第6章 连续交通流模型

Ch6 连续交通流模型
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1.道路离散：Δx： 7~10m， 时间离散：Δt：0.1~1. 0s，成二维网格 2. 更新（迭代）网络中每一节点的交通流参数值。
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将守恒方程的离散化
T为观测周期，T=nΔt，且满足下面的方程：
q k g ( x, t ) x t
q k 0 x t
取极限
q k 0 x t
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如果路段上有交通的产生或离去，

守恒方程的一般形式：
q k r s g ( x, t ) x t

首先由Lighthill、Whitham和Richards独立提出， 故也称为LWR模型
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从高空俯看高速公路：来往的车流想象成河流或某 种连续的流体。（车如流水马如龙，…） 相似性：使用流量、密度、速度、运动方程等流体 力学术语来描述交通流特性。


流体（气体、液体）满足两个基本假设：即流量守 恒和速度与密度(或流量与密度)对应。
对于交通流，流量守恒容易证明，而第二个假设的 成立需要有一定的条件。 本章使用解析解法和数值解法，讨论交通波理论。
9.8731 104
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(2)根据初始条件（n=0），计算n=1时的密度k11
k 01 k 01 1 0 t k 1 (k j 1 k 01 ) u f [k 01 (1 j ) k 01 (1 j )] j j j j 2 2x k jam k jam
(1)根据初始条件（n=0），计算n=1时的密度k10
1 0 t 0 k (k j 1 k j 1 ) u f [k 01 (1 ) k 01 (1 )] j j 2 2x k jam k jam
1 j
k 01 j
k 01 j
j 0时，
1 0 t k10 1 k0 k1 u f k10 (1 ) 2 2x k jam
ki0是第i车道的平衡密度（反映了容纳
车辆的能力）。

由于系统封闭，流量守恒，Q1+Q2=0
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2. 模型改进
①敏感系数可变，随两车道之间密度的不同而不同
②考虑进出口问题； ③考虑时间滞后影响。
q1 k1 g Q1 x t q 2 k 2 Q2 x t
j 1时，
0 1 0 t k2 1 0 k1 k2 u f k2 (1 ) 2 2x k jam
0.00099 0.3 0.00099 27.8 0.00099(1 ) 9.385 105 2 2 10 0.035
同理： j 2时，
0 1 0 t k3 k10 1 0 k2 (k3 k10 ) u f [k3 (1 ) k10 (1 )] 2 2x k jam k jam
q n k nu f (1 j j
n 1 j
解：
kn j k jam
)
1 n t n n k (k j 1 k j 1 ) ( q j 1 qn1 ) j 2 2x k n1 k n1 1 n t n (k j 1 k j 1 ) u f [k n1 (1 j ) k n1 (1 j )] j j 2 2x k jam k jam


作业6-2：
编制计算机程序，采用数值解法求解上述守恒方 程，并绘制出密度k的图形。
要求：源程序、流程图、结果

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x10m

特定时刻，密度的空间分布

特定地点，密度随时间的变化
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高级课题：
若边界条件：k(0,t)=t(1+t)/600000；其余条件均
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初始条件：k(x,0)= x(L-x)/40000000 ；Δx=10m 离散： k0j=jΔx(L-jΔx )/40000000,j=0,1,2,….,200 注意：当 j＜0，取j=0 k n1 k n1 1 n t k n 1 (k j 1 k n1 ) u f [k n1 (1 j ) k n1 (1 j )] j j j j 2 2x k jam k jam
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如果Δx足够短，路段内密度k保持一致，则密度 增量Δk可表示为：
( N 2 N1 ) k x qt N k x N q t k x

假设两站间车流连续，且允许有限的增量为无穷 小，取极限得交通流的守恒规律（守恒方程）

k k um [ln 1] 0 k x t kj

uf e
k km
1 k k [1 ] 0 km x t
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三、守恒方程的数值解法（数值计算）

思路：把所要考虑的道路离散成若干微小的路段 Δx，并按连续时间增量Δt来更新（迭代）离散 化的网络中每一节点的交通流参数值。
式中：g(x,t)为车道1（右侧车道）内的匝道口净流 率，驶入为正，驶出为负，
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且有：
Q1 {[k 2 ( x, t ) k1 ( x, t )] (k 20 k10 )} Q2 {[k1 ( x, t ) k 2 ( x, t )] (k10 k 20 )}

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边界条件：k(0,t)=0； 初始条件：k(x,0)= x(L-x)/40000000 ；Δx=10m 离散： k0j= k0j=jΔx(L-jΔx )/40000000,j=0,1,2,….,200 uf =100km/h=27.8m/s, kjam=35veh/km/ln, 观测周期2min；T=120s
)
对于格林希尔治线性模型有：
u n 1 u f (1 j k n 1 j k jam )

如果无法获得u的解析表达式，可以从u-k曲线通过数值方 法获得其数值解。t0+Δt(n+1)时的流率为：
q k u
n j
n n j j
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[算例]假设某单车道公路，没有交通产生和离去的 影响，速度—密度关系按照Greenshields线性模型， 求守恒方程的数值解。
0.0004975 0.3 0.0004975 27.8 0.0004975(1 ) 2 2 10 0.035 4.424 105 (veh/m/ln)
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(2)根据初始条件（n=0），计算n=1时的密度k11
k 01 k 01 1 0 t k 1 (k j 1 k 01 ) u f [k 01 (1 j ) k 01 (1 j )] j j j j 2 2x k jam k jam
设：

uf =100km/h=27.8m/s, kjam=35veh/km/ln=0.035veh/m/ln,
观测周期2min；T=120s；Δt=0.3s 路段长度为2km；L=2000m；Δx=10m
Δx/Δt=33.3m/s> uf ，大于自由流速度

初始条件：k(x,0)=x(L-x)/40000000；(设定) kmax(x,0)=0.025veh/m/ln< kjam 离散： k0j=jΔx(L-jΔx )/40000000, j=0,1,2,….,200
第六章 连续交通流模型
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本章主要内容
§1 简单连续流模型 §2 交通波理论 §3 动态模型

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教学目的：掌握连续交通流模型守恒方程和动态
模型的建立方法及其数值解法，了解交通波理论
的特点及其适用条件。

重点：交通流模型守恒方程及其数值解法 难点：交通流模型的数值解法
Qi(x,t)—车道交换率(i=1,2)(i车道之间的车辆变化 率)，正值表示进入，负值表示离开。
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Q1 [(k2 k1 ) (k20 k10 )] Q2 [(k1 k2 ) ( k10 k20 )]

其中：α为敏感系数，单位：s-1；
式中：
当 | k2 ( x, t ) k1 ( x, t ) | k A 0, max (| k2 ( x, t ) k1 ( x, t ) | k A ), k kA jam 当 | k2 ( x, t ) k1 ( x, t ) | k A
不变，则如何求守恒方程的数值解。

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四、 多车道流体力学模型 1. 模型设计
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同向双车道空间离散图
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考虑一个同向2车道路段，假定每一条车道都满足守 恒方程： q1 k1 Q1 x t q 2 k 2 Q2 x t
式中：qi(x,t)—第i车道的流率(i=1,2) ki(x,t)—第i车道的密度(i=1,2)
df k k [ f (k ) k ] 0 dk x t

如f(k)采用格林希尔治速度—密度线性模型，则
k u u f (1 ) kj
[u f 2u f
k k k ] 0 k j x t
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作业6-1：

如公式（7-4）中的 f(k)分别采用格林伯模型和 安德伍德模型，试推导出守恒方程的具体形式。 答案：
( q n1 q n1 ) / 2 k n 1 ( k n1 k n1 ) / 2 离散化： j j j j j x t 1 n ( g j 1 g n1 ) j 2
k
n 1 j
1 n t n t n n n (k j 1 k j 1 ) ( q j 1 q j 1 ) ( g j 1 g n1 ) j 2 2x 2
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二、守恒方程的解析解法

考虑没有交通产生和离去的影响， 即r(x,t)=s(x,t)=0的情况，将守恒方程变化
k k k df k k (ku ) [kf (k )] f (k ) k 0 x t x t x dk x t
t0—初始时刻，通常设 t0 =0 Δt、Δx—时间和空间的增量， gnj—路段j在t=t0+nΔt的净流率(产生率减去离去率)

稳定要求：Δx/Δt大于自由流速度
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如果密度确定，在t=t0+nΔt时刻的速度由平衡态 速度—密度关系获得，即
u

n1 j
ue (k
n1 j


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§1 简单连续流模型
一、守恒方程的建立

考察一个单向连续路段，选择两个交通记数站。

设Ni为Δt时间内通过i站的车辆数，qi是通过i站的流量， Δt为1,2站同时开始记数所持续的时间。另ΔN=N2-N1， 则有： N1/Δt=q1
N2/Δt=q2 ΔN/Δt=Δq 即：ΔN=ΔqΔt
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T为观测周期，T=nΔt，且满足下面的方程：
k
n 1 j
1 n t t n n n n (k j 1 k j 1 ) ( q j 1 q j 1 ) ( g j 1 g n1 ) j 2 2x 2
式中：knj、qnj—在j路段，t=t0+nΔt时刻的密度、流量；
j 1时，
j 2时，
1 k1 9.385 105
1 k2 9.8731104
j 3时， j 200时，
1 k3
1 k200
至此获得n=1时的密度k1j
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(3)根据获得的k1j，再计算n=2时的密度k2j 直至 n=400 (4)根据获得的knj，绘图