2019-2020年高考数学小题综合训练3

2019-2020年高考数学小题综合训练3

1．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫y ⎪⎪

y ＝1

x

，x>2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭

⎫0，1

2 C ．(0，＋∞) D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭

⎫1

2，＋∞ 答案 A

解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，

同样P ＝⎝⎛⎭⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎡⎭

⎫1

2，＋∞. 2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 答案 B

解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；

当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，

故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件． 3．已知函数f (x )＝

⎩⎨

⎧

sin πx ，0≤x≤1，log2 010x ，x>1，

若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A ．(1,2 010) B ．(1,2 011) C ．(2,2 011) D ．[2,2 011]

答案 C

解析 因为a ，b ，c 互不相等，不妨设a

由f (a )＝f (b )知，a ，b 关于直线x ＝1

2对称，

所以a ＋b ＝1.

由0

所以2

4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a5a3＝73，则S5

S3等于( )

A.7

3

B.

35

9 C ．4 D ．5 答案 D

解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ， 由于a5a3＝7

3，得a1＋4d a1＋2d ＝73

，

解得a 1＝－d 2，S5S3＝

5

a1＋a523

a1＋a3

2

＝5a3

3a2＝5·

3d

23·d 2＝5. 5.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝m AB →

＋

25AC →

，则实数m 的值为( )

A ．－4

B ．－1

C ．1

D ．4 答案 B

解析 由题意，设BP →＝n BN →

， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋n BN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →

＋n ⎝⎛⎭⎫14NC →－AB → ＝AB →

＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB → ＝(1－n )AB →＋n 5AC →，

又∵AP →＝m AB →＋25AC →，

∴m ＝1－n ，n 5＝2

5.

解得n ＝2，m ＝－1.

6．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

A.12

B.13

C.14

D.15 答案 B

解析 根据几何体的三视图，得

该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为 V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，

剩余部分的体积为

V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1－112＝1

4

. 所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为 112∶1

4

＝1∶3. 7．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为3，每次输入a 的值均为4，输

出s 的值为484，则输入n 的值为( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3 答案 C

解析 模拟程序的运行，可得x ＝3，k ＝0，s ＝0，a ＝4，s ＝4，k ＝1； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝16，k ＝2； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝52，k ＝3； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝160，k ＝4； 不满足条件k >n ，执行循环体，a ＝4，s ＝484，k ＝5.

由题意，此时应该满足条件k >n ，退出循环，输出s 的值为484， 可得5>n ≥4，所以输入n 的值为4.

8．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎫1－1

x 6的展开式中的常数项是( ) A ．－5 B ．7 C ．－11 D ．13 答案 C

解析 ∵⎝⎛⎭⎫1－1x 6的展开式的通项公式是Ck 6⎝⎛⎭⎫－1x k ，其中含1x

的项是C16⎝⎛⎭⎫－1x 1，常数项为C06⎝⎛⎭⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎫1－1x 6的展开式中的常数项是

2x ×⎣⎡⎦

⎤C16⎝⎛⎭⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11. 9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线B D 和平面ABC 所成角的大小为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°

答案 C

解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D －ABC 的体积最大．