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角形角平分线经典习题

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角平分线练习题

角平分线练习题

角平分线练习题一．选择题（共22小题）1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，的长度是（ ）则DFA．2B．3C．4D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则（ ）∠MAB=A．30°B．35°C．45°D．60°．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）3A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．35．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（ ）A ．30B ．24C ．15D ．107．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，BP 为∠ABC 的平分线，过点D 作BC 、BA 的垂线，垂足分别为E 、F，则下列结论中错误的是（ ）A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若长为（ ）ON=8cm，则OMA．4cm B．5cm C．8cm D．20cm10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．一处B．二处C．三处D．四处12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）A．6B．12C．18D．2413．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（ ）个．A．1B．2C．3D．414．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE 全等的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．HL16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）A．1B．2C．3D．418．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）t h i nA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个21．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AB=12，CD=3，则△DAB 的面积为（ ）A ．12B ．18C ．20D ．2422．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =10，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6 评卷人得 分二．填空题（共13小题）23．如图，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，若AB=5，BC=6，S △ABC =9，则DE 的长为 ．24．如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC=5，OM=4，则点C 到射线OA 的距离为 ．25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和　．∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是　26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和　．∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是　27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为　　．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB边的距离是 ．n29．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，若AD=6，DE ⊥AB ，则DE的长为　　．30．如图，直线a 、b 、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　　处．31．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= ．32．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，CD 是∠ACD 的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD 的面积为　　．33．如图，已知BD ⊥AE 于点B ，DC ⊥AF 于点C ，且DB=DC ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= ．34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果 ，那么 ．35．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 的距离为 ． 评卷人得 分三．解答题（共5小题）36．如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD=CD 、BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB +AC 与AE 之间的等量关系．37．如图已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C、D ．求证：（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OE 是CD 的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD ，E 、F 两点分别在AB 、AD 上，且AE=DF ．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；的面积．（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．2018年09月23日tcq372的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF的长度是（ ）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，故选：D．2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则（ ）∠MAB=A．30°B．35°C．45°D．60°【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，．故选：B3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ ）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选：C．4．如图，OP 是∠AOC 的平分线，点B 在OP 上，BD ⊥OC 于D ，∠A=45°，若BD=2，则AB长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．3【解答】 解：如图，过B 点作BE ⊥OA 于E ，∵OP 是∠AOC 的平分线，点B 在OP 上，BD ⊥OC 于D ，BD=2，∴BE=BD=2，在直角△ABE 中，∵∠AEB=90°，∠A=45°，∴AB=BE=2．故选：C．5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若CD=2，AB=8，则△ABD的面积是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故选：B．6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD的面积等于（ ）A．30B．24C．15D．10【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵AB=10，∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．故选：C．7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△的长为（ ）=15，则CDABDA．3B．4C．5D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S△ABD =AB•DE=×10•DE=15，解得DE=3．．故选：A8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为，则下列结论中错误的是（ ）E、FA．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF 中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM=ON=8cm，故选：C．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB 的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A．一处B．二处C．三处D．四处【解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．故选：D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（ ）A．6B．12C．18D．24【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，．故选：C13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（ ）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED 中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE 全等的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．HL【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和△AEP 中，∴Rt△ADP≌△AEP（HL），故选：D．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若的距离是（ ）BC=4cm，CD=3cm，则点D到ABA．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴DE=DC=3cm，故选：B．17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，又PD=2，∴PE=PD=2．故选：B．18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（ ）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．故选：A．19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选：B．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．1个【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．故选：B．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则的面积为（ ）△DABA．12B．18C．20D．24【解答】解：过D作DE⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DE=DC=3，∴△DAB的面积=，故选：B．22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）A．9B．8C．7D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∵S△ADB=AB×DE=×4×2=4，∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6故选：D．二．填空题（共13小题）23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，若AB=5，BC=6，S△　．=9，则DE 的长为　ABC【解答】解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，∴×AB×DF +×BC×DE=S△ABC ，即×5×DE +×6×DE=9，解得，DE=，．故答案为：24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA ．的距离为　3【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．25．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是　96　．【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OM=ON=OD=6，∴△ABC 的面积为：×AB×OM +BC×DO +NO=（AB+BC+AC）×DO=32×6=96．故答案为：96．26．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和　．∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是　42【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC=×AB×OE +×AC×OF +×BC×OD=×4×（AB+AC+BC）=×4×21=42，故答案为：42．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为　4cm　．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到　．AB边的距离是　16【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=16（角平分线性质），．故答案为：1629．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE 的长为　3　．b【解答】解：∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠DAE=∠BAC=30°．在Rt △ADE 中，DE ⊥AB ，∠DAE=30°，∴DE=AD=3．故答案为：3．　30．如图，直线a 、b 、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　4　处．【解答】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，PF ⊥AC ，∴PE=PF ，PF=PD ，∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．t h 故答案为：4．31．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=　120°　．【解答】解：∵点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，∴点O 是三个角的平分线的交点，∴∠OBC +∠OCB=（∠ABC +∠ACB ）=（180°﹣∠A ）=（180°﹣60°）=60°，在△BCO 中，∠BOC=180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．32．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，CD 是∠ACD 的平分线，若BD=2，AC=8，则△ACD 的面积为　8　．【解答】解：作DH ⊥AC 于H ，∵CD 是∠ACD 的平分线，∠B=90°，DH ⊥AC ，∴DH=DB=2，∴△ACD 的面积=×AC ×DH=×8×2=8，l 故答案为：8．33．如图，已知BD ⊥AE 于点B ，DC ⊥AF 于点C ，且DB=DC ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=　150°　．【解答】解：∵BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DB=DC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD +∠ADG=20°+130°=150°．故答案为：150°　34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：如果　一个点在角的平分线上　，那么　它到这个角两边的距离相等　．【解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．35．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC=32，且BD ：CD=9：7，则D 到AB 的距离为　14　．【解答】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BC=32，BD ：CD=9：7，∴CD=32×=14，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．．故答案为：14三．解答题（共5小题）36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．37．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD=∠EDC；的垂直平分线．（2）OE是CD【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∴∠ECD=∠EDC；（2）在Rt△OCE和Rt△ODE 中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD 的一半．【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，∵AC为∠BAD的角平分线，∴CG=CH，∵AB=AD，∴△ABC面积=△ACD面积，又∵AE=DF，∴△AEC面积=△CDF面积，∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，∴△BCE面积=△ACF面积，∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，∴四边形AECF面积=△ABC面积，又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO．（1）说明OF与CF的大小关系；（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．【解答】解：（1）OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，∴S△OBC=BC•OM=×12×4=24（cm2）．40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．　。

角平分线习题精选(专题)

角平分线习题精选(专题)

角平分线习题精选
1、已知：如图1,中，ZC=2ZB,Nl=N2,求证：AB=AC÷CDo
2、已知，如图2,Z1=Z2,P为BN上一点,
且PDj_BC于D,AB+BC=2BD,求证：ZBAP+ZBCP=180o。

3、如图，ZkABC中，AC=BC,ZBAC的B^≤L外角平分线交
BC的延长线于点D,若NCAD=2NADC,求NB的度数
5、如图5、AB√CD,ZB=90o,E是BC的中点。

DE平分NADC,求证：
AE平分NDAB。

6、如图6、在AABC中，AB=7,BC=24,AC=25求内心到边的距离。

7、如图7、已知在AABC中，分
别以AC、BC为边向外作
正aBCE∖正aACD,BD与AE交于M,求证：(1)AE=BD o(2)MC平分NDMEoD
9如图9、在aABC中，ZB=60o,Z∖ABC的角平分线AD、CE交于点O,求证：AE+CD=AC o
10、如图10、已知在四边形ABCD中，BD>AB,AD=证：ZA+ZC=180o o
C D
A
D DC,BD平分NABC求
8、如图8、AB=CD,∆PCD的面积等于aPAB的面积，求证：OP平分NBoD。

11、如图11>∆ABC 中,ZEDF+ZBAF=180o 12、如图12、∆ABC中,
A
C AD是NA的平分线，E、F分别为AB、Ae上的点，且
,求证：DE=DF o
A二AD是NBAC的平分线，∈Z /\
AD的垂直平分线交AD于点E,交BC
的延长线于点F o求证：FD2=FBxFC
B ADC
DC F。

角平分线的性质和判定复习题

角平分线的性质和判定复习题

角平分线的性质及判定内容及典型例题补充1、实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．2. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．例2.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．例5图例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定（1）（4）2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC（5）（7）（8）6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．（9）（10）（11）10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11. 如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．（12）（13）（14）13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．三. 解答题15. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．16. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？17. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．18. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题19. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．。

角平分线知识点+经典例题

角平分线知识点+经典例题

第四讲 角平分线【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD 平分∠ADB ，点P 是CD 上一点，且PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD于点F ，则PE ＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE ＝PF ，则PD 平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于E.（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC 即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质例1．如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【答案与解析】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．例2、如图在△ABC中∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AB=6cm，求△DEB的周长．【思路点拨】利用角平分线的性质求得CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB的周长．【答案与解析】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∴△CAD≌△EAD(HL)∴AC=AE，∵AC=BC，∴∠B=45°，∴BE=DE，∴△DEB的周长=BE+DE+BD= BE+CD+BD = BE+BC =BE+AC=BE+AE =AB=6cm．【总结升华】将△DEB的周长用相等的线段代换是关键.【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．3:2C．2：3 D.2:3【答案】B；提示：∵AD是△ABC的角平分线，∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，又∵:3:2AB AC=，则△ABD与△ACD的面积之比为3:2．例3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC 上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．【思路点拨】利用角平分线的性质证明PD＝PE，再根据“HL”定理证明△OPD≌△OPE，从而得到∠OPD ＝∠OPE，∠DPF＝∠EPF．再证明△DPF≌△EPF，得到结论.【答案与解析】解：DF＝EF．理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，∴PD＝PE，由HL 定理易证△OPD ≌△OPE ， ∴∠OPD ＝∠OPE ，∴∠DPF ＝∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD PE DPF EPF PF PF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DPF ≌△EPF ，∴DF ＝EF.【总结升华】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键.类型二、角的平分线的判定例4、已知，如图，CE ⊥AB,BD ⊥AC,∠B ＝∠C ，BF ＝CF.求证：AF 为∠BAC 的平分线.【答案与解析】证明： ∵CE ⊥AB,BD ⊥AC （已知）∴∠CDF ＝∠BEF ＝90°∵∠DFC ＝∠BFE(对顶角相等)∵ BF ＝CF(已知)∴△DFC ≌△EFB(AAS)∴DF ＝EF(全等三角形对应边相等)∵FE ⊥AB ，FD ⊥AC （已知）∴点F 在∠BAC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)即AF 为∠BAC 的平分线【总结升华】应用角平分线性质及判定时不要遗漏了“垂直”的条件.如果遗漏了说明没有认识到“垂直”条件在证明结论的必要性.【变式】已知：如图，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 、G 分别是OA 、OB 上的点，且PF=PG ，DF=EG ．求证：OC 是∠AOB 的平分线．【答案】证明：在Rt △PFD 和Rt △PGE 中，，∴Rt △PFD ≌Rt △PGE （HL ），∴PD=PE ，∵P 是OC 上一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴OC 是∠AOB 的平分线．。

初一三角形角平分线经典例题

初一三角形角平分线经典例题

《角平分线》经典例题在直角三角形ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BE交AC于E点,过E点作ED⊥BC于D点,已知AC=10cm,ΔCDE的周长为16cm,求CD的长.〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以ΔCDE的周长=AC+CD,根据ΔCDE的周长及AC的长即可求得CD的长.解:∵BE为∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,∴AE=DE,∴DE+CE=AE+CE=AC=10cm,∵ΔCDE的周长为16cm,∴DE+CE+CD=16cm,∴CD=16-10=6(cm).如图(1)所示,已知∠ADC+∠ABC=180°,DC=BC.求证点C在∠DAB的平分线上.〔解析〕作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,利用∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,得出∠ABC=∠CDF,进而证得ΔCBE≌ΔCDF,得出FC=EC,即可求得结论.证明:如图(2)所示,作CE⊥AB,CF⊥AD,垂足分别为E,F,∴∠BEC=∠DFC=90°,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,∴∠ABC=∠CDF,在ΔCBE和ΔCDF中,∴ΔCBE≌ΔCDF(AAS),∴FC=EC,∴点C在∠DAB的平分线上.如图(1)所示,已知点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,PD ⊥AB ,若PD =5,ΔABC 的周长为20,求ΔABC 的面积.〔解析〕作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,根据角平分线的性质定理得PE =PF =PD =5,然后根据三角形面积公式和S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC 得到S ΔABC =(AB +BC +AC ),再把ΔABC 的周长为20代入计算即可.解:作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥AC 于F ,如图(2)所示,∵点P 是ΔABC 三条角平分线的交点,∴PE =PF =PD =5,∴S ΔABC =S ΔPAB +S ΔPBC +S ΔPAC=PD ·AB +PE ·BC +PF ·AC=(AB +BC +AC )=20=50.如图(1)所示,在RtΔABC 中,∠ACB =90°,且AC =b ,BC =a ,AB =c ,∠A 与∠B 的平分线交于点O ,O 到AB 的距离为OD.试探究OD 与a ,b ,c 的数量关系.〔解析〕过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形,从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=AC-OD+BC-OD即可求解.解:如图(2)所示,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点O,OD⊥AB,∴OD=OE,OD=OF,∴OD=OE=OF,∵∠ACB=90°,∴四边形EOFC是正方形,∴OE=OF=FC=EC=OD,在RtΔOAE和RtΔOAD中,∴RtΔOAE≌RtΔOAD,∴AE=AD,同理BD=BF,∴AE+EC=AD+OD=AC=b,BF+CF=BD+OD=BC=a,∴AD=b-OD,BD=a-OD,∴AD+BD=a+b-2OD,即c=a+b-2OD,∴OD=(a+b-c).。

中考：角平分线、垂直平分线经典试题

中考：角平分线、垂直平分线经典试题

中考：角平分线、垂直平分线经典试题知识考点：了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

精典例题：【例题】如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝300，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF ＝2BF 。

分析一：要证明CF ＝2BF ，由于BF 与CF 没有直接联系，联想题设中EF 是中垂线，根据其性质可连结AF ，则BF ＝AF 。

问题转化为证CF ＝2AF ，又∠B ＝∠C ＝300，这就等价于要证∠CAF ＝900，则根据含300角的直角三角形的性质可得CF ＝2AF ＝2BF 。

分析二：要证明CF ＝2BF ，联想∠B ＝300，EF 是AB 的中垂线，可过点A 作AG ∥EF 交FC 于G 后，得到含300角的Rt △ABG ，且EF 是Rt △ABG 的中位线，因此BG ＝2BF ＝2AG ，再设法证明AG ＝GC ，即有BF ＝FG ＝GC 。

例题图1 F EC B A例题图2 G F ECB A分析三：由等腰三角形联想到“三线合一”的性质，作AD ⊥BC 于D ，则BD ＝CD ，考虑到∠B ＝300，不妨设EF ＝1，再用勾股定理计算便可得证。

以上三种分析的证明略。

例题图3D F ECB A问题图321ED CB A探索与创新：【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题： 三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图，△ABC 中，AD 是角平分线。

求证：ACABDC BD =。

分析：要证ACABDC BD =，一般只要证BD 、DC 与AB 、AC 或BD 、AB 与DC 、AC 所在三角形相似，现在B 、D 、C 在同一条直线上，△ABD 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。

我们注意到在比例式ACABDC BD =中，AC 恰好是BD 、DC 、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ，从而得到BD 、CD 、AB 的第四比例项AE ，这样，证明ACABDC BD =就可以转化为证AE ＝AC 。

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。

5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。

6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。

三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。

8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。

四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。

10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。

五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。

12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。

六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。

14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。

初二数学《角平分线》练习题

初二数学《角平分线》练习题

角平分线练习一、填空题1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC 的度数为.2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.第4题第5题第6题第7题6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________________相等．9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32cm，且BD∶CD=9∶7，则D到AB 的距离为__________cm.二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点12．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD13．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、4处B、3处C、2处D、1处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPMEDCBAEDC BAF第15题 第16题 第17题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等DCB A O第18题三．解答题21．如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC.22．如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠F AC .EFDCBA23．如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .。

(完整版)角平分线经典题型

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全等三角形与角平分线1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF.2、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）A．大于EF B．小于EFC．等于EF D．与EF的大小无法比较3、（12分）如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠D＋∠B=180°，求证：AD＋AB=2AE．4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB＞BC，BD平分．求证：AD=CD．5、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于O点，求证：AE＋CD=AC.6、在△ABC，∠C=90°，BC=16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD︰DB=3︰5，则D到AB的距离等于（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm2、如图，D是△ABC的一个外角的平分线上一点，求证：AB＋AC<DB＋DC.7、如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG.8、如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC 于E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G．(1)求证：BF=AC；(2)求证：CE=BF；(3)CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论．9、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°10、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：11、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：BD=2CE.。

角平分线练习题

角平分线练习题

角平分线练习题一．选择题〔共22小题〕1．如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF 的长度是〔〕A．2 B．3 C．4 D．62．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=〔〕A．30° B．35° C．45° D．60°3．观察图中尺规作图痕迹，以下说法错误的选项是〔〕A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，假设BD=2，则AB长为〔〕A．2 B．2C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，假设CD=2，AB=8，则△ABD的面积是〔〕A．6 B．8 C．10 D．126．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD 的面积等于〔〕A．30 B．24 C．15 D．10=15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD则CD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．68．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则以下结论中错误的选项是〔〕A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，假设ON=8cm，则OM长为〔〕A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm10．在正方形网格中，∠AOB的位置如下图，到∠AOB两边距离相等的点应是〔〕A．M点B．N点C．P点D．Q点11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互穿插的公路，现方案建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有〔〕A．一处B．二处C．三处D．四处12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．2413．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的选项是〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．414．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建的位置是〔〕A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是〔〕A．SAS B．AAA C．SSS D．HL16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．假设BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是〔〕A．1 B．2 C．3 D．418．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，以下结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③19．如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．1个21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则△DAB的面积为〔〕A．12 B．18 C．20 D．2422．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S=10，DE=2，AB=4，则△ABCAC长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6评卷人得分二．填空题〔共13小题〕=9，23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，假设AB=5，BC=6，S△ABC则DE的长为．24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为．25．如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是．26．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB 边的距离是．29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，假设AD=6，DE⊥AB，则DE 的长为．30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．31．如图，点O在△ABC，且到三边的距离相等，假设∠A=60°，则∠BOC=．32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，假设BD=2，AC=8，则△ACD的面积为．33．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=．34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等〞改写成“如果…，则…、〞的形式：如果，则．35．Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为．评卷人得分三．解答题〔共5小题〕36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设BD=CD、BE=CF．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．37．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：〔1〕∠ECD=∠EDC；〔2〕OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．〔1〕说明OF与CF的大小关系；〔2〕假设BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕假设点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．2018年09月23日tcq372的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．如图，BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE=6，则DF 的长度是〔〕A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF=6，应选：D．2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=〔〕A．30° B．35° C．45° D．60°【解答】解：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°，∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=∠DAB=35°，应选：B．3．观察图中尺规作图痕迹，以下说法错误的选项是〔〕A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．应选：C．4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，∠A=45°，假设BD=2，则AB长为〔〕A．2 B．2C．2D．3【解答】解：如图，过B点作BE⊥OA于E，∵OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，BD=2，∴BE=BD=2，在直角△ABE中，∵∠AEB=90°，∠A=45°，∴AB=BE=2．应选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，假设CD=2，AB=8，则△ABD的面积是〔〕A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AB=8，CD=2，∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．应选：B．6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=3，AB=10，则△ABD 的面积等于〔〕A．30 B．24 C．15 D．10【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=DC=3，∵AB=10，∴△ABD的面积=AB•DE=×10×3=15．应选：C．=15，7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD则CD的长为〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∴S=AB•DE=×10•DE=15，△ABD解得DE=3．应选：A．8．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则以下结论中错误的选项是〔〕A．∠DBE=∠DBF B．DE=DF C．2DF=DB D．∠BDE=∠BDF【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，应选：C．9．如图，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，假设ON=8cm，则OM长为〔〕A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm【解答】解：∵OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC，ON⊥AB，∴OM=ON=8cm，应选：C．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如下图，到∠AOB两边距离相等的点应是〔〕A．M点B．N点C．P点D．Q点【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．应选A．11．如图，直线l、l′、l″表示三条相互穿插的公路，现方案建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有〔〕A．一处B．二处C．三处D．四处【解答】解：如下图，加油站站的地址有四处．应选：D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，假设CD=BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是〔〕A．6 B．12 C．18 D．24【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE=6，∵CD=DB，∴DB=12，∴BC=6+12=18，应选：C．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有以下结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的选项是〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD=DE，故①正确；在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕，∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；AD平分∠CDE，故④正确；∵∠B+∠BAC=90°，∠B+∠BDE=90°，∴∠BDE=∠BAC，故③正确；综上所述，结论正确的选项是①②③④共4个．应选：D．14．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建的位置是〔〕A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【解答】解：在这个区域修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．应选：C．15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE，则△APD与△APE全等的理由是〔〕A．SAS B．AAA C．SSS D．HL【解答】解：∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠ADP=∠AEP=90°，在Rt△ADP和△AEP中，∴Rt△ADP≌△AEP〔HL〕，应选：D．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．假设BC=4cm，CD=3cm，则点D到AB的距离是〔〕A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【解答】解：过D作DE⊥AB于E，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴DE=DC=3cm，应选：B．17．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD=2，则P点到OB的距离是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB，∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，又PD=2，∴PE=PD=2．应选：B．18．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，以下结论：①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，四个结论中成立的是〔〕A．①②④B．①②③C．②③④D．①③【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴Rt△AEF≌Rt△AEB∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；而点E是BC的中点，∴EC=EF=BE，所以③错误；∴Rt△EFD≌Rt△ECD，∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；∴∠AED=∠AEF+∠FED=∠BEC=90°，所以①正确．应选：A．19．如下图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．应选：B．20．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．1个【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．应选：B．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则△DAB的面积为〔〕A．12 B．18 C．20 D．24【解答】解：过D作DE⊥AB，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DE=DC=3，∴△DAB的面积=，应选：B．=10，DE=2，AB=4，则22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABCAC长是〔〕A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，=AB×DE=×4×2=4，∵S△ADB∵△ABC的面积为10，∴△ADC的面积为10﹣4=6，∴AC×DF=6，∴AC×2=6，∴AC=6应选：D．二．填空题〔共13小题〕23．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BC于点E，假设AB=5，BC=6，S=9，△ABC则DE的长为．【解答】解：作DF⊥AB于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE=DF，，即×5×DE+×6×DE=9，∴×AB×DF+×BC×DE=S△ABC解得，DE=，故答案为：．24．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 3 ．【解答】解：过C作CF⊥AO，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF，∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3，故答案为：3．25．如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=6，△ABC的面积是96 ．【解答】解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OM=ON=OD=6，∴△ABC的面积为：×AB×OM+BC×DO+NO=〔AB+BC+AC〕×DO=32×6=96．故答案为：96．26．如图，△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是42 ．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD，OD=OF，即OE=OF=OD=4，∴△ABC的面积是：S△AOB +S△AOC+S△OBC=×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD=×4×〔AB+AC+BC〕=×4×21=42，故答案为：42．27．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点D到AB的距离为4cm ．【解答】解：∵BC=10cm，BD：DC=3：2，∴DC=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．故答案为4cm．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=16，则D到AB 边的距离是16 ．【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=16〔角平分线性质〕，故答案为：16．29．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，假设AD=6，DE⊥AB，则DE的长为 3 ．【解答】解：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC=30°．在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠DAE=30°，∴DE=AD=3．故答案为：3．30．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 4 处．【解答】解：∵△ABC角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC角平分线的交点满足条件；如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，∴PE=PF，PF=PD，∴PE=PF=PD，∴点P到△ABC的三边的距离相等，∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点有4个，∴可供选择的地址有4个．故答案为：4．31．如图，点O在△ABC，且到三边的距离相等，假设∠A=60°，则∠BOC= 120°．【解答】解：∵点O在△ABC，且到三边的距离相等，∴点O是三个角的平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=〔180°﹣∠A〕=〔180°﹣60°〕=60°，在△BCO中，∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．32．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD是∠ACD的平分线，假设BD=2，AC=8，则△ACD的面积为8 ．【解答】解：作DH⊥AC于H，∵CD是∠ACD的平分线，∠B=90°，DH⊥AC，∴DH=DB=2，∴△ACD的面积=×AC×DH=×8×2=8，故答案为：8．33．如图，BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF= 150°．【解答】解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分线，∵∠BAC=40°，∴∠CAD=∠BAC=20°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．故答案为：150°34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等〞改写成“如果…，则…、〞的形式：如果一个点在角的平分线上，则它到这个角两边的距离相等．【解答】解：如果一个点在角平分线上，则它到角两边的距离相等．35．Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，假设BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为14 ．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BC=32，BD：CD=9：7，∴CD=32×=14，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=14，即D到AB的距离为14．故答案为：14．三．解答题〔共5小题〕36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，假设BD=CD、BE=CF．〔1〕求证：AD平分∠BAC；〔2〕直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．【解答】〔1〕证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE与△CDE均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；〔2〕AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．37．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：〔1〕∠ECD=∠EDC；〔2〕OE是CD的垂直平分线．【解答】证明：〔1〕∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∴∠ECD=∠EDC；〔2〕在Rt△OCE和Rt△ODE中，，∴Rt△OCE≌Rt△ODE〔HL〕，∴OC=OD，又∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，∵AC为∠BAD的角平分线，∴CG=CH，∵AB=AD，∴△ABC面积=△ACD面积，又∵AE=DF，∴△AEC面积=△CDF面积，∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，∴△BCE面积=△ACF面积，∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，∴四边形AECF面积=△ABC面积，又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．39．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．〔1〕说明OF与CF的大小关系；〔2〕假设BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．【解答】解：〔1〕OF=CF．理由：∵BE=EO，∴∠EBO=∠EOB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，∴OF=CF；〔2〕过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，∴ON=OM=4cm，=BC•OM=×12×4=24〔cm2〕．∴S△OBC40．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．〔1〕求证：AC=AE；〔2〕假设点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；〔2〕解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，.∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．。

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题

角平分线的性质练习题角平分线是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。

本文将通过一些练习题来探讨角平分线的性质。

练习题一：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，证明AD是角A 的平分线。

解析：首先，我们可以利用角平分线的定义来解决这个问题。

角A的平分线是将角A分成两个相等的角的线段。

假设角BAD和角CAD是角A的平分线所分出的两个角，我们需要证明这两个角是相等的。

根据角平分线的定义，我们可以得出以下两个等式：∠BAD = ∠CAD （角平分线的定义）∠BAD + ∠CAD = ∠BAC （角的和等于整个角）将第一个等式代入第二个等式中，得到：∠CAD + ∠CAD = ∠BAC化简得：2∠CAD = ∠BAC由于∠CAD和∠BAD是同一个角的两个平分角，所以它们是相等的。

因此，AD是角A的平分线。

练习题二：已知在△ABC中，角A的平分线交边BC于点D，且AD=DC，证明△ABC是等腰三角形。

解析：要证明△ABC是等腰三角形，我们需要证明边AB和边AC的长度相等。

由于AD是角A的平分线，所以∠BAD = ∠CAD。

又已知AD=DC，所以△ADC 是一个等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出以下结论：∠ADC = ∠ACD （等腰三角形的底角相等）由于∠BAD = ∠CAD，所以∠ADC = ∠ACD。

结合以上两个等式，我们可以得出：∠ADC = ∠ACD = ∠BAD = ∠CAD根据角的和等于整个角的性质，我们可以得到：∠ADC + ∠ACD + ∠BAD + ∠CAD = 180°将上述等式代入，得到：2∠ADC + 2∠ACD = 180°化简得：∠ADC + ∠ACD = 90°由于∠ADC和∠ACD是等腰三角形△ADC的两个底角，它们的和等于90°。

根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠DAC = 90°。

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

角平分线练习题

角平分线练习题

》角平分线练习一、选择题1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（）°°°°2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）?A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A. 5cm、cmB. 4cm、5cmC. 5cm、5cmD. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等(C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）cmA. 2、2、2 、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是，它是命题。

2.角平分线可以看作是的点的集合。

3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。

！4.命题“如果a = b，那么| a| = | b |”的命题是，它是命题。

三、简答题1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC求证：DC∥AE#2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB 的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E求证：BE平分∠ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。

八年级数学上册角平分线历年真题练习题(含答案)

八年级数学上册角平分线历年真题练习题(含答案)

八年级数学上册角平分线历年真题练习题（含答案）一．选择题（共10小题）1．（2015?茂名）如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA 于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（）A．6 B．5 C．4 D．3选A【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．2．（2015?天台县模拟）△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（）A．点O一定在△ABC的内部B．∠C的平分线一定经过点OC．点O到△ABC的三边距离一定相等D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．故选D．【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．3．（2015?茂名校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】角平分线的性质．【专题】常规题型．【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离等于CD，∵BC=10，BD=6，∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，∴点D到AB的距离是4．故选A．【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．4．（2015?泰安样卷）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD 是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）A．2m B．a﹣m C．a D．a+m【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，然后根据AE=AB﹣BE计算即可得解．【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，∵∠B=45°，DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BE=DE=m，∵AE=AB﹣BE=a﹣m，∴AC=a﹣m．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．5．（2015?河北模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S△BCD=BC?DE=×5×3=7.5．故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．（2015?芜湖三模）△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（）A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC 三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，∴点P到△ABC三边的距离相等，∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．故选D．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．7．（2015?江西校级模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（）A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10【考点】角平分线的性质．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵CD=3，BD=5，∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正确；过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∵BD=5，DE=3，∴BE===4．∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，∴△BED∽△BCA，∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正确；在Rt△ACD中，∵AC=6，CD=3，∴AD===3，故B错误．故选B．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．8．（2015春?成都校级期末）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选D．【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．9．（2015秋?平南县月考）如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（）A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADBC．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD【考点】角平分线的性质．【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出很多结论，对各选项逐个验证，证明．【解答】解：CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC；又有AD=AD，可证△AED≌△ACD∴∠ADE=∠ADC即DE平分∠ADB；在△ACD中，CD+AC＞AD所以ED+AC＞AD．故选B．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．10．（2015春?吉州区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点【考点】角平分线的性质．【专题】网格型．【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2015?连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是．【考点】角平分线的性质．【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD 的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．12．（2015?聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．【考点】角平分线的性质．【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴BC=AB=3，∴CD=BC?tan30°=3×=，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平线上点到角两边距离相等，∴点D到AB的距离=CD=，故答案为：．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．13．（2015?萝岗区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD= ．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线的性质得到AD=3，由勾股定理求得BD．【解答】解：∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，∴AD=3，∵AB=4，∴BD==5．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，由已知能够注意到D到BC 的距离即为DE长是解决的关键．14．（2015?绿园区一模）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为．【考点】角平分线的性质；垂线段最短．【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小．结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，∴AD=DP，又AD=8，∴DP=8．故答案为：8．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．21·*教育网15．（2015春?苏州校级期末）如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6根据勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3，∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB∴∠DEA=90°=∠C∴△CAD≌△EAD（AAS）∴AC=AE=3，DE=CD∴EB=AB﹣AE=6﹣3故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．16．（2015春?晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC= （度）．【考点】角平分线的性质．【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，∴BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠DBC，∵∠DBC=50°，∴∠ABC=100°，故答案为：100．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．17．（2015秋?蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB的长为8 ．18．（2015秋?镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE ⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC= ，DE= ．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABD：S△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面积公式列式计算即可求出DE．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，∵AB=12cm，BC=18cm，∴S△ABD：S△DBC=AB：BC=12：18=2：3，∵S△ABC=60cm2，∴S△DBC=60×=36cm2，∵DE⊥BC，∴BC?DE=36，即×18?DE=36，解得DE=4cm．故答案为：36cm2；4cm．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记各性质是解题的关键．19．（2014秋?定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE ⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③∠APE=∠APF，上述结论中正确的是（只填序号）．20．（2013秋?石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是．【考点】角平分线的性质．【分析】先根据角平分线的性质求得PE=PF，再利用全等即可判定．【解答】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC∴PE=PF∴Rt△APE≌RT△APF（HL）∴AE=AF，∠APE=∠APF故填①②③．【点评】本题主要考查平分线的性质及三角形全等的判定及性质；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解决的关键．三．解答题（共10小题）21．（2015?路南区二模）在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．已知：求证：证明：【考点】角平分线的性质．【分析】连接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，将△ABC的面积分为：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三个小三角形的高OD=OE=OF，它们的底边和就是△ABC的周长，可计算△ABC的面积．2-1-c-n-j-y 【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD=OE=OF，∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB=×OD×（BC+AC+AB）=×3×21=31.5．故填31.5．【点评】此题主要考查角平分线的性质；利用三角形的三条角平分线交于一点，将三角形面积分为三个小三角形面积求和，发现并利用三个小三角形等高是正确解答本题的关键．22．（2015春?泰山区期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，求证：点P在∠AOB的平分线上．证明：在Rt△POE和Rt△POF中，，∴Rt△POE≌△RtPOF，∴∠EOP=∠FOP，∴点P在∠AOB的平分线上．【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键．23．（2015?黄岛区校级模拟）现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．【解答】解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力24．（2015春?澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到点D到AB的距离=点D到AC的距离，即CD=DE，是解答本题的关键．25．（2015秋?泰兴市校级月考）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的性质；直角三角形全等的判定．【专题】证明题．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF=DE．可通过证△BDF≌△CDE （AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°．在△BDF与△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF=DE，∴AD是∠BAC的平分线．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．26．（2014秋?芜湖校级期末）如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先由角平分线的性质可得DE=DF，又有BD=CD，可证Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．21·cn·jy·com【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BED和Rt△DFC中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB=FC．【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度不大．27．（2014秋?陇西县期末）如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后证明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；（2）证明COF≌△DOF可根据全等三角形的性质可得FC=FD．【解答】证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，在Rt△COE和Rt△DOE中，，∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），∴CO=DO；（2）∵EO平分∠AOB，∴∠AOE=∠BOE，在△COF和△DOF中，，∴△COF≌△DOF（SAS），∴FC=FD．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．28．（2014秋?南昌期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE ⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：（1）S△ACD；（2）AC的长．【考点】角平分线的性质．网【分析】（1）根据S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面积公式可求解；（2）过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；（2）如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∵S△ACD=3，∴×AC×2=3，解得AC=3．【点评】本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．29．（2014秋?苏州期末）一天，数学老师布置一个思考题，要求每个学习小组课后去讨论．你能和他们一起思考吗？题目是这样的：如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．（1）比较PD与PE的长短，得；（2）在OC上另取一点Q，画QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别为F，G．再比较QF、QG的长短，得；（3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？【考点】角平分线的性质．【分析】（1）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（2）通过实际操作能得到P点到角的两边距离相等；（3）可以通过证明三角形全等来得到正确的结论；【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；（2）用直尺量得QF=QG；（3）证明：∵P是∠AOB的角平分线OC上一点，∴∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠ODP=∠OEP，∴△DOO≌△EPO，∴PD=PE，∴角平分线上的点到角的两边的距离相等．【点评】本题考查了角平分线的性质，通过学生的动手、动脑使得学生更加牢固的掌握了新知识．30．（2014秋?赣州期末）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，21根据三角形内角和定理求出即可．（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．【解答】（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．22。

角平分线的性质例题习题

角平分线的性质例题习题

如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F .连接EF ，交AD 于点G .说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论.[举一反三]如图，在ABC ∆中，90C ∠= ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =.求证：CF EB =.[例 2] 角平分线的判定如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D . 求证：AD 平分BAC ∠.[举一反三]如图，,F G 是OA 上两点，,M N 是OB 上两点，且FG MN =，PFG PMN S S ∆∆=，试问点P 是否在AOB ∠的平分线上？例1举一反三例2 举一反三已知：如图，在ABC ∆中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC+CD.[举一反三]（1）已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.（2）P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB（3））如图，已知在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠= ，AC 平分BAD ∠，CE AD ⊥，E 为垂足.求证：2AB AD AE +=.[例 4]已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 321DAB C例3 A举一反三（1）P DACB举一反三（2）举一反三（3）[举一反三]已知，如图，BP 平分ABC ，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ，求证：∠BAP+∠BCP＝180°.[例 5]要在S 区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）？OASP C DB PA举一反三 N1.如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠= ，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D ，若C D n =，AB m =，则ABD ∆的面积是（ ）A. 13m n B.12mn C. mn D. 2mn2.如图，ABC ∆中，90C ∠= ，点O 为ABC ∆的三条角平分线的交点，OD BC ⊥，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点,,D E F 分别是垂足，且10AB cm =，8BC cm =，6CA cm =，则点O 到三边,,AB AC BC 的距离分别等于（ ）cmA. 2、2、2B. 3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、53..如图，D 是ABC ∆的外角ACE ∠的平分线上一点，DF AC ⊥于F ，DE BC ⊥于E ，且交BC 的延长线于E .求证：CE CF =.4.如图，已知在ABC ∆中，BD DC =，12∠=∠.求证：AD 平分BAC ∠.5.如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E .求证：1()2BE AC AB =-6.如图，AB //CD ，90B ∠= ，E 是BC 的中点，DE 平分ADC ∠.求证：AE 平分DAB ∠.第1题第2题第3题第4题21F EDCBA第5题角平分线习题1.如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ，求∠B 的度数.2.如图，D 是△ABC 一个外角的平分线上一点.求证：AB+AC ＜DB+DC.3.如图，在△ABC 中，AB ＝7，BC ＝24，AC ＝25.求内心（三角形三条内角平分线的交点）到边的距离.4.如图,已知在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边向外作正△BCE 、正△ACD ，BD 与AE 交于M ，求证：（1）AE ＝BD.（2）MC 平分∠DME.C A BD AB CD E DM B A C 4321ME DCAB5.如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC.6.如图,已知在四边形ABCD 中，BD ＞AB ，AD ＝DC ， BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C ＝180°.7.如图,△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF.D E O B CAC B DA F D AB CE。

八年级上经典三角形的高中线角平分线内外角练习

八年级上经典三角形的高中线角平分线内外角练习

F E D C B A E DCB AB 'C B A 八年级上角形高、中线、角平分线，内外角练习一、选择题：1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( )A.是边BB ′上的中线B.是边BB ′上的高C.是∠BAB ′的角平分线D.以上三种性质合一(1) (2) (3)2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( ) A.DE 是△BCD 的中线 B.BD 是△ABC 的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C 的对边是DE3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2,则S 阴影等于( ) A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14cm 2 4.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE 、中线AD 、高AH 的大小关系为( )A.AH<AE<ADB.AH<AD<AEC.AH ≤AD ≤AED.AH ≤AE ≤AD5.在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.246.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形 7.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 8.已知三角形的一个内角是另一个内角的23,是第三个内角的45,则这个三角形各内角的度数分别为( )A.60°,90°,75°B.48°,72°,60°C.48°,32°,38°D.40°,50°,90° 9.已知△ABC 中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A 的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 10.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形 11.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( )A.有两个锐角、一个钝角B.有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角D.三个都可能是锐角 12.在△ABC 中,∠A=12∠B=13∠C,则此三角形是( )F E D CBA 654321F E CB A 140︒80︒1 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 13.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定14.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°15.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 16.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )A.等腰直角三角形;B.一般的等腰三角形;C.等边三角形;D.等腰钝角三角形 17.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE 等于( )A.120°B.115°C.110°D.105°(1) (2) (3)18.如图2所示,在△ABC 中,E,F 分别在AB,AC 上,则下列各式不能成立的是( )A.∠BOC=∠2+∠6+∠A;B.∠2=∠5-∠A;C.∠5=∠1+∠4;D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度.2.等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.3.在△ABC 中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE 分别是△ABC 的高线和角平分线, 则∠DAE 的度数为_________.4.⑴三角形的三条中线交于一点,这一点是三角形的_______心，在____________ ⑵三角形的三条角平分线交于一点,这一点是三角形的_______心，在__________ ⑶三角形的三条高线所在直线交于一点,这一点是三角形的_______心，①三角形为锐角三角形，这点在三角形___________ ②三角形为直角三角形，这点在三角形___________ ③三角形为钝角三角形，这点在三角形___________5.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.6.在△ABC 中, 若∠A+∠B ＞∠C,则此三角形为_______三角形，若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B ＜∠C,则此三角形是_____三角形.7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为_______.8.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度. 5.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________ 9.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 21D CB AD C B AE D C BA10.如图3所示,∠1=_______.11.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. 12.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.13.如图所示,∠ABC,∠ACB 的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB 的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.14.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.三、基础训练:1.如图所示,在△ABC 中,∠C-∠B=90°,AE 是∠BAC 的平分线,求∠AEC 的度数.2.在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,△ABC 的周长为34cm,△ABD 的周长为30cm, 求AD 的长.3.如图所示,在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC 的度数.4321DCBA4.如图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,AE 平分∠BAC(∠C>∠B),试说明∠EAD=12(∠C-∠B).5.如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数.四、提高训练:1.在△ABC 中,∠A=50°,高BE,CF 所在的直线交于点O,求∠BOC 的度数.E CB A 43P21DCB A21C 'FEC B A2.如图所示,将△ABC 沿EF 折叠,使点C 落到点C ′处,试探求∠1,∠2与∠C 的关系.3.如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 求∠EDF 的度数.4.如图，已知，在直角△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D ．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD ；（2）若AP 平分∠BAC 且交BD 于P ，求∠BPA 的度数．五、探索发现:1. 如图5所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数为s.按此规律推断s 与n 有什么关系,并求出当n=13时,s 的值.2. 如图所示,在△ABC 中,∠A=α,△ABC 的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.FE D CBAn=2,s=3n=3,s=6n=4,s=9(1)PC BA (2)PCBA(3)PCBA。

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题八年级上册数学的角平分线的性质知识点即将学完，教师们腰围同学们准备精选练习题，下面是店铺为大家带来的关于八年级数学上册角平分线的性质精选的练习题，希望会给大家带来帮助。

八年级数学上册角平分线的性质精选练习题目一、选择题1. 用尺规作已知角的平分线的理论依据是( )A.SASB.AASC.SSSD.ASA2. ∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是( )A、PD=PEB、OD=OEC、∠DPO=∠EPOD、PD=OD3. Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是( )A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm4. △ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长为( )A. 4㎝B. 6㎝C. 10㎝D. 不能确定5.OP平分，，，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )A. B. 平分 C. D. 垂直平分6.AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.S△ABC =7，DE=2，AB=4，则AC长是( )A. 4B. 3C. 6D. 57.AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A、11B、5.5C、7D、3.58.已知：△ABC中，∠C=90o，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC和BC的距离分别等于( )(A)2cm、2cm、2cm. (B)3cm、3cm、3cm.(C)4cm、4cm、4cm. (D)2cm、3cm、5cm.二、填空题9.P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出中一对相等的线段(只需写出一对即可) .10.在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠AB C，AD=2 cm，则点D到BC的距离为________cm.11 .OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为.12.在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是13.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD：CD=3：2，则点D到线段AB的距离为14.已知△ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，则S△ABD=.15.AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是16.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为.17.AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为18. △ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO =三、解答题19.已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C.20. 画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由.21.AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于 EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.(1)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数;(2)若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN.22. 已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之间有何关系?并加以证明.23. △ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G.求证：BF=CG.八年级数学上册角平分线的性质精选练习题答案一、选择题1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空题9. PC=PD(答案不唯一) 10. 2 11. 3 12. 15 13. 4 14. 1015. AD垂直平分EF 16. 5 17. 4 18. 4：5：6三、解答题19.证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B=∠C.20. 解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF.21.(1)解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB= ∠CAB=33°(2)证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∴△ACN≌△MCN.22 . 解：BC、BA、AE三者之间的关系：BC=BA+AE，理由如下：过E作ED⊥BC交BC于点D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中∴Rt△BAE≌Rt△BDE(HL)，∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE. 23. 证明：连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE=EC，∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE (HL)，∴BF=CG。

角平分线的性质经典测试题

角平分线的性质经典测试题

角平分线的性质一、选择题1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2、如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD3、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定第2题 第3题 第12题4、如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm二、填空题 1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。

6、点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________． 21D A PO E BE D C B A D C E B 第3题 第4题三、解答题1、已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4cm，求BC的长．2、如图11．3—4，在△ABC中∠C=900，AC=BC，AD平分．交BC于点D，DE⊥BE求证：（1）DE+BD=AC（2）若AB=6cm，求△DBE的周长3、如图11．3—6，已知：AB=AC，BD=CD，求证：DE=DF。

【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案

【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案

角的平分线第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)A ．6B ．5C ．4D ．35．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ． 求证：PD ＝PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 02 中档题9．(淮安中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为(B )A ．15B ．30C ．45D ．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8 B．6 C．4 D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，且AD ＝A′D′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线， ∴∠BAD ＝∠B′A′D′. ∵∠B ＝∠B′，AD ＝A′D′， ∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS )． ∴AB ＝A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中，⎩⎨⎧∠B ＝∠B′，AB ＝A′B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA )． 03 综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°.求证：DB ＝DC.证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°， ∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.第2课时 角的平分线的判定01 基础题知识点1 角的平分线的判定1．如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ；②PD ＝PE ；③OD ＝OE ；④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝35°．3．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC.∴DE ＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB ＝OC ； (2)当OB ＝OC 时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°. 在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠BOD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△BOD ≌△COE(ASA )． ∴OB ＝OC.(2)在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠ODB ＝∠OEC ，∠BOD ＝∠COE ，OB ＝OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS )． ∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.知识点2 三角形的角平分线5．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的(B )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)PABA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.03 综合题13．如图，在四边形ABDC 中，∠D ＝∠B ＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：(1)CO 平分∠ACD ；(2)OA ⊥OC ；(3)AB ＋CD ＝AC.证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E ，∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD.∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°.∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE. 同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180° ＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。

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例4.已知：如图，在 ABC 中， AB .
C 90 , AC
求证： AC CD 例5、如图， 已知
AB//DC , A
D 90，点 求证： BC AB DC 。

PE 的
求证：AE AF . 例2 .已知： 如图，
BD 是 ABC 的平分线，AB BC , P 在 BD 上, PM AD , PN CD 求证：
PM PN . 例3.如图, 已知： 在 ABC 中AD 是 BAC 的平分线， DE AB 于 E , DF AC 于 F .
求证： AD EF .
例6 •已知：如图，在 ABC 中，BE CF 分别平分 求证：点0在 A 的平分线上•
针对性练习
1、 下列说法正确的有几个（ ）
（1） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
（2） 三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；
（3） 三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；
（4） 点E 、F 分别在/ AOB 的两边上，P 点到E 、F 两点距离相等，所以 P 点在/ AOB 的平分线上；
（5） 若0C 是/ AOB 的平分线，过 0C 上的点P 作0C 的垂线，交 0B 于D,交0A 于 E ,则线段PD 长分别是P 点到角两边的距离
A. 2 B 3 C 4 D 5
2、在厶 ABC 中，/ C = 900, BC = 16cm,/ A 的平分线 AD 交 BC 于 D,
且CD DB= 3: 5，贝U D 到AB 的距离等于 ___________
例1 .如图，已知: AD 是ABC 的角平分线, DE DF 分别是 ABD 和 ACD 的高.
BC ，AD 是 A 的平分线• E
AB 于E.
图1 3、 已知：如图1, BD 是/ ABC 的平分线，DEIAB 于E , S ABC
36cm 2
AB= 18cm,BC = 12cm,求 DE 的长 4•如图，已知：BD CD , BF AC 于 F, CE
求证：D 在 BAC 的平分线上•
A
5、已知：如图2,
/ B =Z C = 900, M 是BC 中点, 求证：AM 平分/ DAB DM 平分/ ADC
6•如图， ABC 是等腰直角三角形,
A 90，BD 是 ABC 的平分线，DE BC 于 E, BC 10cm ，
求DEC 的周长. 7.如图，已知：在 ABC 中，外角
CBD 和 BCE 的平分线BF, CF 相交于点F .
求证：点F 在 DAE 的平分线上 8、如图， AD//BC ，点E 在线段AB 上, 求证：CD AD BC 。

ADE CDE , DCE ECB ,
9、已知：如图 3，在△ ABC 中，/ B = 600, 求证：AE+CD- AC
10. 如图在 △ ABC 中，/ BAG= 100° , / ACB= 20° ,CE 是/ ACB 的平分线,D 是 BC 上一点，若/ DAG= 20 ° 求/ CED 的度数.
C
△ ABC 的角平分线AD CE 线相交于点O C
11. 在四边形ABCD中,BC >BA,A» CD,BD平分/ ABC,/ C= 72
C。

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