正交分解
高一物理必修1正交分解
第一讲正交分解法知识点一：共点力及平衡条件共点力：物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力。
能简化成质点的物体受到的力可视为共点力。
平衡状态：物体保持静止．．．．．．状态．．．．或匀速直线运动注意：这里的静止需要二个条件，一是物体受到的合外力为零，二是物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态，如物体做竖直上抛运动达到最高点时刻，物体速度为零，但物体不是处于静止状态，因为物体受到的合外力不为零。
共点力的平衡：如果物体受到共点力的作用，且处于平衡状态，就叫做共点力的平衡。
1.如图所示，小明用与水平方向成θ角的轻绳拉木箱，沿水平面做匀速直线运动，此时绳中拉力为F，则木箱所受合力大小为（）>A 0B FC FcosθD Fsinθ2、如图所示，一质量为m的物体沿倾角为θ的斜面匀速下滑。
下列说法正确的是（）A 物体所受合力的方向沿斜面向下B 斜面对物体的支持力等于物体的重力C 物体下滑速度越大，说明物体所受摩擦力越小D 斜面对物体的支持力和摩擦力的合力的方向竖直向上知识点二：共点力的处理方法——正交分解法!正交分解一般步骤：选定研究对象，并作出受力分析建立合适的直角坐标系（尽可能少分解力）将不在坐标轴上的力分解到坐标轴上列出平衡状态下x方向、y方向的方程求解：x方向上：F1x=F2x y方向上：F1y+F2y=G1.质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动（如图所示）。
已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪一个（）A μmgB μ（mg＋Fsinθ）-C μ（mg－Fsinθ）D Fcosθ2.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N，受到斜向上方向与水平面成300角的力F作用，F = 50N，物体仍然静止在地面上，如图所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少3.在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（）A 12G，32G B33G，3G-C23G，22G D22G，32G4.甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1 000 N的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为（）A 500 3 NB 500 NC 1 000 ND 400 N练习：1.质量为m的物体在恒力F作用下，F与水平方向之间的夹角为θ，沿天花板向右做匀速运动，物体与顶板间动摩擦因数为μ，则物体受摩擦力大小为多少&2.直角劈形木块（截面如图所示）的质量M=2kg，用外力F顶靠在竖直墙上。
正交分解
正交分解法——把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量运算。
利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了。
力的正交分解法步骤如下：1、正确选定直角坐标系：通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定。
原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其它方向较简便时，也可选用。
一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.2、分别将各个力投影到坐标轴上：分别求x轴和y轴上各力的投影的合力和其中：（式中的轴上的两个分量，其余类推。
）这样，共点力的合力大小可由公式：求出。
设力的方向与轴正方向之间夹角是。
∴通过数学用表可知数值。
注意：如果这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法。
计算方法举例：例：如图所示，物体A在倾角为θ的斜面上匀速下滑，求物体受到的摩擦力及动摩擦因数。
分析：选A为研究对象分析A受力作受力图如图，选坐标如图：将不在坐标轴上的重力在x,y坐标上分解：Gx=GžsinθGy=Gžcosθf在x轴(反向),N在y轴上(正向)∵物体匀速下滑则有则一、合力与分力：在实际问题中，一个物体往往同时受到几个力的作用。
如果一个力产生的效果与原来几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，而那几个力就叫这个力的分力。
二、力的合成与分解：求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个力的分力的过程叫力的分解。
合力与分力有等效性与可替代性。
求力的合成的过程实际上就是寻找一个与几个力等效的力的过程；求力的分解的过程，实际上是寻找几个与这个力等效的力的过程。
正交分解法课件
01
02
03
选取正交基
选择一组正交基，用于表 示目标向量。
展开目标向量
将目标向量展开为正交基 的线性组合，即每个基底 与对应系数的乘积之和。
求解系数
通过点积运算求解展开式 中的系数，使得目标向量 与正交基之间的点积相等 。
正交分解法的优势与局限性
优势
正交分解法能够将复杂的向量运算转化为简单的代数运算，方便计算。同时， 正交基的选择具有多样性，可以根据具体问题选择合适的基底。
多目标正交分解法
总结词
多目标正交分解法是一种解决多目标优化问 题的有效方法。
详细描述
多目标正交分解法通过将多目标优化问题转 化为一系列单目标优化问题，利用正交分解 技术求解。这种方法能够同时考虑多个目标 ，平衡不同目标之间的冲突，从而找到更全 面的解决方案。
自适应正交分解法
总结词
自适应正交分解法是一种能够自动调整参数 和方法的正交分解方法。
组合优化问题
组合优化问题是一类具有离散特征的 优化问题，如旅行商问题、排班问题 等。正交分解法也可以用于解决组合 优化问题，通过将问题分解为若干个 子问题，降低问题的复杂度，提高求 解效率。
VS
例如，一个简单的组合优化问题可以 表示为：最小化 $f(x)$，满足 $x in {0,1}^n$，其中 $f(x)$ 是一个非线 性函数。通过正交分解法，可以将这 个问题分解为一系列简单的子问题， 从而方便求解。
自适应算法设计
根据不同问题的特性，设 计自适应的正交分解法， 提高算法的适用性和鲁棒 性。
应用领域的拓展
数值分析领域
将正交分解法应用于更广泛的数值分析问题，如 求解偏微分方程、积分方程等。
机器学习领域
正交分解法知识点总结
正交分解法知识点总结一、正交分解法的基本概念1. 正交化在线性代数中，对于一个向量空间内的一组基向量，我们可以通过一定的方法将它们转化为一组正交基，这个过程就称为正交化。
正交化的目的是为了使得基向量之间互相正交，也就是说它们的内积为零。
这样一组正交基向量就可以更容易地用来表示其他向量，比如说对于一个向量，我们可以将它在这组正交基上的投影相加得到原向量，而不需要进行繁琐的计算。
2. 单位化在将一组向量正交化之后，我们通常还需要将它们单位化，也就是说将它们的模长归一化为1。
这样一来，我们得到的一组正交单位向量就可以作为线性空间的一组标准正交基。
这样的基向量在表示其他向量的时候更加方便，也符合我们对于标准正交基的要求。
所以在正交化的过程中，单位化是一个必要的步骤。
3. 正交分解正交分解是指将一个向量表示为一组正交基上的线性组合的过程。
对于一个线性空间中的一个向量，我们可以将它在一组正交基上的投影相加得到原向量。
这样的表示方法在很多情况下是非常方便的，比如说在计算内积、求解线性方程组、进行特征值分解等问题时，我们可以借助正交分解的方法来简化运算。
二、Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的将线性无关向量集合正交化的算法。
它的基本思想是通过一系列的正交化和单位化操作，将原始的线性无关向量集合转化为一组正交基。
Gram-Schmidt正交化方法的具体步骤如下：1. 对于给定的一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}，首先取v1作为第一个正交基。
2. 对于第i个向量vi，将它在前i-1个正交基上的投影相减，得到vi的正交化向量ui。
3. 将ui进行单位化，得到第i个正交单位向量ei。
4. 重复上述过程，直到得到一组正交单位向量{e1,e2,…,en}。
Gram-Schmidt正交化方法的优点是它的思想简单，易于实现，而且对于实际应用中的大多数情况来说，它都能够得到不错的结果。
第3章_正交分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。
t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn
t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt
t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2
正交分解
第讲 正交分解法专题 一、什么是正交分解法？把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。
说明：正交分解法在力学中是一种很常用的解题方法，往往物体的受力个数越多，越能显示出此方法的重要性。
二、为什么要引入正交分解法？一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。
当物体受到多个力的作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。
为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，求x 、y 轴上的合力x F ，y F之后，再求x F 和y F 的合力F 大小的大小其方向，会给解决问题带来方便。
其实“分”的目的是为了更方便的“合”。
三、运用正交分解法的具体步骤是什么？（1）以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。
（2）将与坐标轴不重合的力分解成x 轴方向和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号X F 和y F 表示。
（3）在图上标出力与x 轴或力与y 轴的夹角，然后列出x F 、y F 的数学表达式。
如：F 与x 轴夹角为θ，则θcos F F x =，θsin F F y =。
与两轴重合的力就不需要分解了。
（4）列出x 轴方向上的各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
注意：（1）运用正交分解法解题时，x 轴和y 轴方向的选取要根据题目给出的条件合理选取，即让受力物体受到的各外力尽可能的与坐标轴重合，这样方便解题。
（2）运用正交分解法解决平衡类问题时，根据平衡条件F 合＝0，应有ΣF x ＝0，ΣF y ＝0，这是解平衡问题的充要条件，由此方程组可求出两个未知数。
例1 例.1共点力F 1＝100N ，F 2＝150N ，F 3＝300N ，方向如图1所示，求此三力 的合力。
解答：例2 重100N 光滑匀质球静止在倾角为37º的斜面和与斜面垂直的挡板间， 求斜面和挡板对球的支持力F 1， F 2。
正交分解的步骤
正交分解的步骤正交分解是现代数学中一个重要的对称性研究方法，它是比较简单方便的研究复杂问题的工具，如空间几何、分类理论、图论、逻辑学等。
它也可以应用于其他各种领域，如抽象代数、凸分析以及计算机科学等。
正交分解可以被用来解决许多复杂的问题，它不仅可以减少问题的复杂性，还可以使问题变得更加容易理解和解决。
本文将介绍正交分解的步骤和应用实例。
正交分解的基本思想是将一个复杂的问题分解为几个相互正交的子问题，然后分别处理每个子问题，最终将子问题的解决方案综合起来，从而解决原问题。
正交分解通常需要满足两个条件来准备分解：（1）研究对象必须是完全可以分解的；（2）子问题之间必须是完全正交的。
正交分解的步骤主要包括以下几步：（1）确定研究对象。
首先，确定要研究的复杂问题，分析其特征，并确定其可分解的特性。
（2）确定子问题的特性。
根据正交分解的原理，子问题之间必须完全正交，因此可以从多种角度来确定子问题的特性，比如可以根据原问题的形式进行转换，从而将复杂问题转换为几个完全正交的子问题。
（3）求解子问题。
根据确定的特性，分别求解子问题，得到子问题的解决方案。
（4）整合解决方案。
最后，将子问题的解决方案综合起来，从而获得原问题的解决方案。
正交分解在很多领域都有重要的应用，最常见的是在图论中的应用。
例如，可以使用正交分解解决图的最小环路问题。
该问题要求在无权图中找到一条最短的路径，不经过任何顶点两次。
正交分解可以将这个问题分解为几个子问题，根据子问题的特性，可以分别求解每个子问题，最终合并子问题的解决方案，从而解决原问题。
正交分解也可以用于抽象代数和凸分析中的许多问题，例如，可以使用正交分解来求解一个给定的凸多项式的最优化问题。
此外，正交分解还可以应用于许多其他研究领域，如信号处理、机器学习等。
综上所述，正交分解是一种灵活有效的研究复杂问题的方法，它可以将复杂问题分解为几个相互完全正交的子问题，然后分别求解每个子问题，最终将子问题的解决方案综合到一起，从而解决原问题。
正交分解法
班级： 姓名： 正交分解法解题什么是正交分解法——在分解合力时，如果两个分力的方向刚好垂直，则，可在两分力方向上建立直角坐标系，将力在正交的两条坐标上分解，所以叫正次分解法 正交分解法的步骤（1）：对研究对象正确的受力分析，并用力的图示准确的画出来正确分析受力就是要做到不添加力，不遗漏力要用好隔离法分析受力 准确的画图，是指用直尺按比例画好图，便于观察各力间的几何关系（2）：建立直角坐标系尽可能使较多的力在坐标轴上，这样不在坐标轴上的力就少，需要分解的力就少，使解题更方便（3）：将不在坐标轴上的力分解在坐标轴上，（平行四边行定则变成了矩形） （4）：根据图中的几何关系，利用三角函数或匀股定律求出各力的大小 附常用三角函数（sin=对边/斜边 cos=邻边/斜边）（sin300=21 cos300=23 ） （sin450=22 cos450=22 ） （sin600=23 cos600= 21 ） 练习：如图所示，一物体重20N ，置于水平地面上，一拉力作用于物体上，该拉力大小为10N ，且与水平方向夹角为300，物体在该拉力作用下匀速前进，求（1）：地面对物体的支持力的大小为多少？（2）：物体所受的摩擦力大小为多少？（3）：物体与地面间的动摩擦系数为多少？练习：1：气球受60N浮力悬于半空中（重力忽略），风从正东吹来。
气球随风倾斜，使拉气球的绳与地面夹角为600,求绳的拉力为多少？风吹气球的风力为多少？2：如图所示，一挡板垂直于斜面，将一重为30N的小球固定在了斜面上，求挡板对小球的支持力为多少？小球对斜面的压力为多少？3：如图一斜面倾角为450，物体与斜面间的动摩擦因数为 =0.2，一人用与斜面平行的力F将质量为2kg的物体匀速推上斜面，求推力F的大小为多少？。
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
THANKS
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控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
正交分解
1、物体受三个共点力作用而平衡时，这三个 力的矢量箭头首尾相接，构成一个闭合的三 三 角形，这就是矢量三角形 角形 矢量三角形
2、若三个力矢量箭头相接恰好构成一个闭合 的三角形，则这三个力的合力必为零
3、在运用矢量三角形法 矢量三角形法时，常常用到一些数 矢量三角形法 学知识：三角函数法、三角形图解法、正弦 定理以及相似三角形法。 4、矢量三角形法 矢量三角形法在分析矢量的动态变化时， 矢量三角形法 常采用此法。尤其在合矢量不变，一个矢量 的方向不变，分析另一个分矢量的大小和方 向变化时，更适合用矢量三角形法 矢量三角形法！ 矢量三角形法 注意：矢量可以平移， 注意：矢量可以平移，但前提是不能改变它 的方向以及箭头的指向！ 的方向以及箭头的指向！
例4、物体放在粗糙的水平地面上，物体重 物体放在粗糙的水平地面上， 50N，受到斜向上方向与水平面成30 50N，受到斜向上方向与水平面成300角的 作用，F=50N，物体仍然静止在地面上， 力F作用，F=50N，物体仍然静止在地面上， 如图1所示， 如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面 的支持力分别是多少？ 的支持力分别是多少？
解析：选小球为研究对象，小球在重 解析： 力G、细绳拉力FT、墙壁弹力FN三个力 作用下始终处于共点力的平衡状态， G的大小和方向都确定。FN的方向确 定，但大小不定，FT的大小和方向都 不定。根据图中力的封闭矢量三角形 可以看出，α角较小时，细绳对小球 的拉力和墙壁对小球的弹力均减小。
图1
二、正交分解
例1、如图所示，光滑的小球静止在斜面和木 板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，求 下列情况下小球对斜面和挡板的压力？ （1）挡板竖直放置 （2）挡板与斜面垂直
θ
θ
解析： 解析：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的 支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于 平衡状态，因其中两力之和恰好与第三力大小相 等方向相反，故这三个力可构成一个封闭的矢量 三角形：
正交分解
2 向量的直角坐标运算
(1)设a = ( x1 , y1 ), b = ( x 2 , y2 ) , 则 a+b= a−b=
(x1+x2 , y1+y2) (x1- x2 , y1- y2)
λa =
(λ x1 , λy1 )
( 2)设点A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) , 则AB = (x2- x1 , y2- y1) | AB |=
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2 2
A( x1 , y1 )
y
B( x2 , y2 )
x
( 3)线段AB中点M的坐标为 :
O
x1 + x2 y1 + y2 , M 2 2 (4)由中点坐标公式，点 A( x , y )关于点 由中点坐标公式，
M (a , b )的对称点的坐标为 (2Байду номын сангаас − x,2b − y)
2.2.2 向量的正交分解 与向量的直角坐标运算
1 向量的直角坐标 如果两个向量的基线互相垂直， 如果两个向量的基线互相垂直，则 称这两个向量互相垂直. 称这两个向量互相垂直. 两个向量互相垂直 如果基底的两个基向量 e1 , e2 互相 垂直，则称这个基底为正交基底 正交基底。 垂直，则称这个基底为正交基底。 把一个向量分解为两个互相垂直的 正交分解。 向量，叫做把向量正交分解 向量，叫做把向量正交分解。
正交分解定理
正交分解定理正交分解定理（Orthogonal Decomposition Theorem）是线性代数中的一个重要定理，其描述了一个向量空间可以表示为两个正交子空间直和的形式。
正交分解定理被广泛应用于信号处理、图像压缩和最小二乘解等领域。
在线性代数中，一个向量空间V的两个子空间U和W被称为正交的，如果对于U中的任意向量u和W中的任意向量w，它们的内积为零，即<u,w>=0。
正交的子空间意味着其中的向量在空间中是互相垂直的。
根据正交分解定理，对于任意一个向量空间V，它可以表示为两个正交子空间U和W的直和形式，即V=U⊕W。
其中，U是一个U空间的基的生成子空间，W是一个W空间的基的生成子空间。
直和符号⊕表示V中的任意向量可以唯一地表示为空间U和空间W中的向量的和。
正交分解定理的一个重要应用是最小二乘解（Least Square Solutions）。
最小二乘解是一种对于超定方程组的解的近似方法。
当一个方程组存在无解或者解不唯一的情况时，最小二乘解可以找到一个向量使得方程组的残差最小。
最小二乘解可以通过正交分解定理来推导。
设A为m×n的矩阵，其中m>n，对于任意向量b∈ℝ^m，我们希望找到一个解x∈ℝ^n，使得Ax≈b。
根据正交分解定理，我们将A分解为两个正交子空间的直和形式，即A=[U|W]，其中U∈ℝ^m×n，W∈ℝ^m×(m-n)。
则最小二乘解可以表示为x=(U^TU)^-1U^Tb。
在信号处理领域，正交分解定理被广泛应用于信号压缩和噪声去除等问题上。
对于一个信号，可以将其正交分解为不同频率的分量信号。
利用这种分解，可以将信号的主要信息保留下来，而滤除掉无关的噪声或者干扰。
例如，将一个音频信号进行正交分解，可以得到频谱图。
频谱图展示了信号在不同频率上的能量分布情况，可以帮助我们分析和理解信号的特性。
在图像压缩方面，也可以利用正交分解定理将图像分解为不同类别的子图像，然后根据子图像的重要性进行压缩，从而实现对图像的高效压缩和传输。
正交分解
力的正交分解应用
提升训练（1） 一个物体受到四个力的作用，已 知F1=1N，方向正东；F2=2N，方 向东偏北600，F3= N，方向西偏 北300；F4=4N，方向东偏南600， 求物体所受的合力。 F3 F2y
300
y
F3y F2
F3x
F4x 600 600 F 1 F2x
x
F4y
F4
力的正交分解应用
f
F
α N α G
N F sin
f F cos G
f N
F sin F cos G
G F sin cos
力的正交分解应用
提升训练（3）
木箱重500 N，放在水平地面上，一个人用大小为200 N与水平方向成30°向上的力拉 木箱，木箱沿地平面匀速运动，求木箱受到的摩擦力和所受的支持力。 FN F
提升训练（1） F3
y
F2y
300
F
x
F1 F2 x F3 x F4 x
F3y F2
F4x 600 600 F 1 F2x
1 2 cos600 3 3 cos 300 4 cos600 1 1 3 3 / 2 2 1 / 2( N )
30°
F2 Ff
F F1
解：画出物体受力图，如图所示。 把力F 分解为沿水平方向的分力F 和沿竖直方向的分力F 。 1
G
力的正交分解应用
提升训练（3）
木箱重500 N，放在水平地面上，一个人用大小为200 N与水平方向成30°向上的力拉 木箱，木箱沿地平面匀速运动，求木箱受到的摩擦力和所受的支持力。 由于物体在水平方向和竖直方向都处于平衡状 态，所以
受力分析——正交分解
正交分解法在运用正交分解法解题时，一般按如下步骤：㈠ 以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据自己需要选择，如果力不平衡而产生加速度，则x 轴（或y 轴）一定要和加速度的方向重合；㈡将与坐标轴成角度的力分解成x 轴和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号F x 和F y 表示；㈢在图上标出与x 轴或与y 轴的夹角，然后列出F x 、F y 的数学表达式。
如：F 与x 轴夹角分别为θ，则θθsin ;cos F F F F y x ==。
与两轴重合的力就不需要分解了；㈣列出x 轴方向上和各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
一、 运用正交分解法典型例题例1.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N ，受到斜向上方向与水平面成300角的力F 作用，F =50N ，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？解析：对F 进行分解时，首先把F 按效果分解成竖直向上的分力和水平向右的分力， 对物体进行受力分析如图2所示。
F 的效果可以由分解的水平方向分力F x和竖直方向的分力F y 来代替。
则：030sin ,30cos F F F F y X ==由于物体处于静止状态时所受合力为零，则在竖直方向有：G F N =+030sin 030sin F G N -=则在水平方向上有： 030cos F f =例2.如图3所示，一物体放在倾角为θ的光滑斜面上，求使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力。
解析：使物体下滑的力和使物体压紧斜面的力都是由重力引起的，把重力分解成两个互相垂直的两个力，如图4所示，其中F 1 为使物体下滑的力，F 2为物体压紧斜面的力，则：θθcos sin 21G F G F ==图3F 1G 图4F 2θθ 300 图1y xf F G N图2α30o45oA B OG例3.三个力共同作用在O 点，如图6所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求合力。
3.1.4正交分解
＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c. E→F＝12C→B＝12O→A＝12a.
题型三 空间向量的坐标表示
例3 (1)设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝ －2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为_(_4_，__－__8_,_3_)，__(_－__2_，__－__3_,7_)__. 解析 由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底， 所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7).
AF＝OAsin∠AOF＝2×sin 60°＝ 3. 所以O→A＝O→F＋F→A＝e2＋ 3e1， 所以A→D＝O→D－O→A＝(－e2＋ 3e3)－(e2＋ ＝－ 3e1－2e2＋ 3e3， 所以A→D＝(－ 3，－2， 3).
素养评析 (1)准确理解空间向量线性运算的几何意义是正确解答本题的关键. (2)理解运算对象，掌握运算法则有利于形成程序化思考问题的品质，提升数 学运算素养.
反思感悟 (1)空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定， 则表示形式是唯一的. (2)用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四 边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直 至全部用基向量表示. (3)在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明 确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一 般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
BD＝BCsin∠DCB＝4×sin 30°＝2.
在Rt△BDE中，
BE＝BDcos∠DBE＝2×cos 60°＝1， DE＝BDsin∠DBE＝2×sin 60°＝ 3.
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• 用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，
显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短 以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等。
• 用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各
个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。 • 信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面 对信号进行描述， • 在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的 分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。
解答：
1
f t
函数f t 在区间 0,2 内近似为 f t c12 sin t
o
1
2
t
(a)
9
为使方均误差最小，c12应满足
c12 0 2 2 sin tdt 0
所以
f t 4
2
f t
4
f ( t )sin t d t
4
1
o
0
2
cos t sin t d t 0
所以
c12 0
即, 余弦函数 cos t不包含正弦信号 sin t分量， 或者说 cos t 与 sin t 两函数正交。
13
正交函数集
信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号 f(t)就可以分解为n 维正交函数之和：
f (t ) C1g1 (t ) C2 g2 (t )
11
7-1-1 信号的正交分解
• • 总结 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是
c12=0即：
t
t2
1
gi ( t ) g j ( t )dt 0
i j
凡是满足上面两式的函数称为正交函数 • 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满足 正交。
12
【例题7-2】试用正弦函数 sin t 在区间 0, 2 内来近似表 示余弦函数 cos t 解： 由于
1 4
2
t
sin t
(a)
4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。
10
7-1-1 信号的正交分解
若 C12为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：
t
t2
1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0
此时，f1(t) 、f2(t) 称为互为正交的函数，表示 f 1(t) 函数 中不含有 f2(t)的信息或者分量，同理， f2(t) 函数 中不含 有f1(t) 的 的信息或者分量。 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。
f e t f e t e : even f o t f o t o : odd
三．脉冲分量之和
在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号 (t k )的线性、加权组合，即
x(t )
k
[ x(k ) ] (t k )
Z
y f x
y1
O
z1
z f x, y
y1
x1
X正交分解
三维信号的正交分解
6
7-1-1 信号的正交分解
设 f1 (t ) , f 2 (t ) 为两个任意信号,如图所示
f1 ( t ) t t1 0 t2
信号的波形
f 2 (t ) t t1 0 t2
两个任意信号间的关系:
原函数
Cr gr (t )
近似函数
c12V2 Ve
V1
Ve 2 Ve
Ve1
V2
c 2V2
c12V2 c1V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ Ve V2 V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 )
V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2 系数 V1 V2 0 即 c12 0 两矢量正交
1
7-1 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解 为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为 不同的分量。 一．直流分量与交流分量
f (t )
E
O
t
O
f A (t )
E t
O
f D (t )
t
2
二．偶分量与奇分量
f e (t ) : 偶分量 f (t ) f e (t ) f o (t ) f o (t ) : 奇分量
5
7-1-1 信号的正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量， •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。
•一个三维空间矢量V xi yj zh ，必须用三个正交的
矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
V xi yj ,
Y
Ve zh 0
C12
t
t2
1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t
t2
1
f 22 (t )dt
8
【例题7-1】设矩形脉冲 f t 有如下定义 0 t 1 f t t 2 1
波形如图(a)，试用正弦波 sin t 在区间 0, 2 之间内近似表 示此函数，使方均误差最小。
f1(t ) C12 f2 (t ) fe (t )
若设 f1(t ) C12 f2 (t ), 则误差函数 fe (t ) f1(t ) C12 f 2 (t )
在此定义 C12 为两个信号的相关系数.
7
7-1-1 信号的正交分解
在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原 则，也就是说 f e(t)的均方值 2 应该最小。令 2 为误差 函数的均 方值 , 则 t2 2 1 2 2 fe (t ) fe (t )dt t2 t1 t1 从而求得相关系数C12的大小:
3
四．正交函数分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号 的各分量就是相互正交的。 把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统 理论中占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题 对信号进行分解处理的信号(函数)称为基底函数.
4
矢量的正交分解
V1用V2表示， 方式不是唯一的：
V1 c1V2 Ve1 c2V2 Ve 2