《回归分析的基本思想及其初步应用》教学设计1
回归分析的基本思想及其初步应用教学设计教案
I教学准备1. 教学目标1、能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；了解有些非线性模型通过转化可以转化为线性回归模型2、了解回归模型的选择，体会不同模型拟合数据的效果2. 教学重点/难点教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型教学难点：如何启发学生“对变量作适当的变换”（等量变换、对数变换），变非线性为线性，建立线性回归模型3. 教学用具多媒体4. 标签教学过程一、复习引入【师】问题1:你能回忆一下建立回归模型的基本步骤？【师】提出问题，弓I导学生回忆建立回归模型的基本步骤（选变量、画散点图、选模型、估计参数、分析与预测）【生】回忆、叙述建立回归模型的基本步骤【板演/PPT】⑴确定硏究对象’明确哪个变量是解释变量’哪个变量是预扌倉量；⑵画岀确定好的解释主变量和陨报变量的散点图:观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等t⑶由经验确定回归方程逸浏我们观察到数据呈线性关系;则选用线性回归方稿=昭心Q肢一定规则估计回归方程中的参数（如最刃匸乘法）；Sj得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大’或残差呈现不随机的规律性等等丄若存在异常贝I检查数据果否有误或模型是否合适等一【师】问题2.能刻画回归模型效果的类别有哪些？它们各有什么特点？【生】回忆思考【板演/PPT】刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为的样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图•在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.(2)残差平方和法残差平方和〉.，残差平方和越小，模型拟合效果越好.(3)利用R2刻画回归效果;_; R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率. R2越接近i-l于1，表示回归的效果越好.二、新知介绍(1) 回归模型选择比较不同模型拟合效果【师】我国是世界产棉大国，种植棉花是我国很多地区农民的主要经济来源，棉花种植中经常会遇到一种虫害，就是红铃虫，为有效采取防止方法，有必要对红铃虫的产卵数和温度之间的关系进行研究，如图我们搜集了红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据如下表：【板书/PPT】觀度严 C 21 23 25 27 29 32 35产卵数和个7 11 21 24 66 115 325【师】试着建立y与x之间的回归方程【生】类比前面所学过的建立线性回归方程分步骤动手实施【师】教师巡视指导【板书/PPT】解：1）作散点图以 y=0.367t-202.543所因为t=x2，即y 关于x 的二次回归方程为 y=0.367t2-202.543 。
3.1.1回归分析的基本思想及其初步应用教案
3． 1.1回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】1.了解回归分析的基本思想方法及其简单应用. 2.会解释解释变量和预报变量的关系. 【教学重难点】教学重点：回归分析的应用. 教学难点：a 、b 公式的推到. 【教学过程】一、设置情境，引入课题引入：对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：11n i i x x n ==∑ 11ni i y y n ==∑ (,)x y 称为样本点的中心。
如何推到着两个计算公式？ 二、引导探究，推出公式从已经学过的知识，截距a 和斜率b 分别是使21(,)()niii Q y x αββα==--∑取最小值时,αβ的值，由于212212211(,)[((]{[(2[([(][(]}[(2[([(](ni i i ni i i i i nni i i i i i Q y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x n y x αββββαβββββαβαβββββαβα=====-----=---+-----+--=---+-----+--∑∑∑∑）+））]）]）））]）]））因为 所以2212222111222221122111[([(]()2()()()(()()[()()](()[]()()()ni i i nn nii i i i i i nni i i i ni i i i nni i i i i i Q y x y x n y x x x x x y y y y n y x x x y y x x y y n y x x x y y x x x x αββββαβββαβαβ==========---+--=----+-+------=--+---+---∑∑∑∑∑∑∑∑∑（，））]）））1n=∑在上式中，后两项和,αβ无关，而前两项为非负数，因此要使Q 取得最小值，当且仅当前两项的值均为0.，既有通过上式推导，可以训练学生的计算能力，观察分析能力，能够很好训练学生数学能力，必须在老师引导下让学生自己推出。
1.1.2回归分析的基本思想及其初步应用 教案
第 1 页 1.1.2 回归分析的根本思想及其初步应用教学要求：通过典型案例的探究 ,进一步了解回归分析的根本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知 ,预报变量〔体重〕的值受解释变量〔身高〕或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量〔体重〕的变化在多大程度上与解释变量〔身高〕有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：〔1〕总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和 ,即21()n i i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和 ,即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和 ,即21()ni i SSR y y ==-∑.〔2〕学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和 ,即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时 ,残差平方和越小 ,那么回归平方和越大 ,此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型 ,我们还可以引入相关指数22121()1()n i i i ni i y y R y y ==-=--∑∑来刻画回归的效果 ,它表示解释变量对预报变量变化的奉献率. 2R 的值越大 ,说明残差平方和越小 ,也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 5070为了对x 、Y 两个变量进行统计分析 ,现有以下两种线性模型：6.517.5y x =+ ,717y x =+ ,试比拟哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和 ,也可分别求出两种模型下的相关指数 ,然后再进行比拟 ,从而得出结论.。
回归分析的基本思想及其初步应用 说课稿 教案 教学设计
教学目标知识与技能能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；通过散点图及相关指数比较不同模型的拟合效果．过程与方法通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想；让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用；通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数，使学生体会使用计算器处理数据的方法．情感、态度与价值观通过案例的解决，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，并通过合作学习，培养学生的团队合作意识．重点难点教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型；教学难点：如何启发学生“对变量作适当的变换(等量变换、对数变换)”，变非线性为线性，建立线性回归模型．教学过程引入背景材料我国是世界产棉大国，种植棉花是我国很多地区农民的主要经济来源，在棉花的种植过程中，病虫害的防治是棉农的一项重要任务，如果处置不当就会造成棉花的减产．其中红铃虫就是危害棉花生长的一种常见害虫，在1953年，我国18省曾发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨．如图就是红铃虫的有关图片：红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为25～32 ℃，相对湿度为80%～100%，低于20 ℃和高于35 ℃卵不能孵化，相对湿度60%以下成虫不产卵．冬季月平均气温低于－4.8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死．为采取有效防治方法，有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系．现收集了红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：(1)试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28 ℃时产卵的数目．(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？学生活动：类比前面所学过的建立线性回归模型的步骤，动手实施．活动结果：(1)画散点图：通过计算器求得线性回归方程：y ^＝19.87x －463.73.当x ＝28 ℃时，y ^＝19.87×28－463.73≈93，即温度为28 ℃时，产卵数大约为93. (2)进行回归分析计算得： R 2≈0.746 4，即这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化．设计目的：通过背景材料，加深学生对问题的理解，并明白“为什么要学”．体会问题产生于生活，并通过问题的解决复习建立回归模型的基本步骤．探究新知提出问题：结合数据可以发现，随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 ℃时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看93个比66个却多了27个，是什么原因造成的呢？学生活动：分组合作讨论交流．学情预测：由于我们所建立的线性回归模型的相关指数约等于0.746 4，即解释变量仅能解释预报变量大约74.64%的变化，所占比例偏小．这样根据我们建立的模型进行预报，会存在较大的误差．我们还可以从残差图上分析一下我们所建立的回归模型的拟合效果：画出残差图根据残差图可以发现，残差点分布的带状区域较宽，并不集中，这表明我们所建立的回归模型拟合效果并不理想．之所以造成预报值偏差太大的原因是所选模型并不理想．实际上根据散点图也可以发现，样本点并没有很好地集中在一条直线附近，故变量之间不会存在很强的线性相关性．设计目的：引导学生对结果进行分析，从而发现存在的问题，激发好奇心、求知欲．同时培养学生对问题的洞悉能力，增强对结果的敏感自检能力．理解新知提出问题：如何选择合适的回归模型进行预测呢？学生活动：学生讨论，教师合理引导学生观察图象特征，联想学过的基本函数． 学情预测：方案一：建立二次函数模型y ＝bx 2＋a. 方案二：建立指数函数模型y ＝c 1ac 2x.提出问题：如何求出所建立的回归模型的系数呢？我们不妨尝试解决方案一中的系数． 学生活动：分组合作，教师引导学生观察y ＝bx 2＋a 与y ＝bx ＋a 的关系．学情预测：通过比较，发现可利用t ＝x 2，将y ＝bx 2＋a(二次函数)转化成y ＝bt ＋a(一次函数)．求出x ，t ，y 间的数据转换表：利用计算器计算出y 和t 的线性回归方程：y ^＝0.367t －202.54， 转换回y 和x 的模型：y ^＝0.367x 2－202.54.当x ＝28 ℃时，y ^＝0.367×282－202.54≈85，即温度为28 ℃时，产卵数大约为85. 计算相关指数R 2≈0.802，这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化．提出问题：提出问题“如果选用指数模型，是否也能转换成线性模型，如何转化？” 学生活动：独立思考也可相互讨论．教师可启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂？”可引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系．学情预测：可利用取对数的方法，即在y ＝c 1ac 2x 两边取对数，得log a y ＝c 2x ＋log a c 1. 提出问题：在上面的运算中，由于底数a 不确定，对于x 的值无法求出相应的log a y ，这时可取a ＝10时的情况，以便利用计算器进行计算，试求出回归模型．学生活动：合作协作，讨论解决．根据数据，可求得变量z 关于x 的回归方程：z ^＝0.118x －1.665. 转换回y 和x 的模型：y ^＝100.118x－1.665.当x ＝28 ℃时，y ^≈44，即温度为28 ℃时，产卵数大约为44.计算相关指数R 2≈0.985，这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数的变化． 提出问题：试选择合适的方法，比较方案一和方案二在数据拟合程度上的效果有什么不同？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示． 活动结果：无论从图形上直观观察，还是从数据上分析，指数函数模型都是更好的模型．设计目的：引导学生进行不同模型的比较，体会“虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好，为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型”．提出问题：由上面的分析可以看出，回归模型不一定是线性回归模型，对于非线性回归模型，我们的处理方法是什么？学生活动：独立思考，回顾上面的解决过程．学情预测：选用非线性回归模型时，一般思路是转化成线性回归模型，往往要用“等量变换、对数变换”等方法．设计目的：让学生整理建立非线性回归模型的思路． 运用新知例1试建立y 与x 之间的回归方程．思路分析：先画出散点图，根据散点图确定回归模型的类型，然后求y 与x 之间的回归方程．解：根据上表中的数据，作出散点图由图可以看出，样本点分布在某指数函数曲线y ＝c 1ec 2x 的周围，于是令z ＝lny ，则上表变换后如下：作出散点图从图中可以看出，变换后的样本点分布在某条直线附近，因此可用线性回归模型来拟合． 由表中数据可得，z 与x 之间的线性回归方程为z ^＝0.69x ＋1.112， 则y 与x 之间的回归方程为y ^＝e 0.69x＋1.112.【变练演编】例2混凝土的抗压强度X 较易测定，其抗弯强度Y 不易测定，已知X 与Y 由关系式Y ＝AX b 表示，工程中希望由X 估算出Y ，以便应用．现测得一批对应数据如下：试求Y 对X 的回归方程．思路分析：题目中已经给出回归模型为Y ＝AX b 类型，故只要通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤即可．解：对Y ＝AX b 两边取自然对数得：lnY ＝blnX ＋lnA ，做变换y ＝lnY ，x ＝lnX ，a ＝lnA ，根据公式可求得y ^＝0.64x ＋0.017 2，则 Y ^＝e 0.64lnx＋0.017 2＝1.02X 0.64.变式1：若X 与Y 的关系由关系式Y ^＝β^X b ＋α^表示，试根据给出的数据求Y 对X 的回归方程．活动设计：学生分组讨论，尝试解决．活动成果：Y ^＝0.086X ＋13.005.变式2：试选择合适的方法比较上述两种回归模型，相对于给出的数据哪一个的拟合效果更好？活动成果：计算残差平方和与相关指数，对于模型Y ＝AX b，残差平方和Q ^(1)＝9.819，相关指数R 21＝0.930 4；对于模型Y ^＝β^X b＋α^，残差平方和Q ^(2)＝12.306，相关指数R 22＝0.908，故模型Y ＝AX b 的拟合效果较好．设计意图：熟悉判断回归模型拟合效果的方法． 【达标检测】1．变量x ，y 的散点图如图所示，那么x ，y 之间的样本相关系数r 最接近的值为( )A ．1B ．－0.5C ．0D ．0.5 2．变量x 与y 之间的回归方程表示( ) A ．x 与y 之间的函数关系 B ．x 与y 之间的不确定性关系 C ．x 与y 之间的真实关系形式D ．x 与y 之间的真实关系达到最大限度的吻合 3．非线性回归分析的解题思路是__________．答案：1.C 2.D 3.通过变量置换转化为线性回归分析 课堂小结1．数学知识：建立回归模型及残差图分析的基本步骤；非线性模型向线性模型的转换方法；不同模型拟合效果的比较方法：相关指数和残差的分析．2．数学思想：数形结合的思想，化归思想及整体思想．3．数学方法：数形结合法，转化法，换元法．。
高中数学回归分析的基本思想及其初步应用教案1 新人教A版选修1-2
1、1回归分析的基本思想及其初步应用。
教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。
教学难点：求回归系数 a , b教学方法：讲练。
教学过程：一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
二、新课:1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图。
(2) 求回归直线方程。
(3) 用回归直线方程进行预报。
2、举例：例1、题（略） 用小黑板给出。
解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x 。
体重为因变量 y ，作散点图（如图）（2）列表求 ,ˆ0.849ˆ85.712x yba ≈≈-回归直线方程 y=0.849x-85.712对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg) 预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。
316kg问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。
316kg 吗?（留下一节课学习） 例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速ym/s1.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21（1）求y 对x 的回归直线方程；（2）预测水深为1。
95m 时水的流速是多少？解：（略）三、小结四、作业： 例2、 预习。
3.1回归分析的基本思想及其初步应用教学设计
3．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。
2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路—进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。
3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，首先通过实际问题了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。
加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。
培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。
三、教学重点、难点教学重点：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤。
教学难点：求回归系数a ,b ；相关指数的计算、残差分析。
四、教学策略：教学方法：诱思探究教学法学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。
教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程：（一）、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
对于一组具有线性相关关系的数据：（11,x y ),(22,x y )，…，(,n n x y )，我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ （1）ay bx =- （2）其中1111,n ni i i i x x y y ====∑∑，（,x y ）成为样本点的中心.回归分析的基本步骤：(1)画出两个变量的散点图.(2)求回归直线方程.(3)用回归直线方程进行预报.下面我们通过案例，进一步学习回归分析的基本思想及其应用．举例：例1.从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表编号12345678身高/cm 165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重．解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x ，体重为因变量y .作散点图(图3.1一1)从图3.1一1中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系．根据探究中的公式（1）和（2)，可以得到ˆˆ0.849,85.712ba ==-.于是得到回归方程084985.712y x =-.因此，对于身高172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为084917285.71260.316y =⨯-=(kg ).ˆ0.849b=是斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位时，体重y 就增加0.849位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系．如何描述它们之间线性相关关系的强弱？在必修3中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为()()niix x y y r --=∑当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系．在本例中，可以计算出r =0.798．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的．显然，身高172cm 的女大学生的体重不一定是60.316kg ，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg .图3.1一2中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点．由于所有的样本点不共线，而只是散布在某一条直线的附近，所以身高和体重的关系可用下面的线性回归模型来表示：y bx a e =++,(3)这里a 和b 为模型的未知参数，e 是y 与ˆy bx a =+之间的误差．通常e 为随机变量，称为随机误差，它的均值E (e ）=0，方差D （e ）=2()D e σ=＞0．这样线性回归模型的完整表达式为：2,()0,().y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩(4)在线性回归模型（4）中，随机误差e 的方差越小，通过回归直线ˆybx a =+(5)预报真实值y 的精度越高．随机误差是引起预报值 y 与真实值y 之间的误差的原因之一，大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中 a和b 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a 和b 之间也存在误差，这种误差是引起预报值 y 与真实值y 之间误差的另一个原因．思考:产生随机误差项e 的原因是什么?一个人的体重值除了受身高的影响外，还受许多其他因素的影响。
回归分析的基本思想及其初步应用 说课稿 教案 教学设计
教学目标知识与技能从相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤．过程与方法在发现直接求回归直线方程存在缺陷的基础上，引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用R2来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．情感、态度与价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，掌握处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神．培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．教学中适当地利用学生的合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性．重点难点教学重点：从残差分析、相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；教学难点：了解评价回归效果的两个统计量：相关指数、残差和残差平方和．教学过程引入新课上表是上一节课我们从某大学选取8名女大学生其身高和体重数据组成的数据表，在上一节课中我们通过数据建立了回归直线方程，并根据方程预测了身高为172 cm的女大学生的体重．当时，我们提到根据回归直线方程求得的体重数据，仅是一个估计值，其与真实值之间存在着误差，为了综合分析身高和体重的关系，我们引入了线性回归模型y＝bx＋a＋e 来表示两变量之间的关系，其中e为随机变量，又称随机误差．线性回归模型y＝bx＋a＋e 增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定．假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上．但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上．这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了，即自变量x只能解释部分y的变化．同学们考虑一下，随机变量e的均值是多少？方差又是多少？活动设计：学生思考回答问题．学情预测：学生回答E(e)＝0，D(e)＝σ2>0.教师提问：能否通过D(e)来刻画线性回归模型的拟合程度？学情预测：随机误差e的方差越小，通过回归直线预报真实值y的精度越高．随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差．设计意图：说明研究随机误差e的必要性，通过研究随机误差e可以分析预报值的可信度．提出问题：既然可以用随机变量e的方差来衡量随机误差的大小，即通过方差σ2来刻画预报变量(体重)的变化在多大程度上与随机误差有关，那么如何获得方差σ2呢？学生活动：学生独立思考，小组合作交流讨论．活动结果：可以采用抽样统计的思想，通过随机变量e的样本来估计σ2的大小．设计目的：复习抽样统计思想，以便通过随机变量e的样本来估计总体．探究新知提出问题：既然e 表示了除解释变量以外其他各种影响预报值的因素带来的误差，那么如何获得e 的样本来计算σ2呢？学生活动：分组合作讨论交流．学情预测：由函数模型y ^＝b ^x ＋a ^和回归模型y ＝bx ＋a ＋e 可知e ＝y －y ^，这样根据图表中女大学生的身高求出预报值，再与真实值作差，即可求得e 的一个估计值．教师：由于在计算回归直线方程时，利用公式求得的b ^和a ^为斜率和截距的估计值，它们与真实值a 和b 之间存在误差，因此y ^是估计值，所以e ^＝y －y ^也是一个估计值．由上可知，对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为 e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…n ，称其估计值e ^i ＝y i －y ^i 为相应于点(x i ，y i )的残差．将所有残差的平方加起来，即∑i ＝1ne ^2i ，这个和称作残差平方和．类比样本方差估计总体方差的思想，可以用 σ^2＝1n －2∑i ＝1n e ^ 2i ＝1n －2∑i ＝1n(y i－y ^ i )2(n>2) 作为σ2的估计量，通常，σ^ 2越小，预报精度越高．这样，当我们求得回归直线方程后，可以通过残差来判断模型拟合程度的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析．设计目的：通过问题诱思，引入残差概念． 理解新知提出问题：对照女大学生的身高和体重的原始数据，结合求出的回归直线方程，求出相应的残差数据．学生活动：独立完成． 活动结果：样的散点图称作残差图)．学生活动：分组合作，共同完成． 活动结果：残差图提出问题：观察上面的残差图，你认为哪几个样本点在采集时可能存在人为的错误？为什么？学生活动：分组讨论． 活动结果：第一个和第六个样本点在采集过程中可能存在错误，因为其他的样本点基本都集中在一个区域内，只有这两个样本点的残差比较大，相对其他样本点来说，分布得较为分散．提出问题：如何从残差图来判断模型的拟合程度？ 学生活动：独立思考也可相互讨论．活动结果：因为σ^2越小，预报精度越高，即模型的拟合程度越高，而σ^2越小，e ^的取值越集中，故若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，且带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，回归直线的预报精度越高．教师：在统计学上，人们经常用相关指数R 2来刻画回归的效果，其计算公式是：R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2提出问题：分析上面计算相关指数R 2的公式，如何根据R 2来判断模型的拟合效果？ 学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．活动结果：因为对于确定的样本数据而言，∑i ＝1n(y i －y )2是一个定值，故R 2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．提出问题：在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R 2越接近1，表示回归的效果越好，即解释变量和预报变量的线性相关性越强，试计算关于女大学生身高与体重问题中的相关指数R 2.学生活动：学生独立计算获得数据． 活动结果：R 2≈0.64.根据R 2≈0.64就可得出“女大学生的身高解释了64%的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”．由此就不难理解为什么预报体重和真实值之间有差距了．设计目的：结合图象，让学生直观感受残差图在刻画回归模型拟合效果方面的应用，体会残差分析和相关指数的意义．提出问题：根据前面得到的回归方程，能否预测一名美国女大学生的体重？建立回归模型后能否一劳永逸，在若干年后还可以使用，或者适用于多年以前的女大学生体重预测？学生活动：讨论交流总结发言．活动结果：在使用回归方程进行预报时要注意： (1)回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； (2)我们建立的回归方程一般都有时间性；(3)样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；(4)不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值．提出问题：结合我们刚学习的概念，现在能否将建立回归模型的步骤补充完整？ 学生活动：讨论交流，合作完成．活动结果：一般地，建立回归模型的基本步骤为：(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量．(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)． (4)按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数．(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等．设计意图：设计问题，让学生讨论分析，得出使用回归方程进行预报需注意的问题，并让学生完善建立回归模型的步骤．在这个过程中，教师不宜做太多引导，要放手给学生，让学生讨论，充分参与进来．运用新知例1一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差； (2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？ 分析：首先根据散点图粗略判断变量是否具有线性相关性，判断是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差e ^1，e ^2，…，e ^n 来判断模型拟合的效果，判断原始数据是否存在可疑数据．解：(1)根据表中数据作出散点图如下：散点图由散点图可知变量之间具有线性相关关系，可以通过求线性回归方程来拟合数据． 根据公式可求得加工时间对零件数的线性回归方程为y ^＝0.668x ＋54.96.残差数据如下表：残差图由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好，但需注意，由残差图也可以看出，第4个样本点和第5个样本点残差较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．点评：由散点图判断两个变量的线性相关关系，误差较大，利用残差图可以较好地评价模型的拟合程度，并能发现样本点中的可疑数据．【变练演编】例2求出y 对x 的回归方程，并说明拟合效果的好坏．思路分析：先根据散点图判断两个变量是否线性相关，若相关，求出回归直线方程，然后通过相关指数的大小来评价拟合效果的好坏．解：作出散点图：从作出的散点图可以看出，这些点在一条直线附近，可用线性回归模型来拟合数据．由数据可得x ＝18，y ＝45.4，由计算公式得b ^＝－2.35，a ^＝y －b ^x ＝87.7.故y 对x 的回归方程为y ^＝－2.35x ＋87.7，列表：所以∑i ＝15(y i －y ^i )2＝8.3，∑i ＝15(y i －y )2＝229.2.相关指数R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2≈0.946.因为0.964很接近1，所以该模型的拟合效果很好．变式1：若要分析是否在上述样本的采集过程中存在可疑数据，应如何分析？ 活动设计：学生分组讨论，回顾课本解答问题． 活动成果：可以画出残差图来进行分析．变式2：既然利用残差图和相关指数都能够评价回归模型的拟合效果，能否总结一下两种方法各自的特点？活动成果：利用残差图可以直观展示拟合的效果，而且还可以发现样本数据中的可疑数据；而相关指数是把对拟合效果的评价转换为数值大小的判断，易于量化处理，并能在数量上表现解释变量对于预报变量变化的贡献率．设计意图：进一步熟悉判断拟合效果的方法以及各自的特点． 【达标检测】1．分析下列残差图，所选用的回归模型效果最好的是()ABC D 2．下列说法正确的是( )①回归直线方程适用于一切样本和总体；②回归直线方程一般都有时间性；③样本的取值范围会影响回归直线方程的适用范围；④根据回归直线方程得到的预测值是预测变量的精确值．A ．①③④B ．②③C ．①②D ．③④3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈__________，表明“气温解释了85%的热茶销售杯数变化”或者说“热茶销售杯数差异有85%是由气温引起的”．答案：1.D 2.B 3.0.85.课堂小结学生回顾本节课学习的内容，尝试总结，然后不充分的地方由学生相互补充，最后在老师的引导下，用精炼的语言进行概括：1．判断变量是否线性相关的方法以及各自的特点； 2．在运用回归模型时需注意的事项； 3．建立回归模型的基本步骤． 设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程． 补充练习 【基础练习】1．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越接近于1，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2如下表115106124103哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁 3．关于x 与y 为了对x ，y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：y ^＝6.6x ＋17.5，乙：y ^＝7x ＋17.试比较哪一个模型拟合效果更好．答案或提示：1.D 2.D3．解析：设甲模型的相关指数为R 21，则R 21＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－1551 000＝0.845；设乙模型的相关指数为R 22，则可求得R 22＝0.82，因为R 21>R 22，所以甲模型的拟合效果更好．【拓展练习】 4．假设某种农作物基本苗数x 与有效穗数y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；(2)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗数． (3)计算各组残差；(4)求R 2，并说明随机误差对有效穗数的影响占百分之几？ 解：(1)散点图如图：(2)由图可以看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可用线性回归方程来建立两个变量之间的关系．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由数据可以求得：b ^≈0.291， a ^＝y －b ^x ＝34.67.故所求的线性回归方程为y ^＝0.291x ＋34.67. 当x ＝56.7时，y ^＝0.291×56.7＋34.67＝51.169 7. 估计有效穗数为51.169 7.(3)各组数据的残差分别是e ^1≈0.37，e ^2≈0.72，e ^3≈－0.5，e ^4≈－2.22，e ^5≈1.61. (4)残差平方和：∑i ＝15(y i －y ^i )2＝8.425 8，又∑i ＝15(y i －y )2＝50.18，∴R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－8.425 850.18≈0.832.即解释变量(农作物基本苗数)对有效穗数的影响约占了83.2%，所以随机误差对有效穗数的影响约占1－83.2%＝16.8%.。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1 回归分析的基本思想及其初步应用》
《回归分析的基本思想及其初步应用（1）》教案
教学过程【设计意图】对残差从计算的角度有直观的认识，也为后面的知识学习做好准备
【教师引导】画残差图
【学生小组讨论】通过残差图得到残差的作用
1、直观地看出数据是否有误；
2、分布均匀在水平的带状区域，说明模型较为合适；
3、带状区域越窄，模型越合适，模型拟合程度越高，预报精度越高。
【教师引导】我们已经从图形的角度，利用残差图直观地来判断一个模型的拟合程度，数形结合是高中数学一个非常重要的思想方法，下面将从“数”的角度精
确地来表述模型的拟合程度。
相关系数
()
()()
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
-
-
=
-
-
-
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
y
y
e
y
y
y
y
R
1
2
1
2
1
2
1
2
2
ˆ
1
ˆ
1
分析：1、R²越大，模型的拟合效果越好；R²越小，模型的拟合效果越差
2、R²越接近于1，表示回归的效果越好
165 160 175 155 170
体重/g 58 52 62 43 60
残差
i
eˆ 3。
《3.1.2回归分析的基本思想及其初步应用》教学案
《3.1.2回归分析的基本思想及其初步应用》教学案【教学目标】1. 了解相关系数r ；2. 了解随机误差；3. 会简单应用残差分析【教学重难点】教学重点：相关系数和随机误差教学难点：残差分析应用.【教学过程】一、设置情境，引入课题上节例题中，身高172cm 女大学生，体重一定是60kg 吗？如果不是，其原因是什么？二、引导探究，发现问题，解决问题1 $0.84985.712y x =-对于0.849b=$是斜率的估计值，说明身高x 每增加1个单位，体重就 ，表明体重与身高具有 的线性相关关系. 2 如何描述线性相关关系的强弱？()()ni ix x y y r --=∑ (1)r >0表明两个变量正相关；(2)r <0表明两个变量负相关；(3)r 的绝对值越接近1，表明相关性越强，r 的绝对值越接近0，表明相关性越弱.(4)当r 的绝对值大于0.75认为两个变量具有很强的相关性关系.3 身高172cm 的女大学生显然不一定体重是60.316kg ，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg .①样本点与回归直线的关系②所有的样本点不共线，而是散布在某一条直线的附近，该直线表示身高与体重的关系的线性回归模型表示y bx a ε=++e 是y 与$y bx a =+的误差，e 为随机变量，e 称为随机误差.③E (e )=0，D (e )= 2σ>0.④D (e )越小，预报真实值y 的精度越高.⑤随机误差是引起预报值$y 与真实值y 之间的误差之一.⑥$,a b $为截距和斜率的估计值，与a ，b 的真实值之间存在误差，这种误差也引起$y 与真实值y 之间的误差之一.4 思考产生随机误差项e 的原因是什么？5 探究在线性回归模型中，e 是用$y 预报真实值y 的误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差？如何衡量预报的精度？①2()D e σ=来衡量随机误差的大小.②µi i i e y y =- ③µµ$i i i i i e y y y bx a =-=--$ ④µ$22111(,)(2)22n i e Q a b n n n σ===>--∑$$ ⑤$(,)Q a b $称为残差平方和，µ2σ越小，预报精度越高. 6 思考当样本容量为1或2时，残差平方和是多少？用这样的样本建立的线性回归方程的预报误差为0吗？7 残差分析①判断原始数据中是否存在可疑数据；②残差图 ③相关指数µ22121()1()n i i i n ii y y R y y ==-=--∑∑ ④R 2越大，残差平方和越小，拟合效果越好；R 2越接近1，表明回归的效果越好. 8 建立回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个变量时解释变量，哪个变量时预报变量.②画出确定好的解释变量和预报变量得散点图，观察它们之间的关系；③由经验确定回归方程的类型；④按一定规则估计回归方程中的参数；⑤得出结果后分析残差图是否异常.三、典型例题例1 下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数，y 表示响应的年均价格，求y 关于x 的回归方程减，但不在一条直线附近，但据此认为y 与x 之间具有线性回归关系是不科学的，要根据图的形状进行合理转化，转化成线性关系的变量间的关系.解：作出散点图如下图可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此，y 与x 之间应是非线性相关关系.与已学函数图像比较，用$µµbx a y e +=来刻画题中模型更为合理，令$ln z y =$，则$z bx a =+$$， 题中数据变成如下表所示：拟合，由表中数据可得0.996,0.75r r ≈->，认为x 与z 之间具有线性相关关系，由表中数据的$0.298,8.165,b a ≈-≈$所以0.2988.165z x =-+$，最后回代$ln z y =$，即$0.2988.165x y e -+=四、当堂练习：1 两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A 模型1的20.98R =B 模型2的20.80R =C 模型3的20.50R =D 模型4的20.25R =答案 A五、课堂小结1 相关系数r 和相关指数R 22 残差分析y。
1.1.2回归分析的基本思想及其初步应用 教案
1.1.2回归分析的基本思想及其初步应用教案
1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：
一、复习准备：
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21
()n i
i SST y y ==-∑. 残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即2
1
()n i i
i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即2
1
()n i
i SSR y y ==-∑.。
教学设计3：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)
回归分析的基本思想及其初步应用【教学目标】：（1）知识与技能：了解求线形回归方程的两个计算公式的推导过程，、回归平方和；了解随机误差产生的原因；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。
（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：1.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；2.通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
【教学难点】：1.了解随机误差产生的原因，用残差平方和衡量回归方程的预报精度；2.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析。
【教学过程设计】：练习与测试1．下面4 个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（A ）A．B．C ．D ．2． 将非线性模型x e y 32=进行适当变形使之线性化。
【答案】2ln 32ln ln 3ln +=⇒+=x z e x y3． 已知回归方程35.0log 21.1ˆ2-=x y ，则样本点P （4，2．71）的残差为________________。
【答案】()56.015.271.235.04log 2.171.2ˆˆ2=-=--=-=y y e4． 已知线性相关的两变量x ，y 的三个样本点A （0，0），B （1，3），C （4，11），若用直线AB 作为其预测模型，则点C 的残差是________。
【答案】x y AB 3ˆ=，12ˆ=C y，1ˆ=C e 。
5． 若一组观测值（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、…、（x n ，y n ）之间满足y i =bx i +a +e i (i =1、2. …n)若e i 恒为0，则R 2为【答案】16． 已知线性相关的两变量x ，y 的三个样本点A （0，0），B （1，3），C （4，11），若用直线AB 作为其预测模型，则其相关指数=2R ________。
回归分析的基本思想及其初步应用优秀教学设计
由上述计算可得到
并向学生指出： r 1，且 r 越接近于 1，相关程度越大； r 越接近于 0，相关程度
越小．
根据上述结论，引导学生提出如下问题：
当 r 与 1 接近到什么程度时表明 y 与 x 之间具有线性相关关系？
为解决上述问题，一般采取以下方法： 3．（板书）线性相关关系检验方法 （1）说明线性相关关系检验方法的思想及前提． （2）检验的具体方法． ①根据公式计算相关系数 r 的值；
②在附表中查出与显著性水平 0.05 和自由度 n 2 相应的相关系数临界值 r0.05 ；
③检验所得结果：若 r r0.05 ，则 y 与 x 之间线性相关关系不显著；若 r r0.05 ，则 y
与 x 之间存在线性相关关系．
（3）具体例子：计算本节水稻产量与施化肥量中有关数据进行相关性检验，并指出检
n
(xi x)( yi y)
r
i 1
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
n1
n
xi yi nxy
或
r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
(
xi2 nx 2 )( n
yi2
2
ny )
i 1
n1
叫做变量 y 与 x 之间的样本相关系数（简称相关系数），用它来衡量它们之间的线性相关程
度．
由学生计算本节前面水稻产量与施化肥量的相关系数，即
7
xi yi 7xy
r
i 1
(
7
xi2
2
7x
)(
7
(
yi2
7
2
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《3.1回归分析的基本思想及其初步应用》教学案
《3.1回归分析的基本思想及其初步应用》教学案一、学习目标1、了解回归分析的基本思想、方法及初步应用2、了解两个具有相关关系的变量进行统计分析的步骤3、了解判断刻画模型拟合效果的方法－—相关指数和残差分析二、知识回顾1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤： 收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.2.求回归直线方程的步骤：第一步：列数据表，第二步：计算；最小二乘法的公式：1122211()()()n niiiii i nniii i x y nx y x x y y b xn x x x ====⋅-⋅--==-⋅-∑∑∑∑，a y bx =-第三步：写出回归方程(()111,,nni i i i x x y y x y n ====∑∑；为样本中心) 三、例题解析例1、某种产品的广告费用支出x 万元与销售额y 万元之间有如下的对应数据：(1)销售收入y 的值．解：(1)作散点图 (2)求回归直线方程=x =y∑=ii yx∑=2i x例题小结：1.最小二乘法求回归方程和进行预报的步骤：第一步：作______；第二步：求_______；第三步：代值预报2.思考：线性回归模型与一次函数相同吗？事实上，销售额和广告费用支出之间的关系并不能用一次函数来严格刻画(因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画支出和销售额的关系).这就说明销售额不仅受广告费用支出的影响还受其他因素的影响，我们把这种影响的结果e (即残差变量或随机变量)引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含销售额不能由广告支出的线性函数解释的所有部分.其中：解释变量为：x 预报变量为：ˆy随机误差为：e 特别地：当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 四、知识构建1.残差：ˆˆi i i e=y -y ；残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄说明拟合的精度越_____，回归方程的预报精度越_____.2.总体偏差平方和：()2y -∑ni 1y； 残差平方和：()2ˆi y -∑ni 1y3.回归效果的相关指数：()()2121ˆ1ni i niy yy y -=--∑∑2RR 2越大，意味()2ˆi y-∑ni 1残差平方和y 越______，即拟合效果越______；R 2越小，残差平方和越______，即拟合的效果越________.练习：如果散点图的所有的样本点都落在一条斜率非0实数的直线上，则解释变量和预报变量是________关系，R 2=___________五、知识应用例、关于x与y有如下数据：为了对、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5=+，y x717=+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.y x。
(教案)1.1回归分析的基本思想及其初步应用
1。
1回归分析的基本思想及其初步应用授课教师：王宏郭懿教学重点：（1)通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤;了解线性回归模型与函数模型的区别；（2）尝试做散点图,求回归直线方程;（3）能用所学的知识对实际问题进行回归分析,体会回归分析的实际价值与基本思想;了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析.教学难点：（1）求回归直线方程，会用所学的知识对实际问题进行回归分析.(2)掌握回归分析的实际价值与基本思想。
（3）能运用自己所学的知识对具体案例进行检验与说明。
（4）残差变量的解释；（5）偏差平方和分解的思想；教学内容：一、基础知识梳理１．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系→②求回归系数→③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明。
2.回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
建立回归模型的基本步骤是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）。
③由经验确定回归方程的类型.④按一定规则估计回归方程中的参数（最小二乘法)；⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误,后模型是否合适等.3.利用统计方法解决实际问题的基本步骤：（1）提出问题；(2）收集数据；（3）分析整理数据；（4)进行预测或决策.4.残差变量的主要来源:（1)用线性回归模型近似真实模型（真实模型是客观存在的,通常我们并不知道真实模型到底是什么）所引起的误差。
可能存在非线性的函数能够更好地描述与之间的关系，但是现在却用线性函数来表述这种关系，结果就会产生误差。
这种由于模型近似所引起的误差包含在中。
2019年回归分析的基本思想及其初步应用(第1课时)教案精品教育.doc
1．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）教案教材：人民教育出版社A版选修1-2第2页到第4页授课教师：广东省惠州市第一中学刘健【教学目标】在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.1、知识目标认识随机误差；2、能力目标（1）会使用函数计算器求回归方程；（2）能正确理解回归方程的预报结果.3、情感目标通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.【教学重点】随机误差ｅ的认识【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响【教学方法】启发式教学法【教学手段】多媒体辅助教学【教学流程】【教学过程设计】【教学反思】通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点均是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理．几点注明：1、复习引入时教师做示范——提供5组身高与体重的数据，用Excel展示如何画散点图、用最小二乘法求线性回归方程.随机抽样并列表如下：2、计算机做散点图的步骤如下：（1）进入Excel软件操作界面，在A1,B1分别输入“身高”和“体重”，在A,B 列输入相应的数据.（2）点击“图表向导”图标，进入“图表类型”对话框，选择“标准类型”中的“XY散点图”，单击“下一步”.（3）在“图表向导”中的“图表数据源”对话框中，选择“系列”选项，单击“添加”按钮添加系列1，在“X值”栏中输入身高所在数据区域，在“Y值”栏中输入体重所在数据区域，单击“下一步”.（4）进入“图表向导”中的图表选项对话框，对图表的一些属性进行设置. （5）单击“完成”按钮.注：也可以直接使用我们提供的文件来给学生演示，相对节约课堂时间.3、学生使用函数计算器求回归方程的过程如下：（学生还会使用更先进的计算器） 4、课堂使用的数据如下高二女生前15组数据列表：MODE SHIFT CLR =1 13 ， DT 165 49 ，DT17565， DT 165 58 ， DT 157 51 ， DT 170 53 SHIFT CLR SHIFT CLR 2 ==1 (进入回归计算模式)(清除统计存储器)(输入五组数据)所以回归方程为 yˆ0.673x-56.79 (计算参数a) (计算参数b)高二女生中间15组数据列表：高二女生后15组数据列表：课本P2例题1 女大学生8组数据列表：例1.。
高中数学_回归分析的基本思想及其初步应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《回归分析的基本思想及其初步应用》教学设计《回归分析的基本思想及其初步应用》学情分析一、学生情况分析本班级为高二理科学生，共有48名。
因为学生发展的不平衡，学生的对数学中的回归分析的理解能力差异很大。
随着社会的进步、科技的发展，很多学生在计算时爱运用计算器进行计算，忽略了手动计算能力。
因此，学生在统计分析中计算方面上还存在较大的问题，计算速度慢、准确率不高的现状比较普遍。
当然，我相信只在要教学过程中，多让学生动手，培养学生独立运算，这一问题还是能很好解决的。
学生在必修三中已掌握建立线性回归模型的知识，学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。
但本节中的随机误差及残差的意义对学生来说仍是一个难点，在教学中，放慢节奏，结合实例，让学生观察、思考与讨论，从而了解随机误差产生的原因及残差出现的意义。
二、学生课前准备1、复习必修三回关于回归分析的相关内容，并预习《3.1回归分析的基本思想及其初步应用》。
2、学生在课前测量自己的脚印（赤脚）长度，以备上课时使用。
三、课程分析本节课中，最小二乘法公式、残差的意义及计算方法、相关指数R2的计算公式，都是难以记忆。
大多教师在授课时，忽略了对公式本身的体悟，只是单纯让学生去死记硬背，机械学习，导致学生运用公式却不知其味，做完题仍觉枯燥无味，过段时间全然忘却，究其原因，是因为学生没有理解公式的本质。
在此方面，我结合例1的回归直线分析，让学生真正理解公式的意义及记忆技巧，从而达到学生记住公式、会用公式的目的。
在数学教学中，“授之以鱼”永远不如“授之以渔”，只有引导学生理解公式的意义，在计算过程中发现技巧，才能让学生在学习的过程中体会到学习数学的乐趣，获得成就感。
同时，由于学生的能力有一定的差距，所以，对不同的学生亦有不同的要求。
对于理解能力和分析能力相对较弱的同学，要求可以适当降低，只要求他们能够理解残差意义，对照公式，能借助科学工具计算即可；对于理解能力和分析能力较好的同学，不仅让学生掌握回归分析中的公式及运算，更重要的是让他们在解决实际问题中寻找更好的模型的方法，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。
高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教案
高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教案教学目标：1.了解回归分析的基本概念和方法，学会使用回归分析方法对一些实际问题作出预测和分析。
2.能够正确理解和使用回归分析的基本统计量，包括相关系数、判定系数和残差等。
3.能够理解和描述回归分析的假设条件和前提条件，掌握回归分析的模型建立过程，并能正确应用到实际问题中。
教学重点：1.回归分析的基本概念和方法。
2.回归分析的统计量及其含义。
3.回归分析的模型建立过程。
教学难点：1.应用回归分析方法对实际问题进行预测和分析。
2.掌握回归分析模型的建立方法。
教学方法：1.讲授法2.实例分析法3.互动式教学法教学内容：第一节回归分析的基本概念和方法1.回归分析的概念和意义。
2.回归分析的基本模型和方程式。
3.单变量和多变量回归分析的区别和应用。
4.回归分析的基本假设条件和前提条件。
第二节回归分析的统计量及其含义1.相关系数的概念和计算方法。
2.判定系数的定义和计算方法。
3.残差的概念和含义。
4.其他相关统计量的应用。
第三节回归分析的模型建立过程1.数据的收集和清理。
2.变量的筛选和筛选标准。
3.模型的构建和检验。
4.模型的应用和预测。
教学方式：1.讲授。
通过讲解回归分析的概念、方法、统计量和模型建立过程等内容，让学生了解回归分析的基本概念和方法，为后续的案例分析打下基础。
2.案例分析。
通过实例分析法，将回归分析的理论知识与实际问题相结合，并引导学生从实际问题中理解和掌握回归分析的方法和应用。
3.互动式教学。
引导学生在互动交流中，理解和掌握回归分析的基本概念和方法，加深对回归分析的理解和认识。
教学评估：教师根据学生在课堂上的表现和课下的练习情况，对学生进行综合评价。
主要考核内容包括：学生对回归分析的概念和方法的理解程度、学生对回归分析应用的掌握情况、学生对回归分析的模型建立和检验能力、学生的综合分析和判断能力等。
据此评价学生的成绩，并作出相应的教学反思和改进。
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《回归分析的基本思想及其初步应用》教学设计
【教学目标】
在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果，并能从残差分析角度讨论回归模型的拟合效果；第二课时：从相关系数.相关指数角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用。
本节课是第一课时的内容。
1. 认识随机误差；认识残差
2.（1）会使用电脑画散点图、求回归直线方程；
（2）能正确理解回归方程的预报结果。
3. 通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性。
【教学重点】回归分析的基本方法、随机误差ｅ的认识、残差
【教学难点】回归分析的基本方法
课时安排：1课时
【教学方法】启发式教学法
【教学手段】多媒体辅助教学
【教学过程设计】。