高考数学计算题预测(附答案)

1、已知平面上一点C （—1，0）和一条直线x l ：=4-，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，（2+）（2-）=0

（1） 问点P 在什么曲线上，求出该曲线的方程。

（2） 点O 在坐标原点，A ，B 两点在点P 的轨迹上，若=+OB OA λ（λ+1）OC ，

求λ的取值范围。

解（1）：设P （x ，y ）∵（2+）（2-）=0 ∴2

24-=0，代入得（x+4）2=4（（x+1）2+y 2） 化简得：13422=+y x ，所以点P 在椭圆13

42

2=+y x 上。 （2）∵⋅+=+)1(λλ ∴移项得BC CA λ=，即CA 和BC 共线

∴A,B,C 三点共线 ∵在椭圆方程中a 2=4,b 2=3 ∴c 2=1,c=1，Ｃ（-1，0）恰好为椭圆的左焦点，由图形可知当A ，B

两点分别为椭圆长轴的两个顶点时，=λ取最值，∵

a+c=3, a-c=1∴λmax =

31,3min =+-==-+c a c a c a c a λ ∴λ∈[3,3

1

] 2、A 有一只放有x 个红球，y 个白球，z 个黄球的箱子（x 、y 、z ≥0，6=++z y x ），

B 有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A 胜，异色时为B 胜.

（1）用x 、y 、z 表示B 胜的概率；

（2）当A 如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？

解：（1）显然A 胜与B 胜为对立事件，A 胜分为三个基本事件：

①A 1：“A 、B 均取红球”；②A 2：“A 、B 均取白球”；③A 3：“A 、B 均取黄球”.

6

16)(,316)(,216)(321⨯=⨯=⨯=

z A P y A P x A P ,36

23)()()()(321z y x A P A P A P A P ++=++=∴36231)(z y x B P ++-=∴ （2）由（1）知36

23)(z y x A P -+=，0,0,0,6≥≥≥=++z y x z y x 又 于是0,6,2136123623)(===∴≤-+=++=z y x z x z y x A P 当，即A 在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为2

1 3、对于函数()y f x =（x D ∈，D 为函数的定义域），若同时满足下列条件：①()f x 在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是

[,]a b ．那么把()y f x =()x D ∈称为闭函数．

（１）求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b ； （２）判断函数31()4f x x x =

+((0,))x ∈+∞是否为闭函数？并说明理由．

（３）若()f x k =是闭函数，求实数k 的取值范围．

解：（1）由3y x =-在[,]a b 上为减函数，得3

3b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩

，可得1a =-，1b =，∴所求

区间是[1,1]-．

（2）∵f ＇(x)=2314x -=22

344x x -,

∴当0x <≤，f ＇（x ）≤0，f(x)为减函数，

当x ≥，f ＇（x ）≥0，f(x)为增函数，∴f(x)在（0，+∞）上不是单调函数。

所以()f x 不是闭函数。

（3）设函数符合条件②的区间为[,]a b ，则

a k

b k ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，故a ，b

是方程x k = 命题等价于22(21)222x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩

有两个不等实根．

当2k ≤-时，⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧≥-+++>--+->+.02)12(22,0)2(4)12(,

22122222k k k k k 解得94k >-， ∴9(,2]4k --；当2k >-时，2222212(21)4(2)0(21)20k k

k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩

这时，k 无解． 所以k 的取值范围是9(,2]4

--． 4、由原点O 向三次曲线 )0(323≠-=a ax x y 引切线，切点为P 1),(11y x （O ，P 1

两点不重合），再由P 1引此曲线的切线，切于点P 2),(22y x （P 1，P 2不重合），如此继续下去，得到点列：)},({n n n y x P ．

（1）求1x ；

（2）求n x 与1+n x 满足的关系式；

（3） 若0>a ，试判断n x 与a 的大小关系，并说明理由．

解：（1）由)0(32

3≠-=a ax x y 得ax x y 632/-=过曲线上的点P 1),(11y x 的切线L 1

的方程为))(63()3(112

12131x x ax x ax x y --=--又∵切线L 1过原点O ，有))(63()3(11212131x ax x ax x --=--化得2

31a x =． （2）过曲线上的点),(111+++n n n y x P 处的切线1+n L 方程为

))(63()3(11212131+++++--=--n n n n n x x ax x ax x y

1+n L 过点),(n n n y x P 得))(63(331121213123+++++--=+--n n n n n n n n x x ax x ax x ax x

由于1+≠n n x x ，分解因式并约简，得

1211211263)(3+++++-=+-++n n n n n n n n ax x x x a x x x x ∴0)(3212112=---++++n n n n n n x x a x x x x 0)(3)2)((111=--+-+++n n n n n n x x a x x x x ∴a x x n n 321=++．

（3）由（2）得：23211a x x n n +-

=+，∴)(2

11a x a x n n --=-+ 故有数列}{a x n -是首项为21a a x =-，公比为2

1-的等比数列． ∴1)21(2--=-n n a a x ，∴a x n n ])21(1[--= ∵0>a ，∴当n 为偶数时，a x n <；当n 为奇数时a x n >．