =b a a a <a y x =a a a b <的单调性可得，从而可判断B ；由基本不等式可log ,log a b y x y x ==log log ,log log a a b b a b a b ∴>>判断C ；利用结论：当时，，可判断D.π(0,)2x ∈sin x x <【详解】在上单调递减，又，在上0< 1,x a y a <∴=(0,)+∞,b a a b a a <∴<0,a a y x >∴= (0,)+∞单调递增，由得，，故A 正确；a b <a a a b <b a a b ∴<由可知在上均单调递减，，01a b <<<log ,log a b y x y x ==(0,)+∞log log ,log log a a b b a b a b ∴>>，故B 错误； log 1log a b b a ∴<<由，可知，因此01a b <<<lg lg log 0,log 0lg lg a b b ab a a b=>=>，当且仅当取等号，但已知，故等号不lg lg log log 2lg lg a b b a b a a b +=+≥=a b =01a b <<<成立，从而得，故C 正确；log log 2a b b a +>当时，．，，又在单调递π(0,2x ∈sin x x <π012a b <<<< π0sin 2a a b ∴<<<<sin y x =π(0,2增，所以，故D 正确． sin(sin )sin sin a a b <<故选：ACD ．三、填空题13．若函数的定义域为A ，函数的定义域为B ，则A ∩B =______. ()f x =()()lg 2g x x =-【答案】()1,2-【分析】先求得集合，再利用交集定义即可求得. AB 、A B ⋂【详解】的定义域为； ()f x =()1,-+∞函数的定义域为， ()()lg 2g x x =-(),2-∞则. A B = ()1,2-故答案为：()1,2-14．已知，则__________.tan 2a =()2sin cos αα-=【答案】##0.215【分析】利用同角三角函数的基本关系，构造齐次式求解即可． 【详解】．()2222222sin cos 2sin cos tan 12tan sin cos sin cos 1tan 51ααααααααααα+-+--===++故答案为：.15四、双空题15．函数的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是_____；若点P 在直线1101x y a a a -=+>≠(，)上，则的最小值为______. 100)mx ny m n +=>>(，21m n+【答案】 ； 8(1,2)【分析】利用指数幂的运算即可求得点P 的坐标，利用均值定理即可求得的最小值. 21m n+【详解】当时，，则函数的图象恒过定点， 1x =1112a -+=1101x y a a a -=+>≠(，)(1,2)P 点P 在直线上，可得， 100)mx ny m n +=>>(，2100)m n m n +=>>(，则21214(2)4448n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当时等号成立）122m n ==故答案为：；8(1,2)五、填空题16．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是___________. π2【分析】根据图形分析，利用扇形面积和三角形的面积公式，即可求解. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， π2AA A 6πA BCB AC ===则等边三角形的边长，π16π23AB BC AC ====分别以点A 、B 、C 为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，,,AB BC AC 1π1π26224⨯⨯=等边的面积ABC A 1122S =⨯=所以莱洛三角形的面积是π3224⨯-=六、解答题17．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα+(2)求的值.sin(π)cos(π)πtan(2π)sin()2αααα--+++【答案】(1)；15-(2) 14【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； sin cos αα、sin cos αα+（2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. tan α【详解】（1）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 它的终边过点，则，34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭43sin ,cos 55αα=-=则；431sin cos 555αα+=-+=-（2）由（1）得，则，43sin ,cos 55αα=-=4tan 3α=-则 sin(π)cos(π)sin cos πtan cos tan(2π)sin()2αααααααα--++=++41sin cos tan 1134sin tan 43ααααα-+++====-18．已知函数.()a f x x x=+(1)若，判断的奇偶性，并说明理由；()15f =()f x (2)若，判断在上的单调性，并加以证明. ()43f =()f x (0,)+∞【答案】(1)是奇函数，理由见解析 ()f x (2)在上的单调递增，证明见解析 ()f x (0,)+∞【分析】（1）由求出，从而得，由函数奇偶性的定义求解即可； (1)5f =a ()f x （2）由求出，从而得，由函数单调性的定义进行判断证明即可. ()43f =a ()f x 【详解】（1）是奇函数，理由如下： ()f x ∵，且，∴，解得 ()af x x x=+()15f =15a +=4a =∴，定义域为 4()f x x x=+(,0)(0,)-∞+∞ 又 44()()(()f x x x f x x x-=-+=-+=--所以为奇函数.()f x（2）在上的单调递增，理由如下：()f x (0,)+∞∵，且，∴，解得，∴ ()a f x x x=+()43f =434a +=4a =-4()f x x x=-设，则 120x x <<2121212112()()()()4(14)4f x f x x x x x x x x x --=-=-+-∵，∴， 120x x <<21x x -0>12410x x +>故，即 21()()0f x f x ->21()()f x f x >所以在上的单调递增.()f x (0,)+∞19．已知函数的最小正周期为.1π()sin(0,R)23f x x x ωω=->∈π(1)求的单调递减区间；()f x (2)求在区间上的最大值与最小值.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)在区间.()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-【分析】（1）根据周期可以求出，进而求出的单调递减区间；2ω=()f x （2）根据求出，进而求出在区间上的最大值与最小值.π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）由题意可得，则， 2πT==πω2ω=则，1π()sin(223f x x =-所以的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)232k x k k +≤-≤+∈解得， 5π11πππ(Z)1212k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：. ()f x 5π11ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，1π()sin(2)23f x x =-因为，则，π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π7π2,336x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以，π1sin(232x ⎡-∈-⎢⎣则，1()4f x ⎡∈-⎢⎣所以在区间. ()f x π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦14-20．已知函数的图象过点，且无限接近直线但又不与该直线相交． ||1()()2x f x a b =+()0,21y =(1)求函数的解析式：()y f x =(2)解关于x 的不等式． 3(ln )2f x <【答案】(1) ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据图象过点得的关系，根据图象无限接近直线但又不与该直线相交()0,2,a b 1y =求出，从而得解；b （2）利用指数函数和对数函数的单调性求解即可．【详解】（1）由图象过点，得，()0,2()02f a b =+=∵函数无限接近直线，但又不与该直线相交， ||1()()2x f x a b =+1y =∴，从而，1b =1a =∴． ()||112x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由得，即，则， 3(ln )2f x <|ln |13122x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭|ln |1122x ⎛⎫< ⎪⎝⎭ln 1x >所以或，解得或． ln 1x <-ln 1x >10ex <<e x >所以不等式的解集为． 3(ln )2f x <()10,e,e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭21．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售人员的销售利润不低于10万元时，按其销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售人员的销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过其销售利润的．现有三个奖励模型：，请分别判断这三个模型是否符合公司25%80.2, 1.02,log 1x y x y y x ===+的要求？并说明理由．（参考数据：，当时，1.028log 581.274,log 1000 3.322≈≈8x ≥恒成立）8log 10.25x x +≤【答案】奖励模型符合公司的要求，理由见解析8log 1y x =+【分析】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③，根据函数的性质一一验证即可．25%y x ≤⋅【详解】由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当时，①函数为增函数；②函数[10,1000]x ∈的最大值不超过5；③．25%y x ≤⋅对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求；0.2y x =25x >>5y 对于，易知满足①，但当时，，不符合公司的要求； 1.02x y =82x ≥ 1.02o 82l g 51.0251.02y >≥=对于，函数在上单调递增，而且函数的最大值，因而满足8log 1y x =+[10,1000]8log 1000 3.3225≈<①②，因为当时，恒成立，所以当时，，满足8x ≥8log 10.25x x +≤[10,1000]x ∈8log 125%x x +<⋅③，故符合公司的要求．综上，奖励模型符合公司的要求．8log 1y x =+22．对于定义在上的函数,若存在实数,使得,则称是函数的一个不动点,I ()f x 0x I ∈()00f x x =0x ()f x 已知有两个不动点,且2()2(0)f x ax x a =-+≠12,x x 122x x <<(1)求实数的取值范围；a (2)设，证明：在定义域内至少有两个不动点.[]()log ()a F x f x x =-()F x 【答案】(1) 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由题意，得到的两个实数根为，设，根据二次函数210ax x -+=12,x x 2()1p x ax x =-+的图象与性质，列出不等式即可求解；（2）把可化为，设的两个实数根为，根据()F x x =()2log 22a ax x x -+=2()220p x ax x =-+=,m n 是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可1x =()g x x =()2()220n n h n a an n a =--+=>()h x 求解．【详解】（1）因为函数有两个不动点，()f x 12,x x 所以方程，即的两个实数根为，()f x x =2220ax x -+=12,x x 记，则的零点为和，2()22p x ax x =-+()p x 1x 2x 因为，所以，即，解得， 122x x <<(2)0a p ⋅<(42)0a a -<102a <<所以实数的取值范围为． a 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为 ()2()log [()]log 22a a F x f x x ax x =-=-+方程可化为，即 ()F x x =()2log 22a ax x x -+=2222220x a ax x ax x ⎧=-+⎨-+>⎩设，因为，所以有两个不相等的实数根． 2()22p x ax x =-+10,4(12)02a a <<∆=->()0=p x 设的两个实数根为，不妨设．2()220p x ax x =-+=,m n m n <因为函数图象的对称轴为直线，且2()22p x ax x =-+1x a=， 1112(1)0,2,20,20p a p p a a a a ⎛⎫⎛⎫=>>=-<=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以． 121m n a a<<<<记， ()2()22x h x a ax x =--+因为，且，所以是方程的实数根，(1)0h =(1)0p a =>1x =()F x x =所以1是的一个不动点，()F x ，()2()220n n h n a an n a =--+=>因为，所以，且的图象在上的图象是不间断曲102a <<24024,222a h a a a a ⎛⎫>=-<-< ⎪⎝⎭()h x 2,n a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦线，所以，使得， 0,2x n a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00h x =又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点， ()p x 2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0()0p x p n >=0x ()F x 综上，在上至少有两个不动点． ()F x (,)a +∞。
【优质文档】2016-2017年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试卷与答案
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2016-2017年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5.00分）已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}2．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）3．（5.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4．（5.00分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）5．（5.00分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．6．（5.00分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．477．（5.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5.00分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．10．（5.00分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．11．（5.00分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A 1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°12．（5.00分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5.00分）计算的结果是．14．（5.00分）已知4a=2，lgx=a，则x=．15．（5.00分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．16．（5.00分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10.00分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．18．（12.00分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．19．（12.00分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．20．（12.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．（12.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．22．（12.00分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）2016-2017年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1．（5.00分）已知集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}，N={x|lnx＜1}，则M∩N=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{0，1，2}D．{1，2，3}【分析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈Z|x（x﹣3）≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0，1，2，3}，N={x|lnx＜1}={x|0＜x＜e}，则M∩N={1，2}．故选：A．2．（5.00分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数，∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故有f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C．3．（5.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥β，m∥α，则α⊥βC．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βD．若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β【分析】对于A，若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α；对于B，根据线面垂直的判定定理进行判断；对于C，若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交；对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，因为m∥β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m∥n，则α∥β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选：B．4．（5.00分）已知函数，设，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（a）＜f（c）＜f（b）C．f（b）＜f（c）＜f （a）D．f（b）＜f（a）＜f（c）【分析】由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，进而得出大小关系．【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，又，，，因此b＞c＞a，∴f（b）＞f（c）＞f（a）．故选：B．5．（5.00分）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选：B．6．（5.00分）一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存（1MB=210KB），则开机后经过（）分钟．A．45 B．44 C．46 D．47【分析】n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，从而应有2n+1=64×210=216，由此能求出结果．【解答】解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7．（5.00分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数，当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a||=﹣log a|x|，即可得出图象．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．8．（5.00分）在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程；②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线；④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x0，正确；故选：B．9．（5.00分）如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A．2R B．C．D．【分析】求出水的体积，即可求出容器中水的深度．【解答】解：由题意，水的体积==，∴容器中水的深度h==，故选：C．10．（5.00分）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰三角形，高为2，底面边长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选：A．11．（5.00分）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°【分析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选：D．12．（5.00分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C． D．【分析】要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，转化为t2+at+b=0必有两个根t1、t2，分类讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）13．（5.00分）计算的结果是2．【分析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式即可得出．【解答】解：运算=1﹣++lg2+lg5=1﹣0.4+0.4+1=2．故答案为2．14．（5.00分）已知4a=2，lgx=a，则x=．【分析】根据指数函数和对数函数的定义计算即可．【解答】解：∵4a=2，∴22a=2，即2a=1解得a=∵lgx=a，∴lgx=∴x=，故答案为：15．（5.00分）过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程2x﹣y=0或x+y﹣3=0．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，2）代入所设的方程得：a=3，则所求直线的方程为x+y=3即x+y﹣3=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，2）代入所求的方程得：k=2，则所求直线的方程为y=2x即2x﹣y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣y=0或x+y﹣3=0．故答案为：2x﹣y=0或x+y﹣3=016．（5.00分）已知：在三棱锥P﹣ABQ 中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．【分析】由题意可得GH∥EF，且GH：EF=2：3，设出三棱锥P﹣ABQ体积为V，可得V P=，，=，作差求出多面体ADGE ﹣DCQ﹣BCHF的体积，则答案可求．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF∥AB，DC∥AB，则EF∥DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF∥GH，=，，设三棱锥P﹣ABQ体积为V，则V P﹣DCQ=．∴=．∴多面体ADGE﹣BCHF的体积与三棱锥P﹣ABQ体积之比是．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）17．（10.00分）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【分析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：（1）∵点O（0，0），点C（1，3），∴OC所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC中，AB∥OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为．∴CD所在直线方程为，即x+3y﹣10=0．18．（12.00分）如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=1，AB=2．（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADE；（Ⅱ）求凸多面体ABCDE的体积．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB∥CD，能证明AB⊥平面ADE．（Ⅱ）凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE +V B﹣ADE，由此能求出结果．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB∥CD，∴AB⊥平面ADE．…（6分）解：（Ⅱ）连接BD，设B到平面CDE的距离为h，∵AB∥CD，CD⊂平面CDE，∴AB∥平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE的体积V=V B﹣CDE +V B﹣ADE=．…（12分）19．（12.00分）已知函数为奇函数，（1）求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；（3）解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【分析】（1）利用f（0）=0，即可求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求出函数的值域，即可求实数t的取值范围；（3）利用函数的单调性，化不等式为具体不等式，分类讨论，即可解关于x的不等式f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）．【解答】解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=﹣1…．（3分）（2）∵，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．（5分）∴…．（7分）∴…．（8分）（3）在R上单调递减，…．（9分）f（x2﹣mx）≥f（2x﹣2m）x2﹣mx≤2x﹣2m…．（10分）x2﹣（m+2）x+2m≤0（x﹣2）（x﹣m）≤0…．（11分）①当m＞2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m＜2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．（14分）20．（12.00分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益f（x）与投资金额x的关系是f（x）=k1x，（f（x）的部分图象如图1）；投资股票等风险型产品B的收益g（x）与投资金额x的关系是，（g（x）的部分图象如图2）；（收益与投资金额单位：万元）．（1）根据图1、图2分别求出f（x）、g（x）的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【分析】（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5，由此能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x ≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=，k2=，∴f（x）=x，x≥0．g（x）=，x≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=，x≥0．设=t，则x=t2，0≤t≤∴y=﹣，当t=，也即x=时，y取最大值．答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，可获最大收益万元．21．（12.00分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N 分别为AC，B1C1的中点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．【分析】（Ⅰ）连接CN，易证AC⊥平面BCC1B1．由勾股定理可得CN的值，进而可得MN的长；（Ⅱ）取AB中点D，连接DM，DB1，可得四边形MDB1N为平行四边形，可得MN∥DB1，由线面平行的判定定理可得MN∥平面ABB1A1；（Ⅲ）当Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．连接BC1，易证QN⊥BC1．可得A1B⊥QN，A1B⊥MQ，由线面垂直的判定可得．【解答】解：（Ⅰ）连接CN，因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，所以AC⊥CC1，…（2分）因为AC⊥BC，所以AC⊥平面BCC1B1．…（3分）因为MC=1，CN==，所以MN=…（4分）（Ⅱ）证明：取AB中点D，连接DM，DB1…（5分）在△ABC中，因为M为AC中点，所以DM∥BC，DM=BC．在矩形B1BCC1中，因为N为B1C1中点，所以B1N∥BC，B1N=BC．所以DM∥B1N，DM=B1N．所以四边形MDB1N为平行四边形，所以MN∥DB1．…（7分）因为MN⊄平面ABB1A1，DB1⊂平面ABB1A1…（8分）所以MN∥平面ABB1A1．…（9分）（Ⅲ）解：线段CC1上存在点Q，且Q为CC1中点时，有A1B⊥平面MNQ．…（11分）证明如下：连接BC1，在正方形BB1C1C中易证QN⊥BC1．又A1C1⊥平面BB1C1C，所以A1C1⊥QN，从而NQ⊥平面A1BC1．…（12分）所以A1B⊥QN．…（13分）同理可得A1B⊥MQ，所以A1B⊥平面MNQ．故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ．…（14分）22．（12.00分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【分析】（1）讨论对称轴与区间[0，2]的关系，判断f（x）的单调性，列出方程组解出a，b；（2）令g（x）=，讨论极值点与区间[1，2]的关系判断g（x）的单调性，列出不等式组解出b．【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
【优质文档】2016-2017年广东省广州市华南师大附中高一上学期期末数学试卷与答案
----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2016-2017年广东省广州市华南师大附中高一上学期期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复核题目要求的．）1．（5.00分）下列命题中正确的是（）A．=B．=0 C．= D．=2．（5.00分）若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．B．C．D．3．（5.00分）函数y=3cos（x﹣）的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π4．（5.00分）函数是R上的偶函数，则φ的值是（）A．0 B．C．D．π5．（5.00分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，06．（5.00分）已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则（）A．P＞Q B．P＜QC．P=Q D．P与Q的大小不能确定7．（5.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤18．（5.00分）已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C． D．9．（5.00分）将函数y=f（x）图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x轴向右平移个单位，这样所得的曲线与y=3sinx 的图象相同，则函数y=f（x）的表达式是（）A．B．C．f（x）=﹣3sinx D．f（x）=3cos2x10．（5.00分）如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（）A．B．C．D．211．（5.00分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．12．（5.00分）已知a为常数，函数f（x）=sinxsin3x﹣a在x∈（0，π]内有且只有一个零点，则常数a的值形成的集合是（）A．{1，﹣1}B．{0，}C．{﹣1}D．[﹣1，0）∪（0，1]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5.00分）计算=．14．（5.00分）函数f（x）=cos2x+2sin（）sin（π﹣x）的单调增区间是．15．（5.00分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），若||=2，||=3，•=﹣6，则=．16．（5.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．三、解答题：17．（7.00分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为BF与DE的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．18．（7.00分）已知函数f（x）=（cos2x+sinxcosx）．（1）用五点法作出f（x）在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答）（2）求f（x）在x]时的值域．19．（9.00分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．20．（9.00分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A、B在y轴的正半轴上，点C（x，0）在x轴的正半轴上．若||=6，||=4．（1）求向量，夹角的正切值．（2）问点C在什么位置时，向量，夹角最大？21．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设f（x）=•．（Ⅰ）若a=，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在区间[0，π]内的解集；（Ⅱ）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一组a，b，ω值，使得函数f（x）满足“图象关于点（，0）对称，且在x=处f（x）取得最小值”．（请说明理由）22．（10.00分）设f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x﹣2）﹣4（x﹣2）3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．2016-2017年广东省广州市华南师大附中高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是复核题目要求的．）1．（5.00分）下列命题中正确的是（）A．=B．=0 C．= D．=【解答】解：对于A，利用向量的减法，可得，即A不正确；对于B，结果应该是，即B不正确；对于C，结果是0，即C不正确；对于D，利用向量的加法法则，可知正确故选：D．2．（5.00分）若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴．故选：A．3．（5.00分）函数y=3cos（x﹣）的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π【解答】解：由周期公式可得：函数y=3cos（x﹣）的最小正周期T==5π．故选：D．4．（5.00分）函数是R上的偶函数，则φ的值是（）A．0 B．C．D．π【解答】解：由y=sin（﹣φ）是R上的偶函数，则sin（﹣x﹣φ）=sin（x﹣φ）恒成立，即•cosφ﹣cos x•sinφ=sin x•cosφ﹣cos x•sinφ，也就是2sin x•cosφ=0恒成立．即cosφ=0恒成立．因为0≤φ≤π，所以φ=．故选：C．5．（5.00分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（）A．4，0 B．4，4C．16，0 D．4，0【解答】解：2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），|2﹣|==，最大值为4，最小值为0．故选：D．6．（5.00分）已知△ABC是锐角三角形，P=sinA+sinB，Q=cosA+cosB，则（）A．P＞Q B．P＜QC．P=Q D．P与Q的大小不能确定【解答】解：P﹣Q=（sinA+sinB）﹣（cosA+cosB）=2sin cos﹣2cos cos=2cos（sin﹣cos）由于是锐角三角形A+B=180°﹣C＞90°所以＞45°sin＞2cos0＜A，B＜90°所以﹣45°＜＜45°cos＞0综上，知P﹣Q＞0．P＞Q故选：A．7．（5.00分）若曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）在区间上截直线y=2与y=﹣1所得的弦长相等且不为0，则下列对a和A的描述正确的是（）A．B．a=1，A＞1 C．≤D．a=1，A≤1【解答】解：由题意曲线y=Asinωx+a（A＞0，ω＞0）的图象关于直线y=a的对称又截直线y=2及y=﹣1所得的弦长相等所以，两条直线y=2及y=﹣1关于y=a对称a==又弦长相等且不为0故振幅A大于=A＞故有a=，A＞故选：A．8．（5.00分）已知，是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．B．C． D．【解答】解：∵（）⊥，（）⊥，∴（）•=﹣2 =0，（）•=﹣2 =0，∴==2 ，设与的夹角为θ，则由两个向量的夹角公式得cosθ====，∴θ=60°，故选：B．9．（5.00分）将函数y=f（x）图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得的图象沿x轴向右平移个单位，这样所得的曲线与y=3sinx 的图象相同，则函数y=f（x）的表达式是（）A．B．C．f（x）=﹣3sinx D．f（x）=3cos2x【解答】解：由题意可得，把y=3sinx的图象沿x轴向左平移个单位可得函数y=3sin（x+）的图象，再把所得图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，可得函数f（x）=3sin（2x+）=3cos2x的图象，故选：D．10．（5.00分）如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（）A．B．C．D．2【解答】解：如图，延长AG交BC于点F，∵BO为边AC上的中线，，∴AF为边BC上的中线，∴=+，又∵=﹣=+（λ﹣1），且∥，∴：（λ﹣1）=，∴=λ﹣1，∴λ=，故选：C．11．（5.00分）函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．12．（5.00分）已知a为常数，函数f（x）=sinxsin3x﹣a在x∈（0，π]内有且只有一个零点，则常数a的值形成的集合是（）A．{1，﹣1}B．{0，}C．{﹣1}D．[﹣1，0）∪（0，1]【解答】解：f（x）=sinxsin3x﹣a，x∈（0，π]，可得a=sinxsin3x，设g（x）=sinxsin（x+2x）=sinx（sinxcos2x+cosxsin2x）=sin2xcos2x+sinxcosxsin2x=sin2xcos2x+sin22x=•cos2x+sin22x=cos2x﹣cos22x+sin22x=cos2x﹣cos22x+，由0＜x≤π，0＜2x≤2π，﹣1≤cos2x≤1，令t=cos2x，则y=﹣t2+t+，﹣1≤t≤1，对称轴为t=，y max=﹣++=，y min=﹣1，则g（x）的值域为[﹣1，]，∵零点只有一个，∴函数y=a与y=sinxsin3x只有一个交点，此时，t=﹣1，y=﹣1=a．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5.00分）计算=1．【解答】解：原式===1．故答案为：1．14．（5.00分）函数f（x）=cos2x+2sin（）sin（π﹣x）的单调增区间是[kπ+，+kπ]，k∈Z．【解答】解：f（x）=cos2x+2sin（）sin（π﹣x），=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x，=﹣2sin（2x﹣），由+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得：kπ+≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+，+kπ]，k∈Z．15．（5.00分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），若||=2，||=3，•=﹣6，则=．【解答】解：∵平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），||=2，||=3，•=6，∴=6，∴=0．∴=，∴，．∴=．故答案为：．16．（5.00分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是①③．【解答】解：∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③三、解答题：17．（7.00分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为BF与DE的交点，若=，=，试以，为基底表示、、．【解答】解：由题意，如图=﹣．，，连接BD，则G是△BCD的重心，连接AC交BD于点O，则O是BD的中点，∴点G在AC上，∴=﹣=﹣=﹣，18．（7.00分）已知函数f（x）=（cos2x+sinxcosx）．（1）用五点法作出f（x）在一个周期上的简图．（按答题卡上所给位置作答）（2）求f（x）在x]时的值域．【解答】解：（1）f（x）=（cos2x+sinxcosx）=（2cos2x﹣1+2sinxcosx）+﹣=（cos2x+sin2x）=•（cos2x+sin2x）=sin．五点作图法的五点：（﹣，0），（，1），（，0），（，﹣1），（，0）．故得f（x）=sin在一个周期长度x∈[﹣，]的简图．．（2）当x∈[0，]时，∈[，]，所以f（x）max=1时，此时2x+=，即x=，又当f（x）min=﹣时，此时2x+=，即x=，所以f（x）在[]的值域为[﹣，1]．19．（9.00分）已知点A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=﹣1，求的值．【解答】解：（1）∵，∴化简得tanα=1∵．∴．（2）∵，∴（cosα﹣3，sinα）•（cosα，sinα﹣3）=﹣1，∴∴，∴．20．（9.00分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A、B在y轴的正半轴上，点C（x，0）在x轴的正半轴上．若||=6，||=4．（1）求向量，夹角的正切值．（2）问点C在什么位置时，向量，夹角最大？【解答】解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，当x=时，取得最大值成立，解得x=2，故点C在x的正半轴，距离原点为2，即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大．21．（10.00分）在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（co sωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设f（x）=•．（Ⅰ）若a=，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在区间[0，π]内的解集；（Ⅱ）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一组a，b，ω值，使得函数f（x）满足“图象关于点（，0）对称，且在x=处f（x）取得最小值”．（请说明理由）【解答】解：（1）由题意可得f（x）=•=a•cosωx+b•sinωx，当a=，b=1，ω=2时，由f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）=1，可得sin（2x+）=，2x+=2kπ+，k∈z，或2x+=2kπ+，k∈z．求得x=kπ﹣，或x=kπ+，k∈z．又因为x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]内的解集为{，}．（2）解：因为f（x）=•=sin（ωx+φ），设周期T=．由于函数f（x）须满足“图象关于点（，0）对称，且在x=处f（x）取得最小值”．因此，根据三角函数的图象特征可知，=+T，故有=•，∴ω=6n+3，n∈N，又因为，形如f（x）=sin（ωx+φ）的函数的图象的对称中心都是f（x）的零点，故需满足sin（ω+φ）=0，而当ω=6n+3，n∈N时，因为（6n+3）+φ=2nπ+π+φ，n∈N；所以当且仅当φ=kπ，k∈Z时，f（x）的图象关于点（，0）对称；此时，，∴a=0，=±1．（i）当b＞0，a=0时，f（x）=sinωx，进一步要使x=处f（x）取得最小值，则有f（）=sin（•ω）=﹣1，∴•ω=2kπ﹣，故ω=12k﹣3，k∈z．又ω＞0，则有ω=12k﹣3，k∈N*；因此，由可得ω=12m+9，m∈N．（ii）当b＜0 a=0时，f（x）=﹣sinωx，进一步要使x=处f（x）取得最小值，则有f（）=﹣sin（•ω）=﹣1 （•ω）=2kπ+ω=12k+3 k∈z；又ω＞0，则有ω=12k+3，k∈N．因此，由可得ω=12m+3，m∈N．综上，使得函数f（x）满足“图象关于点（，0）对称，且在x=处f（x）取得最小值的充要条件是“b＞0，a=0时，ω=12m+9，m∈N；或当b＜0 a=0时，ω=12m+3，m∈N”．22．（10.00分）设f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x﹣2）﹣4（x﹣2）3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；（3）是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，2﹣x∈[2，3]，f（x）=g（2﹣x）=﹣2ax+4x3；当x∈（0，1]时，f（x）=f（﹣x）=2ax﹣4x3，∴（2）由题设知，f'（x）＞0对x∈（0，1]恒成立，即2a﹣12x2＞0对x∈（0，1]恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞（6x2）max=6．（3）因为f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax﹣4x3在x∈（0，1]的最大值．令f'（x）=2a﹣12x2=0，解得．①若∈（0，1]，即0＜a≤6，则，故此时不存在符合题意的a；②若＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]max=f（1）=2a﹣4．令2a﹣4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
广东省中山市2016-2017学年高一上学期期末统一考试数学试题 Word版含解析
中山市高一年级2016–2017学年度第一学期期末统一考试数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分. 考试用时100分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、不准使用计算机（器）.参考公式：球的体积公式其中是球半径．锥体的体积公式锥体，其中是锥体的底面积，是锥体的高．台体的体积公式台体，其中分别是台体上、下底面的面积，是台体的高．一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)1. 若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N等于( )A. ｛0，1｝B. ｛-1，0，1｝C. ｛0，1，2｝D. ｛-1，0，1，2｝【答案】A【解析】求交集，找的是两个集合中的相同元素，所以，故选择A视频2. 直线经过点（m+1,3）,m等于( )A. 5B.C. 4D.【答案】B故答案为：B。
3. 给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线如果和中轴平行则是圆柱的母线；故命题是错的。
2016-2017学年广东省广州市执信中学高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年广东省广州市执信中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1.已知集合M={x∈Z|x(x−3)≤0}，N={x|ln x<1}，则M∩N=( )A.{1, 2}B.{2, 3}C.{0, 1, 2}D.{1, 2, 3}2. 函数f(x)=ln x−2x的零点所在的大致区间是（）A.(1e，1) B.(1, 2) C.(2, 3) D.(e, +∞)3. 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下些说法正确的是（）A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB.若m⊥β，m // α，则α⊥βC.若α∩γ=m，β∩γ=n，m // n，则α // βD.若α⊥γ，α⊥β，，则γ⊥β4. 已知函数f(x)=e x2+2x，设a=lg15，b=log1213，c=(13)0.5，则有（）A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(a)<f(c)<f(b)C.f(b)<f(c)<f(a)D.f(b)<f(a)<f(c)5. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.6. 一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB内存(1MB=210KB)，则开机后经过（）分钟．A.45B.44C.46D.477. 若当x∈R时，函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，则函数y=log a|1x|的图象大致为（）A. B.C. D.8. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③方程k=y+1x−2与方程y+1=k(x−2)可表示同一直线；④直线l过点P(x0, y0)，倾斜角为90∘，则其方程为x=x0.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.49. 如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是（）A.2RB.4R3C.23R D.R310. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A.4+2√6B.4+√6C.4+2√2D.4+√211. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误的命题是（ ）A.点H 是△A 1BD 的垂心B.AH 垂直平面CB 1D 1C.AH 的延长线经过点C 1D.直线AH 和BB 1所成角为45∘12. 已知函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数．当x ≥0时，f(x)={516x 2(0≤x ≤2),(12)x+1(x >2),若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( ) A.(−52，−94)B.(−94，−1)C.(−52，−94)∪(−94,−1)D.(−52，−1)二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.）计算(−25)0−√0.0643+3log 325+lg 2−lg 15的结果是________．已知4a =2，lg x =a ，则x =________．过点(1, 2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程________．已知：在三棱锥P −ABQ 中，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ，则多面体ADGE −BCHF 的体积与三棱锥P −ABQ 体积之比是________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）如图，在平行四边形OABC 中，点C(1, 3)．（1）求OC 所在直线的斜率；（2）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且AE =1，AB =2．（1）求证：AB ⊥平面ADE ；（2）求凸多面体ABCDE 的体积．已知函数f(x)=23x +1+a(a ∈R)为奇函数，（1）求a 的值；（2）当0≤x ≤1时，关于x 的方程f(x)+1=t 有解，求实数t 的取值范围；（3）解关于x 的不等式f(x 2−mx)≥f(2x −2m)．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A 的收益f(x)与投资金额x 的关系是f(x)=k 1x ，(f(x)的部分图象如图1)；投资股票等风险型产品B 的收益g(x)与投资金额x 的关系是g(x)=k 2√x ，(g(x)的部分图象如图2)；（收益与投资金额单位：万元）． （1）根据图1、图2分别求出f(x)、g(x)的解析式；（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A 及股票等风险型产品B 两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =BC =CC 1=2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．（1）求线段MN 的长；（2）求证：MN // 平面ABB 1A 1；（3）线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由．已知函数f(x)＝ax 2+bx +c(a, b, c ∈R)．（1）若a <0，b >0，c ＝0，且f(x)在[0, 2]上的最大值为98，最小值为−2，试求a ，b 的值；（2）若c ＝1，0<a <1，且|f(x)x|≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立，求b 的取值范围．（用a 来表示）参考答案与试题解析2016-2017学年广东省广州市执信中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项涂在答题卡相应的位置.）1.【答案】A【考点】指、对数不等式的解法一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】解不等式化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x∈Z|x(x−3)≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0, 1, 2, 3}，N={x|ln x<1}={x|0<x<e}，则M∩N={1, 2}．故选A．2.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】由函数的解析式求得f(2)<0，f(3)>0，可得f(2)f(3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=ln x−2x的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−2x，∴f(2)=ln2−1<0，f(3)=ln3−23>0，故有f(2)f(3)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=ln x−2x的零点所在的大致区间为(2, 3)，故选：C．3.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】对于A，若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α；对于B，根据线面垂直的判定定理进行判断；对于C，若αlγ=m，βlγ=n，m // n，则α // β或α与β相交；对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行．【解答】解：若m⊂β，α⊥β，则m与α平行、相交或m⊂α，故A不正确；若m⊥α，m // β，则α⊥β，因为m // β根据线面平行的性质在β内至少存在一条直线与m平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；若αlγ=m，βlγ=n，m // n，则α // β或α与β相交，故C不正确；若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故D不正确．故选B．4.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】由复合函数的单调性可得函数f(x)在(−1, +∞)上单调递增，进而得出大小关系．【解答】解：由复合函数的单调性可得函数f(x)在(−1, +∞)上单调递增，又−1<a=lg15<0，b=log1213>log1212=1，0<c=(13)0.5<(13)0=1，因此b>c>a，∴f(b)>f(c)>f(a)．故选：B．5.【答案】B【考点】简单空间图形的三视图【解析】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可．【解答】解：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．6.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，从而应有2n+1=64×210=216，由此能求出结果．【解答】解：因为开机时占据内存2KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，所以3分钟后占据内存22KB，两个3分钟后占据内存23KB，三个3分钟后占据内存24KB，故n个3分钟后，所占内存是原来的2n+1倍，则应有2n+1=64×210=216，∴n=15，15×3=45，故选：A．7.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为当x∈R时，函数f(x)=a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，所以0<a<1，则当x>0时，函数y=log a1x =−logax，显然此时函数单调递增．故选B．8.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程；②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；③，方程k=y+1x−2(x≠2)与方程y+1=k(x−2)(x∈R)不表示同一直线；④，直线l过点P(x0, y0)，倾斜角为90∘，则其方程为x=x0.【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；对于③，方程k=y+1x−2(x≠2)与方程y+1=k(x−2)(x∈R)不表示同一直线，故错；对于④，直线l过点P(x0, y0)，倾斜角为90∘，则其方程为x=x0，正确.故选：B．9.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积球的表面积和体积【解析】求出水的体积，即可求出容器中水的深度．【解答】由题意，水的体积=πR2⋅2R−43πR3=23πR3，∴容器中水的深度ℎ=23πR3πR2=23π，10.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为12×2×2=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为√5，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2√65，同理可求出侧面底边长为√5，可求得此两侧面的面积皆为12×2√65×√5=√6，故此三棱锥的全面积为2+2+√6+√6=4+2√6，故选A．11.【答案】D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=√3AB等．（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）【解答】解：因为三棱锥A −A 1BD 是正三棱锥，所以顶点A 在底面的射影H 是底面中心，所以选项A 正确； 易证面A 1BD // 面CB 1D 1，而AH 垂直平面A 1BD ，所以AH 垂直平面CB 1D 1，所以选项B 正确；连接正方体的体对角线AC 1，则它在各面上的射影分别垂直于BD 、A 1B 、A 1D 等，所以AC 1⊥平面A 1BD ，则直线A 1C 与AH 重合，所以选项C 正确； 故选D ． 12. 【答案】 C【考点】根的存在性及根的个数判断 函数的零点与方程根的关系【解析】要使关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0，a ，b ∈R 有且只有6个不同实数根，转化为t 2+at +b =0必有两个根t 1、t 2，分类讨论求解． 【解答】 解：如图，依题意f(x)在(−∞, −2)和(0, 2)上递增， 在(−2, 0)和(2, +∞)上递减， 当x =±2时，函数取得极大值54；当x =0时，取得极小值0．要使关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0，a ，b ∈R 有且只有6个不同实数根， 设t =f(x)，则有两种情况符合题意： ①t 1=54，且t 2∈(1,54)，此时−a =t 1+t 2，则a ∈(−52，−94)；②t 1∈(0, 1]，t 2∈(1,54)， 此时同理可得a ∈(−94，−1)，综上可得a 的范围是(−52，−94)∪(−94,−1)．故选C .二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.答案填在答卷上.） 【答案】 2【考点】对数的运算性质有理数指数幂的化简求值【解析】利用指数幂的运算法则、对数的运算法则和换底公式即可得出． 【解答】解：运算=1−0．433+25+lg 2+lg 5=1−0.4+0.4+1=2．故答案为2． 【答案】√10【考点】对数的运算性质 【解析】根据指数函数和对数函数的定义计算即可． 【解答】解：∵ 4a =2， ∴ 22a =2， 即2a =1 解得a =12 ∵ lg x =a ，∴ lg x =12∴ x =√10， 故答案为：√10 【答案】2x −y =0或x +y −3=0 【考点】直线的截距式方程 直线的点斜式方程【解析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x +y =a ，把已知点坐标代入即可求出a 的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y =kx ，把已知点的坐标代入即可求出k 的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程． 【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x +y =a ，把(1, 2)代入所设的方程得：a =3，则所求直线的方程为x +y =3，即x +y −3=0； ②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y =kx ，把(1, 2)代入所求的方程得：k =2，则所求直线的方程为y =2x ，即2x −y =0． 综上，所求直线的方程为：2x −y =0或x +y −3=0． 故答案为：2x −y =0或x +y −3=0. 【答案】 1118【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由题意可得GH // EF，且GH:EF=2:3，设出三棱锥P−ABQ体积为V，可得V P−DCQ=14V，V P−QEF=14V，V P−EGHF=59V P−EFQ=536V，作差求出多面体ADGE−BCHF的体积，则答案可求．【解答】解：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，∴EF // AB，DC // AB，则EF // DC，又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，∴EF // 平面PCD，又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，∴EF // GH，设三棱锥P−ABQ体积为V，则V P−DCQ=14V，V P−QEF =14V，V P−EGHF=59V P−EFQ=536V．∴V ADGE−BCHF=V−14V−536V=1118V．∴多面体ADGE−BCHF的体积与三棱锥P−ABQ体积之比是1118．故答案为：1118．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应位置.）【答案】解：（1）∵点O(0, 0)，点C(1, 3)，∴OC所在直线的斜率为k OC=3−01−0=3．（2）在平行四边形OABC中，AB // OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为k CD=−13．∴CD所在直线方程为y−3=−13(x−1)，即x+3y−10=0．【考点】直线的点斜式方程斜率的计算公式直线的一般式方程【解析】（1）根据原点坐标和已知的C点坐标，利用直线的斜率k=y1−y2x1−x2，求出直线OC的斜率即可；（2）根据平行四边形的两条对边平行得到AB平行于OC，又CD垂直与AB，所以CD垂直与OC，由（1）求出的直线OC的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为−1，求出CD所在直线的斜率，然后根据求出的斜率和点C 的坐标写出直线CD的方程即可．【解答】解：（1）∵点O(0, 0)，点C(1, 3)，∴OC所在直线的斜率为k OC=3−01−0=3．（2）在平行四边形OABC中，AB // OC，∵CD⊥AB，∴CD⊥OC．∴CD所在直线的斜率为k CD=−13．∴CD所在直线方程为y−3=−13(x−1)，即x+3y−10=0．【答案】证明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB // CD，∴AB⊥平面ADE．…解：（2）连接BD，设B到平面CDE的距离为ℎ，∵AB // CD，CD⊂平面CDE，∴AB // 平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴ℎ=AE=1，又S△CDE=12CD×DE=12×2×√4−1=√3，∴V B−CDE=13×√3×1=√33，又V B−ADE=13×S△ADE×AB=13×12×1×√3×2=√33，∴凸多面体ABCDE的体积V=V B−CDE+V B−ADE=2√33．…【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）推导出AE⊥CD，CD⊥AD，从而CD⊥平面ADE，再由AB // CD，能证明AB⊥平面ADE．（2）凸多面体ABCDE的体积V=V B−CDE+V B−ADE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，又在正方形ABCD中，CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，又在正方形ABCD中，AB // CD，∴AB⊥平面ADE．…解：（2）连接BD，设B到平面CDE的距离为ℎ，∵AB // CD，CD⊂平面CDE，∴AB // 平面CDE，又AE⊥平面CDE，∴ℎ=AE=1，又S△CDE=12CD×DE=12×2×√4−1=√3，∴V B−CDE=13×√3×1=√33，又V B−ADE=13×S△ADE×AB=13×12×1×√3×2=√33，∴凸多面体ABCDE的体积V=V B−CDE+V B−ADE=2√33．…【答案】解：（1）∵x∈R，∴f(0)=0，∴a=−1…．（2）∵f(x)=23x+1−1∴ f(x)+1=23x+1，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．∴12≤f(x)+1≤1…．∴12≤t≤1…．（3）f(x)=23x+1−1在R上单调递减，…．f(x2−mx)≥f(2x−2m)x2−mx≤2x−2m…．x2−(m+2)x+2m≤0(x−2)(x−m)≤0…．①当m>2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m<2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．【考点】函数奇偶性的性质函数的零点与方程根的关系【解析】（1）利用f(0)=0，即可求a的值；（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f(x)+1=t有解，求出函数的值域，即可求实数t的取值范围；（3）利用函数的单调性，化不等式为具体不等式，分类讨论，即可解关于x的不等式f(x2−mx)≥f(2x−2m)．【解答】解：（1）∵x∈R，∴f(0)=0，∴a=−1…．（2）∵f(x)=23+1−1∴ f(x)+1=23+1，∵0≤x≤1，∴2≤3x+1≤4…．∴12≤f(x)+1≤1…．∴12≤t≤1…．（3）f(x)=23x+1−1在R上单调递减，…．f(x2−mx)≥f(2x−2m)x2−mx≤2x−2m…．x2−(m+2)x+2m≤0(x−2)(x−m)≤0…．①当m>2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}③当m<2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．【答案】对股票等风险型产品B投资254万元，对债券等稳键型产品A投资154万元时，可获最大收益6516万元．【考点】函数模型的选择与应用【解析】（1）设投资为x万元，由题意，知f(1.8)=0.45，g(4)=2.5，由此能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资(10−x)万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=14(10−x)+54√x，x≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．【解答】解：（1）设投资为x万元，由题意，知f(1.8)=0.45，g(4)=2.5；解得k1=14，k2=54，∴f(x)=14x，x≥0．g(x)=54√x，x≥0；（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资(10−x)万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y=14(10−x)+54√x，x≥0．设√x=t，则x=t2，0≤t≤√10∴y=−14(t−52)2+6516，当t=52，也即x=254时，y取最大值6516．答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时，可获最大收益6516万元．【答案】 解：（1）连接CN ，因为ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ，所以AC ⊥CC 1，…因为AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1． …因为MC =1，CN =√CC 12+C 1N 2=√5， 所以MN =√6 …（2）证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1 …在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM // BC ，DM =12BC ． 在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N // BC ，B 1N =12BC ．所以DM // B 1N ，DM =B 1N ．所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN // DB 1． … 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1… 所以MN // 平面ABB 1A 1． …（3）解：线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ ． … 证明如下：连接BC 1，在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1．又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1．… 所以A 1B ⊥QN ． …同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ ．故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ ． … 【考点】直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定【解析】（1）连接CN ，易证AC ⊥平面BCC 1B 1．由勾股定理可得CN 的值，进而可得MN 的长；（2）取AB 中点D ，连接DM ，DB 1，可得四边形MDB 1N 为平行四边形，可得MN // DB 1，由线面平行的判定定理可得MN // 平面ABB 1A 1；（3）当Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ ． 连接BC 1，易证QN ⊥BC 1．可得A 1B ⊥QN ，A 1B ⊥MQ ，由线面垂直的判定可得．【解答】 解：（1）连接CN ，因为ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ，所以AC ⊥CC 1，…因为AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1． …因为MC =1，CN =√CC 12+C 1N 2=√5， 所以MN =√6 …（2）证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1 …在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM // BC ，DM =12BC ． 在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N // BC ，B 1N =12BC ．所以DM // B 1N ，DM =B 1N ．所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN // DB 1． … 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1… 所以MN // 平面ABB 1A 1． …（3）解：线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ ． … 证明如下：连接BC 1，在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1．又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1．… 所以A 1B ⊥QN ． …同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ ．故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ ． … 【答案】抛物线的对称轴为x =−b 2a，①当−b 2a<2时，即b >−4a 时， 当x =−b 2a时，f(x)max =f(−b 2a)=a ×b 24a2−b 22a+c =−b 24a+c =98，f(x)min ＝f(2)＝4a +2b +c ＝−2，∴ {−b 24a +c =984a +2b =−2 ，∴ a ＝−2，b ＝3． ②当−b 2a≥2时，即b ≥−4a 时，f(x)在[0, 2]上为增函数，f(x)min ＝f(0)＝0与f(x)min ＝−2矛盾，无解，综合得：a ＝−2，b ＝3． |f(x)x|≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立，即|ax +1x+b|≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立，即−2≤ax +1x +b ≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立， 令g(x)=ax +1x +b ，则{[g(x)]max ≤2[g(x)]min ≥−2 ，∵ 0<a <1，∴ a>1，(ⅰ)若√a ≥2，即0<a ≤14时，g(x)在[1, 2]单调递减，此时{[g(x)]max =g(1)≤2[g(x)]min =g(2)≥−2， 即{a +1+b ≤22a +12+b ≥−2 ，得{b ≤1−a b ≥−2a −52，此时(−2a −52)−(1−a)=−a −72<0，∴ (−2a −52)<(1−a) ∴ −2a −52≤b ≤1−a ．(ⅱ)若1<√a<2，即14<a <1时，g(x)在√a]单调递减，在[√a2]单调递增，此时，[g(x)]min =g(a )≥−2⇒2√a +b ≥−2⇒b ≥−2−2√a ，只要{g(1)=a +1+b ≤2g(2)=2a +12+b ≤2b ≥−2√a −2⇒{b ≤1−ab ≤32−2a b ≥−2√a −2，(1−a)−(32−2a)=a −12当12≤a <1时，1−a ≥32−2a ，−2√a −2≤b ≤32−2a当14<a <12时，1−a <32−2a ，−2√a −2≤b ≤1−a ． 综上得：①0<a ≤14时，−2a −52≤b ≤1−a ；②14<a <12时，−2√a −2≤b ≤1−a ； ③12≤a <1时，−2√a −2≤b ≤32−2a ． 【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 函数恒成立问题【解析】（1）讨论对称轴与区间[0, 2]的关系，判断f(x)的单调性，列出方程组解出a ，b ； （2）令g(x)=f(x)x，讨论极值点与区间[1, 2]的关系判断g(x)的单调性，列出不等式组解出b ．【解答】抛物线的对称轴为x =−b2a ， ①当−b 2a<2时，即b >−4a 时，当x =−b2a 时，f(x)max =f(−b2a )=a ×b 24a 2−b 22a +c =−b 24a+c =98，f(x)min ＝f(2)＝4a +2b +c ＝−2，∴ {−b 24a +c =984a +2b =−2 ，∴ a ＝−2，b ＝3．②当−b2a ≥2时，即b ≥−4a 时，f(x)在[0, 2]上为增函数，f(x)min ＝f(0)＝0与f(x)min ＝−2矛盾，无解， 综合得：a ＝−2，b ＝3． |f(x)x|≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立，即|ax +1x +b|≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立，即−2≤ax +1x +b ≤2对任意x ∈[1, 2]恒成立， 令g(x)=ax +1x +b ，则{[g(x)]max ≤2[g(x)]min ≥−2 ，∵ 0<a <1，∴ √a>1，(ⅰ)若√a ≥2，即0<a ≤14时，g(x)在[1, 2]单调递减，此时{[g(x)]max =g(1)≤2[g(x)]min =g(2)≥−2 ，即{a +1+b ≤22a +12+b ≥−2 ，得{b ≤1−a b ≥−2a −52 ，此时(−2a −52)−(1−a)=−a −72<0，∴ (−2a −52)<(1−a) ∴ −2a −52≤b ≤1−a ．(ⅱ)若1<√a<2，即14<a <1时，g(x)在√a]单调递减，在[√a2]单调递增，此时，[g(x)]min =g(√a )≥−2⇒2√a +b ≥−2⇒b ≥−2−2√a ，只要{g(1)=a +1+b ≤2g(2)=2a +12+b ≤2b ≥−2√a −2⇒{b ≤1−ab ≤32−2a b ≥−2√a −2，(1−a)−(32−2a)=a −12当12≤a <1时，1−a ≥32−2a ，−2√a −2≤b ≤32−2a 当14<a <12时，1−a <32−2a ，−2√a −2≤b ≤1−a ． 综上得：①0<a ≤14时，−2a −52≤b ≤1−a ；②14<a <12时，−2√a −2≤b ≤1−a ； ③12≤a <1时，−2√a −2≤b ≤32−2a ．。
2016-2017学年新课标人教版高一(上)期末统考数学试卷及答案
2016-2017学年第一学期期末统考高一数学试卷 一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分，）1.集合U={}6,5,4,3,2,1，A={}5,3,1,B={}5,4,2,则A ⋂()B C U 等于 A.()6,3,1 B {}3,1 C. {}1 D.{}5,4,2 2.已知集合A=[]6,0，集合B=[]3,0,则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A. f: x →y=61x B. f: x →y=31x C. f: x →y=21x D. f: x →y=x3.已知A(2,0,1),B(1,-3,1),点M 在x 轴上，且到A 、B 两点间的距离相等,则M 的坐标为( ) A.(-3,0,0) B.(0,-3,0) C.(0,0,-3) D.(0,0,3)4.函数y=x 2+2(m-1)x+3在区间()2,-∞-上是单调递减的，则m 的取值范围是( )A. m ≤3B. m ≥3C. m ≤-3D. m ≥-3 5.函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间( ) A.(81,41) B. (41,21) C.(21,1) D.(1,2) 6.一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，其中主视图和左视图均为等腰三角形，俯视图是一个正方形，则这个四棱锥的体积是( ) A.1 B. 2 C . 3 D.47.已知二次函数f(x)=x 2-x+a(a>0)，若f(m)<0，则f(m-1)的值是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a 有关8.直线x+y+6=0截圆x 2+y 2=4得劣弧所对圆心角为( )A.6π B. 3π C. 2πD. 32π9.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1A.EF与BB 1垂直 B. EF 与A 1C 1异面 C.EF 与CD 异面D.EF 与BD 垂直10.已知偶函数f(x)在[]2,0单调递减，若a=f(0.54),b=f(log 214),c=f(26.0),则a, b, c 的大小关系是( ) A. a>b>c B. c>a>b C. a>c>b D .b>c>a11.已知圆C 与直线3x-4y=0及3x-4y=10都相切，圆心在直线4x+3y=0上，则圆C 的方程为( )A. (x-53)2+(y+54)2=1B. (x+53)2+(y+54)2=1 C.(x+53)2+(y-54)2=1 D. (x-53)2+(y-54)2=112.对于函数f(x),若任给实数a,b,c ，f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为 “可构造三角形函数”。
【精品】2017-2018学年广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷
2017-2018 学年广东省广州市天河区高一 （上） 期末数学 试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）
1．（5 分）直线 x+y﹣ =0 的倾斜角为（
）
A．45°B．60°C．120°D．135°
【分析】由直线方程求出直线的斜率， 再由倾斜角的正切值等于斜率求得直线的
视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是（
）
A． π B． π C． π D． π
5．（5 分）已知 a=0.80.7，b=log20.7，c=1.30.8，则 a， b， c 的大小关系是（
）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
6．（5 分）已知直线 l1：x+2my﹣1=0 与直线 l2：（m﹣ 2） x﹣ my+2=0 平行，则实
【解答】 解：如图：连接 B1G，EG
∵ E， G 分别是 DD1，CC1 的中点，
∴ A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形 A1B1GE为平行四边形
∴ A1E∥ B1G，∴∠ B1GF即为异面直线 A1E 与 GF所成的角
在三角形 B1GF中， B1G=
==
FG=
==
B1F=
==
∵ B1G2+FG2=B1F2 ∴∠ B1GF=90° ∴异面直线 A1E 与 GF 所成角为 90° 故选： D．
与 [ 4，+∞）上分别递增和递减，则不等式 x?f（x）＜ 0 的解集为（ ）
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A．（﹣∞，﹣ 5）∪（﹣ 2，2）∪（ 5， +∞） B．（﹣ 5，﹣ 2）∪（ 2， 5） C．（0，2）∪（ 5， +∞） D．（﹣ 5，﹣ 2）∪（ 0，2）∪（ 5，+∞）
广东省xx中学高一上期末数学试卷有答案-精选
2016-2017学年广东省中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f （x ）=log（2x ﹣1）的定义域是（ ）A ．（，+∞）B ．（，1）∪（1，+∞）C ．（，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞）2．（5分）直线x+2ay ﹣1=0与（a ﹣1）x ﹣ay+1=0平行，则a 的值为（ ）A ．B ．或0C ．0D ．﹣2或03．（5分）设f （x ）是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0，x 3+x 1＞0，则（ ）A ．f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞0B ．f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＜0C ．f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）=0D ．f （x 1）+f （x 2）＞f （x 3）4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A ．a 2B ．a 2C ．2a 2D ．2a 25．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n ⊂γ，且________，则m ∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ．可以填入的条件有（ ）A ．①或③B ．①或②C ．②或③D ．①或②或③6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．17B ．C ．D ．187．（5分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P ﹣QEF 的体积D ．△QEF 的面积8．（5分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O 在△ABC 内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知函数+2，则关于x 的不等式f （3x+1）+f （x ）＞4的解集为（ ）A ．（﹣，+∞）B ．（﹣，+∞）C ．（﹣，+∞）D ．（﹣，+∞）10．（5分）当0＜x ≤时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，1）C ．（1，）D ．（，2）11．（5分）已知函数f （x ）=x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）=x 2+ln （x+a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．（﹣，）B ．（﹣，）C ．（﹣∞，）D ．（﹣∞，）12．（5分）若x 1满足2x+2x =5，x 2满足2x+2log 2（x ﹣1）=5，x 1+x 2=（ ）A ．B ．3C ．D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f （x ）=（a ＞0），若x 1+x 2=1，则f （x 1）+f （x 2）= ，并求出= ．14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ．15．（5分）点M （x 1，y 1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x 1∈[2，5]时，则的取值范围．16．（5分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A ﹣PB ﹣C 的正切值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）过点（3，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程及△AOB 面积．18．（12分）已知一四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点． （Ⅰ）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．（Ⅱ）若点E 为PC 的中点，AC ∩BD=O ，求证：EO ∥平面PAD ；（Ⅲ）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论．19．（10分）设直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m（1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为；（2）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论．21．（12分）已知平行四边形ABCD （如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折起至A 1DE 位置，使得A 1C=4，F 是线段A 1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF ∥面A 1DE ；（2）求证：面A 1DE ⊥面DEBC ；（3）求二面角A 1﹣DC ﹣E 的正切值．22．（12分）已知函数g （x ）=ax 2﹣2ax+1+b （a ≠0，b ＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f （x ）=．（1）求a ，b 的值；（2）不等式f （2x ）﹣k•2x ≥0在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程f （|2x ﹣1|）+k （﹣3）有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）函数f （x ）=log（2x ﹣1）的定义域是（ ）A ．（，+∞）B ．（，1）∪（1，+∞）C ．（，+∞）D ．（，1）∪（1，+∞）【解答】解：由，解得x ＞且x ≠1．∴函数f （x ）=log （2x ﹣1）的定义域是（，1）∪（1，+∞）．故选：B ．2．（5分）直线x+2ay ﹣1=0与（a ﹣1）x ﹣ay+1=0平行，则a 的值为（ ）A ．B ．或0C ．0D ．﹣2或0【解答】解：当a=0时，两直线重合；当a ≠0时，由，解得 a=，综合可得，a=，故选：A ．3．（5分）设f （x ）是定义在R 上单调递减的奇函数，若x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0，x 3+x 1＞0，则（ ）A ．f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＞0B ．f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＜0C ．f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）=0D ．f （x 1）+f （x 2）＞f （x 3）【解答】解：∵x 1+x 2＞0，x 2+x 3＞0，x 3+x 1＞0，∴x 1＞﹣x 2，x 2＞﹣x 3，x 3＞﹣x 1，又f （x ）是定义在R 上单调递减的奇函数，∴f （x 1）＜f （﹣x 2）=﹣f （x 2），f （x 2）＜f （﹣x 3）=﹣f （x 3），f （x 3）＜f （﹣x 1）=﹣f （x 1），∴f （x 1）+f （x 2）＜0，f （x 2）+f （x 3）＜0，f （x 3）+f （x 1）＜0，∴三式相加整理得f （x 1）+f （x 2）+f （x 3）＜0故选B4．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为（ ）A ．a 2B ．a 2C ．2a 2D ．2a 2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x ′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上， 可求得其长度为a ，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原的2倍，长度为2a ，∴原平面图形的面积为=故选：C ．5．（5分）设α、β、γ为三个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，在命题“α∩β=m，n ⊂γ，且________，则m ∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n ⊂β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ⊂γ．可以填入的条件有（ ）A ．①或③B ．①或②C ．②或③D ．①或②或③【解答】解：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n ∥β，m ⊂γ时，n 和m 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选A ．6．（5分）已知一空间几何体的三视图如题图所示，其中正视图与左视图都是全等的等腰梯形，则该几何体的体积为（ ）A ．17B ．C ．D ．18【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱台切去一个三棱锥所得的几何体， 棱台的上下底面的棱长为2和4，故棱台的上下底面的面积为4和16，侧高为，故棱台的高h==2，故棱台的体积为：=，棱锥的底面是棱台上底面的一半，故底面面积为2，高为2，故棱锥的体积为：×2×2=，故组合体的体积V=﹣=，故选：B7．（5分）如图，在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，Q 为A 1B 1上任意一点，E 、F 为CD 上两点，且EF 的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）A ．点P 到平面QEF 的距离B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角C ．三棱锥P ﹣QEF 的体积D ．△QEF 的面积【解答】解：A ．∵平面QEF 即为对角面A 1B 1CD ，点P 为A 1D 1的中点，∴点P 到平面QEF即到对角面A 1B 1CD 的距离=为定值；D ．∵点Q 到直线CD 的距离是定值a ，|EF|为定值，∴△QEF 的面积=为定值；C ．由A ．D 可知：三棱锥P ﹣QEF 的体积为定值；B ．直线PQ 与平面PEF 所成的角与点Q 的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出．综上可得：只有B 中的值不是定值．故选：B ．8．（5分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，O 在△ABC 内，∠OPC=45°，∠OPA=60°，则∠OPB 的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：已知如图所示：过O 做平面PBA 的垂线，交平面PBC 于Q ，连接PQ 则∠OPQ=90°﹣45°=45°．∵cos ∠OPA=cos ∠QPA ×cos ∠OPQ ，∴cos ∠QPA=，∴∠QPA=45°，∴∠QPB=45°∴cos∠OPB=cos∠OPQ×cos∠QPB=．故选C．9．（5分）已知函数+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣，+∞）D．（﹣，+∞）【解答】解：设g（x）=2016x+log（+x）﹣2016﹣x，（+x）﹣2016x+=﹣g（x）；g（﹣x）=2016﹣x+logg′（x）=2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：D．10．（5分）当0＜x≤时，4x＜logx，则a的取值范围是（）aA．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜logx，由对数函数的性质可得0＜a＜1，ax，数形结合可知只需2＜loga∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B11．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x ﹣﹣ln （﹣x+a ）=0在（﹣∞，0）上有解，令m （x ）=e x ﹣﹣ln （﹣x+a ），则m （x ）=e x ﹣﹣ln （﹣x+a ）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m （x ）＜0，若a ≤0时，x→a 时，m （x ）＞0，故e x ﹣﹣ln （﹣x+a ）=0在（﹣∞，0）上有解，若a ＞0时，则e x ﹣﹣ln （﹣x+a ）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e 0﹣﹣ln （a ）＞0，即lna ＜，故0＜a ＜．综上所述，a ∈（﹣∞，）．故选：C12．（5分）若x 1满足2x+2x =5，x 2满足2x+2log 2（x ﹣1）=5，x 1+x 2=（）A ．B ．3C ．D ．4【解答】解：由题意①2x 2+2log 2（x 2﹣1）=5 ②所以，x 1=log 2（5﹣2x 1） 即2x 1=2log 2（5﹣2x 1）令2x 1=7﹣2t ，代入上式得7﹣2t=2log 2（2t ﹣2）=2+2log 2（t ﹣1）∴5﹣2t=2log 2（t ﹣1）与②式比较得t=x 2于是2x 1=7﹣2x 2即x 1+x 2=故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知函数f （x ）=（a ＞0），若x 1+x 2=1，则f （x 1）+f （x 2）= 1 ，并求出= ．【解答】解：∵函数f （x ）=（a ＞0），x 1+x 2=1，∴f （x 1）+f （x 2）=f （x 1）+f （1﹣x 1）=+=+ ==1，∴=1007+f （）=1007+=．故答案为：1，． 14．（5分）如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为 16+2 ．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其直观图如下图所示：E 和F 分别是AB 和CD 中点，作EM ⊥AD ，连接PM ，且PD=PC ，由三视图得，PE ⊥底面ABCD ，AB=4，CD=2，PE ═EF=2在直角三角形△PEF 中，PF==2，在直角三角形△DEF 中，DE==，同理在直角梯形ADEF 中，AD=， 根据△AED 的面积相等得，×AD ×ME=×AE ×EF ，解得ME=， ∵PE ⊥底面ABCD ，EM ⊥AD ，∴PM ⊥AD ，PE ⊥ME ，在直角三角形△PME 中，PM==，∴该四棱锥的表面积S=×（4+2）×2+×4×2+×2×2+2×××=16+2．故答案为：16+2． 15．（5分）点M （x 1，y 1）在函数y=﹣2x+8的图象上，当x 1∈[2，5]时，则的取值范围．【解答】解：当x 1∈[2，5]时，可得A （2，4），B （5，﹣2）．设P （﹣1，﹣1），则k PA ==，k PB ==，∴的取值范围是． 16．（5分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2，可得∠PCD=30°，∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=．∴A（1，0，0），P（0，﹣1，），B（1，2，0），C（0，2，0），=（1，1，﹣），=（1，3，﹣），=（0，3，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（2，1，），设二面角A﹣PB﹣C的平面角为θ，则cosθ===，sinθ==，tanθ==．∴二面角A﹣PB﹣C的正切值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）过点（3，2）的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程及△AOB面积．【解答】解：设A（a，0），B（0，b），则直线l的方程为：+=1．把点P（3，2）代入可得：+=1．（a，b＞0）．∴1≥2，化为ab≥24，当且仅当a=6，b=4时取等号．∴S=ab≥12，l的方程为：+=1，即4x+6y﹣24=0△AOB18．（12分）已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，E是侧棱PC上的动点．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．（Ⅱ）若点E为PC的中点，AC∩BD=O，求证：EO∥平面PAD；（Ⅲ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2．…（1分）∴V P ﹣ABCD =S ▱ABCD •PC=．…（3分）（Ⅱ）证明：∵E 、O 分别为PC 、BD 中点∴EO ∥PA ，…（4分）又EO ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ．…（6分）∴EO ∥平面PAD ．…（7分）（Ⅲ）不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ，…（8分）证明如下：∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，…（9分）∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PC ，…（10分）又∵AC ∩PC=C ，∴BD ⊥平面PAC ，…（11分）∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ，∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ．…（12分）19．（10分）设直线l 的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a ∈R ）．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（2）若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）令x=0，得y=a ﹣2． 令y=0，得（a ≠﹣1）． ∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．∴所求的直线l 方程为3x+y=0或x+y+2=0．（2）直线l 的方程可化为 y=﹣（a+1）x+a ﹣2．∵l 不过第二象限，∴，∴a ≤﹣1．∴a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]．20．（12分）如图，在棱长为1的正方体中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m（1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为； （2）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论．【解答】解：（1）连AC ，设AC 与BD 相交于点O ，AP 与平面BDD 1B 1相交于点G ， 连接OG ，因为PC ∥平面BDD 1B 1，平面BDD 1B 1∩平面APC=OG ，故OG ∥PC ，所以，OG=PC=．又AO ⊥BD ，AO ⊥BB 1，所以AO ⊥平面BDD 1B 1，故∠AGO 是AP 与平面BDD 1B 1所成的角．在Rt △AOG 中，tan ∠AGO=，即m=．所以，当m=时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成的角的正切值为4．（2）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点，当是中点时因为D 1O 1⊥A 1C 1，且 D 1O 1⊥A 1A ，A 1C 1∩A 1A=A 1，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1，又AP ⊂平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP ．那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直．21．（12分）已知平行四边形ABCD （如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折起至A 1DE 位置，使得A 1C=4，F 是线段A 1C 的中点（如图2）．（1）求证：BF ∥面A 1DE ；（2）求证：面A 1DE ⊥面DEBC ；（3）求二面角A 1﹣DC ﹣E 的正切值．【解答】解：（1）证明：如图，取DA 1的中点G ，连FG ，GE ；F 为A 1C 中点；∴GF ∥DC ，且；∴四边形BFGE 是平行四边形；∴BF ∥EG ，EG ⊂平面A 1DE ，BF ⊄平面A 1DE ； ∴BF ∥平面A 1DE ；（2）证明：如图，取DE 的中点H ，连接A 1H ，CH ；AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点； ∴△DAE 为等边三角形，即折叠后△DA 1E 也为等边三角形； ∴A 1H ⊥DE ，且；在△DHC 中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°； 根据余弦定理，可得：HC 2=1+16﹣4=13，在△A 1HC 中，，，A 1C=4； ∴，即A1H ⊥HC ，DE ∩HC=H ； ∴A 1H ⊥面DEBC ；又A 1H ⊂面A 1DE ；∴面A 1DE ⊥面DEBC ；（3）如上图，过H 作HO ⊥DC 于O ，连接A 1O ； A 1H ⊥面DEBC ；∴A 1H ⊥DC ，A 1H ∩HO=H ；∴DC ⊥面A 1HO ；∴DC ⊥A 1O ，DC ⊥HO ；∴∠A 1OH 是二面角A 1﹣DC ﹣E 的平面角；在Rt△AHO中，，；1故tan；所以二面角A﹣DC﹣E的正切值为2．122．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．【解答】附加题：（本题共10分）解：（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数，故，可得，⇔．当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数．故可得可得，∵b＜1∴a=1，b=0即g（x）=x2﹣2x+1．f（x）=x+﹣2．…（3分）（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x+﹣2≥k•2x，k≤1+﹣令=t，k≤t2﹣2t+1，∵x ∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t ）=t 2﹣2t+1， ∴φ（t ）min =0，∴k ≤0．…（6分）（3）由f （|2x ﹣1|）+k （﹣3）=0 得|2x ﹣1|+﹣（2+3k ）=0，|2x ﹣1|2﹣（2+3k ）|2x ﹣1|+（1+2k ）=0，|2x ﹣1|≠0，令|2x ﹣1|=t ，则方程化为t 2﹣（2+3k ）t+（1+2k ）=0（t ≠0）， ∵方程|2x ﹣1|+﹣（2+3k ）=0有三个不同的实数解， ∴由t=|2x ﹣1|的图象（如右图）知，t 2﹣（2+3k ）t+（1+2k ）=0有两个根t 1、t 2，且0＜t 1＜1＜t 2或0＜t 1＜1，t 2=1， 记φ（t ）=t 2﹣（2+3k ）t+（1+2k ），则或 ∴k ＞0．…（10分）。
XXXX广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷)普通用卷
XXXX广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷）普通用卷广东省广州市天河区高一XXXX期末数学(一)试卷题号，一，二，三，总分，多项选择题(共12题，共60.0分)1。
直线？？+？？？3=0的倾斜角是()A.公元前45年60年120年135年2.已知集合？？={{1，2，3，4，5，6}，？？={？？|？？=？？什么？？∈?？那么……？∨什么？？=()A.{1，2} b. {1，2，3} c. {1，3，5 5} D. {1，2 1，2，3，4，5，6} 3 .功能？？(？？)=lg？？+？？？3的零点所在的区间是()A.(0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4) 4。
该图是几何形体的三视图，其中前视图为腰围2等。
腰三角形，顶视图是一个半径为1的半圆，那么几何体的体积是() 3A。
4？？3B.2？？3C。
？？63D。
？？315.知道吗？？=0.80.7，？？=log20.7，？？=1.30.8，a、b、c的尺寸关系为()A.？？0)。
㈠寻求？？(？？的定义域；(ii)求出k的值；(三)如果该功能？？(？？)然后呢？？(？？)图像有且只有一个交点，求a的取值范围4第4页，共12页答案和分析[回答] 1。
D 2。
A 8。
C 9。
B13.C10.A 4。
C 11。
B 5。
B 12。
D6.A7.D13.{？？|？？>？1和？？2} 14。
215.？？=4？？或者？？=0 16。
2≤?？0: 2？？？3>0，你能理解吗？？> log23，因此，函数的定义域是(log23，+∞)；第6页，共12页4444所以呢。
？=2，？？=1，？？=0。
㈡㈠？？(？？)=2？？+？？同时，中国政府将继续加强与美国的合作。
？？3>0，你能理解吗？？> log23，因此，函数的定义域是(log23，+∞)；第6页，共12页4444。
广东省广州市天河区2017-2018学年高一上学期期末数学试卷PDF版含解析
2017-2018学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}2．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=1，则异面直线AD与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0，直线l2的方程为2x﹣3y+4=0，若l1与l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．与A有关6．设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+49．函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．10．过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．x=3或3x+4y﹣29=0 B．y=3或3x+4y﹣29=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=011．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（）A．πB．πC．πD．8π12．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题13．函数y=ln（1﹣2x）的定义域是．14．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））=．15．若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a=．16．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m?α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β三、解答题17．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．19．已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．21．已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．22．已知a∈R，函数f（x）═log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．2017-2018学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，结合集合交集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，B={2，3，4}，∴?U B={1，5，6}，又∵A={1，2}，∴A∩（?U B）={1}，故选：D．2．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，可得tanθ＝，即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，∴tanθ＝，∵θ∈[0，π），∴θ=60°．故选C．3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）。
2016-2017学年天河区高一上学期数学期末考
天河区2016-2017年第一学期期末联考试题高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(U B )＝（ ）A ．{1，2，5，6}B ．{1，2，3，4}C ．{2}D ．{1}2－y ＋3＝0的倾斜角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．150°3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝12log xC ．1()f x xD ．f (x )＝－x |x |4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC，AA 1＝1，则异面直线AD 与BC 1所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．已知直线l 1的方程为Ax ＋3y ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1与l 2的交点在y 轴上，则C 的值为（ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．与A 有关6．设a ＝40.1，b ＝log 30.1，c ＝0.50.1，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a7．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是（ ）A ．－4B ．－3C ．－2D ．－18．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4俯视图主视图左视图9．函数2()f xx的零点所在的区间为（）A．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D．3,22⎛⎫⎪⎝⎭10．过点A(3，5)作圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝1的切线，则切线的方程为（）A．x＝3或3x＋4y－29＝0 B．y＝3或3x＋4y－29＝0C．x＝3或3x－4y＋11＝0 D．y＝3或3x－4y＋11＝011．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体的BCAC＝1，∠ACB＝90°，则此球的体积等于（）ABCD．8π12．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(2− x)＝0，②f(x－2)＝f(−x) ，③在[－1，1]上表达式为()f x=则函数f(x)与20()10x xg xx x⎧=⎨-⎩≤＞函数的图象在区间[－3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y＝ln（1－2x）的定义域是．14．设函数,0()17,02xxf xx=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜，则f(f(－4))＝．15．若直线(a＋1)x＋ay＝0与直线ax＋2y＝1垂直，则实数a＝．16．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有．（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥β，则m∥n②若m⊥α，n⊥β，则m⊥n③若α∥β，m⊂α，则m∥β④若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知点A（8，－6），B（2，2）．（1）求过点P（2，－3）且与直线AB平行的直线l的方程；（2）求线段AB的垂直平分线的方程．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝2，E是侧棱P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）求三棱锥P－CED的体积．19．（本题满分12分）已知函数x()2+2axf x （a为实数），且f(1)＝52．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)的奇偶性并证明；（3）判断函数f(x)在区间[0，＋∞)的单调性，并用定义证明．D AEP如图三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1M 为BC 的中点，P 为侧棱BB 1上的动点． （1）求证：平面APM ⊥平面BB 1C 1C ；（2）试判断直线BC 1与AP 是否能够垂直．若能垂直，求PB 的长；若不能垂直，请说明理由．21．（本题满分12分）C ，其圆心在射线y ＝－2x （x ＜0）上，且与直线x ＋y ＋1＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求△PMC 面积的最小值，求此时点P 的坐标．MP AA 1B 1BC 1C已知a∈R，函数21()log()f x ax=+．（1）若f(1)＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g(x)＝f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]，讨论函数g(x)的零点个数．2016-2017学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1，2，3，4} C．{2} D．{1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，结合集合交集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，B={2，3，4}，∴∁U B={1，5，6}，又∵A={1，2}，∴A∩（∁U B）={1}，故选：D．2．直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，可得tanθ=，即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°．故选C．3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用奇偶性、单调性的定义，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，B，非奇非偶函数；对于C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，故选：D．4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=1，则异面直线AD与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与BC1所成角．【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（），D（0，0，0），B（，0），C1（0，，1），=（﹣），=（﹣，0，1），设异面直线AD与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴θ=30°．∴异面直线AD与BC1所成角为30°．故选：A．5．已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0，直线l2的方程为2x﹣3y+4=0，若l1与l2的交点在y 轴上，则C的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．与A有关【考点】两条直线的交点坐标．【分析】直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点坐标，代入直线Ax+3y+C=0，求出可求C．【解答】解：直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点（0，），代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4．故选B．6．设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．7．已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣2a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣2a=2+4，∴a=﹣2，故选：C．8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D9．函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间．【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递增．因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为．故选D．10．过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．x=3或3x+4y﹣29=0 B．y=3或3x+4y﹣29=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=0【考点】圆的切线方程．【分析】由题意可得：圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，再结合题意设直线为：kx﹣y ﹣3k+5=0，进而由点到直线的距离等于半径即可得到k，求出切线方程．【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣3k+5=0，由点到直线的距离公式可得：=1解得：k=﹣，所以切线方程为：3x+4y﹣29=0；当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，满足圆心（2，3）到直线x=3的距离为圆的半径1，x=3也是切线方程；故选A．11．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（）A．π B．πC．πD．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的体积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，∴AA1=∴AA1=2，∵BC=，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圆的半径R=1，∴外接球的半径为=，∴球的体积等于=π，故选：C．12．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x ﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．画出f（x）在[﹣1，1]上的图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）在区间[﹣3，3]上的图象，即可得出交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．二、填空题13．函数y=ln（1﹣2x）的定义域是{x|x＜}．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据对数函数的性质，要使函数有意义，则需真数大于零．【解答】解：根据题意：1﹣2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}14．设函数f（x）=，则f（f（﹣4））=3．【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣4）=（）﹣4﹣7=9，从而f（f（﹣4））=f（9），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣4）=（）﹣4﹣7=9，f（f（﹣4））=f（9）==3．故答案为：3．15．若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a=0或﹣3．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的条件即可得出．【解答】解：当a=0时，两条直线方程分别化为：x=0，2y=1，此时两条直线垂直，因此a=0满足条件．当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣•（﹣）=﹣1，此时a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故答案为：0或﹣3．16．已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有②③（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的关系，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①若m∥α，n∥α，则m与n的关系不确定，故错误；②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l，故m⊥n，故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；故答案为：②③．三、解答题17．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．【考点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（Ⅰ）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．（Ⅱ）求出线段AB的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为，…所以由点斜式得直线l的方程4x+3y+1=0…（Ⅱ）因为AB的中点坐标为（5，﹣2），AB的垂直平分线斜率为…所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0…18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．（2）三棱锥P﹣CED的体积V P﹣CED=V C﹣PDE，由此能求出结果．【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵S△PDE===，∴三棱锥P﹣CED的体积V P﹣CED=V C﹣PDE===．19．已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）根据条件利用待定系数法进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的定义进行证明，（3）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）∵f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．∴f（1）=2+2a=．得2a=，即a=﹣1，则函数f（x）的解析式f（x）=2x+2﹣x；（2）f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．（3）设0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=（﹣）（1+），∵y=2x是增函数，∴﹣＜0，又1+＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）是增函数．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出直线BC1与AP不能垂直．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面APM，∴平面APM⊥平面BB1C1C．解：（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），C1（2，0，），A（0，0，0），设BP=t，（0），则P（0，2，t），=（2，﹣2，），=（0，2，t），若直线BC1与AP能垂直，则，解得t=，∵t=＞BB1=，∴直线BC1与AP不能垂直．21．已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．【考点】圆的切线方程．【分析】（1）设圆心C（a，﹣2a）（a＜0），圆心到直线x+y+1=0的距离d=，求出圆心，可得圆的方程；（2）由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0，化简PM=PO==，求出PM的最小值，进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可．【解答】解：（1）已知圆的半径为，设圆心C（a，﹣2a）（a＜0），∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=，∴a=﹣1．∴圆心C（﹣1，2）．则圆的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2；（2）点P（x0，y0），则PO=，PM=，由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0，PM=PO====．当时，PM=．因此，PM的最小值为．△PMC面积的最小值是：=．此时点P的坐标为（，）．22．已知a∈R，函数f（x）═log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得实数a的取值范围；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a ﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，分类讨论方程根的个数，可得不同情况下函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=，当a时，满足条件，a≤时，函数g（x）无零点；＜a≤1时，函数g（x）有一个零点；a＞1且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；2017年1月25日。
广州天河区高一上学期期末考试数学试卷含答案
18.已知平面向量 ， ， ，且 ， .
（1）求 和 ：
（2）若 ， ，求向量 与向量 的夹角的大小.
【答案】（1） ， ；（2） .
19.如图，在 中，已知 为线段 上的一点， .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ， ， ，且 与 的夹角为 时，求 的值．
【答案】（1） ；（2） .
4.函数 的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】D
5.已知弧长为 cm的弧所对的圆心角为 ，则这条弧所在的扇形面积为（）cm2．
A. B. C. D.
【答案】C
6.已知 ，则 （）.
A. B. C. D.
【答案】C
7.已知向量 ，则锐角 等于
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】B
20.如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪 ，直角边 米， 米，扇形花坛 是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路 和 ，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边 上，O在弧 上（点O异于D，E两点）， ， .
（1）设 ，记 ，求 的表达式，并求出此函数的定义域.
【答案】A
11.如图所示，在 中，D、E分别为线段 、 上的两点，且 ， ， ，则 的值为（）.
A. B. C. D.
【答案】C
12.定义在R上的函数 满足 ，且当 时， ， ，若任给 ，存在 ，使得 ，则实数a的取值范围为（）.
A. B.
C. D.
【答案】D
二、填空题（本大题共4题，每小题4分，共计16分.）
广东广州天河区高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分.）
2016—2017学年第一学期高一级数学期末考试答案 精品
2016-2017学年度第一学期高一级数学科期末试题答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）2y x =或 30x y +-= 16. 1118三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
）17．（本题满分10分）【解答】解：（1）∵点O （0，0），点C （1，3），∴OC 所在直线的斜率为．（2）在平行四边形OABC 中，AB ∥OC ， ∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ．∴CD 所在直线的斜率为．∴CD 所在直线方程为，即x+3y ﹣10=0．18. （本题满分12分） 【解答】证明：（Ⅰ）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，又在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，AE∩AD =A ， ∴CD ⊥平面ADE ，又在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴AB ⊥平面ADE ．…（6分） 解：（Ⅱ）连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ， ∵AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，∴AB ∥平面CDE ，又AE ⊥平面CDE ， ∴h=AE=1，又=，∴=，又==，∴凸多面体ABCDE 的体积V=V B ﹣CDE +V B ﹣ADE =．…（12分）19. （本题满分12分） 解：1）、(0)01x R f a ∈∴=∴=-……………….3分2)、22()1()13131x x f x f x =-∴+=++， 012314x x ≤≤∴≤+≤ ……………….5分1()112f x ∴≤+≤……………….7分 112t ∴≤≤……………….8分 （3）1132)(-+=xx f 在R 上单调递减，…………….9分 )22()(2m x f mx x f -≥-m x mx x 222-≤-…………….10分02)2(2≤++-m x m x0))(2(≤--m x x …………….11分（1）当2>m 时，不等式的解集是{}m x x ≤≤2| （2）当2=m 时，不等式的解集是{}2|=x x（3）当2<m 时，不等式的解集是{}2|≤≤x m x …………….14分20． 解：（1）由题意，112(),(),0;0)f x k x g x k k k x ==≠≥ 又由图知f （1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得1215,44k k == ………….2分∴1()(0);()0)4f x x x g x x =≥=≥ ……….3分 (不写定义域扣1分）（2）设对股票等风险型产品B 投资x 万元，则对债券等稳键型产品A 投资（10-x ）万元， 记家庭进行理财投资获取的收益为y 万元， ……….4分则1(10)0)4y x x =-+≥ ……….6分t =，则2x t =，(0t ≤ ……….8分∴21565()4216y t =--+ ……….10分 当52t =也即254x =时，y 取最大值6516……….11分答：对股票等风险型产品B 投资254万元，对债券等稳键型产品A 投资154万元时，可获最大收益6516万元. ……….12分 21． 解：(1)连接CN .因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC ， 所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5， 所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ . 故线段CC 1上存在点Q ，使得A 1B ⊥平面MNQ . 22． 解：（I ）抛物线的对称轴为2b x a=-， ①当22ba-<时，即4b a >-时， 当2bx a =-时，222max 29()()24248b b b b f x f ac c a a a a -=-=⨯-+=+=， min ()(2)422f x f a b c ==++=-，∴2948422b c a a b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩， ∴2,3a b =-=.②当22ba-≥时，即4b a ≥-时， ()f x 在[0,2]上为增函数，min ()(0)0f x f ==与min ()2f x =-矛盾，无解，综合得：2,3a b =-=.（II ）()||2f x x ≤对任意[1,2]x ∈恒成立，即1||2ax b x ++≤对任意[1,2]x ∈恒成立， 即122ax b x-≤++≤对任意[1,2]x ∈恒成立，令1()g x ax b x =++，则max min [()]2[()]2g x g x ≤⎧⎨≥-⎩， ∵01a <<1>，2≥，即104a <≤时，()g x 在[1,2]单调递减，此时max min [()](1)2[()](2)2g x g g x g =≤⎧⎨=≥-⎩，即121222a b a b ++≤⎧⎪⎨++≥-⎪⎩，得1522b ab a ≤-⎧⎪⎨≥--⎪⎩，此时57(2)(1)022a a a ----=--<， ∴5(2)(1)2a a --<- ∴5212a b a --≤≤-.（ⅱ）12<<，即114a <<时，()g x在单调递减，在单调递增，此时，min [()]222g x g b b =≥-⇒≥-⇒≥--只要(1)121(2)2222g a b g a b b ⎧=++≤⎪⎪=++≤⎨⎪⎪≥-⎩13222b a b a b ⎧≤-⎪⎪⇒≤-⎨⎪⎪≥-⎩，31(1)(2)22a a a ---=-当112a ≤<时，3122a a -≥-，3222b a -≤≤- 当1142a <<时，3122a a -<-，21b a -≤≤-. 综上得：①104a <≤时，5212a b a --≤≤-；②1142a <<时，21b a -≤≤-； ③112a ≤<时，3222b a -≤≤-.。
2017-2018第1学期天河区高一期末考(试卷+答案)
2017学年第一学期天河区期末考试高一数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、考号、姓名填写在答题卡相应的位置，将条型码粘在相应的条形码区。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线03=-+y x 的倾斜角为（ ）A.45°B.60°C.120°D.135°2.已知集合{}{}=1,2,3,4,5,6,B=A y y x A =∈，则=B A （） A.{}2,1 B.{}3,2,1 C.{}5,3,1 D.{}6,5,4,3,2,13.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）A.()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,44.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（ ） A. π334 B.π33 C. π63 D.π21 5.已知8.027.03.1,7.0log ,8.0===c b a ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>6.已知直线012:1=-+my x l 与直线02)2(:2=+--my x m l 平行，则实数m 的值是（ ） A.23 B.23或0 C.32 D.32或07.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，G F E ,,分别是11,,CC AB DD 的中点，则异面直线E A 1与GF 所成角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）A.052422=--++y x y xB.052422=-+-+y x y xC.02422=-++y x y xD.02422=+-+y x y x9.已知)0,0(0lg lg >>=+b a b a ，则函数x a x f =)(与函数x x g b log )(-=的图象可能是（ ）A. B. C. D.10.给出下列命题：①如果不同直线n m 、都平行于平面α，则n m 、一定不相交；②如果不同直线n m 、都垂直于平面α，则n m 、一定平行；③如果平面βα、互相平行，若直线α⊂m ，直线β⊂n ，则n m //；④如果平面βα、互相垂直，且直线n m 、也互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ；其中正确的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11.已知圆1)4()3(:22=-+-y x C 和两点)0)(0,(),0,(>-m m B m A ，若圆C 上存在点P ，使得︒=∠90APB ，则m 的最大值为（ ）A. 7B.6C.5D.412.偶函数))((R x x f ∈满足0)2()5(==-f f ，且在区间]4,0[与),4[+∞上分别递增和递减，则不等式0)(<⋅x f x 的解集为（ ）A.),5()2,2()5,(+∞---∞B.)5,2()2,5( --C.),5()2,0(+∞D.),5()2,0()2,5(+∞--第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数)1(log 121)(2++-=x x x f 的定义域为 14.已知一个四棱柱，其底面是正方形，侧楞垂直于底面，它的各个顶点都在一个表面积为π42cm 的球面上.如果该四棱柱的底面边长为1cm ，则其侧楞长为cm .15.已知R m ∈，过原点O 作圆01684)2(22=---++m y x y m x 的切线，则此时的切线方程为16.已知函数⎩⎨⎧≥<+-=)1()1(1)2()(x ax x a x f x 满足对任意的21x x <，都有)()(21x f x f <恒成立，那么实数a 的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知直线08)2(:1=-+-my x m l 与直线03:2=-+y mx l ，其中m 为常数.（I ）若21l l ⊥，求m 的值；（II ）若点)2,1(m P 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是π2，底面直径与母线长相等.（I ）求圆柱的侧面积；（II ）求三棱柱111C B A ABC -的体积.19.（本小题满分12分） 已知函数c x b ax x f ++=)(是奇函数（c b a ,,是常数），且满足29)2(,3)1(==f f . （I ）求c b a ,,的值；（II ）试判断函数)(x f 在区间)22,0(上的单调性，并用定义证明.20.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB //，AD AB ⊥，AB CD 2=，平面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA ⊥， E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证：（I ）//BE 平面PAD ；（II ）BC PA ⊥；（III ）平面⊥BEF 平面PCD .21.（本小题满分12分）已知圆C 的圆心为点)3,0(C ，点)2,3(-D 在圆C 上，直线l 过点)0,1(-A 且与圆C 相交于PQ 两点，点M 是线段PQ 的中点.（I ）求圆C 的方程；（II ）若3=AM ，求直线l 的方程.22.（本小题满分12分）已知函数)()14(log )(2R k kx x f x ∈++=是偶函数，)342(log )(2a a x g x -⋅=（其中0>a ）. （I ）求函数)(x g 的定义域；（II ）求k 的值；（III ）若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.2017学年第一学期期末联考高一数学试题参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题二、填空题13.),21()21,1(+∞- ； 15.0340x x y =-=或； 16.3[,2)2．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步聚或推理过程．）17．（本小题满分10分）（I ）∵21l l ⊥∴0)2(=+-m m m解得0=m 或1=m（II ）当0=m 时，P 为（1,0），3:2=y l ，不合题意；当1=m 时，P 为（1,2），03:2=-+y x l ，符合题意.∵直线l 在两坐标轴上的截距之和为0（1）当直线l 过原点时，可设l 的方程为kx y =，将点P （1,2）带入得2=k∴此时l 为x y 2=（2）（2）当直线l 不经过原点时，可设l 的方程为λ=-y x ，将点P （1,2）带入得1-=λ∴此时l 为01=+-y x综上可得直线l 的方程为x y 2=或01=+-y x .18．（本小题满分12分）解：（I ）设底面圆的直径为r 2，由题可知ππ222=⋅=r r V 圆柱∴1=r∴圆柱的侧面积ππ422=⋅=r r S（II ）因为△ABC 位正三角形，底面圆的半径为1，∴可得边长AB=3∴三棱柱111C B A ABC -的体积233223321=⨯⨯⨯=V19．（本小题满分12分）解：（I ）∵c x b ax x f ++=)(是奇函数，且29)2(,3)1(==f f . ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-=++==++=3)1(2922)2(3)1(c b a f c b a f c b a f 解得⎪⎩⎪⎨⎧===012c b a∴a=2,b=1,c=0（II ）函数)(x f 在区间)22,0(单调递减 证明：在区间)22,0(任取21,x x ，且令21x x < 由（I ）知xx x f 12)(+= ∴)12)(()(2)12(12)()(2121211221221121x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=-+-=+-+=- ∵22021<<<x x ∴210,02121<<<-x x x x ∴0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >∴函数)(x f 在区间)22,0(单调递减20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵AB ∥CD ，CD=2AB ，E 是CD 的中点，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD ．又AD ⊂平面PAD ，BE 不在平面PAD 内，∴BE ∥平面PAD ．（Ⅱ）∵PA ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴PA ⊥平面ABCD ．∵BC ⊂平面ABCD∴PA ⊥BC（Ⅲ）在平行四边形ABED 中，AB ⊥AD ，∴ABED 为矩形，∴BE ⊥CD ①．由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AB ，再由AB ⊥AD∴AB ⊥平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD ．∵E 、F 分别为CD 和PC 的中点，可得EF ∥PD ，∴CD ⊥EF ②．而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD ⊥平面BEF ．∵CD ⊂平面PCD ，∴平面BEF ⊥平面PCD ．21．（本小题满分12分）解：（I ）由题可设圆的方程为222)3(r y x =-+∵点)2,3(-D 在圆C 上∴4132=+=r∴圆C 的方程为4)3(22=-+y x（II ）∵点M 是弦PQ 的中点∴PQ CM ⊥由A （-1,0），C （0,3）可得10=AC ∴191022=-=-=AM AC CM 即圆心C 到直线l 的距离等于1（1）直线l 的斜率不存在时，直线l 为1-=x ，符合题意（2）当直线l 的斜率存在时，可设直线l 为)1(+=x k y ∵1132=+-=k k CM ，得34=k ∴直线l 为)1(34+=x y ,即0434=+-y x ∴直线l 为1-=x 或0434=+-y x22．（本小题满分12分）解：（I ）∵0342>-⋅a a x ，且 ∴342>x ∴34log 2>x 所以定义域为 （II ）∵是偶函数 ∴对任意恒成立 即恒成立，∴（III ）∵函数与的图象有且只有一个交点∴方程在上只有一解即方程在上只有解 令则因而等价于关于的方程在上只有一个解①当时，解得，不合题意。
2016-2017学年XXX高一上学期期末数学试卷和解析
2016-2017学年XXX高一上学期期末数学试卷和解析2016-2017学年XXX高一（上）期末数学试卷一。
填空题1.函数f(x)=log(3x+1)的定义域是(-1/3.+∞)。
2.函数f(x)=x^2(x≥1)的反函数f^-1(x)=√x(x≥1)。
3.若幂函数f(x)=a^x的图像经过点(2.4)，则a=2.4.若对任意不等于1的正数a，函数f(x)=a(x+2)-3的图像都过点P(1.1/2)，则点P的坐标是(1.1/2)。
5.已知f(x)=ax^2+bx是定义在[a^-3.2a]上的偶函数，则a=-1/3，b=2/3.6.方程log2(x+1)^2+log4(x+1)=5的解是x=5/2.7.已知符号函数sgn(x)=[x/|x|]的值域为{-1.0.1}。
8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x^2+x，则函数f(x)的解析式为f(x)=|x|^2-|x|。
9.函数y=x/(x-1)的单调增区间为(-∞。
0)和(1.+∞)，则函数y=sgn(|x|)+|sgn(x)|的单调增区间为(-∞。
-1)和(0.+∞)。
10.设函数y=f(x)存在反函数f^-1(x)，若满足f(x)=f^-1(x)恒成立，则称f(x)为“自反函数”，如函数f(x)=x，g(x)=b-x，(k≠0)等都是“自反函数”，一个不同于上述例子的“自反函数”是y=-1/x。
11.方程x^2+2x-1=0的解可视为函数y=x+2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是(-∞。
-8)。
12.对于函数y=f(x)，若存在定义域D内某个区间[a,b]，使得y=f(x)在[a,b]上的值域也是[a,b]，则称函数y=f(x)在定义域D上封闭。
如果函数y=x^2在定义域R上封闭，则定义域D=[0.+∞)。
广东省广州市天河区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
m m
a b
D．
b
a
m
a b
4．已知点
1,
3
在角
的终边上，则
tan
π 4
的值为（
）
A． 1 2
B． 2
C．
1 2
D．2
5．如图中，①②③④中不属于函数
y
3x
，
y
2x
，
y
1 2
x
中一个的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
6．已知
f
x
x2
1,
2x,
x 0 ，若 f a 5 ，则实数 a 为（
本 固定成本)
(2)当年产量为多少时，年利润 L x 最大? 并求出最大年利润.
21．已知函数
f
x
4cosxsin
x
π 3
3,x R ．
(1)求函数 f x 的最小正周期以及单调递减区间；
(2)设函数 g x
f
x
π 12
4cos
x
1，求函数
g
x
在
π 6
,
5π 6
上的最大值、最小值．
12．已知函数
f
x
ex 1, x m x2 4x 4,
x
m
（
m
R, e
为自然对数的底数），则（
）
A．函数 f x 至少有 1 个零点
B．函数 f x 至多有 1 个零点
试卷第 2页，共 4页
C．当 m 3 时，若 x1
x2 ，则
f
x1 f x2
x1 x2
0
D．当 m 0 时，方程 f f x 0 恰有 4 个不同实数根
XXX2016-2017高一上学期期末数学试卷( word版含答案)
XXX2016-2017高一上学期期末数学试卷( word版含答案)2016-2017学年XXX高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分。
请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上。
1.函数y=____。
2.函数____。
3.已知函数____的定义域为____。
函数____的最小正周期为____，f(1)+f(-1)=____。
4.已知幂函数y=f(x)的图象过点(0,8)，则f(2)=____。
5.把函数y=sin(x)的图象向左平移π/2个单位长度，所得到的图象的函数表达式为____。
6.9=____。
7.函数y=sin(x)+cos(x)的单调递增区间为____。
8.若函数y=sin(πx+φ)过点(1,0)，则φ=____。
9.若tan(x)和cot(y)的夹角为60°，且sin(x)+cos(y)=1，则sin(y-x)=____。
10.在△ABC中，D为边BC上一点，且AD⊥BC，若AD=1，BD=2，CD=3，则∠BAC的度数为____。
11.若sin(θ)=2/3，则si n(2θ)=____，cos(2θ)=____。
12.若锐角α，β满足cos(2α)+cos(2β)=1，则sin(α+β)=____。
13.若方程| |x|-a^2| -a=0有四个不同的实根，则实数a的取值范围为____。
14.已知函数f(x)=x^3+x+1，若对任意的x，都有f(x^2+a)+f(ax)>2，则实数a的取值范围是____。
二、解答题（本大题共6小题，共90分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）15.已知集合A={x|2x≥16}，B={x|log2x≥a}。
1) 当a=1时，求A∩B；2) 若A是B的子集，求实数a的取值范围。
16.已知向量a=2i+j，b=i+k，c=xi-yj+2k。
1) 若a·c=0，b·c=0，求x的值；2) 当x∈[0,2]时，求|c|的取值范围。
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2016-2017学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A ∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}2．（5.00分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°3．（5.00分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|4．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=1，则异面直线AD 与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（5.00分）已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0，直线l2的方程为2x﹣3y+4=0，若l1与l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．与A有关6．（5.00分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．（5.00分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a 的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣18．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+49．（5.00分）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．10．（5.00分）过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．x=3或3x+4y﹣29=0 B．y=3或3x+4y﹣29=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=011．（5.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（）A．πB．πC．πD．8π12．（5.00分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f （x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题13．（5.00分）函数y=ln（1﹣2x）的定义域是．14．（5.00分）设函数f（x）=，则f（f（﹣4））=．15．（5.00分）若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a=．16．（5.00分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β三、解答题17．（10.00分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．18．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．19．（12.00分）已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．20．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．21．（12.00分）已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．22．（12.00分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．2016-2017学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A ∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1，2，3，4}C．{2}D．{1}【分析】根据已知中全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，结合集合交集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，B={2，3，4}，∴∁U B={1，5，6}，又∵A={1，2}，∴A∩（∁U B）={1}，故选：D．2．（5.00分）直线x﹣y+3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°【分析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，可得tanθ=，即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，∴tanθ=，∵θ∈[0，π），∴θ=60°．故选：C．3．（5.00分）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）=2x B．f（x）=log x C．f（x）=D．f（x）=﹣x|x|【分析】利用奇偶性、单调性的定义，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，B，非奇非偶函数；对于C，是奇函数，不是定义域上的减函数；对于D，在其定义域上既是奇函数又是减函数，故选：D．4．（5.00分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=，AA1=1，则异面直线AD 与BC1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与BC1所成角．【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（），D（0，0，0），B（，0），C1（0，，1），=（﹣），=（﹣，0，1），设异面直线AD与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴θ=30°．∴异面直线AD与BC1所成角为30°．故选：A．5．（5.00分）已知直线l1的方程为Ax+3y+C=0，直线l2的方程为2x﹣3y+4=0，若l1与l2的交点在y轴上，则C的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．与A有关【分析】直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点坐标，代入直线Ax+3y+C=0，求出可求C．【解答】解：直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点（0，），代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4．故选：B．6．（5.00分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故选：B．7．（5.00分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0截直线x+y+2=0所得弦长为4，则实数a 的值是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a 的值．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+2a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣2a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣2a=2+4，∴a=﹣2，故选：C．8．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．9．（5.00分）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【分析】利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间．【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递增．因为，，，，所以，所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为．故选：D．10．（5.00分）过点A（3，5）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=1的切线，则切线的方程为（）A．x=3或3x+4y﹣29=0 B．y=3或3x+4y﹣29=0C．x=3或3x﹣4y+11=0 D．y=3或3x﹣4y+11=0【分析】由题意可得：圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，再结合题意设直线为：kx﹣y﹣3k+5=0，进而由点到直线的距离等于半径即可得到k，求出切线方程．【解答】解：由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：（2，3）；1，当切线的斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为：kx﹣y﹣3k+5=0，由点到直线的距离公式可得：=1解得：k=，所以切线方程为：3x﹣4y+11=0当切线的斜率不存在时，直线为：x=3，满足圆心（2，3）到直线x=3的距离为圆的半径1，x=3也是切线方程；故选：A．11．（5.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，则此球的体积等于（）A．πB．πC．πD．8π【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的体积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，BC=，AC=1，∠ACB=90°，∴AA1=∴AA1=2，∵BC=，AC=1，∠ACB=90°，△ABC外接圆的半径R=1，∴外接球的半径为=，∴球的体积等于=π，故选：C．12．（5.00分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f （x﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．画出f（x）在[﹣1，1]上的图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）在区间[﹣3，3]上的图象，即可得出交点个数．【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．二、填空题13．（5.00分）函数y=ln（1﹣2x）的定义域是{x|x＜} ．【分析】根据对数函数的性质，要使函数有意义，则需真数大于零．【解答】解：根据题意：1﹣2x＞0∴x＜故答案为：{x|x＜}14．（5.00分）设函数f（x）=，则f（f（﹣4））=3．【分析】先求出f（﹣4）=（）﹣4﹣7=9，从而f（f（﹣4））=f（9），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣4）=（）﹣4﹣7=9，f（f（﹣4））=f（9）==3．故答案为：3．15．（5.00分）若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a=0或﹣3．【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的条件即可得出．【解答】解：当a=0时，两条直线方程分别化为：x=0，2y=1，此时两条直线垂直，因此a=0满足条件．当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣•（﹣）=﹣1，此时a=﹣3．综上可得：a=0或﹣3．故答案为：0或﹣3．16．（5.00分）已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列四个结论中，正确的有②③（填写所有正确结论的编号）①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若a∥β，m⊂α，则m∥β；④若m⊥n．m⊥α，n∥β，则α⊥β【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的关系，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：①若m∥α，n∥α，则m与n的关系不确定，故错误；②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l，故m⊥n，故正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；④如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；故答案为：②③．三、解答题17．（10.00分）已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．【分析】（Ⅰ）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．（Ⅱ）求出线段AB的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程．【解答】解：（Ⅰ）因为，…（2分）所以由点斜式得直线l的方程4x+3y+1=0…（4分）（Ⅱ）因为AB的中点坐标为（5，﹣2），AB的垂直平分线斜率为…（6分）所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23=0…（8分）18．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点．（1）求证：PC∥平面BDE（2）求三棱锥P﹣CED的体积．【分析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．=V C﹣PDE，由此能求出结果．（2）三棱锥P﹣CED的体积V P﹣CED【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，∴O是AC中点，∵E是侧棱PA的中点，∴OE∥PC，∵PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA的中点，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵S===，△PDE=V C﹣PDE===．∴三棱锥P﹣CED的体积V P﹣CED19．（12.00分）已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．【分析】（1）根据条件利用待定系数法进行求解即可．（2）根据函数奇偶性的定义进行证明，（3）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）∵f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）=．∴f（1）=2+2a=．得2a=，即a=﹣1，则函数f（x）的解析式f（x）=2x+2﹣x；（2）f（﹣x）=2﹣x+2x=﹣（2x﹣2﹣x）=f（x），则函数f（x）是偶函数．（3）设0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣+=（﹣）（1﹣）=（﹣），∵y=2x是增函数，∴﹣＜0，当x＞0时，＞1，则﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）是增函数．20．（12.00分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（2）试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．【分析】（1）推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，由此能证明平面APM⊥平面BB1C1C．（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出直线BC1与AP不能垂直．【解答】证明：（1）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA1=，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．∴AM⊥BC，AM⊥BB1，∵BC∩BB1=B，∴AM⊥平面BB1C1C，∵AM⊂平面APM，∴平面APM⊥平面BB1C1C．解：（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），C1（2，0，），A（0，0，0），设BP=t，（0），则P（0，2，t），=（2，﹣2，），=（0，2，t），若直线BC1与AP能垂直，则，解得t=，∵t=＞BB1=，∴直线BC1与AP不能垂直．21．（12.00分）已知半径为的圆C，其圆心在射线y=﹣2x（x＜0）上，且与直线x+y+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点P（x0，y0））向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求△PMC面积的最小值，并求此时点P的坐标．【分析】（1）设圆心C（a，﹣2a）（a＜0），圆心到直线x+y+1=0的距离d=，求出圆心，可得圆的方程；（2）由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0，化简PM=PO==，求出PM的最小值，进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可．【解答】解：（1）已知圆的半径为，设圆心C（a，﹣2a）（a＜0），∵圆心到直线x+y+1=0的距离d=，∴a=﹣1．∴圆心C（﹣1，2）．则圆的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2；（2）点P（x0，y0），则PO=，PM=，由|PM|=|PO|，得2x0﹣4y0+3=0，PM=PO====．当时，PM=．因此，PM的最小值为．△PMC面积的最小值是：=．此时点P的坐标为（，）．22．（12.00分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【分析】（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得实数a的取值范围；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，即+a=（a﹣4）x+2a ﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，分类讨论方程根的个数，可得不同情况下函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，④a≤1时，函数g（x）无零点综上可得：a≤1时，函数g（x）无零点1＜a≤2，或a=3，或a=4时，函数g（x）有一个零点；赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函．．数．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．a ＞2且a ≠3且a ≠4时函数g （x ）有两个零点；。