高考数学计算题预测(附答案)

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【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑

【高中高考数学压轴题预测题-浙江省1】2020年高考数学计算题大题-含详细解析答案、可编辑学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、解答题（本题共计 40 小题，每题 3 分，共计120分，）1. 已知实数a≠0，设函数f(x)=a ln x+√1+x,x>0.(1)当a=−34时，求函数f(x)的单调区间；(2)对任意x∈[1e2,+∞)均有f(x)≤√x2a，求a的取值范围.注：e=2.71828⋯为自然对数的底数.2. 如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B 两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足：对每个n∈N∗,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=√a n2b n, n∈N∗，证明：c1+c2+⋯+c n<2√n,n∈N∗.4. 如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC，E, F分别是AC，A1B1的中点. (1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.5. 设函数f(x)=sin x，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x+θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y=[f(x+π12)]2+[f(x+π4)]2的值域.6. 已知函数f(x)=√x−ln x．（1）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；（2）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．7. 如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．8. 已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{(b n+1−b n )a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．9. 如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120∘，A 1A =4，C 1C =l ，AB =BC =B 1B =2．(1)证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；(2)求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．10. 已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−35,−45)．(1)求sin (α+π)的值；(2)若角β满足sin (α+β)=513，求cos β的值．11. 设数列满足|a n −a n+12|≤1，n ∈N ∗．（1）求证：|a n |≥2n−1(|a 1|−2)(n ∈N ∗)（2）若|a n |≤(32)n ，n∈N ∗，证明：|a n |≤2，n ∈N ∗．12. 如图，设椭圆C:x 2a 2+y 2=1(a >1)（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得到的弦长（用a ，k 表示）（II ）若任意以点A(0, 1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．13. 已知a ≥3，函数F(x)＝min {2|x −1|, x 2−2ax +4a −2}，其中min (p, q)={p,p ≤q q,p >q ．(Ⅰ)求使得等式F(x)＝x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围； (Ⅱ)(i)求F(x)的最小值m(a)；(ii)求F(x)在[0, 6]上的最大值M(a)．14. 如图，在三棱台ABC −DEF 中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90∘，BE =EF =FC =1，BC =2，AC =3，（1）求证：EF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B −AD −F 的余弦值．15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b +c =2a cos B ． (1)证明：A =2B ；(2)若△ABC 的面积S =a 24，求角A 的大小．16. 已知数列{a n }满足a 1=12且a n+1＝a n −a n 2(n ∈N ∗)（1）证明：1≤a nan+1≤2(n ∈N ∗)；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明12(n+2)≤S n n≤12(n+1)(n ∈N ∗)．17. 已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．18. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)，记M(a, b)是|f(x)|在区间[−1, 1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M(a, b)≥2；（2）当a，b满足M(a, b)≤2时，求|a|+|b|的最大值．19. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1−BD−B1的平面角的余弦值．20. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=π4，b2−a2=12c2．（1）求tan C的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．21. 设函数f(x)=x3+1x+1，x∈[0, 1]，证明：（1）f(x)≥1−x+x2（2）34<f(x)≤32．22. 如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|−1．求p的值；若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．23. 如图，在三棱台ABC−DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90∘，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（1）求证：BF⊥平面ACFD；（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．24. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N∗．(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n−n−2|}的前n项和．25. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2a cos B．(1)证明：A=2B；(2)若cos B=23，求cos C的值．26. 设函数f(x)＝x2+ax+b(a, b∈R)．(Ⅰ)当b=a24+1时，求函数f(x)在[−1, 1]上的最小值g(a)的表达式．(Ⅱ)已知函数f(x)在[−1, 1]上存在零点，0≤b−2a≤1，求b的取值范围．27. 如图，已知抛物线C1:y=14x2，圆C2:x2+(y−1)2＝1，过点P(t, 0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(Ⅰ)求点A，B的坐标；(Ⅱ)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．28. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．29. 已知数列{a n}和{b n}满足a1＝2，b1＝1，a n+1＝2a n(n∈N∗)，b1+12b2+13b3+⋯+1nb n＝b n+1−1(n∈N∗)(Ⅰ)求a n与b n；(Ⅱ)记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．30. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan(π4+A)=2．(1)求sin2Asin2A+cos2A的值；(2)若B=π4，a=3，求△ABC的面积．31. 已知函数f(x)=x3+3|x−a|(a∈R)．(1)若f(x)在[−1, 1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)−m(a)；(2)设b∈R，若[f(x)+b]2≤4对x∈[−1, 1]恒成立，求3a+b的取值范围．32. 如图，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．(Ⅰ)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a−b．33. 如图，在四棱锥A−BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90∘，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2．(Ⅰ)证明：DE⊥平面ACD；(Ⅱ)求二面角B−AD−E的大小．34. 已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3...a n=(√2)b n(n∈N∗)．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．(1)求a n与b n；(2)设c n=1a n−1b n(n∈N∗)．记数列{c n}的前n项和为S n．(i)求S n；(ii)求正整数k，使得对任意n∈N∗，均有S k≥S n．35. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=√3，cos2A−cos2B=√3sin A cos A−√3sin B cos B．(1)求角C的大小；(2)若sin A =45，求△ABC 的面积．36. 已知△ABP 的三个顶点在抛物线C:x 2=4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →=3FM →，（1）若|PF|=3，求点M 的坐标；（2）求△ABP 面积的最大值．37. 已知函数f(x)＝x 3+3|x −a|(a >0)，若f(x)在[−1, 1]上的最小值记为g(a)． (Ⅰ)求g(a)；(Ⅱ)证明：当x ∈[−1, 1]时，恒有f(x)≤g(a)+4．38. 如图，在四棱锥A −BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE =∠BED =90∘，AB =CD =2，DE =BE =1，AC =√2．(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．39. 已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2⋅S 3＝36． (Ⅰ)求d 及S n ；(Ⅱ)求m ，k(m, k ∈N ∗)的值，使得a m +a m+1+a m+2+...+a m+k ＝65．40. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A−B 2+4sin A sin B =2+√2．(1)求角C 的大小；(2)已知b =4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(一)

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一）17．已知的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，当时，适合上式，．（2）解：令，所以，，两式相减得：，故． 18．在中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，．（1）求的值；（2）若，D 为AB 边上的点，且，求CD 的长．{}n a n 24n S n n =-{}n a 72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 52n a n =-1362n n n T -+=-2n ≥()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦1n =113a S ==52n a n ∴=-17122n n n n a n b --+==23213451222222nn n n n T --+=++++⋅⋅⋅++23112341222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++2111111111322131222222212nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+-=--1362n n n T -+=-ABC △sin cos a B b A =3cos 5B =cos C 15a =2AD BD =【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由得：，A 、B 、C 是的内角，，因此，，故．由得：．又；也就是．（2）解：由得：，由正弦定理得：，，在中，，． 19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．1013CD =sin cos a B b A =sin sin sin cos A B B A =Q ABC △sin 0B ∴≠tan 1A =π4A =3cos 5B=4sin 5B ==()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦ππcos cos cos sin sin 4410C B B =-+=cos 10C=sin 10C ==15πsin 4=21c ⇒=2143BD c ∴==ABC △22231514215141695CD =+-⨯⨯⨯=13CD ∴=12AE CD =（1）求证：平面；（2）求出该几何体的体积．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）为的中点，取中点，连接、、；则，且，且，故四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面．（2）解：由己知，，，，且，平面，，又，平面，是四棱锥的高，梯形的面积，，即所求几何体的体积为4．20．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．//EM ABC M Q DB BC G EM MG AG //MG DC 12MG DC =//MG AE ∴MG AE =AGME //EM AG ∴AG ⊂ABC EM ⊄ABC //EM ∴ABC 2AE =4DC =AB AC ⊥2AB AC ==EA ⊥Q ABC EA AB ∴⊥AB AC ⊥AB ∴⊥ACDE AB ∴B ACDE -ACDE ()()242622AE DC S AC ++⨯=⨯==143B ACDE V S AB -∴=⨯=P ()0,1F 2y =-P（1）求曲线C 的方程；（2）求证：；（3）求△ABM 的面积的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4．【解析】（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（2）证：设直线的方程为：，由得：，设，，则，．由得：，，直线的方程为：···①，直线的方程为：···②， ①－②得：，即，将代入①得：，，故，，，，．10AB MF ⋅=u u u r u u u r24x y =P 2y =-P ()0,1F 1y =-∴P ()0,1F 1y =-24x y =AB 1y kx =+241x y y kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=(),A A A x y (),B B B x y 4A B x x k +=4A B x x ⋅=-24x y =214y x =12y x '∴=∴AM ()21214A A A x x y x x =--BM ()21214B B B x x y x x =--()()()2222112142B A A B B A x x x x x x x -=-+-22A B x x x k +==2A Bx x x +=22114214124B A A A A B A x x x x x x x y -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-114A B x y x =∴=-()2,1M k -()2,2MF k ∴=-u u u r ()(),B A B A AB x x k x x =--u u u r ()()220B A B A AB MF k x x k x x ∴⋅=--=+-u u u r u u u r AB MF ∴⊥u u u r u u u r（3）解：由（2）知，点到的距离，，当时，的面积有最小值4． 21．已知函数（m 、n 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．（1）求m 、n 的值；（2）求的最大值；（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，都有．（注：）【答案】（1），；（2）；（3）见解析．【解析】（1）由，得，由已知得，解得．又，，．（2）解：由（1）得：，当时，，，所以；M AB d MF ==()22444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+Q ()()3222114141422S AB d k k ∴=⋅=⨯+⨯=+≥∴0k =ABM △()ln exm x nf x +=e 2.71828=⋅⋅⋅()yf x =()()1,1f 2ey =()f x ()()()e ln 12x x g x f x +'=⋅()f x '()f x 0x >()21e g x -<+()1ln 11x x '+=⎡⎤⎣⎦+2n =2m =()max 2ef x =()ln e x m x n f x +=()()ln 0exm nx mx xf x x x --'=>()10e m n f -'==m n =()21e en f ==2n ∴=2m =()()21ln exx x x f x x --'=()0,1x ∈10x ->ln 0x x ->1ln 0x x x -->当时，，，所以， ∴当时，；当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，时，．（3）证明：．对任意，等价于，令，则，由得：， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为，即．设，则， ∴当时，单调递增，，故当时，，即，，∴对任意，都有．()1,x ∈+∞10x -<ln 0x x -<1ln 0x x x --<()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∈+∞()0f x '<()f x ∴()0,1()1,+∞1x ∴=()max 2ef x =()()()()()()e ln 11ln ln 102x x x x x xg x f x x x+--+'=⋅=>0x >()21e g x -<+()()21e 1ln ln 1x x x x x -+--<+()()1ln 0p x x x x x =-->()ln 2p x x '=--()ln 20p x x '=--=2e x -=()20,ex -∈()0p x '>()p x ()2e ,x -∈+∞()0p x '<()p x ()p x ()22e1ep --=+21ln 1e x x x ---+≤()()ln 1q x x x =-+()01xq x x '=>+()0,x ∈+∞()q x ()()00q x q >=()0,x ∈+∞()()ln 10q x x x =-+>()1ln 1xx >+()()221e 1ln 1e ln 1x x x x x --+∴--+<+≤0x >()21e g x -<+。

2025届高考数学复习：历年高考真题、模拟题专项(利用导数研究不等式恒(能)成立问题)练习(附答案)

(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2)若 f(x)≤0 恒成立,求 a 的取值范围.
1
3.(2024ꞏ陕西西安联考)已知函数 f(x)=ln x-ax- .

(1)当 a=2 时,求 f(x)的极值;
(2)若不等式 f(x)≤-e-ax 恒成立,求 a 的取值范围.
4.(2024ꞏ江苏无锡模拟)已知函数 f(x)=-x+ln x,g(x)=xex-2x-m.
-( - )(
)
.
令 f'(x)=0,答案解析得 x=1.
所以在(0,1)内 f'(x)>0,f(x)单调递增,在(1,+∞)内 f'(x)<0,f(x)单调递减,
当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=0-2-1=-3,故 f(x)的极大值为-3,无极小值.
(2)由 f(x)≤-e-ax,可得 ln x-ax-
内单调递减.
又因为 t( )=2-√e>0,t(1)=1-e<0,
所以∃x0∈( ,1),使得 t(x0)=
e =0,即
e ,则 ln =ln e ,即-ln x0=x0.
因此,当 0<x<x0 时,t(x)>0,即 h'(x)>0,则 h(x)单调递增;当 x>x0 时,t(x)<0,即 h'(x)<0,则 h(x)
2025 届高考数学复习：历年高考真题、模拟题专项（利用导数研究不等式恒(能)成立问题）练习
1.(2024ꞏ山西太原模拟)已知函数 f(x)=x2-6x+4ln x+m.
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 m 的取值范围.

预测新高考数学试卷及答案

一、试卷结构根据教育部发布的《关于深化普通高等学校考试招生制度改革的实施意见》，2023年新高考数学试卷将分为全国统一卷和地方卷，试卷结构如下：1. 选择题：共20题，每题3分，共60分。

2. 填空题：共10题，每题3分，共30分。

3. 解答题：共6题，每题15分，共90分。

二、预测内容及答案一、选择题1. 【预测】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = x^2 + 2x + 1C. f(x) = -x^2 + 2x - 1D. f(x) = x^2 - 4x + 3【答案】A2. 【预测】已知函数f(x) = (x+1)/(x-1)，则f(x)的对称中心为（）A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)【答案】B3. 【预测】已知等差数列{an}的公差为d，且a1 = 2，a5 = 8，则d =（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C4. 【预测】若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处取得极值，则该极值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A5. 【预测】已知平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(4, 6)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3, 4)B. (3, 5)C. (4, 3)D. (4, 5)【答案】B二、填空题6. 【预测】若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则a = ，b = ，c = 。

【答案】a = 1，b = 0，c = 27. 【预测】已知等比数列{an}的公比为q，且a1 = 3，a3 = 9，则q = 。

【答案】q = 38. 【预测】已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-1) = ，f(2) = 。

【答案】f(-1) = 8，f(2) = -19. 【预测】已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的最小值为。

成人高考数学试题(历年成考数学试题答案与解答提示)

成人高考数学试题第一部分：试题答案与解答提示1. 简单计算题请计算下列各式的结果：（1）3 + 5 × 2 8 ÷ 4 = ？（2）(9 3)² + 4 × 6 ÷ 2 = ？（3）√(16 × 25) = ？解答提示：对于简单计算题，我们需要掌握基本的算术运算规则，如加减乘除、乘方、开方等。

在解题过程中，要注意运算顺序，遵循先乘除后加减的原则。

2. 代数式计算题请计算下列各式的结果：（1）若 a = 3，b = 4，求 2a 3b 的值。

（2）若 x = 2，y = 3，求(x² y²) ÷ (x + y) 的值。

（3）若 a = 2，b = 1，求(a + b)² 2ab 的值。

解答提示：对于代数式计算题，我们需要熟练掌握代数式的运算规则，如合并同类项、分配律、平方差公式等。

在解题过程中，要注意代入给定的数值，并按照运算顺序进行计算。

3. 解方程题请解下列方程：（1）2x 5 = 7（2）3x + 4 = 11 2x（3）2x² 5x + 3 = 0解答提示：对于解方程题，我们需要掌握一元一次方程、一元二次方程的求解方法。

在解题过程中，要注意方程的化简、移项、合并同类项等步骤，以及使用求根公式求解一元二次方程。

4. 几何题请计算下列几何问题的答案：（1）若一个正方形的边长为 5 厘米，求其面积。

（2）若一个圆的半径为 4 厘米，求其周长。

（3）若一个三角形的底边长为 6 厘米，高为 8 厘米，求其面积。

解答提示：对于几何题，我们需要掌握基本的几何知识，如正方形、圆、三角形的面积和周长公式。

在解题过程中，要注意代入给定的数值，并按照公式进行计算。

5. 应用题请解决下列应用问题：（1）小华有 10 元钱，购买一支铅笔和一本笔记本后，还剩 2 元。

铅笔的价格是 3 元，笔记本的价格是多少？（2）一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，从甲地到乙地需要2 小时。

2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{1,2,3,4,,{|60},,}A B x x x A B ==--<则=则{}{}{}{}.2.1,2.2,3.1,2,3A B C D2.已知复数z=2+i,则z z ⋅=.3.5.3.5A B C D3.由于疫情期间大多数学生都进行网上上课,我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见,计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本。

若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数,则我校高三年级的人数为 A.800 B.750 C.700D.6504.设命题p:所有正方形都是平行四边形,则p 为A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形x-y ≤0D.不是正方形的四边形不是平行四边形5.若x 、y 满足约束条件0210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则z=4x+y 的最大值为A.-5B.-1C.5D.66.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.3π B.4π C .24.34D ππ++7.设P 为多面体M 的一个顶点,定义多面体M 在P 处的离散曲率为()131221112k k k PQ Q PQ Q Q PQ Q Q P π-+∠+∠-+∠∠其中,(1,2,3,,,3)Q i k k =为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点,且平面311122,,,k k k PQ Q PQ Q Q P Q Q PQ -遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面,如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体(每个面都是全等的正多边形的多面体是正多面体),若它们在各顶点处的离散曲率分别是,,,,a b c d 则a,b,c,d 的大小关系是A.a>b>c>dB.a>b> d>cC. b>a> d> cD. c>d>b>a8.设A,B 是椭圆22:13x y C m +=长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足120,AMB ︒=∠则m 的取值范围是(]()([)(]()([).0,19,.0,103,9.4,.0,34,,A B C D ⎤⎤+∞+∞+∞+∞⎦⎦9.已知奇函数()()()cos ||,02f x x x πφφφωωω⎛⎫=+-+<> ⎪⎝⎭对任意Rx ∈都有()0,2f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭现将()f x 图象向右平移π3个单位长度得到()g x 图象,则下列判断错误的是 A.函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增().B g x 图象关于直线712x π=对称C.函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减().D g x 图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称已知数列{}n a 满足:111,31,n n a a a n +=+=+则数列()*21211n n a N n a -+∈的前30项和为A ．2990B ．2988C ．1093D ．309111.设点F1,F2分别为双曲线C:()222210,0x y a b a b-=>>双曲线的左、右焦点,点A,B 分别在双曲线C 的左,右支上,若11226,,F B F A AF AB AF ==⋅且22||||AF BF <则双曲线C 的渐近线方程为128 (55)A y xB y xC y xD y x =±=±== 12.已知函数()124,(x e m f x x a m a a a-=-++-为实数），若对于任意实数[]()1,0a e f x ∈，对任意R x ∈恒成立,则实数m 的取值范围是 [)[)()[]2.2,.,.421,.2,A B e C e e D e +∞-+∞-++∞二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分()513.3x -展开式中x2项的系数为 ▲14.山西省高考将实行3+3模式,即语文数学英语必选,物理,化学,生物,历史,政治,地理六选三,今年高一的小明与小芳进行选科,假设他们对六科没有偏好,则他们选科至少两科相同的概率为 ▲ 15.已知a,b 是平面向量,e 是单位向量,若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b,e 满足2680,-⋅+=b e b 则||-a b 的最小值为 ▲ 16.如图,四棱锥P ABCD -中,底面四边形ABCD 满足:,AB AD ⊥,2,BC AD AB CD BC CD ⊥==,设三棱锥P —ABD,三棱锥P —ACD 的体积分别为12,,V V 则12V V 与的大小关系是:12_,V V 设三棱锥,—P ABD 三棱锥P ACD —的外接球的表面积分别为21,S S 则S1与S2的大小关系是:12_S S (用“>”“=”“<”填空)(第一空2分,第二空3分)。

2023年全国高考数学模拟试卷(附答案)

2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限则实数 a 的取值范围是（） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球其中有3个黑球与2个红球如果从中任取两个球则恰好取到两个同色球的概率是（） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立则 A|x 1−x 2| 的最小值为（）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中评分在 [60,70) 内的为2人评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。

新高考答案预测数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，那么f(2)的值为：A. 2B. -2C. 8D. -82. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an的表达式为：A. an = a1 + (n-1)dB. an = a1 - (n-1)dC. an = (n-1)d + a1D. an = (n+1)d - a13. 已知函数g(x) = 2x^2 - 4x + 3，那么g(1)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 74. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则第n项bn的表达式为：A. bn = b1 q^(n-1)B. bn = b1 / q^(n-1)C. bn = b1 + (n-1)qD. bn = b1 - (n-1)q5. 已知函数h(x) = x^2 + 2x + 1，那么h(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 36. 若复数z = a + bi（a，b为实数），那么|z|的值为：A. √(a^2 + b^2)B. a^2 + b^2C. a^2 - b^2D. a^2 b^27. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么前n项和Sn的表达式为：A. Sn = n(a1 + an) / 2B. Sn = n(a1 - an) / 2C. Sn = n(an - a1) / 2D. Sn = n(a1 + an) / 48. 若复数z = a + bi（a，b为实数），那么z的共轭复数为：A. a - biB. -a + biC. -a - biD. a + b9. 已知函数k(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1，那么k(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 710. 若等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，那么前n项和Sn的表达式为：A. Sn = b1 (1 - q^n) / (1 - q)B. Sn = b1 (1 + q^n) / (1 + q)C. Sn = b1 (q^n - 1) / (q - 1)D. Sn = b1 (q^n + 1) / (q + 1)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

高三数学试卷预测题及答案

一、选择题1. 若函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图像开口向上，且在 $x=1$ 处有极小值，则下列选项中正确的是（）A. $a > 0, b > 0, c > 0$B. $a > 0, b < 0, c > 0$C. $a < 0, b > 0, c > 0$D. $a < 0, b < 0, c > 0$答案：B解析：由于函数图像开口向上，故 $a > 0$。

又因为在 $x=1$ 处有极小值，所以$f'(1) = 0$，即 $2a + b = 0$，解得 $b < 0$。

因此，$a > 0, b < 0, c > 0$。

2. 若 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的两个根为 $m$ 和 $n$，则 $(m+n)^3 + 3(m+n) -10 = $（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：由韦达定理知 $m+n = 3$，所以 $(m+n)^3 + 3(m+n) - 10 = 3^3 + 3\times 3 - 10 = 27 + 9 - 10 = 26$。

选项C为正确答案。

3. 下列函数中，其反函数为增函数的是（）A. $y = 2^x$B. $y = \log_2 x$C. $y = x^2$D. $y = \sqrt{x}$答案：B解析：选项A和B的反函数均为 $y = \log_2 x$，为增函数；选项C和D的反函数分别为 $y = \sqrt{x}$ 和 $y = x^2$，均为减函数。

因此，选项B为正确答案。

二、填空题4. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3 = 12$，$S_5 =30$，则 $a_4 = $ _______。

答案：12解析：由等差数列的性质知 $S_3 = 3a_1 + 3d = 12$，$S_5 = 5a_1 + 10d = 30$。

押题预测卷7丨决胜2024届高考数学押题预测7模拟试卷及答案

决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24x y =-的准线方程是（）A.1y =B.1y =- C.2y = D.=2y -2．已知集合{}2R 230A x x x =∈--<，集合(){}2R log 21B x x =∈+<，则A B ⋂＝（）A.()3,2- B.()2,3- C.()2,0- D.()1,0-3．已知向量a ，b 满足3a = ，b = ()a ab ⊥+ ，则b 在a方向上的投影向量为（）A.3B.3-C.3a -D.a-r4．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．设0x >，0y >，122y x+=，则1x y +的最小值为（）A.32B. C.32+ D.36．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，其离心率e =，从2F 发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则21sin F F E ∠=（）A.56B.55C.45D.2557．若3sin cos θθ+=，则π1tan π8tan 8θθ⎛⎫+-⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭的值为（）A.7- B.14- C.17D.278．已知函数()()e 2,ln 2x f x x g x x x =+-=+-，若12,0x x ∃∈>R ，使得()()12f x g x =，则12x x 的最小值为（）A.e- B.1- C.1e- D.21e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数z z-，下列说法正确的是（）A.若0z z -=，则z 为实数B.若220z z +=，则0z z ==C.若i 1z -=，则||z 的最大值为2D.若|i |||1z z -=+，则z z -为纯虚数10．已知,A B 分别为随机事件,A B 的对立事件，满足()()01,01P A P B <<<<，则下列叙述可以说明事件A ，B 为相互独立事件的是（）A.()()P B P B A =∣B.()()P B A P B A=∣∣C.()()()P A P B P A B += D.()()()P AB P AB P B A +=∣11．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 的图象关于点(2，0)对称，(0)(2)1g g ==，()()()()++-=g x y g x y g x f y ，则（）A.()f x 为偶函数B.()g x 为偶函数C.(1)(1)--=--+g x g x D.(1)(1)g x g x -=+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．一组数据为3，5，1，6，8，2，记这组数据的上四分位数为n，则二项式2nx ⎛- ⎝展开式的常数项为__________．13.已知ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，CD =是ACB ∠的角平分线,满足sin sin 1sin sin sin sin A b B B C b A c B +=++,若3CD =，ABC的面积为，则c 的值为__________．14.若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100（1）依据0.1α=的独立性检验，分析药物M对预防疾病A的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗．已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n a b c d=+++.α0.1000.0500.0100.001 xα2.7063.841 6.63510.82816．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，平面ABCD ⊥平面PAD ，点M 在DP 上，且2,,120DM MP AD AP PAD ==∠=︒．（1）求证：BD ⊥平面ACM ；（2）若60ADC ∠=︒，求平面ACM 与平面ABP 夹角的余弦值．17．已知函数()21e 2xf x ax x x =--.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若不等式2321()ln 2f x x x x x x ≤-+-在1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数a 的取值范围.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r ，使得1,n n n n a p S q r -==-恒成立；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且对任意正整数,2n n n T nb =恒成立．(1)求常数,,p q r 的值；(2)证明数列{}n b 为等差数列；(3)若22b =，记311221222222422n n n n n n n n n nn b n b n b n b n b P a a a a a ---+++++=+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数,n n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，直线l 与Γ相切，与圆O ：2223+=x y a 相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，||AB =.（1）求Γ的方程；（2）对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为,()d M N .（ⅰ）若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当PAB 的面积最大时，求,()d M N ；（ⅱ）若,()d M N ，(,)d N M 均存在，记两者中的较大者为(,)H M N .已知(,)H X Y ，(,)H Y Z ，(,)H X Z 均存在，证明：(,)(,)(,)≥+H X Z H Y Z H X Y .决胜2024年高考数学押题预测卷07数学（新高考九省联考题型）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试(新高考)数学试题及答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(三)

2019 年高考理科数学考前 30 天 --计算题专训（三）
17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 a3 7 ， S9 99 ．
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）若 bn
an 2n
(n
N ) ，求数列
bn 的前 n 项和 Tn ．
a1 2d 7
【解析】（1）由题意得：
m1
已知函数 f (x)
ln(mx) 1(m 1)有两个零点 x1 ， x2( x1 x2) ．
x2
（ 1）求实数 m 的取值范围；（ 2）证明： 1 1 1 ．
x1 x2 m
【解析】（1） f ( x) m 1 ln(mx) 1(m 1)， x2
∴ f ( x)
m 1 x 2m
x2 2x
2x2 ，
得
2
4 x0
2
4(2 x0
4)＞0
2＜ x0＜ 2 ，
AB
1 x0 2 x1 x2
4
1 x0 2 16 4 x02 4
4 x02 4 x02 ，
设 T 0,3 到 AB 的距离 d x02 4 ，
S△ ABT
1 AB d 1
2
2
4 x02 2 4 x02
1 2
1 2
(
x0
2
4) x02
4 (8
2
x02
①－②得：
1 2 Tn
31 2 2( 22
1 23
1 24
1 2n 1 2n ) 2n 1
5 2
2n 2n
5
1
，
2n 5
故 Tn 5
2n ．
18．（本小题满分 12 分）

2025届高考数学复习：压轴好题专项(指数型函数取对数问题)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(指数型函数取对数问题)练习1.已知函数()ln ,()f x x x a a =+∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当10ea <<时，证明：函数()f x 有两个零点； (3)若函数2()()g x f x ax x =--有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：3221e x x ⋅>．2.形如()()g x y f x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()g x y f x g x f x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()()()()ln ()()g x f x y f x g x f x g x f x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'.已知ln ()2x x f x e =，2()1g x x =+.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()()h x f x '=，求()h x 的单调区间；（3）求证：(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立.3.已知函数2ln ()e (0)=>xxf x x ．(1)求()f x 的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ．（i ）求k 的取值范围（ⅱ）证明2e e 2e 2211e--≤xx ． 4.已知()ln f x x x =-，()g x mx m =+.(1)记()()()F x f x g x =+，讨论()F x 的单调区间； (2)记()()G x f x m =+，若()G x 有两个零点a ，b ，且a b <. 请在①②中选择一个完成.①求证：112e m b b->+； ②求证：112em a a-<+ 5．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.6.已知函数()()0xf x axe a -=≠存在极大值1e.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，求实数m 的取值范围，并证明：122x x +>.7.已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值；（2）若()g x 有两不同的零点，求b 的取值范围；（3）若1b =，且()()1f x g x -≥恒成立，求a 的取值范围.8．已知函数l ()n f x ax x =，a R ∈．（1）当1a =时，①求()f x 的极值；②若对任意的x e ≥都有()mx m f x e x≥，0m >，求m 的最大值；（2）若函数2()()g x f x x =+有且只有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．9.已知函数2()ln f x x x ax x =--，()()f x g x x=，a ∈R ． (1)讨论()g x 的单调性；(2)设()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：4312e x x >．（ 2.71828e =…为自然对数的底数） 10.已知函数()ln e x a xf x a x=--（e 为自然对数的底数）有两个零点． (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 的两个零点分别为12,x x ，证明：12212e 0x xx x ---<．11．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 12.已知函数()2ln 2x tf x ex -=-+ （1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）当1t ≤时，证明：() 2.f x >参考答案1.已知函数()ln ,()f x x x a a =+∈R ． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当10ea <<时，证明：函数()f x 有两个零点； (3)若函数2()()g x f x ax x =--有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），证明：3221e x x ⋅>．【过程详解】 (1)()()ln 1,0f x x x '=+>，当10e x <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以函数()f x 的单调区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)证明：由（1）知()min 11e e f x f a ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，因为10e a <<，所以10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又当0x +→时，()0f x >，()e e 0f a =+>，所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在一个零点，在1,e e ⎫⎛ ⎪⎝⎭上存在一个零点，所以函数()f x 有两个零点；(3)证明：22()()ln ,(0)g x f x ax x x x ax x a x =--=---+>，则()ln 2g x x ax '=-，因为函数()g x 有两个不同的极值点12,x x （其中12x x <），所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，要证3221e x x ⋅>等价于证()3221ln ln e x x ⋅>，即证12ln 2ln 3x x +>，所以()1212123ln 2ln 2422x x ax ax a x x <+=+=+，因为120x x <<，所以12322a x x >+，又11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，作差得()1122ln x a x x x =-，所以1212ln x x a x x =-，所以原不等式等价于要证明1212122ln32x x x x x x >-+，即()12121232ln 2x x x x x x -<+，令()12,0,1x t t x =∈，则上不等式等价于要证：()()312ln ,0,12t t t t -<∈+，令()()()312ln ,0,12t h t t t t -=-∈+，则()()()()22229280,0,122t t h t t t t t t -+'=-=>∈++，所以函数()h t 在()0,1上递增，所以()()10h t h <=，所以()()312ln ,0,12t t t t -<∈+，所以3221e x x ⋅>．2.形如()()g x y f x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数过程详解式两边取对数得()ln ln ()()ln ()g x y f x g x f x ==，两边对x 求导数，得()()()ln ()()f x y g x f x g x y f x '''=+，于是()()()()()ln ()()g x f x y f x g x f x g x f x ⎡⎤⎢⎥⎣''=+⎦'.已知ln ()2x x f x e =，2()1g x x =+.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()()h x f x '=，求()h x 的单调区间；（3）求证：(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立.【过程详解】（1）由幂指函数导数公式得ln ()2(ln 1)x x f x e x '=+，所以(1)2f '=，又(1)2f =，所以，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =.（2）ln ()()2(ln 1),(0,)x x h x f x e x x '==+∈+∞，则()()ln ln ()2(ln 1)2(ln 1)x x x x h x e x e x '''=+++()ln ln 12(ln 1)(ln 1)2x x x xe x x e x⎡⎤=+++⋅⎣⎦ln 212(ln 1)0x x e x x ⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦，所以()h x 的单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间. （3）构造()()()F x f x g x =-，(0,)x ∈+∞，则ln ()()()2(ln 1)2x x F x f x g x e x x '''=-=+-，令ln ()()2(ln 1)2,(0,)x x H x F x e x x x '==+-∈+∞，所以ln 2(1)ln ()2(ln 1)1x xx x H x ex e -'⎡⎤=++-⎣⎦，因为1x -与ln x 同号，所以(1)ln 0x x -…，所以(1)ln 10x x e --≥，又ln 2(ln 1)0x x e x +…，所以()0H x '…，所以()H x 即()F x '为(0,)+∞上增函数，又因为(1)0F '=，所以，当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F ''<=；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F ''>=.所以，()F x 为(0,1)上减函数，为(1,)+∞上增函数，所以，min ()(1)0F x F ==，即()()()0F x f x g x =-…，因此，(0,),()()x f x g x ∀∈+∞…恒成立，即证.3.已知函数2ln ()e (0)=>xxf x x ．(1)求()f x 的极值点．(2)若有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ．（i ）求k 的取值范围（ⅱ）证明2e e 2e 2211e--≤xx ．【过程详解】 (1) 函数2ln ()e (0)=>xxf x x 的导函数为2ln ()e (2ln 1)xxf x x x '=+.当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减；当12e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以函数()f x 单调递增.所以12e x -=为()f x 的极值点.(2)因为有且仅有两个不相等的实数()1212,0x x x x <<满足()()12e ==kf x f x ，所以221122ln ln x x x x k ==.（i ）问题转化为2()ln m x x x k =-在(0,+∞)内有两个零点,则()()12ln m x x x '=+.当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0m x '<,()m x 单调递减；当12e ,x -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0m x '>,()m x 单调递增.若()m x 有两个零点,则必有12(e )0m -<,解得：12ek >-. 若k ≥0,当120e x -<<时,()22ln ln 0m x x x k x x =-≤< ,无法保证()m x 有两个零点；若102e k -<<,又1e 0k m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,12e 0m -⎛⎫ ⎪⎭<⎝，()10m k =->,故存在1121e ,e k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()10m x =,存在122(e ,1)x -∈使得()20m x =. 综上可知, 1(,0)2ek ∈-. （ⅱ）设21x t x =则t ∈(1,+∞).将21x t x =代入221122ln ln x x x x =,可得212ln ln 1t t x t=-，22ln ln 1t x t =-（*）. 欲证: 2e e2e2211e--≤x x ，需证2e2e 2e 21e ln ln x x--≤即证212e (e 2e)ln 2ln x x +-≤-，将（*）代入，则有222(e 2e)ln e 12t t t +-≤--，则只需要证明：2(e 2e)ln e(1)1x xx x +-≤->-，即()2e 1ln (1)e 2e x x x x -≥>+-.构造1()e 2ln ex x x x ϕ-=--+，则21ln 1()ln e x x x x x ϕ--'=-，232(1)(1)ln 1()(1)ln x x x x x x x xϕ-⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦''=>. 令2(1)()ln (1)1x x x x x ω-=->+，则22(1)()0(1)x x x x ω-'=-<+.所以()(1)0x ωω<=，则()0x ϕ''<，所以()x ϕ'在()1,+∞内单减.又(e)0ϕ'=，所以当(1,e)x ∈时，有()0x ϕ'>，()ϕx 单调递增；当(e,)x ∈+∞时，有()0x ϕ'<，()ϕx 单调递减；所以()(e)0x ϕϕ≤=，因此1e 2ln e x xx --≤-，即()2e 1ln (1)e 2ex x x x -≤>+-.综上所述，命题得证.4.已知()ln f x x x =-，()g x mx m =+.(1)记()()()F x f x g x =+，讨论()F x 的单调区间； (2)记()()G x f x m =+，若()G x 有两个零点a ，b ，且a b <. 请在①②中选择一个完成.①求证：112e m b b->+； ②求证：112em a a-<+ 【过程详解】 (1)函数的定义域为(0,)+∞，1()1F x m x'=+-，当1m ≥时，()0F x '>，()F x 在(0,)+∞单调递增；当1m <时，令()0F x '<，解得11x m >-，令()0F x '>，解得101x m<<-， ∴()F x 在10,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭单调递增，在1,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭单调递减；综上，当1m ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当1m <时，()f x 的单调递增区间为10,1m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，单调递减区间为1,1m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭(2)证明：因为()ln G x x x m =-+，令()0G x =，则ln m x x =-，设l (n )t x x x -=（0x >），则11()1x t x xx-'=-=，函数()t x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且0x →时，()→+∞t x ，当x →+∞时，()→+∞t x ，min ()(1)1t x t ==，∴1m >，又a b <，则01a b <<<, 若证①所证不等式，即112em b b->+，即证()221ln 21ln ln 1ln b m b b b++->=+-，又()0G b =，则ln m b b =-，故即证()2ln 2ln 1ln 1ln b b b b +-->+-，即证()2ln 21ln 1b b ->+-，设()2()ln 1h b b b =+-，1b >，则2222(1)()1011b b h b b b -'=-=-<++，∴()h b 在(1,)+∞上单调递减，∴()(1)ln 21h b h <=-，即112e m b b->+得证；若证②所证不等式，即112em a a -<+，即证21ln 21ln a m a++-<，即证()2ln 21ln 1ln m a a +-<+-，又()0G a =，即ln m a a =-，故即证()2ln 2ln 1ln 1ln a a a a +--<+-，即证()2ln 21ln 1a a -<+-，设()2()ln 1a a a ϕ=+-，01a <<，则2222(1)()1011a a a a a ϕ-=-=-+'<+，∴()a ϕ在(0,1)单调递减，故()()1ln 21a ϕϕ>=-，即112em a a-<+得证. 5．已知a ∈R ，()ax f x x e -=⋅，（其中e 为自然对数的底数）. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若0a >，函数()y f x a =-有两个零点x ，2x ，求证：22122x x e +>.【过程详解】（1）解：()(1)ax ax ax f x e ax e e ax ---'=-⋅=-∵a ∈R ，∴0a <时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒>，1()(1)0axf x e ax x a-'=-<⇒< ∴0a <时，增区间为：1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，减区间为：1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；0a =时，()(1)10ax f x e ax -'=-=>，∴0a =时，增区间为：(,)-∞+∞；0a >时，1()(1)0ax f x e ax x a -'=->⇒<，1()(1)0ax f x e ax x a-'=-<⇒>，∴0a >时，增区间为：1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，减区间为：1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）因为0a >时，函数()y f x a =-有两个零点1x ，2x ，则两个零点必为正实数，()0ax f x a xe a --=⇔=−−−−→两边取对数ln ln x ax a -=故问题转化为ln ln x ax a -=有两个正实数解；令()ln ln g x x ax a =--（0x >）则1()g x a x '=-（0x >），()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<令2()()G x g x g x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则1122()22021(2)G x a a a a x x ax x a a'=-+-=->-=--所以()G x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，1()0G x G a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭又21x a >，故()222g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭又()()12g x g x =，所以()122g x g x a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，又1210x x a <<<，所以1x ，2210,x a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以122x x a +>所以()21222122222x x x x e a++>>>． 6.已知函数()()0xf x axe a -=≠存在极大值1e.（1）求实数a 的值；（2）若函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，求实数m 的取值范围，并证明：122x x +>. 【过程详解】（1）()()xxf x a x R e =⋅∈， ()()'1xa x f x e-=，令()'01f x x =⇒=，()111a f a e e ==⇒=，此时()'1x x f x e -=，()f x 在(),1-∞上()'0f x >，()f x 递增；在()1,+∞上()'0f x <，()f x 递减，所以当1x =时，()f x 取得极大值为()11f e=符合题意，所以1a =. （2）由（1）知：()f x 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减，极大值为()11f e=. ()xxf x e =，()00f =，当0x <时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；当x →+∞时，()0f x →. 由于函数()()F x f x m =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，所以10m e<<.因为1x ，()212x x x ≠是()F x 的两个零点，则120,0x x >>.所以()()12F x F x =，1212x x x x e e=，22112211,x x x x x x e e e x x -==，两边取对数得2211ln x x x x -=，要证122x x +>，只需证明2122111ln 2x x xx x x -<+，即证21221111ln 21x x xxx x -<+，不妨设12x x <，令21x t x =，则()1,t ∈+∞，即证11ln 12t t t -<+对()1,t ∈+∞恒成立. 令()11ln 21t g t t t -=-+，()()()()2'2211202121t g t t t t t -=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上递增，所以()()10g t g >=，即11ln 021t t t -->+，所以11ln 12t t t -<+.从而122x x +>成立. 7.已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值；（2）若()g x 有两不同的零点，求b 的取值范围；（3）若1b =，且()()1f x g x -≥恒成立，求a 的取值范围.【过程详解】(1)依题意，设切点为00(,2)x x ，则02002()xx x e a =-，22()2x x f x e a x e '=-+⋅，于是得020(21)2x ex a +-=，则有00x =且1a =-，00x ≠时，022x e a =+，0(2)(21)2a x a ++=+无解，所以1a =-；(2)由()0g x =得ln x b x -=，令ln (),0xh x x x=>，则有21ln (),0xh x x e x -'=<<时()0,h x x e '>>时()0h x '<，()h x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减， max 1()()h x h e e==，又x e >时，()0h x >恒成立，于是得()g x 有两个不同的零点，等价于直线y b =-与函数ln (),0xh x x x=>图象有两个不同的公共点，即10b e<-<，10b e -<<，所以()g x 有两不同的零点，b 的取值范围是10b e -<<；(3)1,()ln ,0b g x x x x ==+>，221ln 0,()()1()1ln 1x x xx f x g x x e a x x a e x+∀>-≥⇔-≥++⇔+≤-，令21ln ()(0)xx x e x x ϕ+=->，22222ln 2ln ()2x xx x e x x e x x ϕ+'=+=，令22()2ln x F x x e x =+，221()(44)0xF x x x e x'=++>，即()F x 在(0,)+∞上递增，而21()ln 40,(1)204F F e =<=>，即(0,1)t ∃∈，使得()0F t =，0x t <<时()0,()0F x x ϕ'<<，x t >时，()0,()0F x x ϕ'>>，()ϕx 在(0,)t 上递减，在(,)t +∞上递增，从而有2min 1ln ()t tx e tϕ+=-，而()0F t =，即222ln 0t t e t +=，令22t t e p =，两边取对数得22ln ln t t p +=，则2ln 022ln ln p t t t p +==+-，即有2ln 2ln p p t t +=+，显然函数2ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增，从而得p t =，于是得2221ln 2ln 2t tt t e t e t t t t=⇔=−−−−→=-⇔=-两边取对数， 2min 1ln 11ln ()2t t t x e t t t tϕ+=-=--=，所以12a +≤，1a ≤.8．已知函数l ()n f x ax x =，a R ∈．（1）当1a =时，①求()f x 的极值；②若对任意的x e ≥都有()mx m f x e x≥，0m >，求m 的最大值；（2）若函数2()()g x f x x =+有且只有两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．【过程详解】（1）①1a =时，()ln f x x x =，则()ln 1(0)f x x x '=+>，令()0f x '>，解得：1x e >，令()0f x '<，解得：10x e<<，∴()f x 在1(0,e 递减，在1(e ,)+∞递增，故()f x 的极小值是11(f e e=-，没有极大值； ②对任意x e ≥都有n (l )mm m x x x m f x e e e x≥=，即()()m x f x f e ≥恒成立，由0m >，有0mx>，故1m x e >，由①知，()f x 在1(e,)+∞单调递增，故mx x e ≥，可得ln mx x≥，即ln x x m ≥，当x e ≥时，()f x 的最小值是()f e e =，故m 的最大值是e ；（2）证明：要证212x x e >，只需证明12ln()2x x >即可，由题意，1x 、2x 是方程2ln 0ax x x +=的两个不相等的实数根，又1x >，∴1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，消去a ，整理得：121121221ln()ln 1x x xx x x x x +=⋅-，不妨设12x x >，令12x t x =，则1t >，故只需证明当1t >时，1ln 21t t t +⋅>-，即证明2(1)ln 1t t t ->+，设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22211(1)(1)()20(1)(1)t t t h t t t t t +---'=-⋅=>++，∴()h t 在(1,)+∞单调递增，从而()(1)0h t h >=，故2(1)ln 1t t t ->+，即212x x e >得证． 9.已知函数2()ln f x x x ax x =--，()()f x g x x=，a ∈R ． (1)讨论()g x 的单调性；(2)设()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：4312e x x >．（ 2.71828e =…为自然对数的底数）【过程详解】 (1)()()ln 1f x g x x ax x==--，1()g x a x '=-， ①当0a ≤时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=解得1x a =，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增； 1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()f x 单调递减．综上，当0a ≤时，()g x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，(2)由题意知，()ln 2f x x ax '=-，1x ，2x 是()'f x 的两根，即11ln 20x ax -=，22ln 20x ax -=，解得1212ln ln 2(*)x x a x x -=-，要证4312e x x >，即证124ln ln 3x x +>，即124223ax ax ⋅+>，把（*）式代入得()()12121212ln ln 43x x x x x x x x -+><-，所以应证()1122112122313ln441x x x xx x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++，令12x t x =，01t <<，即证3(1)()ln 0(01)41t h t t t t -=-<<<+成立，而222221151671()0(41)(41)7151632)4(461t t h t t t t t t t t ⎛-+'=-==>+++⎭+⎫- ⎪⎝，所以()h t 在(0,1)上单调递增，所以()(1)0h t h <=，所以命题得证．10.已知函数()ln e x a xf x a x=--（e 为自然对数的底数）有两个零点． (1)若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；(2)若()f x 的两个零点分别为12,x x ，证明：12212e 0x xx x ---<．【过程详解】(1)当1a =时，()ln e 1xxf x x =--，()21ln e x x f x x -'=-，又()1e 1f =-，所以切点坐标为()1,e 1-，切线的斜率为()1e 1k f '==-．所以切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 1y x =-(2)由已知得()()e ln 0x x a x xf x x-+==有两个不等的正实跟．所以方程()e ln 0xx a x x -+=有两个不等的正实根，即()e ln e 0x x x a x -=有两个不等的正实根，()ln e e x x a x x =①要证12212e ex x x x +>，只需证()()12212e e e x x x x ⋅>，即证()()1212ln e ln e 2x xx x +>，令111e x t x =，222e xt x =，所以只需证12ln ln 2t t +>，由①得11ln a t t =，22ln a t t =，所以()2121ln ln a t t t t -=-，()2121ln ln a t t t t +=+，消去a 得()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--，只需证2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-，设120t t <<，令21t t t =，则1t >，则()1ln 21t t t +>-，即证4ln 201t t +->+ 构建()4ln 201h t t t =+->+则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=，即当1t >时，4ln 201t t +->+成立，所以12ln ln 2t t +>，即()()12212e e ex x x x ⋅>，即12212e e x x x x +>，所以12212e0x x x x ---<，证毕．11．已知函数()()ln h x x a x a =-∈R . (1)若()h x 有两个零点，a 的取值范围；(2)若方程()e ln 0xx a x x -+=有两个实根1x 、2x ，且12x x ≠，证明：12212e ex x x x +>. 【过程详解】 (1)函数()h x 的定义域为()0,∞+.当0a =时，函数()h x x =无零点，不合乎题意，所以，0a ≠，由()ln 0h x x a x =-=可得1ln x a x=，构造函数()ln x f x x=，其中0x >，所以，直线1y a =与函数()f x 的图象有两个交点，()21ln xf x-'=，由()0f x '=可得e x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()1e ef =，如下图所示：且当1x >时，()ln 0xf x x=>，由图可知，当110ea <<时，即当e a >时，直线1y a =与函数()f x 的图象有两个交点，故实数a 的取值范围是()e,+∞.(2)证明：因为()e ln 0xx a x x -+=，则()e ln e 0x x x a x -=，令e 0x t x =>，其中0x >，则有ln 0t a t -=，()1e 0x t x '=+>，所以，函数e x t x =在()0,∞+上单调递增，因为方程()e ln 0x x a x x -+=有两个实根1x 、2x ，令111e x t x =，222e xt x =，则关于t 的方程ln 0t a t -=也有两个实根1t 、2t ，且12t t ≠，要证12212e ex x x x +>，即证1221e e e x x x x ⋅>，即证212e t t >，即证12ln ln 2t t +>，由已知1122ln ln t a t t a t =⎧⎨=⎩，所以，()()12121212ln ln ln ln t t a t t t t a t t ⎧-=-⎪⎨+=+⎪⎩，整理可得12121212ln ln ln ln t t t t t t t t ++=--，不妨设120t t >>，即证12112122ln ln ln 2t t t t t t t t ++=>-，即证()1122112122212ln 1t t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令121t s t =>，即证()21ln 1s s s ->+，其中1s >，构造函数()()21ln 1s g s s s -=-+，其中1s >，()()()()222114011s g s s s s s -'=-=>++，所以，函数()g s 在()1,+∞上单调递增，当1s >时，()()10g s g >=，故原不等式成立.12.已知函数()2ln 2x tf x ex -=-+ （1）若1x =是()f x 的极值点，求t 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）当1t ≤时，证明：() 2.f x >【过程详解】（1）函数()f x 的定义域(0,)+∞，因为21()x tf x e x-'=-，1x =是()f x 的极值点，所以f '（1）1210t e -=-=，所以12t =，所以11()x f x e x-'=-，因为1x y e -=和1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增，所以当1x >时，()0f x '>；01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.（2）当1t ≤时，()22ln 2ln 2x tx f x ex e x --=-+≥-+，设2()ln +2x g x e x -=-，则21()x g x ex-'=-，因为2x y e -=和1y x=-在(0,)+∞上单调递增，所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，因为()1110e g =-<'，()11210,22g =-=>'所以存在0(1,2)x ∈使得0()0g x '=，所以当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，所以()g x 在0(0,)x 单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()0g x g x ≥，因为0()0g x '=，即021x e x -=，两边取对数得00ln 2x x =-，所以0200001()l +2n x g x ex x x -=-=+，因为0(1,2)x ∈，所以0001()2g x x x =+>，所以()2f x >.。

2025届高考数学复习：历年(基本不等式)好题基础与提升练习(附答案)

且该棱台的体积为 63,则该棱台上底面 A1B1C1D1 的周长的最小值是(
A.15
B.14
C.13
D.12
7.(多选题)(2024ꞏ海南海口模拟)已知 a>0,b>0,且 a+2b=2,则(
A.ab 的最大值为
1
)
)
4
B.a+ 的最小值为 4
2

C.a2+4b2 的最小值为 2
2
1

D.
的最大值为 4
√ꞏ2
2,得
,所以
2 √ꞏ2 ,所以
2,所以 xy≤4,当且仅当√=2 即 x=4,y=1 时,等号成立,所以 xy
的最大值是 4.
9.2√2
过程详解因为 ab=a-b+3,解得 b=
=1+
,则 a+b=a+1+
2√2,当且仅当
a=√2-1,b=√2+1 时,等号成立,故 a+b 的最小值为 2√2.
10.9
过程详解 (
√
√
)(√+4 )=5+
√
√
√
√
√
5+2√4=9,当且仅当
√
√
√
,即
x=4y>0 时,等号成立,
所以(
√
√
)(√+4 )的最小值为 9.
11.C 过程详解设斜边 c=2√2,直角边为 a,b,则 a2+b2=8,因为 2ab≤a2+b2,所以
a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当 a=b=2 时,等号成立,此时 a+b 取最大值,则

高考数学试卷及预测题答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，奇函数是（）A. $y = x^2$B. $y = \sin x$C. $y = e^x$D. $y = \sqrt{x}$2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前$n$项和为$S_n$，且$a_1 + a_5 = 10$，$S_5 = 30$，则$a_3$的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 已知圆的方程$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$，则圆心坐标为（）A. (2, 3)B. (2, -3)C. (-2, 3)D. (-2, -3)4. 函数$f(x) = x^3 - 3x$在区间$[0, 2]$上的极值点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 05. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\cos A =\frac{1}{3}$，$\sin B = \frac{2\sqrt{2}}{3}$，则$\sin C$的值为（）A. $\frac{\sqrt{7}}{3}$B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$C. $\frac{\sqrt{14}}{3}$D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$6. 下列不等式中，正确的是（）A. $x^2 + 1 > 0$对所有实数$x$成立B. $\ln x > 0$对所有实数$x > 0$成立C. $e^x > 1$对所有实数$x$成立D. $\log_2 x > 0$对所有实数$x > 0$成立7. 已知复数$z = a + bi$（$a, b$为实数），若$|z - 1| = |z + 1|$，则$a$的值为（）A. 0B. 1C. -1D. $\pm 1$8. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$的值域为（）A. $[0, +\infty)$B. $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$C. $(-\infty, 0) \cup [0, +\infty)$D. $(-\infty, +\infty)$9. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3^n - 2^n$，则数列的前$n$项和$S_n$的表达式为（）A. $S_n = 3^n - 2^n$B. $S_n = 3^n - 2^{n+1}$C. $S_n = 3^n - 2^n + 1$D. $S_n = 3^n - 2^{n+1} + 1$10. 在平面直角坐标系中，抛物线$y^2 = 2px$（$p > 0$）的焦点坐标为（）A. $(0, p)$B. $(p, 0)$C. $(0, -p)$D. $(-p, 0)$二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数$f(x) = \sin x + \cos x$，则$f'(0) = \_\_\_\_\_\_\_。

2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(一)解析

绝密★启用前2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（一）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U ，UA B ⋂≠∅，则下列关系正确的是（）A ．AB ⊆ B ．UA B ⊆C ．AB =∅ D ．UB A U ⋃≠答案：D由题意得如图所示的Venn 图，即可判断.解：由题意得如图所示的Venn 图，可知A B ⊆，UA B ⊆，A B =∅均不成立，UB A U ⋃≠成立.故选：D ．思路点睛：针对抽象集合的问题，往往从集合的图示法入手，具有直观性，方便判断集合间的关系． 2．若1i012iz ++=-（i 为虚数单位），则z 的模为（） A ．15B ．35C ．25D ．105答案：D根据复数除法的运算法则求解出z ，结合复数模长的计算公式求解出z .解：()()()()1i 12i 1i 13i 13i 12i 12i 12i 555z +++-+=-=-=-=---+所以z ==故选：D ．3．高压10kV 输电线路电压损失估算口诀：架空铝线十千伏，电压损失百分数；输距电流积六折，再被导线截面除；输距千米电流安，截面毫方记清楚．其意义为“对于高压10kV 的架空铝线，若输电线路的输距为x km ，电流为y A ，导线截面为z 2mm ，则电压损失百分数0.6%%xyU z=．”据此可知，对于一条长度为10km ，高压为10kV 的输电线路，若当导线截面为502mm ，电流为30A 时的电压损失百分数为1%U ，当导线截面为402mm ，电流为35A 时的电压损失百分数为2%U ，则12U U =（） A ．4021B ．3524 C ．2435D ．2140答案：C根据高压输电线路电压损失估算口诀公式，直接代入数据，计算结果.解：本题考查高压输电线路电压损失估算口诀的应用，由题知，10.6103018%%%505U ⨯⨯==，20.6103521%%%404U ⨯⨯==，所以121824521354U U ==．故选：C ．4．教育改革的核心是课程改革，新课程改革的核心理念就是教育以人为本，即一切为了每一位学生的发展．为满足新课程的三维目标要求，某校开设A 类选修课4门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有（） A ．24种 B ．48种 C ．32种 D ．64种答案：B由题意分两种情况，利用分类加法计数原理即可求解.解：分两种情况：第一种，选择1门A 类选修课和2门B 类选修课，有1244C C 24=种选法；第二种，选择2门A 选修课和1门B 类选修课，有2144C C 24=种选法，故共有48种选法．故选：B5．已知首项为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若360a a ，则20202021S S +=（）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C根据已知条件先求解出等比数列的公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出20202021S S +的结果.解：设等比数列{}n a 的公比为q ()0q ≠．因为12a =，360a a ，所以()23210q q +=，解得1q =-，所以()()202020212020202121121121111SS ⎡⎤⎡⎤⨯--⨯--⎣⎦⎣⎦+=+=++．故选：C ．关键点点睛：解答本题的关键是根据等比数列的通项公式将已知条件改写为首项和公比的形式，由此确定出等比数列公比从而完成前n 项和的计算.6．在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，AP AB ⊥，D 是BC 的中点．若45APB ∠=︒，60APC ∠=︒，则直线PD 与平面ABC 所成角的正弦值为（）A BC D 答案：C根据线面角的定义找到直线PD 与平面ABC 所成角的平面角，法一：应用几何法，根据线面垂直的性质、勾股定理求对应边，在直角三角形中求线面角的正弦值；法二：应用向量法，构建空间直角坐标系，并确定线面角两边所在直线的方向向量坐标，进而求其余弦值，由同角三角函数关系求正弦值.解：在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ，AP ⊂面PAB ， ∴BC AP ⊥，又AP AB ⊥，AB BC B ⋂=，∴PA ⊥平面ABC ，即PDA ∠即直线PD 与平面ABC 所成角．法一：设PA a =，由45APB ∠=︒，60APC ∠=︒，得AB PA a ==， ∴3AC a =，2232BC a a a =-=．又D 是BC 的中点，则22a BD =， ∴在Rt ABD △中，22162AD a a a =+=．又易知PA AD ⊥，在Rt PAD 中，2261022PD a a a ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴10sin 5AP PDA PD ∠==.法二：过点A 在平面ABC 内作//Ax BC ．易知直线AP ，AB ，Ax 两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．不妨设1PA =，则1AB =，3AC =2BC =22BD =，有()0,0,0A ，()0,0,1P ，2D ⎫⎪⎪⎝⎭， ∴2,1,02DA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，21,12DP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，则3152cos ,53522DA DP DA DP DA DP⋅===⨯， ∴10sin ,5DA DP =.故选：C ．关键点点睛：根据定义找到线面角的平面角，几何法：线面垂直的性质、勾股定理求边，在直角三角形中求其正弦值；向量法：构建空间直角坐标系，确定线面角两边的方向向量坐标并求余弦值，写出其正弦值.7．已知A ，B 是抛物线28y x =上两点，当线段AB 的中点到y 轴的距离为3时，AB的最大值为（） A ．5 B ．52C ．10 D ．2答案：C如图，画出点,,A B M 到准线的距离，利用抛物线的定义可知2AB AF BF AC BD MN ≤+=+=，求AB 的最大值.解：设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，线段AB 的中点为M ．如图，分别过点A ，B ，M 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D ，N ，连接AF ，BF ．因为线段AB的中点到y 轴的距离为3，抛物线28y x =的准线l ：2x =-，所以5MN =．因为210AB AF BF AC BD MN ≤+=+==，当且仅当A ，B ，F 三点共线时取等号，所以max 10AB =．故选：C ．关键点点睛：本题的关键是理解抛物线的定义，并能应用三点共线解决最值问题. 8．在边长为3的正方形ABCD 中，以点A 为圆心作单位圆，分别交AB ，AD 于E ，F 两点，点P 是EF 上一点，则PB PD ⋅的取值范围为（） A ．132,2⎡⎤--⎣⎦ B ．21,⎡-⎢⎣⎦C ．2,12⎡-⎣D ．132,12⎡-⎣答案：A建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθπ02θ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，利用向量数量积的坐标运算即可求解.解：根据题意画出图形，并建立平面直角坐标系，如图：由题意可知()0,0A ，()3,0B ，()3,3C ，()0,3D ．设点()cos ,sin P θθπ02θ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，则()()3cos ,sin cos ,3sin PB PD θθθθ⋅=--⋅--()()cos 3cos sin 3sin 13sin 3cos θθθθθθ=-⋅---=--π1324θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．又π02θ≤≤，则ππ3π444θ≤+≤，2πsin 14θ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π13213224θ⎛⎫-≤-+≤- ⎪⎝⎭，即PB PD ⋅的取值范围为132,2⎡⎤--⎣⎦，故选：A ．二、多选题9．已知圆锥曲线C ：2214x y b-=，若三个数1，2b ，7成等差数列，则C 的离心率为（） A ．12B ．62C ．22D 2答案：BC首先求得2b =±，根据b 的不同值，分椭圆和双曲线，求离心率.解：由三个数1，2b ，7成等差数列，得228b =，解得2b =±．若2b =-，则圆锥曲线C ：2214x y b -=即为椭圆C ：22142x y +=，22142-=；若2b =，则圆锥曲线C ：2214x y b-=即为双曲线C ：22142x y -=，2614+=. 故选：BC ．易错点睛：本题容易因忽略b 的正负性或误将2b 的值当作是b 的值而致错． 10．已知函数()()sin f x x ωϕ=-π0,02ωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x 的导函数()f x '的说法正确的是（）A ．()f x '的最小正周期为2π3B ．()f x '的图像关于直线4π9x =对称 C ．()f x '的图像关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 D ．()f x '在π4π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减答案：ABD先根据函数图像求解出()f x 的最小正周期，然后求解出ω的值，再根据09f π⎛⎫=⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，则()f x '的可求，然后逐项判断()f x '的周期、对称轴、对称中心、单调递减区间.解：由函数()()sin f x x ωϕ=-π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭的部分图像知，函数()f x 的最小正周期4ππ2π2993T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以2π3T ω==．由五点作图法知，π309ϕ⨯-=，解得π3ϕ=，所以函数()πsin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()π3cos 33f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭．A ．()f x '的最小正周期为2π3，故A 正确； B ．令π3π3x k -=，Z k ∈，得π1π93x k =+，Z k ∈，则直线4π9x =是()f x '图像的一条对称轴，故B 正确； C ．因为直线π9x =是()f x '图像的一条对称轴，所以()f x '的图像不关于点π,09⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故C 错误； D ．令π2π32ππ3k x k ≤-≤+，Z k ∈，得π24π2ππ9393k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x '在π4π,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确，故选：ABD ．方法点睛：已知函数()()cos g x x ωϕ=+()0ω>，若求函数()g x 的单调递增区间，则令π2π2π2πk x k ωϕ+<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 的单调递减区间，则令2ππ2πk x k ωϕ<+<+，Z k ∈；若求函数()g x 图像的对称轴或极值点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈；若求函数()g x 图像的对称中心或零点，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈． 11．（多选）已知0a >，0b >，221a b ab +-=，则下列不等式恒成立的是（） A ．112a b+≥ B ．2a b +≥ C ．222a b +≥ D ．332a b +≤答案：AD利用基本不等式222a b ab +≥，可得1ab ≤，又11a b +≥A 正确；利用基本不等式()24a b ab +≤，化简221a b ab +-=得()213a b ab +-=解得()24a b +≤，可判断B 错误；利用基本不等式222a b ab +≤，得222212a b ab a b ≤=++-解得222a b +≤，可判断C 错误；利用3322()()a b a b a ab b a b +=+-+=+，由B 选项结果可判断D 正确；解：对于A ，由0a >，0b >，利用基本不等式222a b ab +≥，可得12ab ab +≥，解得1ab ≤，又11a b +1a b ==时，等号成立），而1ab ≤，2≥，所以112a b+≥，故A 正确；对于B ，由0a >，0b >，利用基本不等式()24a b ab +≤，化简221a b ab +-=得()()223134a b a b ab ++-=≤（当且仅当1a b ==时，等号成立），解得()24a b +≤，即2a b +≤，故B 错误；对于C ，由0a >，0b >，利用基本不等式222a b ab +≤化简221a b ab +-=得222212a b ab a b ≤=++-（当且仅当1a b ==时，等号成立），解得222a b +≤，故C 错误；对于D ，3322()()a b a b a ab b +=+-+，又221a b ab +-=，即33a b a b +=+，由B 选项知2a b +≤，所以332a b +≤，故D 正确；故选：AD易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．已知函数()axf x e =（e 是自然对数的底数），()2g x x =的图像在(]0,16上有两个交点，则实数a 的值可能是（） A ．12B ．ln 22C ．ln 24D ．2e答案：AB由函数()axf x e =，()2g x x =的图像在(]0,16上有两个交点，转化为方程1ln 2xa x=在(]0,16上有两个不等实根，设()ln xh x x=，(]0,16x ∈，利用导数求得函数的单调性，画出函数的图象，结合图象和选项，即可求解.解：由函数()axf x e =，()2g x x =的图像在(]0,16上有两个交点可转化为方程2ax e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，即方程2ln ax x =在(]0,16上有两个不等实根，即方程1ln 2x a x =在(]0,16上有两个不等实根．设()ln x h x x =，(]0,16x ∈，则()21ln xh x x -'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当16e x <≤时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()1h x h e e≤=，又由()ln 2164h =，且当0x +→时，()h x →-∞，故可由此作出()h x 的大致图像，如图所示，则由图像可知ln 21142a e≤<，解得ln 222a e≤<，结合选项可知A ，B 符合题意. 故选：AB.函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 三、填空题13．某学生投篮三次，且每次投篮是否命中是相互独立的，每次投篮命中的概率都是23，则该学生只有第三次投篮没投中的概率为______．答案：427利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解.解：由题知，该学生投篮三次，第一次和第二次都投中，第三次没投中的概率222413327P ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：42714．写出一个在[]2,3上单调递增的周期函数______．答案：()πcos2f x x =（答案不唯一）设()cos f x x ω=，根据函数()f x 在[]2,3上单调递增，求得ω，即可确定一个函数的解析式，得到答案.解：因为函数()f x 是周期函数，不妨设()cos f x x ω=，又因为函数()f x 在[]2,3上单调递增，所以2π232k k ωπωπ≥-+⎧⎨≤⎩，Z k ∈，解得π2ππ,Z 23k k k ω-+≤≤∈，故可取π2=ω，此时()πcos 2f x x =．故答案为：()πcos2f x x =. 15．已知圆M ：2225x y +=，点()6,8C -，OC 与圆M 交于点D ，以D 为圆心，OD 长为半径作圆D ，交圆M 于A ，B 两点，连接AB ，AC ，且AB 交OC 于点E ，则AC 的长为______．答案：53连接AD ，分别求得5CD =，52OE DE ==，152CE =，在Rt ADE △和Rt ACE中，利用勾股定理，即可求解.解：如图所示，连接AD ，因为5OD =，10OC =，所以5CD =，所以5AD OD CD ===，所以52OE DE ==，所以152CE OC OE =-=，在Rt ADE △中，2222553522AE AD DE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, 在Rt ACE 中，222253155322AC AE CE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：53.16．设正四面体的内切球半径为r ，外接球半径为R ，则rR=______．答案：13在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，不妨设正四面体PABC 的棱长为a ，利用勾股定理求出外接球半径，进而得出内切球半径，可得答案．解：如图，在正四面体PABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，连接AD ，BE 交于点F ，则点F 为正三角形ABC 的外心，连接PF ，则PF ⊥底面ABC ，且正四面体PABC 的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF 上，记作点O ，如图所示．不妨设正四面体PABC的棱长为a ，则在ABC 中，22233sin 60333AF AD AC ==⋅⋅︒==． ∵PF ⊥底面ABC ，AF ⊂底面ABC ，∴PF AF ⊥，∴22223633PF AP AF a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．∵正四面体PABC 的外接球、内切球球心均为O ， ∴OP OA R ==，OF r =．∵OF PF OP =-，且在Rt AFO 中有222AF OF OA +=．∴22236R R ⎫⎫+-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴6R =，666r ==，∴13r R ==．故答案为：13四、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知()3,m a c b =-，()cos ,cos n B C =-，且m n ⊥.（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC的面积为4ABC 的周长. 答案：（1）3（23 （1）根据题意，利用向量垂直即两向量数量积等于零，利用正弦定理转化等式，进一步求得1cos 3B =，利用平方关系求得sin B =，得到结果；（2）利用余弦定理和面积公式得到三角形的边所满足的条件，求得1a c +=，进而得到其周长.解：（1）∵m n ⊥，∴(3)cos cos 0m c b n a B C ⋅=--=，由正弦定理可得(3sin sin )cos sin cos 0A C B B C --=，即3sin cos sin cos sin cos 3sin cos sin()0A B C B B C A B B C --=-+=. ∵sin()sin B C A +=，∴3sin cos sin 0A B A -=. ∵sin 0A ≠，∴1cos 3B =. ∵()0,B π∈，∴sin B ==. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， ∴22243a c ac =+-，即284()3a c ac =+-. ∵ABC∴11sin 2234ac B ac =⨯=4ac =，∴228()441)3a c ac +=+=+=，∴1a c +=. 故ABC3.该题考查的是有关向量与解三角形的综合题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，正弦定理，三角形中的恒等变换，利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.18．已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,2n S S =，()()1122n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b n =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）2n a n =；（2）()1314499n nn T +-⋅=+．（1）由题设条件化简得()()1120n n n n a a a a ++--+=，得到12n n a a +-=，结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，224n nn b n n =⋅=⋅，利用“乘公比错位相减法”，即可求解.解：（1）因为在正项数列{}n a 中，()()1122n n n n a a a a ++-=+，可得()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又因为10n n a a ++>，所以12n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为2的等差数列．又112a S ==，所以()2212n a n n =+-=．（2）由（1）知，224n nn b n n =⋅=⋅，所以231424344nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，所以()23414142434144nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()2311141414344444441433n n n n n n T n n n +++-⎛⎫-=+++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅- ⎪-⎝⎭，所以()1314499n nn T +-⋅=+．错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号； ③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.19．随着手机游戏的发展，在给社会带来经济利益的同时，也使许多人深陷其中，从而产生一些负面的影响．A ，B 两所学校为了解学生每天玩游戏的时间，各自抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示： A 学校B 学校（1）以样本估计总体，计算A 学校学生日游戏时间的平均数以及B 学校学生日游戏时间的中位数．（2）为了调查家长对孩子玩游戏的态度，学校相关领导随机抽取了200名男性家长和200名女性家长进行调查，并将所得结果统计如表所示，判断是否有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）A 学校学生日游戏时间的平均数为64.7()min ；B 学校学生日游戏时间的中位数为74()min ；（2）没有．（1）根据频率分布表，利用平均数公式求解；由中位数的定义求解；（2）根据22⨯列联表中的数据，利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.解：（1）A 学校学生日游戏时间的平均数为3.50.1450.14550.16650.2750.18850.13950.0964.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()min ．B 学校学生日游戏时间的中位数为5037102070107425----+⨯=()min ．（2）由已知可得22⨯列联表：则()2240013639161648.17210.828200200297103K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99.9%的把握认为家长对孩子玩游戏的态度与家长性别有关．20．如图，在四棱锥A BCDE -中，AB ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，112AB BC BE ===，点F ，P 分别为AD ，AC 的中点，连接EF ，EP ，FP ．（1）求证：EF AC ⊥；（2）求二面角A EF P --的正弦值．答案：（1）证明见解析；（215．（1）由线面垂直的性质，可得BE AC ⊥，再由等腰直角三角形可得BP AC ⊥，所以AC ⊥平面BPFE ，即可证明EF AC ⊥.（2）以B 为坐标原点，BA ，BC ，BE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -,平面PEF 的一个法向量为()1,1,0AC =-．平面AEF 的法向量为()2,0,1n =,即可求出结果.解：（1）连接BP ，因为四边形BCDE 为矩形，所以BE BC ⊥．因为AB ⊥平面BCDE ，所以AB BE ⊥．因为AB BC B ⋂=，所以BE ⊥平面ABC ，所以BE AC ⊥．因为AB BC =，P 是AC 的中点，所以BP AC ⊥．因为点F ，P 分别为AD ，AC 的中点，所以//FP DC ，所以//FP BE ，所以B ，P ，F ，E 四点共面．因为BE BP B ⋂=，所以AC ⊥平面BPFE ．因为EF ⊂平面BPFE ，所以EF AC ⊥．（2）由（1）知AB ，BC ，BE 两两垂直且交于点B ，如图，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2E ，11,,122F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以11,,122EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,0,2EA =-，()1,1,0AC =-．由（1）知平面PEF 的一个法向量为()1,1,0AC =-．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n EF n EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即110,2220,x yz x z ⎧+-=⎪⎨⎪-=⎩ 令2x =，得0y =，1z =，则()2,0,1n =．所以10cos ,552n AC n AC n AC⋅===-⨯．所以二面角A EF P --的正弦值为2101515⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 与椭圆C 相切于点M ，与抛物线216y x =-的准线相交于点N ，若点P 为平面内一点，且PM PN ⊥，求点P 的坐标．答案：（1）22143x y +=；（2）()1,0．（1）根据椭圆的方程及性质求得椭圆C 的方程；（2）设直线方程并与椭圆联解，求出M 的坐标，以及求出直线与抛物线的准线交点坐标，设点(),P s t ，根据PM PN ⊥求出点P 的坐标．解：本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、抛物线的性质的综合应用．（1）由题得2222222,191,4,c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩解得2,1,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）根据题意可知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()2223484120kxkmx m +++-=．由()()2222644344120k m k m∆=-+-=，得2234m k =+，所以24434M km k x k m -==-+，23334M m y k m ==+，即43,k M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为抛物线216y x =-的准线方程为4x =，所以当4x =时，4N y k m =+，所以()4,4N k m +．设点(),P s t ，因为PM PN ⊥，所以0PM PN ⋅=，所以()43,4,40ks t s k m t mm ⎛⎫---⋅-+-= ⎪⎝⎭，即()()()()2143430s ms k m t m km tm -+--+-+=*，当10,0,s t -=⎧⎨=⎩即1s =，0t =时，方程（）恒成立，所以点P 的坐标为()1,0．椭圆中的基本量满足222a c b -=，应避免与双曲线中基本量的关系混淆，此条件是隐含条件，也是解题的关键22．已知函数()ln e 1xf x x x ax =-++．（1）若函数()()e xF x f x x =+，判断()F x 的单调性（用实数a 表示）；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（1）答案不唯一，具体见解析；（2）(],1-∞．（1）由题知()ln 1F x x ax =++，求出()F x '，观察()F x '的特征，以0为分界点，讨论a 的取值范围，判断()F x '的正负，从而可判断函数()F x 的单调性；（2）对已知不等式进行等价转换，并分离参数a 得ln 1e xx a x x≤--在()0,∞+上恒成立，故构造关于x 的新函数()ln 1e xx g x x x=--，利用导数研究新函数的单调性，结合零点存在性定理，求出新函数的最值，再根据不等式的性质求解解：解（1）由题得()ln 1F x x ax =++，则()1F x a x'=+()0x >． ①当0a ≥时，()0F x '>，此时()F x 是增函数； ②当0a <时，由()0F x '=，得10x a=->，所以当10x a<<-时，()0F x '>，此时()F x 单调递增；当1x a>-时，()0F x '<，此时()F x 单调递减．综上，当0a ≥时，()F x 在()0,∞+上单调递增；当0a <时，()F x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）若()0f x ≤恒成立，即ln e 10x x x ax -++≤在()0,∞+上恒成立，则ln 1e x x a x x≤--在()0,∞+上恒成立．令()ln 1xx g x e x x =--，则()222ln ln x xx x e x g x e x x +'=+=．令()2ln xh x x e x =+，则()2120x xh x xe x e x'=++>，所以()h x 在()0,∞+上是增函数．而()10h e =>，12110ee h e e⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即0020e n 0l xx x +=，所以01ln 0000001111ln ln ln x x x e x e x x x x ⎛⎫=-==⋅ ⎪⎝⎭．令()e xx x λ=，则()()1e 0xx x λ'=+>在()0,∞+上恒成立，所以()x λ在()0,∞+上是增函数，所以001lnx x =．当()00,x x ∈时，()0h x <，则()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，则()0g x '>，故()g x 在()0,x +∞上单调递增，所以()()001ln 000min0000ln 111x x x x g x g x e e x x x x -==--=--=．所以1a ≤，即实数a 的取值范围是(],1-∞．本题考查函数与导数的综合、不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于根据题意分离常数法得ln 1e x x a x x ≤--在()0,∞+上恒成立，进而构造函数()ln 1e x x g x x x=--研究函数的最小值即可.。

2024年高考数学(新高考卷)(全解全析)

2024年高考押题预测卷【新高考卷】数学·全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

12345678BDBCABCD1.定义差集{M N x x M -=∈且}x N ∉，已知集合{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，则()A A B -= （）A.∅B.{}2 C.{}8 D.{}3,51．【答案】B 【解析】因为{}2,3,5A =，{}3,5,8B =，所以{}3,5A B = ，所以(){}2A A B -= ．故选：B2.已知函数()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π，下列结论中正确的是（）A.函数()f x 的图象关于π6x =对称B.函数()f x 的对称中心是()ππ,0122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C.函数()f x 在区间5π,1212π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()f x 的图象可以由()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度得到2.【答案】D【解析】A 选项，()21cos23sin2sin cos 22x xf x x x x ωωωωω-=+=+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为2ππ2ω=，解得1ω=，所以()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，πππ1sin 2sin 6362x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；B 选项，令π2π,6x k k -=∈Z ，即ππ,122k x k =+∈Z ，函数()f x 的对称中心是()ππ1,1222k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，故B 错误；C 选项，π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π20,63u x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，显然()1sin 2f x u =+在其上不单调，故C 错误；D 选项，()1cos22g x x =+的图象向右平移π3个单位长度，得到()π2π1π1cos 2sin 233262g x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：D ．3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（）A.18B.36C.54D.723.【答案】B【解析】若五位同学最终选择为3,1,1，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有1333C A 18=种选择，若五位同学最终选择为2,2,1，将除了甲乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有213313C C A 18=种选择，综上，共有181836+=种选择.故选：B4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔()Florence Nightingale 设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误．．的是（）A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C.2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4.【答案】C【解析】对于A ，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A 说法正确；对于B 和C ，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，0.960.480.48-=；2017年，1.880.960.92-=；2018年，2.95 1.88 1.07-=；2019年，3.56 2.950.61-=；2020年，4.15 3.560.59-=；2021年，4.77 4.150.62-=；2022年，5.27 4.770.5-=；则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B 说法正确，C 说法错误；对于D ，由5.27100.48>⨯，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D 说法正确.综上，说法错误的选项为C.故选：C5.在ABC 中，D 为边BC 上一点，2π,4,23DAC AD AB BD ∠===，且ADC △的面积为43，则sin ABD ∠=（）A.1538 B.1538+ C.534- D.534+5.【答案】A【解析】因为113sin 4222ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯⨯=△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理可得sin sin AB DB ADB BAD=∠∠，即21sin 2DB DBBAD =∠，解得1sin 4BAD ∠=，因为5π6ADB ∠=，所以BAD ∠为锐角，所以15cos 4BAD ∠==，所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠⎪⎝⎭ππsin cos cos 81sin 5663BAD BAD =∠=-∠.故选：A6.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，若13n n n n S a S a ++=，且13242111n n M a a a a a a ++++< 恒成立，则实数M 的最小值为（）A.13 B.49C.43D.36.【答案】B【解析】因为13n n n nS a S a ++=，所以()133n n n n n n n a S a S a S S +==++，即()13n n n n a S S S +-=，即13n n n a a S +=，则1213n n n a a S +++=，与上式作差后可得()()121133n n n n n n a S a a S a ++++-=-=，因为正项数列{}n a ，所以23n n a a +-=，所以22223111113n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为11a =，11212333n n n a S a a a a a +=⇒=⇒=，所以1324213243521111111111113n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++⎛⎫+++=-+-+-+- ⎪⎝⎭1212121111111111333n n n n a a a a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=⨯+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12411499n n a a ++⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以实数M 的最小值为49，故选：B.7.设方程33log 1xx ⋅=的两根为1x ，()212x x x <，则（）A.101x <<，23x >B.121x x >C.1201x x <<D.124x x +>7.【答案】C【解析】由33log 1xx ⋅=可得311log 33xx x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，在同一直角坐标系中同时画出函数3log y x =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由图象可知，因为1311log 133⎛⎫<= ⎪⎝⎭，23311log 2log 239⎛⎫=>= ⎪⎝⎭，所以12012x x <<<<，所以1213x x <+<故A ，D 错误；()12312313211log log log 33x xx x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，所以121133x x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()312log 0x x <，所以1201x x <<，即121x x <，故B 错误，C 正确.故选：C8.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别为棱BC ，CD ，1CC 的中点，平面PQR 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得的截面面积为（）A.215π3B.8π3C.35π3D.5π3【答案】D【解析】取正方体的中心为O ，连接,,OP OQ OR，由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为，体对角线长为正方体外接球球心为点O，半径12R =⨯=，又易得12OP OQ OR ===⨯=，且12PQ PR QR ===⨯=，所以三棱锥O PQR -为正四面体，如图所示，取底面正三角形PQR 的中心为M，即点O 到平面PQR 的距离为OM ，又正三角形PQR 的外接圆半径为MQ ，由正弦定理可得262sin 60332PQMQ ===︒，即63MQ =，所以233OM==，即正方体1111ABCD A B C D-外接球的球心O到截面PQR的距离为3OM=，所以截面PQR被球O所截圆的半径r==，则截面圆的面积为25ππ3r=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011AB AD BD9.已知,z z∈C是z的共轭复数，则（）A.若13i13iz+=-，则43i5z--=B.若z为纯虚数，则20z<C.若(2i)0z-+>，则2iz>+D.若{||3i3}M z z=+≤∣，则集合M所构成区域的面积为6π9.【答案】AB【解析】()()()213i13i43i13i13i13i5z++-+===--+，所以43i5z--=，故A正确；由z为纯虚数，可设()i R,0z b b b=∈≠，所以222iz b=，因为2i1=-且0b≠，所以20z<，故B正确；由()2i0z-+>，得i(2)z a a=+>，因为i(2)z a a=+>与2i+均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C错误；设复数i,,Rz a b a b∈=+，所以()3ia b++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10.已知向量a 在向量b 方向上的投影向量为33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，向量(b = ，且a 与b 夹角π6，则向量a 可以为（）A.()0,2 B.()2,0C.(D.)10.【答案】AD【解析】由题设可得(233,22a b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故22a b b ⋅=，而2b = ，a 与b 夹角π6，故33242a b ⨯= ，故2a = ，对于A ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故A 正确.对于B ，21cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π,3a b = ，故B 错误.对于C ，4cos ,122a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故,0a b = ，故C 错误.对于D ，233cos ,222a b ==⨯ ，因[],0,πa b ∈ ，故π6,a b = ，故D 错误.故选：AD.11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为()()()112233,,,,,,F A x y B x y D x y 为抛物线C 上的任意三点（异于坐标原点O ），0FA FB FD ++=，且6FA FB FD ++=，则下列说法正确的有（）A.4p =B.若FA FB ⊥，则FD AB=C.设,A B 到直线=1x -的距离分别为12,d d ，则12d d AB+<D.若直线,,AB AD BD 的斜率分别为,,AB AD BD k k k ，则1110AB AD BDk k k ++=11.【答案】BD【解析】对于A ，因为,,A B D 为抛物线上任意三点，且0FA FB FD ++=，所以F 为ABD 的重心，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1231233,02px x x y y y ++=++=又123362pFA FB FD x x x ++=+++=，即2p =，故A 错误；对于B ，延长FD 交AB 于点E ，因为F 为ABD 的重心，所以2FD FE =，且F 是AB 的中点，因为FA FB ⊥，在Rt FAB 中，有2AB FE =，所以FD AB =，故B 正确；对于C ，抛物线方程为24y x =，所以抛物线的准线为=1x -，所以,A B 到直线=1x -的距离之和12d d FA FB +=+，因为,,F A B 三点不一定共线，所以FA FB AB +≥，即12d d AB +≥，故C 错误；对于D ，因为2114y x =，2224y x =，两式相减,得：()()()1212124y y y y x x +-=-,所以1212124AB y y k x x y y -==-+,同理可得324BD k y y =+,134AD k y y =+,所以()123211104AB AD BD y y y k k k ++++==，故D 正确.故选：BD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高考预测卷数学试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 答案：C解析：由三角函数的性质知，当x在第二象限时，sinx和cosx均为负值，tanx为正值。

2. 答案：A解析：由指数函数的性质知，当底数大于1时，指数函数是增函数。

3. 答案：B解析：由对数函数的性质知，当底数大于1时，对数函数是增函数。

4. 答案：D解析：由排列组合的性质知，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合数为C(n, m)。

5. 答案：A解析：由等差数列的性质知，中位数等于平均数。

6. 答案：C解析：由数列极限的性质知，当n趋于无穷大时，an的极限存在且为0。

7. 答案：B解析：由立体几何的性质知，长方体的对角线长度等于边长的平方和的平方根。

8. 答案：D解析：由平面几何的性质知，圆的周长与半径成正比。

9. 答案：A解析：由数列极限的性质知，当n趋于无穷大时，an的极限存在且为0。

10. 答案：C解析：由排列组合的性质知，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列数为P(n, m)。

11. 答案：B解析：由数列极限的性质知，当n趋于无穷大时，an的极限存在且为0。

12. 答案：D解析：由平面几何的性质知，圆的面积与半径的平方成正比。

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 解析：由三角函数的性质知，sin(π/2 - x) = cosx，所以答案为cosx。

14. 解析：由指数函数的性质知，2^3 = 8，所以答案为8。

15. 解析：由对数函数的性质知，log2(16) = 4，所以答案为4。

16. 解析：由数列极限的性质知，当n趋于无穷大时，an的极限存在且为0，所以答案为0。

17. 解析：由立体几何的性质知，长方体的体积等于长、宽、高的乘积，所以答案为abc。

18. 解析：由平面几何的性质知，圆的面积等于半径的平方乘以π，所以答案为πr^2。

三、解答题（本大题共4小题，共70分）19. 解析：设等差数列的公差为d，则第n项为an = a1 + (n - 1)d。

今年高考预测数学试卷答案

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，下列说法正确的是（）A. f(x)在R上单调递增B. f(x)在R上单调递减C. f(x)在x=1处取得极大值D. f(x)在x=1处取得极小值答案：D解析：对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x=±1。

当x< -1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。

因此，f(x)在x=1处取得极小值。

2. 在等差数列{an}中，a1=2，d=3，则前n项和S_n等于（）A. 3n^2 - nB. 3n^2 + nC. 3n^2 - 3nD. 3n^2 + 3n答案：A解析：等差数列前n项和公式为S_n = n/2 (a1 + a_n)，其中a_n = a1 + (n-1)d。

代入a1=2，d=3，得a_n = 2 + 3(n-1)。

因此，S_n = n/2 (2 + 2 + 3(n-1)) = 3n^2 - n。

3. 设复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的取值范围是（）A. 实轴B. 第一象限C. 第二象限D. 第三象限答案：A解析：由复数的几何意义可知，|z-1|=|z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，即z在实轴上。

4. 已知a、b、c是等比数列的连续三项，且a+b+c=1，求该等比数列的公比q。

答案：q = 1/2 或 q = 2解析：设等比数列的公比为q，则a、b、c满足b=aq，c=aq^2。

由a+b+c=1，得a+aq+aq^2=1。

化简得q^2 + q - 1 = 0，解得q = 1/2 或 q = 2。

5. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,m)，且a·b=5，求m的值。

答案：m = 1 或 m = -5解析：向量点积公式为a·b = 12 + 2m = 5。

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1、已知平面上一点C （—1，0）和一条直线x l ：=4-，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，（2+）（2-）=0
（1）问点P 在什么曲线上，求出该曲线的方程。

（2）点O 在坐标原点，A ，B 两点在点P 的轨迹上，若=+OB OA λ（λ+1）OC ，
求λ的取值范围。

解（1）：设P （x ，y ）∵（2+）（2-）=0 ∴2
24-=0，代入得（x+4）2=4（（x+1）2+y 2）化简得：13422=+y x ，所以点P 在椭圆13
42
2=+y x 上。

（2）∵⋅+=+)1(λλ ∴移项得BC CA λ=，即CA 和BC 共线
∴A,B,C 三点共线 ∵在椭圆方程中a 2=4,b 2=3 ∴c 2=1,c=1，Ｃ（-1，0）恰好为椭圆的左焦点，由图形可知当A ，B
两点分别为椭圆长轴的两个顶点时，=λ取最值，∵
a+c=3, a-c=1∴λmax =
31,3min =+-==-+c a c a c a c a λ ∴λ∈[3,3
1
] 2、A 有一只放有x 个红球，y 个白球，z 个黄球的箱子（x 、y 、z ≥0，6=++z y x ），
B 有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A 胜，异色时为B 胜.
（1）用x 、y 、z 表示B 胜的概率；
（2）当A 如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？
解：（1）显然A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个基本事件：
①A 1：“A 、B 均取红球”；②A 2：“A 、B 均取白球”；③A 3：“A 、B 均取黄球”.
6
16)(,316)(,216)(321⨯=⨯=⨯=
z A P y A P x A P ,36
23)()()()(321z y x A P A P A P A P ++=++=∴36231)(z y x B P ++-=∴ （2）由（1）知36
23)(z y x A P -+=，0,0,0,6≥≥≥=++z y x z y x 又于是0,6,2136123623)(===∴≤-+=++=z y x z x z y x A P 当，即A 在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为2
1 3、对于函数()y f x =（x D ∈，D 为函数的定义域），若同时满足下列条件：①()f x 在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是
[,]a b ．那么把()y f x =()x D ∈称为闭函数．
（１）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b ；（２）判断函数31()4f x x x =
+((0,))x ∈+∞是否为闭函数？并说明理由．
（３）若()f x k =是闭函数，求实数k 的取值范围．
解：（1）由3y x =-在[,]a b 上为减函数，得3
3b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩
，可得1a =-，1b =，∴所求
区间是[1,1]-．
（2）∵f ＇(x)=2314x -=22
344x x -,
∴当0x <≤，f ＇（x ）≤0，f(x)为减函数，
当x ≥，f ＇（x ）≥0，f(x)为增函数，∴f(x)在（0，+∞）上不是单调函数。

所以()f x 不是闭函数。

（3）设函数符合条件②的区间为[,]a b ，则
a k
b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，故a ，b
是方程x k = 命题等价于22(21)222x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩
有两个不等实根．
当2k ≤-时，⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥-+++>--+->+.02)12(22,0)2(4)12(,
22122222k k k k k 解得94k >-， ∴9(,2]4k --；当2k >-时，2222212(21)4(2)0(21)20k k
k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩
这时，k 无解．所以k 的取值范围是9(,2]4
--． 4、由原点O 向三次曲线 )0(323≠-=a ax x y 引切线，切点为P 1),(11y x （O ，P 1
两点不重合），再由P 1引此曲线的切线，切于点P 2),(22y x （P 1，P 2不重合），如此继续下去，得到点列：)},({n n n y x P ．
（1）求1x ；
（2）求n x 与1+n x 满足的关系式；
（3）若0>a ，试判断n x 与a 的大小关系，并说明理由．
解：（1）由)0(32
3≠-=a ax x y 得ax x y 632/-=过曲线上的点P 1),(11y x 的切线L 1
的方程为))(63()3(112
12131x x ax x ax x y --=--又∵切线L 1过原点O ，有))(63()3(11212131x ax x ax x --=--化得2
31a x =．（2）过曲线上的点),(111+++n n n y x P 处的切线1+n L 方程为
))(63()3(11212131+++++--=--n n n n n x x ax x ax x y
1+n L 过点),(n n n y x P 得))(63(331121213123+++++--=+--n n n n n n n n x x ax x ax x ax x
由于1+≠n n x x ，分解因式并约简，得
1211211263)(3+++++-=+-++n n n n n n n n ax x x x a x x x x ∴0)(3212112=---++++n n n n n n x x a x x x x 0)(3)2)((111=--+-+++n n n n n n x x a x x x x ∴a x x n n 321=++．
（3）由（2）得：23211a x x n n +-
=+，∴)(2
11a x a x n n --=-+ 故有数列}{a x n -是首项为21a a x =-，公比为2
1-的等比数列． ∴1)21(2--=-n n a a x ，∴a x n n ])21(1[--= ∵0>a ，∴当n 为偶数时，a x n <；当n 为奇数时a x n >．。