多元函数微分学6.6隐函数的微分法

Fx 3yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy,
从而
z x
Fx Fz

yz , z2 xy
z y


Fy Fz

xz z2 xy.
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于是
2z xy

( z ) y x

y
( yz ) z2 xy
数的求导法则，得
Fx

Fy
dy dx

0
由于 Fy连续，且 Fy(x 0, y0 ) 0, 所以存在点(x0,y0)
的某个邻域，在此邻域内 Fy 0, 于是得到
dy Fx . dx Fy
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例6-28 设方程 sin xy ex y2 确定了y是x的函数，
我们可以根据三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程
F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)的存在，以及这个
函数的性质．
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定理6-7 设函数F(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某邻域有连续
的偏导数，F(x 0, y0, z0 ) 0, Fz(x 0, y0, z0 ) 0. 则方程
z Fy . y Fz
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例6-29 设方程 sin z x2 yz 确定了函数z f (x, y)
求 z 及 z . x y 解 设 F( x , y, z ) sin z x2 yz, 则有
Fx 2xyz, Fy x2z, Fz cos z x2 y.
dy Fx . dx Fy 公式（1）就是隐函数的求导公式．
（1）
定理的证明从略．我们来推导公式（1）．
将方程F(x,y)=0所确定的函数代入方程，得到
F( x , f (x) ) 0,
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对 F( x , f (x) ) 0 两边关于x求导．由多元复合函
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上式两边分别对x和y求偏导，由多元复合函数的求 导法则，得
Fx

Fz
z x

0,
Fy

Fz
z y

0.
由于 Fz 连续，且 Fz(x 0, y0, z0 ) 0, 故存在点(x0,y0,z0)
的某个邻域，在此邻域内 Fz 0, 于是得到
z Fx , x Fz
6.6 隐函数的微分法
在一元函数微分学中，我们学习了由方程
F(x, y) 0
所确定的隐函数的导数的方法．这一节将列举出隐函 数存在定理，并且根据多元复合函数的求导法则来推 导出隐函数的求导公式．
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定理6-6 设函数F(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续的 偏导数，F(x 0, y0 ) 0，Fy(x 0, y0 ) 0. 则方程F(x,y)=0 在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个具有连续 导数的函数y=f(x) ，它满足y0=f(x0) ，并且
由公式可得
z Fx x Fz

2xyz cos z x2
y
,
z y Fy Fzx2z cos z x2 y .
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例6-30 设方程 z3 3xyz 1确定了函数z f (x, y)
求 2z . xy
解 设 F( x , y, z ) z3 3xyz 1, 则有
求 dy .
dx
解 令 F(x , y) sin xy ex y2, 因为
Fx y cos xy ex , Fy x cos xy 2 y.
所以
dy Fx y cos xy ex .
dx Fy x cos xy 2 y
隐函数存在定理还可以推广到多元函数．例如，
F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个
具有连续偏导数的函数z=f(x,y) ，它满足z0=f(x0,y0) ，且
z Fx , x Fz
z Fy . y Fz
（2）
这个定理我们也不作证明，与定理6-6类似，仅对
公式（2）进行推导．
由于 F( x, y , f (x, y) ) 0
(z 2 xy)(z y z ) yz(2z z x)

y
y
(z 2 xy)2

z(z4
2xyz2 x (z2 xy)3
2
y
2
)
.
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