初高中衔接(一)因式分解复习

合集下载

2025年初升高衔接数学强化训练-衔接点01-十字相乘法因式分解(含解析)

衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（原卷版）【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x .例2：分解因式：672+-x x .考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522--y y 7.24102--x x 8.2422-+x x类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=如：二次项系数不为1的二次三项式cbx ax ++2条件：（1）21a a a =1a 1c （2）21c cc =2a2c（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例3：分解因式101132+-x x 考点练习：分解因式1.6752-+x x2.2732+-x x 3.317102+-x x 4.101162++-y y 5.yxy x 121752-- 6.224715y xy x -+7.22254341y xy x --8.ax a x ++-)12(229.5)6(11)6(222++-+x x x x类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x2.)(2122234x x x x x +++++3.144234+++-x x x x （二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .考点练习：1.选用适当的方法分解因式（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .2.当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.衔接点01十字相乘法因式分解的强化训练（解析版）【基础内容与方法】二次三项式的概念（1）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即2(ab)2-7(ab)+3，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x+y 看作一个整体，就是关于x+y 的二次三项式．类型一：对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++例1：分解因式：652++x x 【答案】)3)(2(++x x 【解析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.解：652++x x =32)32(2⨯+++x x =)3)(2(++x x 例2：分解因式：672+-x x 【答案】)6)(1(--x x【解析】解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x =)6)(1(--x x 考点练习：分解因式1.24142++x x2.36152+-a a3.542-+x x 解：原式=)2)(12(++x x 原式=)3)(12(--a a 原式=)1)(5(-+x x 4.2524x x +- 5.22-+x x 6.1522--y y 原式=)3)(8(-+x x 原式=)1)(2(-+x x 原式=)3)(5(+-x y7.24102--x x 8.2422-+x x 原式=)2)(12(+-x x 原式=)4)(6(-+x x 类型二：对于二次项系数不是1的二次三项式如：二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2.条件：（1）21a a a =1a 1c ，（2）21c c c =2a 2c ，（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=.分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++.例3：分解因式101132+-x x .分析：解：101132+-x x =)53)(2(--x x .考点练习：分解因式1.6752-+x x 2.2732+-x x 3.317102+-x x 解：原式=)2)(35(+-x x 原式=)2)(13(--x x 原式=)32)(15(--x x 4.101162++-y y 5.2212175y xy x -- 6.224715y xy x -+原式=)52)(23(+-+x x 原式=)4)(35(y x y x -+原式=)45)(3(y x y x +-7.22254341y xy x --8.a x a x ++-)12(22原式=)2)(5(41y x y x +-原式=))(12(a x x --9.5)6(11)6(222++-+x x x x 原式=)1)(56)(1212(2+--+x x x x 类型三：十字相乘法的进阶（一）换元法与十字相乘法综合例4：分解因式262234+---x x x x 解：原式=)2162(222x x x x x +---=[]61(1(2222-+-+x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t xx∴原式=[]6)2222---t t x （=()10222--t t x =()()2522+-t t x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+215222x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21··522·x x x x x x =()()1225222+++-x x x x =)2)(12()1(2--+x x x 考点练习：选用适当的方法分解因式1.673676234+--+x x x x 解：原式=)673676(222xx x x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+3617)1(6222x x x x x 设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=)2476(22--y y x =)32)(83(2+-y y x =)322)(833(2+---x x x x x =()()23238322-+--x x x x =()()3)(212)(13-+-+x x x x 2.)(2122234x x x x x +++++解：原式=1232(222x x x x x ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++3)1(2)1(222x x x x x 设t x x =+1，则21222-=+t x x ∴原式=[]32)222++-t t x （=()1222++t t x =()221+t x =2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x =()221++x x 3.144234+++-x x x x 解：原式=22241(41)x x x x x -+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+1141222x x x x x设y x x =-1，则21222+=+y x x ∴原式=22(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --=)31)(11(2----x x x x x =()()13122----x x x x （二）待定系数法例5：如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值.【答案】解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++，则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(23+++++.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=82323c c b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===4147c b a ，∴b a +=21.【解析】823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式.例6：分解因式613622-++-+y x y xy x .【答案】解：设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【解析】原式的前3项226y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++.考点练习：1.选用适当的方法分解因式（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 2.当m 为何值时，多项式6522-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式.【答案】解：设6522-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++，∵))((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，∴6522-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+65ab a b m b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=123m b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==-=132m b a .∴当m =-1时，)2)(3(65652222+--+=-+--=-++-y x y x y x y x y mx y x ；当m =1时，)3)(2(65652222+--+=-++-=-++-y x y x y x y x y mx y x .【解析】原式的前2项22y x -可以分为))((y x y x -+，则原多项式必定可分为))((b y x a y x +-++.3．已知：p y x y xy x +-+--1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式.【答案】解：设p y x y xy x +-+--1463222=)3)((b y x a y x +-++，∵)3)((b y x a y x +-++=ab y a b x b a y xy x +-+++--)3()(3222，∴p y x y xy x +-+--1463222=ab y a b x b a y x +-+++-)3()(22，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+p ab a b b a 1436，解得⎪⎩⎪⎨⎧===515p b a .∴当p =5时，=+-+--p y x y xy x 1463222)13)(5(+-++y x y x .【解析】原式的前3项2232y xy x --可以分为)3)((y x y x -+，则原多项式必定可分为)13)(5(+-++y x y x .。

初高中衔接知识点及习题(十字相乘、韦达定理、二次不等式)

一、因式分解（十字相乘）。

十字相乘法：它的特征是“拆两头，凑中间”（12.21）二、韦达定理：方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x 则___21=+x x ____21=x x 。

()21221214x x x x x x -+=- 。

2122122212x x x x x x -+=+）（练习：一、把下列各式分解因式： 1、1522--x x 2、3722+-x x3、21152-+-y y 4 、101132++x x5、3522---x x ；6、 2265y xy x +-7、225163b ab a -+- 8、 ()()2762-+-+b a b a二、1、已知21,x x 是方程03522=--x x 的两根，则：1）___21=+x x 。

2）________21=x x 。

3）_______1121=+x x 。

4）________2221=+x x 。

5）()()________1121=++x x 。

6）21x x -= 。

2、二次项系数为1的二次方程，两根之和为5，两根之积为6，求二次方程3、一元二次方程0232=++ax x 的一个根为31，则另一个根为 =a 4、方程()002≠=++p r qx px 的两根为1,0-求p q :三、一元二次不等式及其解法形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．口诀：一化正；二求根；三大于取两边、小于取中间1、解下列一元二次不等式071522≤++x x 042≤-x 0162≤-+x x2230x x --+≥ 10732>-x x(2)(3)6x x +-< 041132>+--x x03222<--a ax x 0)1(2<--+a x a x2、填空题1）不等式(1)(12)0x x -->的解集是2）已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N =3）不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。

初高中衔接教材第二讲因式分解(1)

初高中数学衔接教材第二讲因式分解（一）因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．一、公式法(立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】:把下列多项式因式分解：（1）、22)2()(9b a b a ---（2）、2232xy y x x ++（3）、38x + （4）30.12527b -（5）、2b mb ab ma +++ （6）、232+-x x【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．【例3】把下列各式因式分解：(1) 276x x -+(2) 21336x x ++(3) 2524x x +-(4) 2215x x --【例4】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++(3) 42718x x --(4) 22(2)9x x --课后作业 1．把下列各式分解因式：(1) 327a +(2) 38m - (3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y - (6) 3331121627x y c +2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x + (2) 33n n x x y +- (3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+ 3．把下列各式分解因式：(1) 232x x -+ (2) 23736x x ++ (3)21126x x +- (4) 2627x x -- (5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+ 4．把下列各式分解因式：(1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x --(4) 42718x x --。

初、高中衔接：因式分解总结

分解因式因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法。

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a a b b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a a b b a b+-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a a b b a b-++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c a b b c ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b a b b +=+++；（5）两数差立方公式 3322()33a b a a b a b b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．说明：前面有*的供选用1．提取公因式法与分组分解法、公式法例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．－1 －2 x x 图1．2－1－1 －2 1 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．*例3 因式分解：（双十字相乘法）22222(1)282143(2)534(3)2x xy y x y x y x y xy y x y +-++--+++++--3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1xx ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11xx ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2xy =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．－1 1x y图1．2－5练习1．选择题：（1）多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -（2）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（3）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数2．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 3．分解因式：（1）5（x －y ）3+10（y －x ）2()()22222c ab a b c +-+（）·()()()422232x x y x x y xy y x ---+-（） 44322a a -（）（5）8a 3－b 3；（6）x 2＋6x ＋8；（7）4(1)(2)x y y y x -++- （8）424139x x -+；()()422422292033710510596a ab b x x x x -+-+--（）（）*（11）2235294x xy y x y +-++-．*（12）222456x xy y x y +--+-．4．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+．5．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．。

初高中衔接教材之--因式分解

二、因式分解2-1因式与倍式如同因子与倍数的概念，如果代数式A 可以写成代数式B 与代数式C 的乘积，即A =B ⨯C 。

此时，我们说B 与C 是A 的因式，而A 是B 与C 的倍式。

例如：由232(1)(2)x x x x ++=++，可知1x +与2x +皆为232x x ++的因式，而232x x ++为1x +与2x +的倍式；由22()()x y x y x y -=+-，可知x y +与x y -皆为22x y -的因式，而22x y -为x y +与x y -的倍式。

下面就让我们先从多项式的除法来认识因式与倍式。

【多项式的除法】在小学时，我们会以下列的长除法（直式算法）来求出58除以13的商数为4，余数6：-同时，我们也知道：58=13 ⨯ 4+6类似于自然数的除法，多项式的除法运算也有直式算法（长除法）；为了简化计算，也常使用分离系数法。

事实上，这两种方法的差别在于计算过程中，有没有将文字符号写出来而已。

【范例1】求2(42)(1)x x x ++÷+的商式及余式。

4 : 13）5852 6【解】方法一：直式算法方法二：分离系数法：答：商式为3x +，余式为1-。

在自然数的除法，我们有下列的规则：其中，商数和余数为非负整数，且余数小于除数。

同样的，在多项式的除法中，我们也有类似的规则：/且余式的次数要小于除式的次数或为零多项式。

在完成多项式的除法后，为了验证所得结果是否正确，除了重新检视运算过程外，也常用上述「被除式 = 除式 ⨯ 商式+余式」的概念来验算。

例如： (1)(3)(1)x x +++- （除式⨯商式+余式）=2431x x ++- =242x x ++（被除式）【范例2】求32(255)(2)x x x x +++÷+的商式及余式。

【解】》1+3 1+1 ）1+4+2…1+13+2 3+3 -12+1-1 1+2 ）2+5+1+5 {2+41+1 1+2 -1+5 -1-2 .x +3答：商式为2x 2+x -1，余式为7。

2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)

02 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项2 pq c 2式x2bx c ，若存在，则x2bx c x p x q .p q b要点诠释：（1）在对x2bx c 分解因式时，要先从常数项c的正、负入手，若c 0，则p、q同号（若c 0，则p、q异号），然后依据一次项系数b 的正负再确定p、q的符号（2）若x2bx c中的b、c 为整数时，要先将c分解成两个整数的积（要考虑到分解的各种可能），然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法2在二次三项式ax2bx c（a≠0中），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a a1a2 ，常数项c可以分解成两个因数之积，即c c1c2 ，把a1，a2，c1，c2 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2 a2c1 ，若它正好等于二次三项式ax2bx c 的一次项系数b ，即a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x c1与a2x c2之2积，即ax bx c a 1x c 1 a 2x c 2 .要点诠释：（ 1）分解思路为 “看两端，凑中间 ”（2）二次项系数 a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形 . 由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以 . 解： .请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如 x 2+（m+n ）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 x 2+（ m+n ）x+mn ＝（x+m ）（x+n ）．例如： x 2+5x+6＝x 2+（2+3） x+2×3＝（ x+2）（ x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x 2﹣x ﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：（x＋a）（x＋b）＝x2＋（a＋b）x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋（a＋b）x＋ab＝（x＋a）（x＋b）．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋（2＋3）x＋2×3＝（x＋2）（x＋3）．（1）尝试分解因式：x2＋6x＋8；（2）应用请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

重点高中初升高中数学衔接学案---因式分解

课题名称：分解因式课前预习【自学导航】1. 什么是提公因式法？步骤是？2. 公式法里面的公式都有哪些？3. 十字相乘法的步骤？4. 分组分解法的步骤？5. 方程求根法的方法是？【预习自测】把下面多项式因式分解：（1）523623913x b a x ab --(2) 1224+-x x（3）8224--b b(4)91264422++-+-b a b ab a（5）4(1)(2)x y y y x -++-【我的疑问】课内探究因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1. 提取公因式法将多项式中各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，叫做提取公因式。

提公因式时，要注意提“全”、提“净”。

“全”就是把含公因式的项都要找“全”；“净”就是把公因式部分提取干净例1 分解因式：（1） ()()b a b a -+-552（2）32933x x x +++课堂练习： 1、多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是_______________。

2、523623913x b a x ab --分解因式得_____________________。

小结：解这类题的步骤：（1）：（2）：2：公式法：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．例2 分解因式：（1）164+-a （2）()()2223y x y x --+课堂练习222b ab a +-，22b a -，33b a -的公因式是__________________。

3.初高中衔接—因式分解

初
高
中
衔
接
因式分解
因式分解的概念
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式。来自提公因式法换元法
公式法
求根公式法
长除法
余数定理法
十字相乘法
因式分解没有普遍的方法
对称多项式轮换对称多项式法
拆项和添减项法待定系数法
分组分解法双十字相乘法
方法 1 提公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
Lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here, lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here , lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here , lorem ipsum dolor sit amet, please add your text here
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
方法 7 十字相乘法
方法 7 十字相乘法
方法 7 十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
方法 8 双十字相乘法
New Semester，new Beginning
新学期展翅翱翔
ax ay ax y
方法 2 公式法 a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
方法 3 分组分解法
方法 4 配方法
方法 5 拆项添项法

初高中知识点衔接—因式分解

初高中知识点衔接—因式分解因式分解第一课时一、知识点：1、十字相乘法分解因式2、提公因式法分解因式：二、例题：1、十字相乘法分解因式例1、（1）x2-2x-15 (2) x2+2x-8(3) x2+6x+8 (4) x2-5xy+6y2例2、（1）2x2-5x-12 (2) 4n2+4n-15(3) 5x2+6x-8 (4) 3a2-7a-62、提公因式法分解因式例、（1）8ab2-16a3b3；（2）-15xy-5x2；（3）a3b3+a2b2-ab；（4）-3a3m-6a2m+12am．三、练习题：1、十字相乘法分解因式（1）x4-7x2+6 (2) x2+3x-10(3) x2+5x+6 (4) x2+8x+12(5) 2x2+3x+1 (6) 3a2-7a-6(7) 4x2+15x+9 (8) 6x2+4x-2(9) 15x2+x-2 (10) 20-9y-20y22、提公因式法分解因式1．多项式8x3y2-12xy3z的公因式是_________．2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（）A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c3．下列用提公因式法因式分解正确的是（）A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c）D．x2y+5xy-y=y（x2+5x）4．下列多项式应提取公因式5a2b的是（）A．15a2b-20a2b2B．30a2b3-15ab4-10a3b2C．10a2b-20a2b3+50a4b D．5a2b4-10a3b3+15a4b25．下列因式分解不正确的是（）A．-2ab2+4a2b=2ab（-b+2a）B．3m（a-b）-9n（b-a）=3（a-b）（m+3n）C．-5ab+15a2bx+25ab3y=-5ab（-3ax-5b2y）; D．3ay2-6ay-3a=3a（y2-2y-1）6．填空题：（1）ma+mb+mc=m________ （2）多项式32p2q3-8pq4m的公因式是_________；（3）3a2-6ab+a=_________（3a-6b+1）；（4）因式分解：km+kn=_________；（5）-15a2+5a=________（3a-1）；（6）计算：21×3.14-31×3.14=_________．作业：一、用十字相乘法分解因式（1）4x2+24x+27 (2)2x2+3x+1 (3)2y2+y-6(4) 4x2+15x+9 (5)15x2+x-2 (6)3a2-7a-6(7)x2+8x+12 (8)x2+3x-10 (9)m2+4m-12（10）a2-9ab+14b2(11)x2+11xy+18y2(12)3x2+11x+10(13) 2x2+15x+7 (14)3a2-8a+4 (15)4x4y2-5x2y2-9y2(16)5x2+7x-6 (17)10x2-21x-2y2 (18)5a2b2+23ab-10二、提公因式法分解因式1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）。

初高中数学衔接集训(一)因式分解

初高中数学衔接集训（一）因式分解一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设实数满足321x x =-+，若72x ax bx c =++，则2a b c -+的值为( ) A ．14-B ．14C ．6-D ．62．已知六元方程222222a b c d e f b a d c f e +++++=-+-+-，满足a b c d e f <<<<<，且a ，b ，c ，d ，e ，f 为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为( ) ①1a =，2b =，3c =，4d =，5e =，6f =是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解；③若10a b c d e f <<<<<<，则该六元方程有20组解； ④若23a b c d e f +++++=，则该六元方程有1组解． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知m ，n 均为正整数且满足23200mn m n ---=，则m n +的最小值是( )A ．20B ．30C ．32D ．374．已知4322125d x x x x =-+--，则当2250x x --=时，d 的值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．105．已知正整数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足a b c d e f <<<<<，且222222a b c d e f b a d c f e +++++=-+-+-，关于这个六元方程下列说法正确的个数是( ) ①1a =，2b =，3c =，4d =，5e =，6f =是该六元方程的一组解； ②连续的六个正整数一定是该六元方程的解；③若10a b c d e f <<<<<<，则该六元方程有21组解； ④若53a b c d c f +++++=，则该六元方程有28组解． A ．1B ．2C ．3D ．46．已知4322125d x x x x =-+--，则当2250x x --=时，d 的值为( ) A ．25B ．20C ．15D ．107．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：(n p q p =⨯，q 是正整数，且)p q ，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()pF n q=．例如：12可以分解成112⨯，26⨯或34⨯，因为1216243->->-，所以34⨯是12的最佳分解，所以3(12)4F =．如果一个两位正整数t ，10(19t x y x y =+，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有( )（1）3(48)4F =；（2）15和26是“吉祥数”；（3）“吉祥数”中，()F t 的最大值为34．（4）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数，则对任意一个完全平方数m ，总有()1F m =． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．设正整数a ，b ，100c >，满足2221(1)c a b -=-，则ab的最小值是( ) A ．13 B ．12 C ．2 D ．3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

初升高数学知识点衔接乘法公式与因式分解

初升高数学知识点衔接乘法公式
与因式分解
1．乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
（2）完全平方公式
2．因式分解
因式分解是代数的一种重要的恒等式变形。

初中教材中涉及到的常用方法主要有:提取公因子法和公式法(平方差公式和完全平方公式)。

因式分解和代数表达式乘法是对立变形，在分式运算、解方程和各种恒等式变形中有重要作用，是一项重要的基本功。

————高中知识链接————
我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：
（3）立方和公式
（4）立方差公式
（5）三数和平方公式
（6）两数和立方公式
（7）两数差立方公式
我们用多项式展开证明式子（3），其余请自行证明：
证明：
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．。

初高中数学衔接因式分解

23 March 2017
二、分组分解法
2ax 10ay 5by bx 【例4】因式分解：
解 : ab(c 2 d 2 ) (a 2 b 2 )cd abc 2 abd 2 a 2cd b 2cd (abc 2 a 2cd ) (b 2cd abd 2 ) ac(bc ad ) bd (bc ad ) (bc ad )(ac bd ).
23 March 2017
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
【例8】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2
解 : (1)12 x 2 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1). ( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
23 March 2017
三、十字相乘法
1． x2 ( p q) x pq 型的因式分解
【例6】因式分解：(1) x 2 7 x 6
(2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
(2)x 2 13 x 36
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6).

(1)x 2 xy 6 y 2 (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 【例7】因式分解：解 : (1)x 2 xy 6 y 2 x 2 yx 62 ( x 3 y )( x 2 y ). (2)( x 2 x )2 8( x 2 x ) 12 ( x 2 x 6)( x 2 x 2) ( x 3)( x 2)( x 2)( x 1).

河北省石家庄市高中数学初高中衔接第1讲因式分解

《第1讲因式分解》学案学习目标：使学生掌握因式分解的几种典型方法。

学法指导：带领学生复习初中因式分解的相关知识，为高中知识的学习做好铺垫。

讲练结合。

学习重点、难点：十字相乘法分解因式。

【知识梳理】因式分解的几种典型方法：1、提取公因式法：2、公式法：（1）平方差公式：22________________a b -=（2）完全平方公式：222_____________a ab b ++=222_____________a ab b -+=（3）立方和、立方差公式：33_______________________a b +=33_______________________a b -=3、十字相乘法：（1）2()x p q x pq +++型：（2）212122112()a a x a c a c x c c +++型：【例题解析】例1、用提取公因式法分解因式：22ab a b +=例2、用公式法分解因式：（1）29x -=（2）269x x -+=（3）327a +=例3、用十字相乘法分解因式：（1）232x x -+=（2）21126x x +-=（3）221x x +-=【当堂练习】选用恰当的方法分解下列因式：（1）2abx axy -=（2）233x -=（3）2288x x ++=（4）38m -=（5）23736x x ++=（6）2673x x --=【归纳小结】因式分解的步骤：【课后作业】分解下列因式：（1）24ax a -=（2）221x x -+=（3）222050x x ++=（4）34xy x +=（5）243x x ++=（6）2215x x +-=（7）2627x x --=（8）2352x x --=（9）226x x +-=。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

16a4－8a2＋1
x y 2 4xy
1
1112ab－64b2
16－24(a－b)＋ 9(a－b)2
20042-4008× 2005+20052
x 2 2 5x 5
利用十字相乘法因式分解
x2 2x 3
x 2 8x 10
x2 4x 6
m4 22m2 75
x2 y 2 4xy 12
x2 5xy 6 y 2
( x 1)( x 2) 12
(a b)2 (a b) 12
x
2
2 x 2 x2 2 x 3

2

(a b)2 （ 7 a b）+12
x 2 (1 3) x 3
x 2 4xy 4 y 2
9m2－6mn＋n2
4 2 2 4 x ＋y － xy 9 3
a2－12ab＋36b2
a2b2－2ab＋1
4a2＋36ab＋81b2
－4xy－4x －y
2
2
2a 2 4ab 2b 2
4 x 3 y 4 x 2 y 2 xy 3
(x＋y)2－18(x＋y)＋81
x 4 7 x 2 18
x 2 10xy 16y 2
x 4 10x 2 9
2
鸡西市第十九中学高一数学组
x2 9x 8
x 2 10x 24
x 2 3x 10
x 2 3x 28
a 2 4a 21
m2 4m 12
x3 18x 2 19 x
【步骤】：①竖分二次项系数与常数项 ③检验确定，横写因式
②交叉相乘，积相加
2 y 2 3y 2
3x 2 10x 8
3x 2 22x 24
4 x 2 31x 45
2 x 2 5x 3 0
3x 2 8 x 3 0
2 x2 7 x 3
2 x 2 5x 3
二次项系数不为 1 的十字相乘
( x 2)(3x 1)
； (2 x 1)(3x 2) ； 6x 7 x 2
2
3x 2 7 x 2
还是来看一道例题吧例： 6 x 7 x 2
2
解:
2 3
1 2
原式= (2 x 1)(3x 2)
3
鸡西市第十九中学高一数学组
2 x2 15x 7
6 x2 7 x 5
5x2 7 x 6
6 y 2 11y 10
3a 2 8a 4
2 x 2 5x 2
6x 2 x 2
x 4 10x 2 9 =0
6x 4 7x 2 2 0
分解因式: 7( x y) 5( x y) 2( x y) ；
2x 2 4xy 6x
xx y y y x
4x 2 4x
a 2b2a 3b 5a2b a3b 2a
（a +b）-（a+b）2；
x（x-y）+y（ y-x）；
6（m+n）2-2（m+n）；
m （m-n）2-n（n-m）2；
6p（p+q）-4q（q+p）．
鸡西市第十九中学高一数学组
《因式分解复习》专题
2014 年（）月（）日班级：姓名
不求快，不求多，不间断。因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的
用提取公因式法分解因式： 8ab2-16a3b3； -15xy-5x2；
的形式．
a3b3+a2b2-ab；
np nq
x 3 y x 2 y 2 xy
用平方差公式法分解因式.
x 2 64
x2 y2
25a 2 b 2
4x 2 y 4 y
12x 2 3 y 2
( x y) 2 4 y 2
1
鸡西市第十九中学高一数学组
101 -99
2
2
4a －(b＋c)2
2
(a+b+c)2-(a-b-c)2
用完全平方公式法分解因式： x2＋10x＋25
3 2
(a 2 7a) 2 22(a 2 7a) 120．
4
鸡西市第十九中学高一数学组
5