树的查找和树的应用
保研计算机专业课知识点
保研计算机专业课知识点一、知识概述《数据结构中的树结构》①基本定义：树结构呢，就像我们生活中的树一样，有一个根节点（就是树的最顶部那个节点，就好比树根），然后从根节点往外伸出好多树枝，这些树枝连接的就是子节点。
整体上是一种分层的结构哦。
②重要程度：在计算机学科里算是很重要的基础部分。
数据的存储、管理还有算法的实现很多时候都要用到树结构。
比如说文件系统的存储方式就有点像树结构。
③前置知识：得先了解基本的数组、指针这些概念，因为树结构里面节点之间的连接很多时候涉及到指针的操作，就像知道怎么盖小房子，才能去盖高楼大厦，有了数组和指针这些小基础，才能更好理解树结构这一相对复杂的概念。
④应用价值：在数据库系统里存储层次化的数据，还有编译原理里表达语法结构的时候都会用到树结构。
比如说，我们要对一个很大的公司部门组织结构进行管理，就可以用树结构，根是总经理，下面各个部门经理就是子节点，再往下职员之类的又会分更多层的子节点。
二、知识体系①知识图谱：在数据结构知识体系里，树结构是一个重要分支。
和线性结构像数组、链表这些并列，但又能处理更复杂的层次化数据关系呢。
②关联知识：和图结构有一定联系，可以看作是图结构的特殊形式，也和遍历算法、查找算法关联密切，比如深度优先遍历和广度优先遍历算法经常用在树结构上。
②关联知识：像二叉树这种树结构，它的平衡调整就会涉及到排序算法的思想。
③重难点分析：重难点在于对各种树，比如二叉树、平衡二叉树、哈夫曼树的理解和操作。
特别是二叉树的遍历算法（先序、中序、后序遍历），一开始理解起来可能有点绕，关键点在于要清楚每个遍历顺序中节点的访问先后顺序的逻辑。
④考点分析：在考试里是高频考点。
可能会直接考树结构的概念、性质，也会考查遍历算法的实现，像给出一种遍历顺序的结果，让你写其他遍历顺序的结果。
三、详细讲解- 【理论概念类】①概念辨析：树主要由节点和边组成。
节点就是像刚刚说的公司里的人、部门，边就是他们之间的连接关系。
数据结构的具体应用
数据结构的具体应用数据结构是计算机科学中的一个重要领域，它研究如何组织和管理数据，以便高效地访问和修改数据。
数据结构可以用于解决各种计算问题，包括排序，搜索，图形遍历等。
数据结构的应用非常广泛，从计算机科学到生物学，从金融到社交媒体，无所不包。
以下是几个具体的应用。
1. 排序算法排序算法是计算机科学中的基本问题之一。
数据结构可以帮助我们在最短的时间内对一组数据进行排序。
常用的排序算法包括冒泡排序，插入排序，选择排序，快速排序，归并排序等。
2. 哈希表哈希表是一种高效的数据结构，它将键映射到值。
哈希表实现了常数时间的插入和查找操作，因此在许多应用程序中都非常流行。
哈希表最常用于实现数据库，缓存，路由表等。
3. 树结构树是一种常用的数据结构，它可以用于描述层次结构。
常见的树结构包括二叉树，红黑树，B树，B+树等。
树结构可以用于实现文件系统，数据库索引等。
4. 图形算法图形是一种用于描述连接关系的数据结构。
在计算机科学中，图形用于解决路由问题，最短路径问题，拓扑排序问题等。
常用的图形算法包括广度优先搜索，深度优先搜索等。
5. 堆结构堆是一种尤其在动态集合中实现优先队列的重要数据结构。
堆被广泛应用于图形的最短路径算法，操作系统的进程调度和内存管理，以及大规模数据分析中的分段，包括最大堆和最小堆。
在计算机科学与信息技术领域及其关联学科中，数据结构是一项基础且必要专业技能。
实际上，在许多数据结构问题中，设计第一个数据结构自身是一个关键问题，怎样使得数据结构既可以提高其应用性，又不会产生性能问题与空间浪费是维护数据结构的重要指导思想。
数据结构的应用，在解决不同领域的计算问题中起着不可或缺的作用。
k-d树
16
K-d树的查找
1）精确的点查找
2）最近邻点的查找
3）范围查找
17
K-d树的查找
1）精确的点查找
例如查找点H（85，15）
分辨器
(5,45)
A
(35,42)
X：0
(52,10)
B D
(27,35)
C E
(90,5) (85,15)
Y：1 X: 0
F
H
(62,77)
G Y: 1 (82,65)
X: 0
k-d树
引入k-d树的目的
K-d树的定义
kd树的构造 kd树的插入
K-d树的基本操作
kd树的删除 kd树的查询
K-d树的应用
总结
1
引入k-d树的目的
常见的数据结构都是基于一维空间。不便查 询具有多个关键字索引的数据。 K-d树将搜索拓展到多维空间，大大提高了多 属性关键字的搜索效率。
2
k-d树
优点：
Kd树适用于多维空间关键数据的搜索。如最近邻搜索和 范围搜索。
缺点： 1）在最近邻搜索中，由于有大量的回溯，效率较低。 2）删除操作比较复杂，代价较高。 3）应用不太广泛
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Thanks
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薪水300
30,260 25,400 45,350
50,275 60,260
50,100 50,120
年龄35
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45,350 35,350
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k-d树
引入k-d树的目的
kd树的定义
kd树的构造 kd树的插入
K-d树的基本操作
kd树的删除 kd树的查询
K-d树的应用 总结
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总结
二叉树是指度为2的什么树
二叉树是指度为2的什么树
二叉树是指度为2的树，就是每个节点都只有两个子节点的树。
在计算机科学领域，二叉树被广泛应用，用于存储、组织和查询数据，是一种相当重要的数据结构。
二叉树的原理非常简单，它是由一系列的节点组成的，每个节点最多只能有两个子节点。
子节点分为左节点和右节点，其中左节点的值小于等于父节点，右节点的值大于等于父节点，所有的节点的左子树的值都小于所有的右子树的值。
如果一个节点的所有子节点都为空，则它是一棵空树。
二叉树具有多种应用，其实现一般用指针来实现，指针的概念用来表示某个节点的左子节点和右子节点，树的整体布局就是利用这些指针联系起来的。
二叉树的查询操作十分高效，因其结构可以极大减少在查找数据时遍历的节点数，也就减少了查询事件的时间复杂度。
查询时，可以先从根节点开始，然后根据比较结果去左子树或右子树匹配，直到找到该结点。
在插入操作二叉树中，比较简单，只需么先把新加入树中的数据构造成一个新节点，然后从树的根节点开始依次按小于或大于（左子树中全部节点的值小于心诶亲的值，右子树中全部节点的值大于父元素的值）的结果去搜索和插入节点，这样实现树的平衡性和效果。
而删除操作则复杂一些，会有没有子节点的情况，及其节点的子节点有1个、有两个或更多情况，这时要考虑如何才能把节点从树中删除而不使树失去平衡性。
一般来说，删除时可以用临近节点上移来替代掉要删除的节点，从而保持树的平衡。
总之，二叉树是一种具有很高效率的数据存储结构，它可以用于查找、组织和管理数据，实现很多功能，如键值对操作、索引、搜索引擎等。
另外，它还能够分析和表达常见的数据结构——例如图形和树形数据结构，因此被广泛应用于科学领域，尤其是计算机应用。
折半查找判定树及平均查找长度
折半查找判定树及平均查找长度从折半查找的过程看，以有序表的中间记录作为比较对象，并以中间记录将表分割为两个子表，对子表继续上述操作。
所以，对表中每个记录的查找过程，可用二叉树来描述，二叉树中的每个结点对应有序表中的一个记录，结点中的值为该记录在表中的位置。
通常称这个描述折半查找过程的二叉树为折半查找判定树。
长度为n的折半查找判定树的构造方法为：⑴当n=0时，折半查找判定树为空；⑵当n＞0时，折半查找判定树的根结点是有序表中序号为mid=(n+1)/2的记录，根结点的左子树是与有序表r[1] ~ r[mid-1]相对应的折半查找判定树，根结点的右子树是与r[mid+1] ~ r[n]相对应的折半查找判定树。
例如，长度为10的折半查找判定树的具体生成过程为：⑴在长度为10的有序表中进行折半查找，不论查找哪个记录，都必须先和中间记录进行比较，而中间记录的序号为(1+10)/2=5（注意是整除即向下取整），即判定树的根结点是5，如图7-2(a)所示；⑵考虑判定树的左子树，即将查找区间调整到左半区，此时的查找区间是[1，4]，也就是说，左分支上为根结点的值减1，代表查找区间的高端high，此时，根结点的左孩子是(1+4)/2=2，如图7-2(b)所示；⑶考虑判定树的右子树，即将查找区间调整到右半区，此时的查找区间是[6，10]，也就是说，右分支上为根结点的值加1，代表查找区间的低端low，此时，根结点的右孩子是(6+10)/2=8，如图7-2(c)所示；⑷重复⑵⑶步，依次确定每个结点的左右孩子，如图7-2(d)所示。
历史老照片不能说的秘密慈禧军阀明末清初文革晚清对于折半查找判定树，需要补充以下两点：⑴折半查找判定树是一棵二叉排序树，即每个结点的值均大于其左子树上所有结点的值，小于其右子树上所有结点的值；⑵折半查找判定树中的结点都是查找成功的情况，将每个结点的空指针指向一个实际上并不存在的结点——称为外结点，所有外结点即是查找不成功的情况，如图7-2(e)所示。
KdTree算法详解
KdTree算法详解kd树（k-dimensional树的简称），是⼀种分割k维数据空间的数据结构，主要应⽤于多维空间关键数据的近邻查找(Nearest Neighbor)和近似最近邻查找(Approximate Nearest Neighbor)。
⼀、Kd-tree其实KDTree就是⼆叉查找树（Binary Search Tree，BST）的变种。
⼆叉查找树的性质如下：1）若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值均⼩于它的根结点的值；2）若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值均⼤于它的根结点的值；3）它的左、右⼦树也分别为⼆叉排序树；例如：如果我们要处理的对象集合是⼀个K维空间中的数据集，我们⾸先需要确定是：怎样将⼀个K维数据划分到左⼦树或右⼦树？在构造1维BST树类似，只不过对于Kd树，在当前节点的⽐较并不是通过对K维数据进⾏整体的⽐较，⽽是选择某⼀个维度d，然后⽐较两个K维数据在该维度 d上的⼤⼩关系，即每次选择⼀个维度d来对K维数据进⾏划分，相当于⽤⼀个垂直于该维度d的超平⾯将K维数据空间⼀分为⼆，平⾯⼀边的所有K维数据在d维度上的值⼩于平⾯另⼀边的所有K维数据对应维度上的值。
也就是说，我们每选择⼀个维度进⾏如上的划分，就会将K维数据空间划分为两个部分，如果我们继续分别对这两个⼦K维空间进⾏如上的划分，⼜会得到新的⼦空间，对新的⼦空间⼜继续划分，重复以上过程直到每个⼦空间都不能再划分为⽌。
以上就是构造 Kd-Tree的过程，上述过程中涉及到两个重要的问题：1. 每次对⼦空间的划分时，怎样确定在哪个维度上进⾏划分；2. 在某个维度上进⾏划分时，怎样确保建⽴的树尽量地平衡，树越平衡代表着分割得越平均，搜索的时间也就是越少。
1、在哪个维度上进⾏划分？⼀种选取轴点的策略是median of the most spread dimension pivoting strategy，统计样本在每个维度上的数据⽅差，挑选出对应⽅差最⼤值的那个维度。
「详细原理」蒙特卡洛树搜索入门教程
「详细原理」蒙特卡洛树搜索入门教程本文是对Monte Carlo Tree Search – beginners guide 这篇文章的文章大体翻译，以及对其代码的解释。
1 引言蒙特卡洛树搜索在2006年被Rémi Coulom第一次提出，应用于Crazy Stone的围棋游戏。
•Efficient Selectivity and Backup Operators in Monte-Carlo Tree Search蒙特卡洛树搜索大概的思想就是给定一个游戏状态，去选择一个最佳的策略/动作。
1.1 有限双人零和序贯博弈蒙特卡洛树搜索实际上是一个应用非常广泛的博弈框架，这里我们将其应用于有限双人序贯零和博弈问题中。
像围棋、象棋、Tic-Tac-Toe都是有限双人序贯零和博弈游戏。
1.2 怎样去表示一个游戏?我们采用博弈树 (Game Tree)来表示一个游戏：每个结点都代表一个状态(state)，从一个结点(node)移动一步，将会到达它的子节点(children node)。
子节点的个数叫作分支因子(branching factor)。
根节点 (Root node)表示初始状态(initial state)。
终止节点 (terminal nodes)没有子节点了。
在 tic-tac-toe 游戏中表示如下图所示：•每次都是从初始状态、树的根结点开始。
在 tic-tac-toe 游戏里面初始状态就是一张空的棋盘。
•从一个节点转移到另一个节点叫作一个move 。
•分支因子 (branching factor)， tic-tac-toe 中树越深，分支因子也越少，也就是 children node 的数量越少。
•游戏结束表示终止节点。
•从根节点到终止节点一次表示一个单个游戏 playout 。
你不需要关系你是怎么来到这个node ，只需要做好之后的事情就好了。
1.3 最佳策略是什么？minimax和alpha-beta剪枝我们希望找到的就是最佳策略( the most promising next move )。
数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf
以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。
常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。
二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。
66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。
1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。
若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。
查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。
数据结构重点知识
数据结构重点知识一、数组数组可是数据结构里的老熟人啦。
它就像是住在公寓里的居民，每个元素都住在固定的小房间里，有自己的编号。
数组的优点呢，就是访问速度特别快，就像你知道朋友住几零几房间，一下子就能找到他。
但是它的缺点也很明显哦，要是想在中间插入或者删除一个元素，那就像在公寓里突然要加一个房间或者拆一个房间一样麻烦，得把后面的元素都挪一挪。
二、链表链表就比较灵活啦。
它像是一群手拉手的小伙伴，每个元素都只知道自己下一个小伙伴是谁。
链表分为单向链表和双向链表。
单向链表只能顺着一个方向找下一个元素，双向链表就厉害啦，它既能找到下一个元素，还能找到前一个元素呢。
链表在插入和删除元素的时候就比较方便，就像小伙伴们手拉手，想加入或者离开这个小队伍都比较容易，不用像数组那样大动干戈。
三、栈栈这个东西很有趣哦。
它就像一个只能从一头进出的小盒子，先进去的元素要最后才能出来，这就是所谓的“后进先出”。
就好比你往一个细口瓶子里放东西，先放进去的东西被压在下面，最后才能拿出来。
栈在函数调用、表达式求值等方面可是大有用处的呢。
四、队列队列和栈有点相反，它是“先进先出”的。
就像排队买东西一样，先来的人先被服务。
在计算机里，比如打印机的任务队列，先提交的打印任务就会先被打印出来。
队列可以用数组或者链表来实现。
五、树树这个结构可复杂也可有趣啦。
它有根节点、叶子节点等。
二叉树是树结构里比较常见的一种，每个节点最多有两个子节点。
就像家族的族谱一样，有一个祖宗节点，下面有子孙节点。
树结构在文件系统、查找算法等方面都有很多应用。
比如二叉查找树，它可以让查找元素的效率提高很多。
六、图图是由顶点和边组成的。
它可以用来表示很多实际的关系，比如城市之间的交通路线。
图有有向图和无向图之分。
有向图的边是有方向的，就像单行道一样，只能按照规定的方向走；无向图的边就没有方向，就像普通的马路，两个方向都能走。
图的遍历算法也是数据结构里的重点内容，像深度优先遍历和广度优先遍历。
2022年硕士研究生入学考试930人工智能专业基础考试大纲及题型分布题型分布
2022年硕士研究生入学考试930人工智能专业基础考试大纲及题型分布题型分布一、选择题：（40道题，每题2分，共80分）数据结构：16道题机器学习：16道题知识表示与处理：8道题二、综合问答题：（8道题，共70分）数据结构：3题（共28分）机器学习：3题（共28分）知识表示与处理：2题（共14分）考试大纲数据结构【考查目标】1. 理解数据结构的基本概念；掌握数据的逻辑结构、存储结构及其差异以及各种基本操作的实现。
2. 掌握基本的数据处理原理和方法的基础上，能够对算法进行设计与分析。
3. 能够选择合适的数据结构和方法进行问题求解；具备采用C++、python语言设计与实现算法的能力。
【考查范围】一、复杂度分析和递归(一) 算法的时间与空间复杂度分析(二) 递归及递归的复杂度分析(三) 初级动态规划算法二、链表、栈、队列(一) 链表的基本概念和实现(二) 栈和队列的基本概念(三) 栈和队列的顺序存储结构(四) 栈和队列的链式存储结构(五) 栈和队列的应用：表达式求值算法等三、树与二叉树(一) 树的基本概念(二) 二叉树1. 二叉树的定义及其主要特征2. 二叉树的顺序存储结构和链式存储结构3. 二叉树的遍历4. 平衡二叉树5. 哈夫曼(Huffman)树和哈夫曼编码6. AVL树四、图(一) 图的概念(二) 图的存储及基本操作1. 邻接矩阵法2. 邻接表法(三) 图的遍历1. 深度优先搜索2. 广度优先搜索(四) 图的基本应用1. 最短路径2. 拓扑排序3. Dijkstra(迪杰斯特拉)算法及其特点分析五、查找(一) 查找的基本概念(二) 顺序查找法(三) 折半查找法(四) 树在查找的应用(五) 哈希(Hash)表(六) 局部敏感哈希算法(七) 查找算法的分析及应用六、排序(一) 排序的基本概念(二) 插入排序1. 直接插入排序2. 折半插入排序(三) 冒泡排序(四) 选择排序(五) 快速排序(六) 堆排序(七) 基数排序(八) 各种内部排序算法的比较(九) 排序算法的应用机器学习【考察目标】1. 掌握机器学习的基本概念、基本流程；理解机器学习的常用任务、方法和模型。
红黑树（R-BTree）
红⿊树（R-BTree）R-B Tree简介R-B Tree，全称是Red-Black Tree，⼜称为“红⿊树”，它⼀种特殊的⼆叉查找树。
红⿊树的每个节点上都有存储位表⽰节点的颜⾊，可以是红(Red)或⿊(Black)。
红⿊树的特性:（1）每个节点或者是⿊⾊，或者是红⾊。
（2）根节点是⿊⾊。
（3）每个叶⼦节点（NIL）是⿊⾊。
[注意：这⾥叶⼦节点，是指为空(NIL或NULL)的叶⼦节点！]（4）如果⼀个节点是红⾊的，则它的⼦节点必须是⿊⾊的。
（5）从⼀个节点到该节点的⼦孙节点的所有路径上包含相同数⽬的⿊节点。
注意：(01) 特性(3)中的叶⼦节点，是只为空(NIL或null)的节点。
(02) 特性(5)，确保没有⼀条路径会⽐其他路径长出俩倍。
因⽽，红⿊树是相对是接近平衡的⼆叉树。
红⿊树⽰意图如下：红⿊树的应⽤红⿊树的应⽤⽐较⼴泛，主要是⽤它来存储有序的数据，它的时间复杂度是O(lgn)，效率⾮常之⾼。
例如，Java集合中的和，C++ STL中的set、map，以及Linux虚拟内存的管理，都是通过红⿊树去实现的。
红⿊树的时间复杂度和相关证明红⿊树的时间复杂度为: O(lgn)下⾯通过“数学归纳法”对红⿊树的时间复杂度进⾏证明。
定理：⼀棵含有n个节点的红⿊树的⾼度⾄多为2log(n+1).证明："⼀棵含有n个节点的红⿊树的⾼度⾄多为2log(n+1)" 的逆否命题是 "⾼度为h的红⿊树，它的包含的内节点个数⾄少为 2h/2-1个"。
我们只需要证明逆否命题，即可证明原命题为真；即只需证明"⾼度为h的红⿊树，它的包含的内节点个数⾄少为 2h/2-1个"。
从某个节点x出发（不包括该节点）到达⼀个叶节点的任意⼀条路径上，⿊⾊节点的个数称为该节点的⿊⾼度(x's black height)，记为bh(x)。
关于bh(x)有两点需要说明：第1点：根据红⿊树的"特性(5) ，即从⼀个节点到该节点的⼦孙节点的所有路径上包含相同数⽬的⿊节点"可知，从节点x出发到达的所有的叶节点具有相同数⽬的⿊节点。
什么是红黑树
什么是红黑树
红黑树（Red Black Tree）是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。
它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，当时被称为平衡二叉B 树（symmetric binary B-trees）。
后来，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改为如今的“红黑树”。
红黑树和AVL树类似，都是在进行插入和删除操作时通过特定操作保持二叉查找树的平衡，从而获得较高的查找性能。
它虽然是复杂的，但它的最坏情况运行时间也是非常良好的，并且在实践中是高效的：它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n 是树中元素的数目。
它的统计性能要好于平衡二叉树(有些书籍根据作者姓名，Adelson-Velskii和Landis，将其称为AVL-树)，因此，红黑树在很多地方都有应用。
在C++ STL中，很多部分(包括set, multiset,map, multimap)应用了红黑树的变体(SGI STL中的红黑树有一些变化，这些修改提供了更好的性能，以及对set操作的支持)。
其他平衡树还有：AVL，SBT，伸展树，TREAP 等等。
常见的数据结构的类型
常见的数据结构的类型
数据结构是计算机科学中的核心概念之一，它涉及到如何组织和存储数据以便有效地使用。
常见的数据结构类型包括：
1. 数组：一组相同类型的数据元素，可以通过索引来访问。
2. 栈：一种后进先出的数据结构，只能在顶部插入和删除元素。
3. 队列：一种先进先出的数据结构，可以在队尾插入元素，在队首删除元素。
4. 链表：一种使用指针连接的数据结构，可以动态添加和删除元素。
5. 树：一种层次结构的数据结构，由节点和边组成，可以用于搜索和排序。
6. 图：一种由节点和边组成的非线性数据结构，可以用于表示网络或关系。
7. 哈希表：一种基于哈希函数的数据结构，可以快速查找和插入元素。
不同的数据结构具有不同的特点和用途，对于不同的问题需要选择合适的数据结构来解决。
熟练掌握数据结构的类型和应用可以提高程序的效率和性能。
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北京理工大学数据结构试题及答案
A.有序数据元素B.无序数据元素
C.元素之间具有分支层次关系的数据D.元素之间无联系的数据
6.二叉树的第k层的结点数最多为( ).
A．2k-1 B.2K+1 C.2K-1D. 2k-1
7.若有18个元素的有序表存放在一维数组A[19]中，第一个元素放A[1]中，现进行二分查找，则查找A［3］的比较序列的下标依次为( )
E={(1,2)3,(1,3)5,(1,4)8,(2,5)10,(2,3)6,(3,4)15,
(3,5)12,(3,6)9,(4,6)4,(4,7)20,(5,6)18,(6,7)25};
用克鲁斯卡尔算法得到最小生成树，试写出在最小生成树中依次得到的各条边。
4.画出向小根堆中加入数据4, 2, 5, 8, 3时，每加入一个数据后堆的变化。
三、计算题（每题6分，共24分）
1.在如下数组A中链接存储了一个线性表，表头指针为A [0].next，试写出该线性表。
A 0 1 2 3 4 5 6 7
data
60
50
78
90
34
40
n
2.请画出下图的邻接矩阵和邻接表。
3.已知一个图的顶点集V和边集E分别为：V={1,2,3,4,5,6,7};
5．设有无向图G，要求给出用普里姆算法构造最小生成树所走过的边的集合。
6．设有一组初始记录关键字为(45，80，48，40，22，78)，要求构造一棵二叉排序树并给出构造过程。
四、算法设计题(16分)
1．设有一组初始记录关键字序列（K1，K2，…，Kn），要求设计一个算法能够在O(n)的时间复杂度内将线性表划分成两部分，其中左半部分的每个关键字均小于Ki，右半部分的每个关键字均大于等于Ki。
简述索引的数据结构
简述索引的数据结构索引是一种用于快速查找数据的数据结构。
它是现代数据库管理系统中基础的组件之一，常常与关系数据库一起使用。
索引可以加速数据库查询的速度，通过将一些列值映射到数据库中的记录来优化访问速度。
索引的数据结构通常是以树、哈希表或者一些其他的数据结构来实现的。
索引可以看作是一个缩影（dictionary），用于将列列值映射到数据库的行。
它类似于书籍或电脑上的字典，其中包含了有关一些关键字的有用信息。
当你想找到一个关键字时，你可以通过查找字典来快速获得相应的信息。
同样地，索引也使用相同的技术来快速查找表中的记录。
它是一种优化查找的方法，可以在极短的时间内找到所需的记录，这是关系数据库的一个基本功能。
索引的数据结构通常是以树、哈希表和位图来实现的。
下面我们将详细介绍这几种常见的索引数据结构。
1.树形索引树形索引是一种常见的索引数据结构。
在数学中，一棵树是由节点组成的，其中一个节点被称为根节点，其他节点被称为子节点。
在树形索引中，每个节点都是一个索引项，包含一个关键字和一个指向更底层节点或数据记录的指针。
经典的树形索引数据结构是B-树和B+树。
这两种数据结构都是使用分支法，由多个层级组成。
每一层的节点都可以包含多个关键字，用来定位下一层节点。
最底层包含的是指针，这些指针指向实际的数据记录。
每一层都可以看成是索引文件，能够大大加快数据的访问速度。
其中，B+树是关系数据库管理系统中常用的索引结构。
B+树和B-树相似，但B+树没有在树的内部存储数据，只将指针存储在所有的叶子节点上，这个特点使得在遍历整个树时每个叶子节点上都可以得到一些数据。
树的最大深度也比B-树更浅，可以减少查找的时间。
2.哈希索引哈希索引是一种基于哈希表数据结构实现的索引。
哈希表速度很快，在最理想的情况下，它的查找时间是常量级别的O(1)，这是由于哈希表使用哈希函数将每个数据记录的键映射到存储区域的位置。
在哈希索引中，哈希函数根据索引列的值计算生成的哈希码（hash code）来确定该记录的位置。
阳性树、阴性树习性特征及在庭园的园林应用
阳性树、阴性树习性特征及在庭园的园林应用一、阴性树、中性树、阳性树的树种与各自的习性特征：1、阳性树：阳性树的幼树生长需要阳光，长成大树后仍然需要阳光，在背阴地里生长不良。
·针叶树…有赤松、龙柏、黑松、侧柏、日本柳杉、圆柏、口光丝柏、铺地柏、雪松等。
·常绿阔叶树…有大花六道木、三裂树参、光叶石楠、夹竹桃、钝叶杜鹃、荷花玉兰、胡颓子、食柯等。
·落叶阔叶树…有梧桐、梅花、金雀儿、迎春、垂丝海棠、麻栎、光叶榉、樱花、紫薇、白桦、紫荆、桃花、芙蓉、贴梗海棠、桃叶卫矛、木槿、北美鹅掌楸、紫丁香、连翘等。
2、阴性树：阴性树的幼树在缺少阳光的环境下能够生长，当长成大树后日照不足仍然能够生长。
其中有些树种在整个生长过程均喜荫蔽环境，有些树种在幼小时喜阴，当成形后喜阳。
·针叶树…有日本罗汉柏、红豆杉、罗汉松、金松。
·常绿阔叶树…有日本桃叶珊瑚、三裂树参、栀子、杨桐、茶悔、华南十大功劳、山茶、女贞、枸骨、阔叶十大功劳、大叶黄杨、朱砂根、八角金盘、紫金牛等。
·落叶阔叶树…有八仙花、卫矛、棣棠等。
3、中性树：中性树的性质处于阳性树和阴性树之间，性喜光照，但存半阴之处亦能很好生长。
·针叶树…有五针松、日本花柏等。
·常绿阔叶树…有青冈栎、乌冈栎、宽叶山月挂、樟树、石楠杜鹃、金丝佻等。
·落叶阔叶树…有锯齿冬青、金丝梅．婆罗花，蜡瓣花、金缕梅、四照花等。
二、在庭园营造中的园林应用：1、在前庭的一角栽种樱花的范例。
当其开花时，繁英压树。
樱花类植物均属于阳性树种，需要充足的光照，应该栽种在空间开阔、日照良好之处。
2、日照充足之处可种植阳性乔木，树下阳光不足之处可种植耐阴的树种。
3、角八仙花：角八仙花开花的景观。
八仙花类植物在阳光充足的地方也能较好生长，但更喜欢半阴至全阴的树下及微潮之处。
哈希树(HashTree)
哈希树（HashTree ）罗堃 吴朝宏从2000年开始，作者开始研究基于TCP/IP 的短信息传输技术。
这种技术目前在国际上的标准被成为SMPP （Short Message Peer to Peer Protocol ）。
SMPP 协议是一种支持异步传输模式（Asynchronized Transmission Mode ）的信息传输方式。
这种异步方式主要体现在两个地方：传递信息和等待确认。
在为电信运营商编写软件的过程当中，解决大容量（百万用户以上）要求下的快速查找与匹配成为实现这个系统的核心任务。
作者在反复设计整个过程中曾经尝试过很多种方式和算法，但都未能取得满意的效果。
最终不得不自己开始设计针对这种系统的特殊存储模式。
并在这个过程中，找到了一种比较理想的数据存储结构——哈希树（HashTree ）。
一、查找算法在各种数据结构（线性表、树等）中，记录在结构中的相对位置是随机的，和记录的关键字之间不存在确定的关系。
因此在机构中查找记录的时需要进行一系列和关键字的比较。
这一类的查找方法建立在“比较”的基础上。
在顺序查找时，比较的结果为“=”与“≠”两种可能。
在折半查找、二叉排序树查找和-B 树查找时，比较的结果为“<”、“=”与“>”三种可能。
查找的效率依赖于查找过程中所进行的比较次数。
为确定记录在查找表中的位置，需和给定值进行比较的关键字个数的期望值成为查找算法在查找成功时的平均查找长度（Average Search Length ）。
下面我们简单讨论一下在含有n 个数据记录的结构中，各种查找算法的平均查找长度。
在等概率的情况下，顺序查找的平均查找长度为：21+=n ASL ss 对于折半查找（表要求是顺序表），在n 比较大（50>n ）的时候，可有以下近似结果：1)1(log 2-+=n ASL bs在随机情况下（二叉树查找可能退化为顺序查找），对于二叉树，其平均查找长度为：n ASL b log 41+=在平衡二叉树上进行查找，其平均查找长度为：2))1(5(log -+=n ASL bb ϕ，其中251+=ϕ 对于一颗m 阶的-B 树，从根节点到关键字所在节点的路径上涉及的节点数可以说是平均查找长度的上限： 1)21(log 2/++≤-n ASL m B 总的来说，这些查找算法的效率都将随着数据记录数的增长而下降。
树结构知识总结
树结构知识总结树结构，听起来就像是树的家族谱一样有趣呢！一、树结构的概念。
树结构呀，就像是一棵倒立的树。
它有一个根节点，这个根节点就像是树的老大，所有的其他节点都从它这儿延伸出去。
比如说，我们想象一个家族，根节点就是那个最老的祖宗。
每个节点下面可能会有子节点，子节点就像是家族里的下一代。
子节点还可以有自己的子节点，就像家族不断繁衍一样。
这种结构很独特，和我们平时看到的线性结构可不一样哦。
它是一种分层的结构，层次分明，就像树的树干、树枝、树叶一样，一层一层的，特别有秩序。
二、树结构的组成部分。
1. 节点。
节点就是树结构里的一个个小单元啦。
就像树上的一个个小疙瘩一样。
根节点是特殊的节点，它没有父节点，就像孤胆英雄一样，独自站在树的顶端。
而其他的节点都有自己的父节点，除了叶子节点哦。
叶子节点就像是树的最末端的小芽芽，它们没有子节点啦。
每个节点都可以存储数据，这些数据可以是各种各样的东西，比如数字、字符或者是一些复杂的对象。
2. 边。
边呢，就是连接节点的线。
它就像是把节点们串起来的小绳子。
通过这些边，节点们才能形成树的结构。
如果没有边的话，那节点就像是一盘散沙，各自为政啦。
边就像是桥梁，让节点之间可以互相联系，这样信息就可以在树结构里传递啦。
三、树结构的常见类型。
1. 二叉树。
二叉树可是树结构里的小明星呢。
它的每个节点最多只能有两个子节点，就像每个家庭最多只能有两个孩子一样（当然这是一种简单的比喻啦）。
二叉树又可以分为满二叉树和完全二叉树。
满二叉树就是每个层的节点都满了，就像一个装满东西的盒子一样。
完全二叉树呢，就是除了最后一层节点可能不满之外，其他层都是满的，而且最后一层的节点都尽量向左排列，就像排队的时候，大家都尽量往左边靠一样。
2. 多叉树。
多叉树就比较豪放啦，它的节点可以有多个子节点。
比如说，一个公司的组织架构就可以用多叉树来表示。
公司的总经理是根节点，各个部门经理就是子节点，而部门下面的员工又可以是子节点的子节点。
中序序列特点
中序序列特点
中序序列也叫中序遍历，是指从根结点开始，先序遍历其左子树，然后访问根结点，最后先序遍历其右子树的访问结点的方式。
它的特点是：先访问左子节点，然后访问根结点，最后访问右子节点。
二、中序序列的特点
1. 中序序列遍历可以让树以按照从小到大的顺序输出节点值，也就是说可以根据树的结构来排列结点的值。
2.果我们想要访问二叉树的所有节点，那么中序序列是一种很好的选择，因为它可以把每个结点都访问一次，而不会遗漏任何一个。
3. 中序序列也可以用来查找树中的元素，因为它可以保证每个节点都访问到，因此可以方便快速地查找某一节点的所有信息。
4. 中序序列也可以用来判断两个二叉树是否相同，只需要将两棵二叉树进行中序序列遍历，如果所有结点的值都相同，那么这两棵树就是相同的。
三、中序序列的应用
1. 中序序列遍历可以用来解决建立索引的问题，因为它能够把树中节点的值按从小到大顺序存放，这样可以更方便地建立索引。
2. 中序序列遍历还可以用来解决查找问题，比如我们需要查找树中某个特定的值，我们可以利用先序遍历去查找，这样可以保证所有结点都被访问到，从而提高查找效率。
3. 中序序列遍历还可以用来解决排序问题，比如我们需要把树中的结点按从小到大的顺序排序，那么利用中序序列遍历来实现就会比较方便，而且效率也更高。
四、结论
以上就是中序序列遍历的特点及其应用，中序序列遍历能够使树中节点按照从小到大的顺序排序，这使得它在建立索引，查找和排序等方面都有着很好的应用。
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3. 构造丰满树
上面方法构造的丰满树，有性质： （１）若丰满树T中有n个结点，则树T有 [log2n]+1层。 （２）如果构造前的结点序列是有序的，则 得到的丰满树是一棵丰满查找树。 p. 153 图6.2.2 丰满查找树
６.3 堆和堆排序
１. 堆（heap）的定义 设二叉树T是一棵拟满树，且树中的任一结 点的值不小于它的左子结点（如果左子结点存在） 和右子结点（如果右子结点存在）的值，则称树 T是一个堆。
５. 在查找树中删除结点的算法
pp. 149-150 delete(p_t, a) 删除成功，则返回0；否则，返回1。 以上算法不是唯一的。也有其他算法，只要保持 被删除结点后仍然是查找树就行。
6.2 满树、拟满树和丰满树
要使查找时间小，则应使从根到其他结 点的树枝尽量地短。也就是说，各结点应安 排在尽量靠近根的位置。
6.1 查找树
２. 性质 二叉树T为查找树的充分必要条件是，按中 序遍历二叉树T的结点可得到已排好序的结点序 列。 p. 146 图6.1.1 画出４棵查找树
6.1 查找树
３. 二叉查找算法 在给定的查找树t中找出具有给定键值a的结 点的算法。 （１）如果t为空，那么查找失败，算法结 束；否则，进入（２）； （２）如果t->data等于a，那么查找成功， 算法结束；否则，进入（３）； （３）如果a小于t->data，那么t=t->lchild； 否则，t=t->rchild。转到（１）。 p. 147 search(t, a, p_p, p_q)
５. 在查找树中删除结点的算法
分六种情况分析： （1）若被删的是根，而且 ①它没有左子结点 ②它有左子结点 （2）若被删结点非根，且没有左子结点 ③被删结点是父结点的左子结点 ④被删结点是父结点的右子结点 （3）若被删结点非根，且有左子结点 ⑤被删结点是父结点的左子结点 ⑥被删结点是父结点的右子结点
3.
堆排序
算法设计： （１）调整成为堆的算法 对于一棵具有n个结点的顺序存储在数组a[ ] 中的拟满树，根结点的左、右子树都是堆，但根 结点a[0]不满足堆的条件。要求将这棵拟满树调 整成为堆。 具体做法是将左、右子树中值最大的结点移 到根结点的位置上来，而将原来的a[0]调整到其 合适的位置上去。 pp. 154-155 siftdown ( a, i, n) a：数组；i：根结点下标；n：调整范围
６.３ 堆和堆排序
２. 堆的存储结构 具有n个结点的堆T，可按层次序将结点存放 在数组a[ ]中。由于堆也是拟满树，那么它具有 拟满树按层次序进行顺序存储的性质： 若对于i≥0，有2*i+1<n，则a[2*i+1]是a[i] 的左子结点，且a[i] ≥a[2*i+1]； 若对于i≥0，有2*i+2<n，则a[2*i+2]是a[i] 的右子结点，且a[i] ≥a[2*i+2]。 显然，结点a[0]的值是最大的。
简单的时间复杂度的计算 表的顺序存储与链接存储的方法、特点与不 足 栈与队列，尤其是链接栈与链接队列 扩展链表（如环形双向链表）的插入／删除 结点的算法 各种排序方法（插入、选择、冒泡、快速、 希尔、合并等）的做法；若序列是链接存储 的情况，插入、选择等排序的算法
复习
6. 三元组数组表示的稀疏矩阵 7. n次树与二叉树的转换 8. 前、中、后、层次遍历二叉树的做法 9. 按前序顺序存储二叉树(左标志右下标/两个 标志)与标准形式存储二叉树的转换 10. 中序遍历二叉树的算法 11. 穿线树的操作和穿线序的算法 12. 查找树结点的查找、插入和删除的算法
2.满查找树、拟满查找树和丰满查找树
若树T是一棵满树，同时又是查找树，则称 树T是一棵满查找树。 若树T是一棵拟满树，同时又是查找树，则 称树T是一棵拟满查找树。 若树T是一棵丰满树，同时又是查找树，则 称树T是一棵丰满查找树。
性质: 满查找树 => 拟满查找树 => 丰满查找树
3. 构造丰满树
复习
13.
用递归方法来解决有关广义表和二叉树的问 题的算法 如复制一个广义表，判断两个广义表是否 相等，复制一棵二叉树，遍历一棵二叉树， 将一棵二叉树左右对换（旋转1800），统计 树中的结点数、层次数、树枝长度等
复习
14. 简单内容 （1）表达式中缀与后缀的转换 （2）模式失败链接值 （3）字符串相等的定义 （4）常用算法（如加表头）的作用
设有n个结点的任意序列，可用平分法构造 出相应的丰满树。具体做法： （１）如果结点序列为空，那么得到一棵空 的二叉树。 （２）如果序列中有n（≥１）个结点k0, k1, …, kn-1，那么令m=[(n-1)/2]，所求的树是有 根结点km，以及它的左子树Tl和右子树Tr所组成， 其中Tl和Tr分别是用平分法由k0, k1, …, km-1和 km+1, km+2, …, kn-1得到的丰满树。
6.1 查找树
１. 查找树的定义 查找树T是一棵二叉树，要么为空，要么满 足下面三个条件： （１）如果树T的根结点的左子树非空，那 么左子树中的所有结点的键值都小于T的根结点 的键值； （２）如果树T的根结点的右子树非空，那 么右子树中的所有结点的键值都大于T的根结点 的键值； （３）它的左、右子树都是查找树。
1. 满树、拟满树和丰满树的定义
设二叉树T有n个结点，令i=[log2(n+1)]， r=n-(2i-1)。如果其中(2i-1)个结点放满第0至第 (i-1)层。 （1）若r=0，则称树T是一棵满二叉树，简称 满树。 （2）若r>0，且剩下的r个结点靠左开始排列 在第i层上，则称树T是一棵拟满二叉树，简称拟 满树。 （3）若r>0，且剩下的r个结点随意地分布在 第i层上，则称树T是一棵丰满二叉树，简称丰满 树。（p. 152 图6.2.1）
３. 二叉查找算法
分析算法search(t, a, p_p, p_q) *p_q 是指针，指向当前结点 *p_p 是指针，指向当前结点的父结点 算法执行到结束，若*p_q不空，则*p_q所 指的结点就是a结点（找到了），而*p_p指向它 的父结点。假若*p_p为空，则a结点就是根结点。 假若*p_q为空，则表示找不到a结点。这时 考察*p_p，若为空，则查找树t为空树；否则， *p_p指向查找路径的最后一个结点。 记住以上分析，有利于解决以后问题。
3.
堆排序
（２）堆排序的算法 对n个结点的序列（存放在数组a[ ]），反复 调用函数siftdown( ) ，由最小的子树开始，从小 到大将其调整成为堆。 反复执行：将堆的根结点对调换到后面去， 然后将剩余结点调整成为堆。 p. 155 heap_sort(a, n)
复习
1. 2.
3. 4.
5.
树的查找和树的应用
上海金融学院信息管理系
第六章 树的查找和树的应用
6.1 查找树 6.2 满树、拟满树和丰满树 6.3 堆和堆排序
6.1 查找树
前面介绍:顺序查找、二分查找、分块查找、 HASH查找。 二分查找法，操作速度快，但要求结点序 列顺序存储（存放在数组中）。 结点序列存放在数组中，插入和删除需要移 动大量结点，很不方便。 这里介绍既可用二分查找，又使用方便插入 和删除的链接存储的方法——查找树。
6.1 查找树
４. 在查找树中插入结点的算法 在给定的查找树t中插入一个键值为a 的结 点，首先调用函数search( )，查找结点a。如果 它在树t中，则不做插入，返回１；否则把它插 到查找树t的合适位置上，返回０。 pp. insert(p_t, a)
6.1 查找树
５. 在查找树中删除结点的算法 要求： 找到要删除的结点，将它删去，但操作 以后的二叉树仍是一棵查找树。 原则： 若被删结点有左子树，那么被删结点的 位置由它的左子树的根结点来充当，它的右 子树被链接在左子树的最右下方；否则，被 删结点的位置由它的右子树的根结点来充当。
６.３ 堆和堆排序
3. 堆排序 原理： 假如需要排序的n个结点形成了一个堆，存 储在数组a[ ]中，那么结点a[0]的值为最大。将 a[0]与a[n-1]对调，即最大的结点换到a[n-1]中。 剩下的a[0], a[1], …, a[n-2]这n-1个结点就 不再继续成为堆了。现进行调整使其成为堆，那 么a[0]的值在余下的结点中为最大。将a[0]与 a[n-2]对调，然后再在剩下结点中加以调整，使 之成为堆……如此对调、调整，直到排序完成。