绝对值不等式的解法优秀教学设计

绝对值不等式的解法【教学目标】

1：理解并掌握

a

x<

和

a

x>

型不等式的解法。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

【教学重点】

绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

【教学难点】

绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。

【教学过程】

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。

请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即在此基础上，本节讨

论含有绝对值的不等式。

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

<

-

=

>

=

x

x

x

x

x

x

，如果

，如果

，如果

二、新课学习

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1．解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义。

2．含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式a

x<的解集是}

|

{a

x

a

x<

<

-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。

a

-图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型：设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是

{|x a x >或a x -<}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间),(),,(∞--∞a a 的并集。如图1-2所示。

–a a

图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。

3．c b ax ≤+和c b ax ≥+型不等式的解法。

c b ax c c b ax ≤+≤-⇔≤+

c b ax c b ax c b ax ≥+-≤+⇔≥+或 4．c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法。（三种思路）

三、典型例题：

例1．解不等式213+<-x x 。

例2．解不等式x x ->-213。

方法1：分类讨论。

方法2：依题意，原不等式等价于x x ->-213或213-<-x x ，然后去解。

例3．解不等式52312≥-++x x 。 例4．解不等式512≥-+-x x 。

解：本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x 到1，2的距离的和大于等于5．因为1，2的距离为1，所以x 在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）)2÷；或者x 在1的左边，与1的距离大于等于2．这就是说，4≥x 或.1-≤x 例5．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。

四、课堂练习：解下列不等式：

1． .1122>-x 2．01314<--x 3． 423+≤-x x 。

4． x x -≥+21。 5． 1422<--x x 6． 212+>-x x 。

7． 42≥-+x x 8． .631≥++-x x 9． 21<++x x 10. .24>--x x