空间向量与立体几何 单元测试 有答案

第三章 空间向量与立体几何 单元测试

(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．以下四组向量中，互相平行的组数为( )

①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)；②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)；③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)；④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

解析：∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1

3b ， ∴a ∥b ；而①④中的向量不平行． 答案：B

2．在以下命题中，不正确的个数为( )

①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →

＝2OA →－2OB →－OC →

，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一组基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b |不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积

的性质知，不正确．

答案：C

3．如图，已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是( )

A.PC →与BD →

B.DA →与PB →

C.PD →与AB →

D.P A →与CD →

解析：建立如图所示的空间直角坐标系．

设矩形ABCD 的长、宽分别为a ，b ，P A 长为c ，则A (0,0,0)，B (b,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，P (0,0，c )．

则PC →＝(b ，a ，－c )，BD →＝(－b ，a,0)，DA →＝(0，－a ，0)，PB →

＝(b,0，－c )，PD →＝(0，a ，－c )，AB →＝(b,0,0)，P A →＝(0,0，－c )，CD →

＝(－b,0,0)．

∴PC →·BD →＝－b 2＋a 2不一定为0. DA →·PB →＝0，PD →·AB →＝0，P A →·CD →＝0. 答案：A

4．已知向量e 1、e 2、e 3是两两垂直的单位向量，且a ＝3e 1＋2e 2－e 3，b

＝e 1＋2e 3，则(6a )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12b 等于( ) A ．15 B ．3 C ．－3

D ．5

解析：(6a )·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12b ＝3a·b ＝3(3e 1＋2e 2－e 3)·(e 1＋2e 3)＝9|e 1|2－6|e 3|2＝3. 答案：B

5．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂面α，AC ⊥面α，BD ⊥AB ，BD 与面α成30°角，则C 、D 间的距离为( )

A ．1

B ．2 C. 2

D. 3

解析：|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →

＋2CA →·BD →＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD →|＝ 2.

答案：C

6．已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )

A ．(－2,2,0)

B ．(2，－2,0) C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12，12，0 D.⎝

⎛⎭⎪⎫1

2，－12，0 解析：由OA →

＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →

＝(－λ，λ－1，－1)．

又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →

＝0， 即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，

即λ＋λ－1＝0，解得λ＝1

2，∴H ⎝

⎛⎭

⎪⎫－12，12，0.

答案：C

7．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )

A ．90°

B ．60°

C ．30°

D ．0°

解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．

8．已知E 、F 分别是棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1

的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )

A.23

B.23

C.53

D.233

解析：以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，F ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，1，12，D 1(0,0,1)，l 所以AD 1→＝(－1,0,1)，AE →＝⎝

⎛⎭

⎪⎫

－12，1，0.

设平面AEFD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，

则⎩⎨⎧

n ·AD 1→＝0，

n·

AE →

＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧

－x ＋z ＝0，

－x 2＋y ＝0.

∴x ＝2y ＝z .取y ＝1，则n ＝(2,1,2)，而平面ABCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，∵cos 〈n ，u 〉＝23，∴sin 〈n ，u 〉＝5

3.