第七章(2) 二阶电路

LC
2
uC
U0
sin(
0t
) 2
uL
i
U0
0L
s in 0
t
+ C-
uL=uC
L LC振荡器
t 等幅振荡（无阻尼）
15
小结——RLC串联电路的零输入响应
R2
L 过阻尼，非振荡放电 C
R2
L 临界阻尼，非振荡放电 C
p1,2两个不等负实数
p1,2 δ jω
uc
A1e
pt 1
A2e
pt 2
uC e t ( A1 A2 t)
R 2 L 欠阻尼，振荡放电 C
p1,2 j
uC Ae t sin(t β)
由
uC (0 )
duC dt
(0 )
确定积分常数A(A1、A2) 、
可推广应用于一般二阶电路
16
例1 电路所示如图。 t = 0 时打开开关。 求 : 电容电压uC , 并画 响应曲线。
U0 [(δ jω)e(δ jω)t (δ jω)e(δ jω)t ] 2 jω
2 cosωt U0 [δ(2e jωjtsineωjωtt) jω(e jωt e jωt )] eδt
2 jω
U0ω0 ( δ sin ωt ω cos ωt) eδt
ω ω0
ω0
0
β
ω0 ω
其中频率由 决定，幅值的衰减速度由决定。
10
U0 uc uC i
0
U
0e
t
+
0 -
2- 2
uL
0
U
0
e
t
能量转换关系
t
+
R
+
R
-
R
C -
L
C -
L
C +
L
0<t<
电容放电
< t < -
电容放电
- < t <
电容反向充电
电容的震荡放电过程
12
（3）R 2
L C
p1
p 2
相等的负实根（重根）
R L
uL(t)
4
R P1 2L
R 2L
2
L1C；P2
R 2L
R
2
1
2L LC
(1) 电阻较大
R2
L C
非震荡放电（过阻尼）
uC
U0 p2 p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
U0 p2 p1
p2e p1t
U0 p2 p1
p1e p2t
uC
U0
O
结论：电容电压方向不变；数 值持续下降；电容非震荡放电。
p1A1
p2A2
I0 C
由以上条件求出：两个积分常数A1、A2
3
二、充放电过程讨论
当RLC串联电路的 uC(0-) = Uo 、i(0-)=0
——电容通过感性支路放电。
A1
p2
p2
p1
U
0
A2
p1 p2 p1
U
0
t =0 i uC(t)
C
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
由特征根的性质，讨论响应的变化规律
特征根方程：
LCp2 RCp 1 0
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
R p2 2L
R
2
1
2L LC
2
3.由初始条件求积分常数
uC A1e p1t A2e p2t
t =0 i R
L
uC(t)
C
uL(t)
uC (0 ) U0
-C duC dt
t0 I0
A1 A2 U0
p
p1
p2
R 2L
uC
U0 p2 p1
(
p2e p1t
p1e p2t )
U0
lim
p2 p1
d dp2
(
p2e
p1t
d dp
2
(
p2
p1e p2t ) p1 )
U0
lim (e p1t
p2 p1
p1t
e
p2t )
电容电压 为0/0不定式 ，由罗彼达
法则：
uC (1 t)U0e pt
13
RC
duC dt
uC
0
i C duC ……常系数齐次线性二阶微分方程 dt
1
2.求解微分方程：LC
d2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
两个初始条件为：
t =0 i R
uC(0) uC(0) U0
C
duC dt
t0
i(0)
I0
通解： uC Ae pt
uC(t)
C
L
uL(t)
uC A1e p1t A2e p2t
幅值大 衰减慢 U0 p2 e p1t p2 p1
t U0 p1 e p2t
p2 p1
幅值小 衰减快
5
uc
U0 p2 p1
p2ep1t
Fra Baidu bibliotek
U0 p2 p1
p1ep2t
i C duC CU 0 p1 p2 (e p1t e p2t )
dt
p2 p1
p1p2
1 LC
U0
(e p1t e p2t )
U 0e δt
(cosβ sin
ωt
sin
β cosωt)
uC
0
U 0e
t
sin(t
β)
9
响应曲线
uC
0
U 0e
t
sin(t
β)
U0 uc uC
0
U0e
t
0
-
2- 2
t
0
U0e
t
结论：
电容和电感之间交换能量，同时电阻消耗电磁能量，最终将 初始能量消耗完毕，暂态结束，此过程叫欠阻尼震荡放电。
§7-5 二阶电路的零输入响应
二阶电路: 用二阶微分方程描述的电路 (一般含有 两个储能元件)。
一、RLC串联电路的零输入响应
t =0 i R
已知: 开关在 t=0 时闭合 uC(0-) = Uo i(0-)=I0
uC(t)
C
L
uL(t)
1.列写电路回路电压方程， 得:
Ri
L
di dt
uC
0
LC
d2uC dt 2
uC (1 t )U0e pt
i C duC U 0 t e t dt L
uL
L di dt
U 0e
t (1
t
)
u,i uC
i
O
t
uL
响应曲线与过阻尼相似
定义电路的临界电阻：Rr 2
L C
………判断电路响应类型的判据。
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特例：R = 0 0
p1,2 j 0
0
1 ，
L( p2 p1 )
t =0 i R
L
uC(t)
C
uL(t)
uL i
U
0
tm
ln( p2 / p1) p1 p2
i
uL
L
diL dt
U0 p2
p1
(
p1e
p1t
p2e p2t )
O
tm
uLL
t
结论：电流方向不变,但出现极值(最大放电电流)。
同时，电感电压出现极性改变。
6
U0 uc
能量转换关系
0
0 < t < tm ： 三个变量均为正值。
i
+
uc-
R
+
L uL
-
i
tm
uLL
t
t > tm uc ，i 为正， uL为负。
i
uc+
-
R
+
L uL
-
电容的非振荡放电 （过阻尼）
7
（2）电阻较小 R 2 L 震荡放电（欠阻尼）
C j 1
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
j
02 2 δ jω
R p2 2L
R
2
1
2L LC
j
02 2 δ jω
定义：
R 2L
;0
1 LC
;2
1 LC
R 2L
2
则：02 2 2
0
β
衰减因子；
0 无阻尼振荡角频率； 固有振荡角频率。
8
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
e j t cos t j sin t e j t cos t j sin t