基本图像变换

自动化工程学院电子工程系教研室 王汉萍 主讲
第3章 图像变换
数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理 法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理 中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严 格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。 在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图 像增强、图像复原、图像编码等处理中。
u ,v 0 ,1 ,2 , ,N 1 x ,y 0 ,1 ,2 , ,N 1
3. h(x,y,u,v) 和k(x,y,u,v) 分别称为正向变
换核和反向变换核。
4. 如果，下式成立：
h (x ,y ,u ,v ) h 1 (x ,u ) h 2 (y ,v )
5. 则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数
一维连续傅立叶变换
F(u) f(x)ej2ud x x
f(x) F(u)ej2uxdu
令ω=2πu，则有
F() f(x)ejxdx
f(x)21
F()ejxdx
二维连续傅立叶变换
如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅
立叶变换对：
F(u,v) f(x,y)ej2(u xv)y dxdy
|
F(u,v)|2dudv
说明变换前后不损失能量。
7. 相关定理
f(x) g(x) f()g(x)d
f(x ,y ) g (x ,y ) f(,)g (x ,y ) dd
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图 像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而 可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
3.2 离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（DCT）在图像压缩编码中得到广泛应 用，它是国际静止图像压缩标准JPEG的基础，也是国际序 列图像压缩标准MPEG-1和MPEG-2中采用的变换方法。
1.变换的定义 1-D离散余弦变换和其反变换的定义：
C (u)a(u)u N 0 1f(x)co 2x s2 N 1 u x f(x)u N 0 1a(u)C (u)co 2s x2 N 1 u x
C ( u ) a ( u ) e j u x / 2 N ) ( [ g ( p x ] )u ] [ 0 , 1 , 2 , , N 1
其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：
g(x)f(2x) f[2(N1x)1]
x0,1,2,,N1 2
xN,,N1 2
可见，g(x)的前半部分是f(x)的偶数项，后半部分是 f(x)奇数项的逆排。可以将N点离散余弦变换的计算转化 为对N点离散傅里叶变换计算。
其中，a(u)为归一化加权系数，由下式定义：
a(u) 1/N 2/N
当 u0 当 u1,2,,N1
2-D离散余弦变换和其反变换定义：
C u ,v a ( u ) a ( v ) N 1 N 1 fx ,y c o 2 x 1 s u c o 2 y 1 s v
形式一样，则称正向变换核是对称的。
3. 2-D可分离变换的计算
N 1 N 1
T ( u ,v ) f(x ,y ) h 1 (x ,u ) h 2 (y ,v ) x 0 y 0
u ,v 0 ,1 ,2 , ,N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
N 1
T (x ,v ) f(x ,y )h 2 (y ,v )
f(r, 0) F ( , 0)
由上式可知，对f(x,y)旋转 0 相当于将其傅里叶变换
F(u,v)也旋转 0 ；对F(u,v)旋转 0 相当于将其傅里叶反变 换f(x,y)旋转 0 。
3. 尺度定理 af(x, y) aF(u,v)
（相似定） f (ax,by) 1 F(u,v)
| ab| a b
对于数字图像而言，DFT的重要意义在于，在数学上 建立了阵列与阵列的一一对应关系，而且这个变换具有一 系列重要性质，这些数学性质在物理实现上又有重要的应 用价值，并且有快速算法，这些算法固化在器件上，也可 以通过光学器件实现。傅立叶变换在图像的高、低通滤波、 噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中有着广泛的应用。
5. 组合剪切定理 f(x b,d y x y)1 F (u d, vb u v) |1 b|d1 bd 1 bd
组合剪切的坐标变换：
x'
1 d
b1x
6. 仿射定理
g (x ,y)f(a x b y c ,d x e yf)
G (u ,v )1ex j2 p [e({ c b)u f (a fc)v d ]F } (e u d, v b u a)
x 0 y 0
2 N 2 N
u,v0,1,,N1
f( x ,y ) N 1 N 1 a ( u ) a ( v ) C ( u ,v ) c 2 o x 1 u s c 2 o y 1 v s
u 0 v 0
2 N 2 N
x,y0,1,,N1
2. 变换的计算 离散余弦变换可以利用傅立叶变换的实部计算来实现：
(0,0) (N-1) U
二、正交变换
当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式
N 1 N 1
T ( u ,v ) f(x ,y ) h (x ,y ,u ,v ) x 0 y 0
u ,v 0 ,1 ,2 , ,N 1
可写为矩阵形式
其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素
由上式可知，f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频 域与一个指数项相乘；将f(x,y)在空间与一个指数项相乘
相当于把其变换在频域平移。并且对f(x,y)的平移不影响 其傅里叶变换的幅值。
2. 旋转定理
借助极坐标 x r c,o y r s s, iu n c,o v s si
将f(x,y)和F(u,v)转换为 f (r,)和F(,)
快速傅立叶变换简称为FFT。算法根据分解特点一般 有两类：一类是按时间分解，一类是按频率分解。
FFT运算蝶式流程图（阮秋琦《数字图像处理学》） 关于快速算法的结论
以一维离散傅立叶变换为例，要完成整个变换需要N2 次乘法和N(N-1)次加法。而整个快速傅立叶变换需要 log2N*N/2次复数乘法和log2N*N/2此复数加法，N越大，快 速算法的优越性越显著。
| |
其中行列式 为：
da
beaebd
7. 卷积定理
f(x,y) g(x,y) F(u,v)G (u,v) f(x,y)g(x,y) F(u,v) G (u,v)
8. 相关定理
f(x,y)•g(x,yF(u,v)G(u,v) f(x,y)g(x,yF(u,v)•G(u,v)
3.1.3 快速傅里叶变换
f (x, y)e e j2ux j2vydxdy
[
f (x, y)e j2uxdx]e j2vydy
y{x[ f (x, y)]}
该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶
变换实现
2. 线性
[a1f1(x,y)a2f2(x,y)] a1[f1(x,y)]a2[f2(x,y)]
3. 共轭对称性
F(u,v)F*(u,v)
4. 旋转性
f(r, 0) F (, 0)
5. 比例变换特性
af(x, y) aF(u,v) f (ax,by) 1 F(u,v)
| ab| a b
6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）
|
f
(x,
y)|2ej2(u
xvy)dxdy
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1
T (u ) f(x)h (x,u ) x 0
u0 ,1 ,2 , ,N 1
2.T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反
变换可以表示为：
f(x,y) F (u,v)ej2(u xv)ydudv
连续傅立叶变换的性质
1.可分性 2. 线性 3. 共轭对称性 4. 旋转性
5. 比例变换特性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理）
7. 相关定理
8. 卷积定理
1. 可分性
F(u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
N 1
f(x) T(u)k(x,u) u 0
x0,1 ,2, ,N 1
3.k(x,u)称为反向变换核。
2. 2-D可分离变换
N 1 N 1
T ( u ,v ) f(x ,y ) h (x ,y ,u ,v ) x 0 y 0
N 1 N 1
f( x ,y ) T ( u ,v ) k ( x ,y ,u ,v ) u 0 v 0
3.1.1 2-D 离散傅里叶变换（DFT）
F ( u ,v ) 1 N 1 N 1 f( x ,y ) e x j2 ( u p v x ) [ /N y ] N x 0 y 0
f( x ,y ) 1 N 1 N 1 F ( u ,v ) ej2 x ( u p v x ) /N [ y ] N u 0 v 0
3.1 傅立叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
上式表明，对f(x,y)在幅度方面的尺度变化导致对其 傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的相应尺度变化；对f(x,y) 在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换F(u,v)在频