向量的坐标表示及其运算
向量的坐标表示及运算
向量的坐标表示及运算知识回顾：一、概念：a 是平面内任意一个向量，i 、j 分别是与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，a =x i +y j ，()y x ,叫做a 的坐标，记作a =()y x ,。
二、向量的坐标的运算： 设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 加法运算： ⑵ 减法运算：⑶ 实数与向量的积： ⑷ 向量的数量积：⑸ 已知两点A ()11,y x ，B ()22,y x ，则的坐标可以表示为：⑹ a 的模 |a |=三、三种关系：设a =()11,y x ，b =()22,y x⑴ 相等：a =b ⇔ ⑵ 共线：a //b ⇔ ⑶垂直：a ⊥b ⇔知识的运用：例1：设向量a =()2,1-，b =()1,2-，求（a • b ）（a +b ）。
例2：平面向量a ，b 中，已知()3,4-=a ，1=b ，且a ·b 0=，求b 。
例3：已知a =()2,1，b =()2,3-，当k 为何值时，⑴ k a +b 与a –3b 垂直？ ⑵ k a +b 与a –3b 平行？平行时它们是同向还是反向？例4：已知ABC ∆是等腰直角三角形， 90=∠ABC ，()1,2A ，()2,3-B ，求C 点坐标。
课后练习1．已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标为 。
2．若平面向量b 与向量()2,1-=a 的夹角是90°53=，则=b 。
3．若平面向量b 与向量()2,1-=的夹角是180°53=，则=b 。
4．已知e 为单位向量，()13,13+-=且e 与a 夹角为45°，则=e 。
5．已知向量()2,2-=a ，()k ,5=b 。
若b a +不超过5，则k 的取值范围是A 、[]6,4-B 、[]4,6-C 、[]2,6-D 、[]6,2-6．已知向量()2,1=a ，()4,2--=b ，5=c ，若()b a +·25=c ，则a 与c 的夹角为A 、30°B 、60°C 、120°D 、150°。
8.1向量的坐标表示及其运算
a
位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
பைடு நூலகம்
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
例2：设ABC三个顶点坐标分别为A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ),G是ABC的重心，求G的坐标。
重心坐标公式
x
y
x1 y1
x2 3 y2 3
x3 y3
例3 : 线段AB的端点为A( x, 5), B(2, y), 直线AB上的点C(1,1),使 AC 2 BC , 求x, y的值.
存在唯一实数 ，使 b a ，则
(x2 , y2 ) (x1, y1) ( x1, y1)
因此 x1 y2 x2 y1 x1( y1) ( x1) y1 0
平面向量平行条件的坐标表示
定理：已知任意向量 a (x1, y1),b (x2, y2),
a//b 的充要条件是 x1 y2 x2 y1 0
②求点A关于点B的对称点H的坐标
③若点C分有向线段 AB 的比 ＝2，求点C的坐标 ④求点D(0.5，y)分有向线段 AB 的比 及y值。
⑤若 AE 5 AB ,求点E的坐标 22
3, 若P是分 P1 P2定比为2的分点, 则P是分P2P1定比为 ___的分点， 则P1是分PP2定比为 ___的分点， 则P2是分PP1定比为 ___的分点。
向量的线性运算与坐标表示
向量的线性运算与坐标表示向量是线性代数中一个基本的概念，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将重点讨论向量的线性运算以及如何用坐标表示向量。
一、向量的定义与表示在二维和三维空间中，向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向和长度表示向量的方向和大小。
如图所示：[插入示意图：箭头向量的表示]向量有两种表示方法：行向量和列向量。
行向量按照元素排列在一行中，用方括号括起来；列向量按照元素排列在一列中，用方括号括起来。
例如，行向量[a, b, c]和列向量[a; b; c]表示同一个向量。
二、向量的线性运算向量的线性运算主要包括加法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法遵循“平行四边形法则”，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头连接起来，箭头的指向为新向量的方向，连接起点和终点，得到新向量的结果。
如图所示：[插入示意图：向量加法示意图]向量加法的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，向量b的坐标为[b1, b2, b3]，则向量a和向量b的和的坐标为[a1+b1, a2+b2,a3+b3]。
2. 向量的数乘向量的数乘是将向量的每个元素与一个实数相乘，得到一个新的向量。
数乘后的向量与原向量的方向相同（当数乘的实数为正数时）或相反（当数乘的实数为负数时），而长度与原向量的长度之比为数乘的实数绝对值。
向量的数乘的坐标表示为，设向量a的坐标为[a1, a2, a3]，实数k，则向量a的数乘结果的坐标为[k*a1, k*a2, k*a3]。
三、向量的坐标表示向量可以用坐标进行表示，坐标是指向量在坐标系中的位置。
在二维平面中，通常以x轴和y轴为基础建立直角坐标系；而在三维空间中，通常以x轴、y轴和z轴为基础建立直角坐标系。
在直角坐标系中，向量的坐标表示为(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的投影长度。
例如，向量a在直角坐标系中的坐标表示为(a1, a2, a3)。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
8.1.2向量的坐标表示及其运算
二、定比分点的概念
于P 的任意一点， 则存在唯一的实数 ，使得 , P 1 2
设P 是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同 1, P 2
PP 1 PP 2
其中 叫做点 P 分有向线段 PP 所成的比 1 2
P1
P P1 P
P2 P2 P2
P
l l l
0
例 6．已知 A3,2 , B8,3点 P 在直线 AB 上， 且满足 AP 2 PB ，求点 P 的坐标.
例 7．在 ABC 中， A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ， 求 ABC 重心 G 的坐标.
A
G
.
E
B
D
C
x1 x2 x3 y1 y2 y3 G , 3 3
例 1．已知 a x 1,2, b 1, x （1）若 a // b ，求实数 x 的值； （2）若 a b //a b ，求实数 x 的值.
例 2．已知 a // b , a 2,3 ,且 b 2 13，求 b 的坐标.
方法一： 方法二：
例3. O 是坐标原点， OA (k ,12), OB (4,5),
A, B, C 三点共线？ OC (10, k ) ，当 k 为何值时， 分析： A, B, C 三点共线的充要条件是 AB // BC
解： AB OB OA (4 k , 7)
BC OC OB (6, k 5) AB// BC (4 k ) (k 5) 6 (7) 0 2 化简得： k 2 或 11 k 9k 22 0 解得： A, B, C 三点共线. 因此 k 2 或 11时，
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。
类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。
2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。
数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。
3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。
根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。
4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。
如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。
如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。
向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。
向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示
12345
2.已知
→ AB
＝(－2,4)，则下列说法正确的是
A.点A的坐标是(－2,4)
B.点B的坐标是(－2,4)
C.当点B是坐标原点时，点A的坐标是(－2,4)
√D.当点A是坐标原点时，点B的坐标是(－2,4)
解析 由任一向量的坐标的定义可知，当A是坐标原点时，点B的坐标 是(－2,4).
12345
反思 感悟
向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的 运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后 再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练 2 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C等于
的有效方法．
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学 运算素养.
3 随堂演练
PART THREE
1.已知 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则12a－32b 等于
√A.(－1,2) B.(1，－2)
C.(－1，－2)
D.(1,2)
解析 12a－32b＝12(1,1)－32(1，－1)＝12－32，12＋32＝(－1,2).
x＝2， ∴y＝72，
∴D2，72.
12345
4.若向量B→A＝(2,3)，C→A＝(4,7)，则B→C＝__(_－__2_，__－__4_)__. 解析 B→C＝B→A＋A→C＝B→A－C→A＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4).
12345
5.已知 A(2,4)，B(－4,6)，若A→C＝32A→B，B→D＝43B→A，则C→D的坐标为_1_1_，__－__1_31__. 解析 ∵A→B＝(－6,2)，A→C＝32A→B＝(－9,3)， ∴C(－7,7)，B→D＝43(6，－2)＝8，－83， ∴D4，130，∴C→D＝11，－131.
1.3 空间向量的坐标表示及其运算(共47张PPT)
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
加法
减法
数乘
数量积
向量表示
a+b
a-b
λa
a·b
坐标表示
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
能运用公式解决问
题.(数学运算)
思维脉络
情境导学
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现
代化问题》中指出:“数学研究数量关系与空间形
式,简单讲就是形与数,欧几里得几何体系的特点是
排除了数量关系,对于研究空间形式,你要真正的
‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办
法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是
(1)求AB + CA, CB-2BA, AB ·AC;
(2)若点 M 满足AM =
1
3
AB + AC,求点
2
4
M 的坐标;
(3)若 p=,q=,求(p+q)·(p-q).
思路分析先由点的坐标求出各个向量的坐标,再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解.
解:(1)因为 A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
(2)a⊥b⇔
a·b=0
⇔
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R);
a1b1+a2b2+a3b3=0
.
点睛：当b的坐标中b1,b2,b3都不等于0时,a与b平行的条件还可以表
向量的坐标表示和坐标运算
极坐标系
以原点为极点，以正x轴为极 轴，用极角和极径表示点的位
置。
圆柱坐标系
适用于描述旋转对称或柱面结 构的问题，其中z轴与旋转轴
重合。
球坐标系
适用于描述空间中距离和角度 的问题，其中原点与球心重合
。
向量的模
Байду номын сангаас
1 2
向量的模
表示向量的大小或长度，记作 $|overset{longrightarrow}{AB}|$。
2023
PART 04
向量的向量积
REPORTING
定义与性质
定义
向量积是一个向量运算，其结果是 一个向量，记作a×b。
性质
满足反交换律，即a×b=-b×a；不 满足结合律，即 (a+b)×c≠a×c+b×c。
几何意义
方向
向量积的方向垂直于作为运算两向量的平面，其指向按照右手定则确定。
长度
向量积的长度等于两向量构成的平行四边形的面积。
2023
PART 02
向量的基本运算
REPORTING
向量的加法
01
向量加法定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点 为共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，所得到的 向量。
02 03
向量加法的几何意义
向量加法的几何意义可以理解为平行四边形的对角线向量 ，即两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形 的对角线向量。
坐标系
向量的坐标表示
在直角坐标系中，向量可以用有序实 数对表示，即 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
平面几何中的向量及其运算
平面几何中的向量及其运算向量在平面几何中，是指具有大小和方向的量。
在数学上，向量可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
一、向量的表示在平面几何中，向量可以通过坐标表示。
以点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的向量为例，向量AB可以表示为⃗{AB}=(x2-x1, y2-y1)。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量合成为一个新的向量。
设有向量⃗{OA}和⃗{OB}，它们的和向量为⃗{OC}，则⃗{OC} = ⃗{OA} + ⃗{OB}。
可以通过将两个向量的x分量相加，y分量相加得到新向量的x分量和y分量。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
设有向量⃗{OA}和⃗{OB}，它们的差向量为⃗{OC}，则⃗{OC}= ⃗{OA} - ⃗{OB}。
可以通过将被减向量的x分量减去减向量的x分量，y分量减去减向量的y分量得到新向量的x分量和y分量。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设有向量⃗{OA}，实数k，它们的数乘向量为k⃗{OA}，则k⃗{OA} = (kx, ky)，其中kx为向量⃗{OA}的x分量乘以k，ky为向量⃗{OA}的y 分量乘以k。
4. 内积内积是指将两个向量进行点乘操作，得到一个实数。
设有向量⃗{OA}和⃗{OB}，它们的内积为⃗{OA}·⃗{OB}，则⃗{OA}·⃗{OB} = x1*x2 + y1*y2，即两个向量对应分量相乘后相加。
5. 外积外积是指将两个向量进行叉乘操作，得到一个新的向量。
设有向量⃗{OA}和⃗{OB}，它们的外积为⃗{OA}×⃗{OB}，则⃗{OA}×⃗{OB} = (0, 0, x1*y2 - y1*x2)。
三、向量的性质1. 向量的大小向量的大小用模表示，即向量⃗{AB}的大小为|⃗{AB}| = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)，也可以使用坐标的绝对值计算。
向量的坐标表示及运算
向量积的坐标计算公式
01
在三维空间中，对于两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，它们的向量积的坐标计算公式为
02
a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
03
这个公式可以用来计算两个向量的向量积的坐标。
05
向量的向量积与运算
向量积的定义及性质
定义
向量积是一种二元运算，其结果是一个向量而不是一个 标量。对于两个向量a和b，它们的向量积记作a×b。
性质
向量积满足以下性质
反交换律
a×b = -b×a
分配律
(a+b)×c = a×c + b×c
与零向量的运算
任何向量与零向量的向量积都是零向量。
与自己的运算
向量的方向角
向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。在二维平面中，向量与x轴正方向的夹角记作$alpha$，取值 范围为$[0,pi]$；在三维空间中，向量与x轴、y轴、z轴正方向的夹角分别记作$alpha$、$beta$、$gamma$， 取值范围均为$[0,pi]$。
向量的线性运算性质
向量的加法
混合积在几何中的应用举例
01
x_2 & y_2 & z_2 & 1
02
x_3 & y_3 & z_3 & 1
x_4 & y_4 & z_4 & 1
03
混合积在几何中的应用举例
end{matrix} right|$
应用3：求解平面方程。设平面过点$P(x_0, y_0, z_0)$，且平面的法向量为$vec{n} = (A, B, C)$，则平 面的方程可表示为
向量的坐标表示及其运算教案
向量的坐标表示及其运算教案第一章：向量的概念及其坐标表示1.1 向量的定义引导学生回顾初中阶段所学到的向量概念，向量是有大小和方向的量。
解释向量在高中数学中的重要性，特别是在坐标系中的运用。
1.2 向量的表示方法介绍向量的表示方法，包括用箭头表示和用字母表示。
强调在坐标系中，向量可以用有序数对(a, b) 表示，其中a 表示向量在x 轴上的分量，b 表示向量在y 轴上的分量。
1.3 向量的模解释向量的模是指向量的大小，用||v|| 表示。
引导学生利用坐标系计算向量的模，即||v|| = √(a²+ b²)。
第二章：向量的加法和减法2.1 向量的加法解释向量的加法是指将两个向量首尾相接，形成一个新的向量。
引导学生利用坐标系进行向量的加法运算，即将对应分量相加。
2.2 向量的减法解释向量的减法是指从第一个向量中减去第二个向量，即加上第二个向量的相反向量。
引导学生利用坐标系进行向量的减法运算，即将对应分量相减。
第三章：向量的数乘3.1 向量的数乘概念解释向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
强调数乘不改变向量的方向，只改变向量的大小。
3.2 向量的数乘运算引导学生利用坐标系进行向量的数乘运算，即将每个分量与实数相乘。
举例说明数乘运算的性质，如a(b·c) = (a·b)c 等。
第四章：向量的点积4.1 向量的点积概念解释向量的点积是指两个向量的对应分量相乘后相加的结果，用v·w 表示。
强调点积的计算结果是一个标量，而不是向量。
4.2 向量的点积运算引导学生利用坐标系进行向量的点积运算，即将对应分量相乘后相加。
举例说明点积的性质，如v·w = w·v、v·(w+z) = v·w + v·z 等。
第五章：向量的叉积5.1 向量的叉积概念解释向量的叉积是指两个非共线的向量形成的平行四边形的面积，用v×w 表示。
空间向量的坐标和运算
空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1、空间直角坐标系在单位正方体$OABC$-$D$′$A$′$B$′$C$′中，以$O$点为原点，分别以射线$OA$，$OC$，$OD$′的方向为正方向，以线段$OA$，$OC$，$OD$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$Oxyz$，其中点$O$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xOy$平面、$yOz$平面、$xOz$平面。
2、空间向量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$=$(x_2-x_1$,$y_2-y_1$,$z_2-z_1)$。
3、空间向量的坐标运算设$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则（1）$\boldsymbol a+\boldsymbol b$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。
（2）$\boldsymbol a-\boldsymbol b$=$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。
（3）$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
（4）$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。
（5）$λ\boldsymbol a=（λx_1,λy_1,λz_1）$。
4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件设非零向量$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbol a∥\boldsymbolb\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf {R})$。
8.1.1向量的坐标表示及其运算
d
c 3i 3 j (3, 3)
i e
x
d 4i 0 j (4, 0) e 2i 3 j (2, 3)
三、向量的坐标运算 已知 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 和实数 ，则
a b ( x1i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
i
结论：位置向量的坐标即为终点的点坐标
并把 x, y 叫做向量OP的坐标.
二、向量的坐标
已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，
如何定义向量 AB 的坐标. 解：AB OB OA
y
x2 i y2 j x1i y1 j x2 x1 i y2 x1 , y2 y1 )
j
O
i
一个向量的坐标等于该向量终点的坐标
减去始点的坐标.
例 1． 如图， 写出向量 a , b , c , d , e 的坐标.
b
y
a 2i 5 j (2,5)
a
b 4i j (4,1)
j O
3a 4b 3(4, 1) 4(5, 2) (12, 3) (20,8) (32,5) 1 1 4 17 17 a0 a (4, 1) ( , ) 2 2 17 17 |a| 4 (1)
例4. 已知A，B，C的坐标分别是 A(2,1), B(1,3), C (3, 4)
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲 空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .名师导学【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【分析】点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数． 【解答】解：点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数，∴点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是(1，2-，3)．故选：B ．【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)【分析】空间直角坐标系中，点关于y 轴对称，则y 值不变，x 和z 的值改变符号．【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，2-，4)关于y 轴对称的点为(1P '-，2-，4)-． 故选：A ．【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答】解：22(1a b +=，2，1)(2+，4-，1)(4=，0，3)， 故选：B ．【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可；对于(2)将向量垂直，转化为数量积为0求解；对于(3)利用共线向量求解．【解答】 (1)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a |＝2，|b |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1010. (2)k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.(3)∵c ∥BC→，又BC →＝(－2，－1,2)，∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c |＝3， ∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1. ∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可. 【解答】(1)∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．∴a ＋b ＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a －3b ＝2(2，－1,3)－3(0，－1,2)＝(4，－2,6)＋(0,3，－6)＝(4,1,0)． (3)a ·b ＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)∵|a |＝22＋(－1)2＋32＝14， |b |＝02＋(－1)2＋22＝5， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝14－5＝9.【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件，将坐标带代入计算即可. 【解答】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)，∴cos 120°＝(OA →＋λOB →)·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1×2＝－12，可得λ<0，解得λ＝－66. 【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出BC 中点D 的坐标，再代入两点间距离公式即可计算. 【解答】∵B (4，－3,7)，C (0,5,1)，∴BC 边上的中点D (2,1,4)．又A (3,3,2)， ∴|AD |＝(2－3)2＋(1－3)2＋(4－2)2＝3.【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．【分析】点(a ，b ，)c 关于x 轴对称的点的坐标为(a ，b -，)c -，利用两点间距离公式能求出||OM ． 【解答】解：点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点， 点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1-，2-，3)-，||(OM =-．故答案为：(1-，2-，3)-名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解．【解答】解：设空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(a ，b ，)c ， 则212122332abc +⎧=-⎪⎪-+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得4a =-，5b =，3c =， Q ∴点坐标为(4-，5，3)．故选：B ．2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-【分析】根据点(A a ，b ，)c 关于xOy 平面的对称点为(A a '，b ，)c -，写出即可． 【解答】解：点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为(3A '，2，1)-．3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-【分析】点(a ，b ，)c 关于原点对称的点的坐标为(a -，b -，)c -． 【解答】解：点(1A ，2-，3)，∴点A 关于原点的对称点坐标为(1-，2，3)-．故选：B ．4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)【分析】根据空间向量的坐标运算，求和即可． 【解答】解：由向量(1,1,2)a =--，(4,2,0)b =-， 所以(3a b +=-，1，2)-． 故选：A ．5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．0【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解．【解答】解：空间向量(1a =-，x ，1)，(3b =，1，)y ，(c z =，0，0)，a b c +=， (2∴，1x +，1)(y z +=，0，0)，∴21010z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1x =-，1y =-，2z =， (1)(1)22xyz ∴=-⨯-⨯=．故选：C ．6．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2) C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)【分析】利用向量BC AC AB =-即可得出．【解答】解：向量(4BC AC AB =-=，5，3)(2-，3，1)(2=，2，2)，7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0) 【分析】利用空间点的对称性即可得出．【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(4-，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)． 因此ACD 正确． 故选：ACD ．8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点(x ，y ，)z 关于平面xoy 对称的点坐标为(x ，y ，)z -，可知答案．【解答】解：在空间直角坐标系中，两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，1b ∴=，4a =-， 413a b ∴+=-+=-． 故答案为：3-．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【分析】在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原不的相反数，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原不的相反数，再由两点间距离公式能求出||B C ''．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-， 若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．【分析】根据空间直角坐标系中，点(M x ，y ，)z 关于x 轴的对称点坐标是(M x '，y -，)z -； 以及两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是(1M '，1，1)-；||OM ．故答案为：(1，1，1)-11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．【解答】解：68(2,3,1)6(2,0,3)8(1a b c +-=-+-，0，2)(6=，3-，3)． 故答案为：(6，3-，3)．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ． 【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解． 【解答】解：(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，∴(1a b +=-，1，5)．故答案为：(1-，1，5)．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 【分析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．【解答】解：点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，2AB a =， 设(B x ，y ，)z ，则(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7，10，24)-．故答案为：(7，10，24)-．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b += 【分析】先利用向量坐标运算法则求出a b +，由此能求出||a b +． 【解答】解：向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，∴(4a b +=，3，12)， ∴||16913a b +=+．故答案为：13．15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．【分析】由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点，根据向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点， 设(B x ，y ，)z ，则(1,3,3)(3,1,5)(3,1,5)AB x y z =+-+=-=--- 所以133135x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得428x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴点B 的坐标为(4-，2，8)-．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．【分析】（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，计算可得cos ,||||AB ACAB AC AB AC <>=．（2）向量3AB AC AB k AC-+与向量垂直，可得22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，即可得出．【解答】解：（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，2||1AB ==||3AC =．2233AB AC =-+-=-．∴cos ,||||3AB AC AB AC AB AC -<>===．（2）向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，∴22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，311(31)(3)90k k ⨯+-⨯--=，解得2k =．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且||214AB =． 【分析】（Ⅰ）利用空间向量运算法则能求出()a b c -+、68a b c +-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ，由向量AB 与a 同向，且||214AB =列出方程组能求出点B 坐标．【解答】解：（Ⅰ）向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，∴()(3a b c -+=，5，4)(2--，0，5)(1=，5，9)-．68(3a b c +-=，5，4)(12-+，0，18)(0-，0，16)(15=，5，2)-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ， 向量AB 与a 同向，且||214AB =，∴120123x y z -+⎧==>⎪-=， 解得1x =-，2y =，6z =，∴点B 坐标为(1-，2，6)．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( ) A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)22【分析】可设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)；由此求出向量a b +、a b -，再设()()p x a b y a b zc =++-+，列方程组求出x 、y 和z 即可．【解答】解：设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)； 则向量(1a b +=，1，0)，(1a b -=，1-，0)， 又向量(3p =，2，1)，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+， 则(3，2，1)(x y =+，x y -，)z ， 即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩， 解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在a b +，a b -，c 下的坐标为5(2，12，1)．故选：D ．2. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；11 / 11 (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．【解析】(1)∵AP →∥BC →，∴设AP →＝λBC →，又BC →＝(3，－2，－1)，∴AP →＝(3λ，－2λ，－λ)，又|AP →|＝ 9λ2＋4λ2＋λ2＝214，得λ＝±2， ∴AP →＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6,4,2)． 又A (0,2,3)，设P (x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －0＝－6，y －2＝4，z －3＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.∴P (6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴∠BAC ＝60°.∴以AB →，AC →为邻边的平行四边行的面积 S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝14×32＝7 3.。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。
在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。
对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。
设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。
二、平面向量的运算平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 平面向量的加法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。
即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 平面向量的减法设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。
即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。
3. 平面向量的数量乘法设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。
三、平面向量运算的性质平面向量的运算满足如下性质：1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。
4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。
四、平面向量的模和方向角平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。
设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。
向量的坐标表示及其运算
1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。
坐标向量及其运算
坐标向量及其运算定义向量可以用一个有向线段来表示，标明长度和方向。
在平面直角坐标系下，一个向量可以表示成一个有序数对，其中第一个数为向量在$x$轴上的投影，第二个数为向量在$y$轴上的投影，称之为向量的坐标。
例如，向量$\vec{AB}$在平面直角坐标系下的坐标为$(x_B-x_A,y_B-y_A)$。
其中$A$为向量的起点，$B$为向量的终点。
坐标表示了一个向量的大小和方向，因此，我们可以把向量的运算转化为对这些坐标的运算。
向量的加法向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$的和$\vec{C}$的坐标分别是$\vec{A}$的坐标$(a_1,a_2)$和$\vec{B}$的坐标$(b_1,b_2)$各位对应位置上的元素之和，即$(a_1+b_1,a_2+b_2)$，即$\vec{C}$的坐标是$\vec{A}$和$\vec{B}$的坐标对应位置上的元素之和。
向量的减法向量$\vec{A}$和向量$\vec{B}$的差$\vec{C}$的坐标分别是$\vec{A}$的坐标$(a_1,a_2)$和$\vec{B}$的坐标$(b_1,b_2)$各位对应位置上的元素之差，即$(a_1-b_1,a_2-b_2)$，即$\vec{C}$的坐标是$\vec{A}$和$\vec{B}$的坐标对应位置上的元素之差。
向量的数乘数$\lambda$和向量$\vec{A}$的积，叫做向量的数乘，其值为$\lambda\cdot\vec{A}$。
向量的数乘也可以理解为将向量$\vec{A}$的长度整体缩放$\lambda$倍，并不改变它的方向。
向量$\vec{A}$的坐标为$(a_1,a_2)$，则$\lambda \cdot\vec{A}$的坐标为$(\lambda a_1,\lambda a_2)$向量的数量积向量$\vec{A}$和$\vec{B}$的数量积，记作$\vec{A}\cdot\vec{B}$，它等于$|\vec{A}|\cdot |\vec{B}|\cdot \cos{\theta}$。
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思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
4
3
N2
2j
1
j
-2
Oi
-1
-2
-3
P（3，2）
2
M
4
6
3i
那么，对于任一位置向量，能否用基本位置 y
向量 i 、j 来进行表示呢？
N
OA OM ON xi y j
a
A (x, y)
j
OA xi y j
O
i
Mx
在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i、j
O
x ( x2 i y2 j ) ( x1i y1 j )
即
(x2 x1)i ( y2 y1) j
P(x1, y1)
PQ ( x2 x1, y2 y1)
结论：任意向量坐标 = 终点坐标 - 起点坐标
例2：已知平行四边形ABCD三个顶点A, B,C的坐标
分别为(2，1),(3, 2),(1，3)，①求 AC, BC的坐标；
分别乘以实数x、y后组成的和式，该和式称为i、j 的线
性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
y
3，向量的坐标表示：
A (x, y) a
j
Oi
x
在平面直角坐标系内，任意一个向量都存在唯 一一个与它相等的位置向量.
a OA xi y j
相等的向量具有相同的坐标。
例1. 如图，写出向量 a,b ,c 的坐标.
1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别
相同的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为 i 、j
2，以原点O为起点，A为终 y源自点的向量 OA 叫做点A的位
置向量，如图，OA即为一 1
a
个位置向量.
j
O i1
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
Ab
x
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
②求顶点D的坐标。
y
B(-3,2)
4
C(-1,3)
3
2
D(x,y)
1
-6
-4
-2
O
-1
A(2,1)
2
4
x
6
-2
-3
-4
二、向量的坐标运算
练习：a 2,3b 1,3则2a 3b
3a b
4，平面内任意两点间的向量的坐标：
如图，设P(x1, y1) 、 Q(x2, y2)是平面直角坐标系内的 任意两点，如何用P、Q的坐标来表示向量PQ？
y Q(x2, y2)
PQ OQ OP