基本图像变换
图像几何变换(旋转和缩放)
图像几何变换的重要性
图像几何变换可以帮助我们更好地理 解和分析图像内容，例如在人脸识别 、目标检测和跟踪、遥感图像处理等 领域。
通过变换可以纠正图像的畸变，提高 图像的清晰度和可读性，从而改善图 像的质量。
图像几何变换的应用场景
医学影像处理
在医学领域，通过对医学影像进行几何变换，可以更好地 观察和分析病变部位，提高诊断的准确性和可靠性。
图像旋转
图像旋转的基本概念
图像旋转是指将图像围绕一个点 进行旋转的操作。这个点被称为
旋转中心或原点。
旋转角度是旋转的度数，通常以 度（°）为单位。
旋转可以是顺时针或逆时针方向， 取决于旋转角度的正负值。
图像旋转的算法实现
图像旋转可以通过多种算法实现，其 中最常用的是矩阵变换和插值算法。
插值算法通过在旋转过程中对像素进 行插值，以获得更平滑的旋转效果。 常用的插值算法包括最近邻插值、双 线性插值和双三次插值等。
矩阵变换算法通过将图像表示为一个 矩阵，并应用旋转矩阵来计算旋转后 的像素坐标。
图像旋转的优缺点
优点
图像旋转可以用于纠正倾斜的图像、 增强图像的视觉效果、实现特定的艺 术效果等。
缺点
图像旋转可能会改变图像的比例，导 致图像失真或变形。此外，对于大尺 寸的图像，旋转操作可能需要较长时 间和较大的计算资源。
双线性插值和双三次插值等。
重采样算法
重采样算法通过重新计算每个像 素的灰度值来实现图像缩放。这 种方法通常比插值算法更精确，
但计算量较大。
多项式拟合算法
多项式拟合算法通过拟合原始图 像中的像素点，然后根据多项式 函数来计算新的像素值。这种方 法适用于对图像进行复杂变换的
情况。
图像缩放的优缺点
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用图形变换，是指将一个图形进行身形、大小、位置和姿态的改变，从而得到一个新的图形的过程，是图像处理中的重要内容。
图形变换不仅可以使得图像更加丰富和多样化，还可以在很多领域得到广泛的应用，如游戏、电影、多媒体、医疗等领域，今天我们就来详细的学习一下常见图形的变换及用途，希望对你有所帮助。
一、图形变换的基础知识1、图形变换的基本类型：主要包括刚性变换、相似变换、仿射变换、投影变换等。
2、图形变换的重要影响因素：主要包括变换矩阵、变换前后的坐标系、变换前后的图像大小等。
3、图形变换的基本理论：主要包括平移、缩放、旋转、翻转、拉伸、扭曲等几个关键技术。
二、常见图形变换及用途1、平移变换平移变换是将图像在正交平面内沿着x、y轴方向进行移动的一种基本变换，用于调整图像的位置。
通常使用平移矩阵来进行平移变换，矩阵内容为：[[1, 0, dx], [0, 1, dy], [0, 0, 1]]，其中dx、dy分别表示在x、y轴方向上的平移距离。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行平移变换，比如说模板匹配、人脸检测等。
2、缩放变换缩放变换是将图像在x轴和y轴方向上均匀拉伸或收缩的一种基本变换。
通常使用缩放矩阵来进行缩放变换，矩阵内容为：[[a, 0, 0], [0, b, 0], [0, 0, 1]]，其中a、b表示在x、y轴各自方向上的缩放比例。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行缩放变换，比如图像放大、縮小、模式识别、图像超分辨率重建等。
3、旋转变换旋转变换是将图像沿着某一点进行旋转的一种基本变换。
通常使用旋转矩阵来进行旋转变换，矩阵内容为：[[cosθ, -sinθ, 0], [sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]]，其中θ表示旋转的角度。
应用场景：旋转变换在图像矫正、图像特征提取以及计算机视觉领域中得到广泛的应用。
4、翻转变换翻转变换是将图像进行水平或垂直方向翻转的一种基本变换。
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
高中数学函数图象及其变换(动态图)
f ( x) x 2 x
2
知识点讲解
图像基本变换（翻折）
f ( x) y f ( x) y f ( x) f ( x)
f ( x) x2 2x
f ( x) 0 f ( x) 0
原图像x轴上侧不动，下侧的图像翻折到上侧
f ( x) x 2 2 x
f ( x) x2 2x
f ( x) x 2 2 x
知识点讲解
图像基本变换（对称）
y f ( x) y f ( x )
函数图像关于x轴对称
f ( x) x2 2x
f ( x) x 2 2 x
知识点讲解
图像基本变换（对称）
y f ( x) y f ( x)
图像与原图像关于y轴对称
y f ( x a)
f ( x
图像与原图像关于y轴对称
f ( x) sin( x)
2
) sin( x
2
)
知识点讲解
平移翻折变换
y f ( x) y f ( x a)(a 0) y f ( x a)
y sin x
知识点讲解
平移缩放变换（途径一） y f ( x) y f (kx a)(k , a 0)
纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 图像向左平移a个单位 y f ( x) k y f ( x a) 1
y f (kx a)
纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 倍 2
2
) sin(2x
2
)
知识点讲解
opencv：图像的基本变换
opencv：图像的基本变换0.概述图像变换的基本原理都是找到原图和⽬标图的像素位置的映射关系，这个可以⽤坐标系来思考，在opencv中，图像的坐标系是从左上⾓开始(0,0)，向右是x增加⽅向(cols)，向下时y增加⽅向(rows)。
普通坐标关系：图像坐标关系：1.图像的平移图像的平移是⽐较简单的映射关系，对于原图像的某个像素点位置(X0,Y0)，向右平移100个像素的话，变换之后的⽬标像素点位置(X =X0+100,Y)，然后⽤原图像的像素值填充⽬标位置就可，因此我们需要将这种映射关系转换⼀下，⽅便获得原图像素值，也就是X0 = X-100，这⾥X是已知的。
具体代码如下：void translation(cv::Mat & src, cv::Mat & dst, int dx, int dy){const int rows = src.rows; // 获得原图的⾼度（y）const int cols = src.cols; // 获得原图的宽度（x）dst.create(rows, cols, src.type()); // 按照原图⼤⼩和格式创建⼀个空⽩图Vec3b *p;for (int Y = 0; Y < rows; ++Y) // 按⾏扫描{p = dst.ptr<Vec3b>(Y);for (int X = 0; X < cols; ++X){int X0 = X - dx; // 逆映射关系，求得原图的位置int Y0 = Y - dy;if (X0 >= 0 && Y0 >= 0 && X0 < cols && Y0 < rows) // 防⽌越界{p[X] = src.ptr<Vec3b>(Y0)[X0]; // 将原图的像素值赋给⽬标位置}}}}2.图像的缩放这⾥暂时只贴出opencv的缩放接⼝：void resize(InputArray src, //输⼊图像OutputArray dst, // 输出图像Size dsize, // 指定的输出图像的⼤⼩double fx=0, // 横向缩放⽐例double fy=0, // 纵向缩放⽐例int interpolation=INTER_LINEAR // 指定插值⽅式);3.图像的旋转图像旋转矩阵的原理可以参考基本映射关系：我们只需要根据这个映射关系写就好，其中的dx和dy主要⽤来计算旋转中⼼的，如果都是0的话图像就是围绕图像坐标(0,0)来旋转，该公式中的W'和H'指的是⽬标图像的宽度和⾼度。
函数图象的几种常见变换
函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。
高中数学图像变换问题教案
高中数学图像变换问题教案在高中数学课程中，图像变换是一个重要的知识点，它不仅涉及代数与几何的综合应用，还锻炼了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
为了帮助教师更好地设计教学环节，本文将提供一个针对高中数学图像变换问题的教案范本。
## 教学目标1. 理解并掌握平移、翻折、旋转等基本的图像变换规律。
2. 能够熟练进行坐标系中的点、线段等基本图形的变换操作。
3. 培养学生通过图像变换解决实际问题的能力。
4. 提高学生利用几何画板软件进行图像变换操作的实践技能。
## 教学内容- 平移变换：点的平移公式，线段的平移方法。
- 翻折变换：关于x轴、y轴以及任意直线的翻折。
- 旋转变换：围绕某一点或某一轴旋转的变换规则。
- 综合应用：多种变换结合的问题解决方法。
## 教学过程### 引入新课开始上课时，教师可以通过展示日常生活中的实例，如钟表的指针转动、折叠纸张等，来引出图像变换的概念，激发学生的学习兴趣。
### 讲解新知1. **平移变换**：- 定义说明：保持图形的形状和大小不变，沿一定方向移动一定距离。
- 公式推导：(x, y) -> (x+a, y+b)，其中a、b为沿x轴和y轴的移动距离。
- 实例演示：用几何画板展示点的平移过程。
2. **翻折变换**：- 概念介绍：图形以某条直线为对称轴进行反转。
- 坐标变化：关于x轴翻折，y坐标取反；关于y轴翻折，x坐标取反；关于任意直线翻折，则需找到对应的对称点坐标。
- 练习操作：指导学生使用几何画板完成翻折变换。
3. **旋转变换**：- 原理解释：图形绕一个点或一条直线旋转一定角度。
- 坐标转换：绕原点逆时针旋转θ度，坐标变为(xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ)。
- 案例分析：通过具体例题让学生了解旋转变换的应用。
### 课堂练习分发练习题，让学生独立完成，包括点的平移、翻折和旋转等基本题型，然后进行小组讨论，互相解答疑惑。
### 归纳总结由学生总结本节课所学内容，教师补充并强调关键点和常见错误。
图像变换原理
图像变换原理图像变换是一种通过改变图像的像素值或空间关系，以得到新的视觉效果或数据表示的技术。
它在计算机图形学、计算机视觉、图像处理等领域中具有重要的应用。
图像变换可以分为两类：几何变换和像素变换。
几何变换是通过改变图像的形状、位置、大小或者方向来实现的。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
平移是通过将图像在水平和垂直方向上的像素值进行移动来实现的，旋转是将图像绕着某个中心点旋转一定角度，缩放是通过改变图像的像素间距来改变图像的大小，而错切是通过改变图像像素之间的相对位置来改变图像的形状。
像素变换是通过改变图像的像素值来实现的。
常见的像素变换包括亮度调整、对比度调整、颜色空间转换和直方图均衡化等操作。
亮度调整是通过改变图像的亮度值来调整图像的明暗程度，对比度调整是通过改变图像的像素值范围来调整图像的清晰程度，颜色空间转换是将图像从一个颜色空间转换到另一个颜色空间，而直方图均衡化是通过改变图像的像素分布来增强图像的对比度和细节。
图像变换的原理主要包括以下几个方面：1. 像素级处理：图像变换是在图像的每个像素上进行的，通过改变每个像素的数值或颜色来实现图像的变换。
2. 空间转换：图像变换可以在图像的整个空间范围内进行，也可以只在图像的局部区域进行。
3. 插值方式：在对图像进行变换时，需要对新像素的像素值进行估计。
插值是一种常用的方法，通过对周围已知像素的像素值进行加权平均或其他数学处理来估计新像素的像素值。
4. 变换模型：不同的图像变换可以使用不同的数学模型来描述。
常见的变换模型包括仿射变换、透视变换和非线性变换等。
图像变换的原理和方法是计算机图形学和图像处理领域的基础知识，它为我们理解图像的特征提取、目标识别、图像增强和图像生成等问题提供了重要的工具和思路。
随着计算机技术的不断发展，图像变换的应用和研究也在不断深入和扩展，为我们实现更加丰富多样的图像处理和图像生成效果提供了可能。
图形变换基本概念
图形变换基本概念图形变换是计算机图形学中的一个重要概念，它通过对图形进行特定操作来改变其形状、大小或位置。
图形变换常用于图像处理、动画制作和计算机图形学等领域，对于实现图像变换效果有着重要的作用。
本文将介绍几种常见的图形变换方法及其基本概念。
一、平移变换（Translation）平移变换是一种基本的图形变换方法，它将图形沿着指定的方向进行移动。
平移变换可以通过改变图形中所有点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），平移变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + dxy' = y + dy其中dx和dy分别是水平和垂直方向上的平移量。
通过改变dx和dy的值，可以实现图形的平移。
二、旋转变换（Rotation）旋转变换是将图形绕着指定点旋转一定角度的操作。
旋转变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），旋转变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中θ表示旋转的角度。
通过改变θ的值，可以实现图形的旋转。
三、缩放变换（Scaling）缩放变换是将图形按比例进行放大或缩小的操作。
缩放变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），缩放变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x * sxy' = y * sy其中sx和sy分别表示在水平和垂直方向上的缩放比例。
通过改变sx和sy的值，可以实现图形的缩放。
四、错切变换（Shearing）错切变换是将图形在水平或垂直方向上斜向延伸的操作。
错切变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），错切变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + myy' = nx + y其中n和m分别表示在水平和垂直方向上的错切系数。
图像的几何变换（一）
图像的⼏何变换（⼀）图像的⼏何变换是指改变图像的⼏何位置、⼏何形状、⼏何尺⼨等⼏何特征。
⼀.图像的平移图像平移是将⼀幅图像中所有的点都按照指定的平移量在⽔平、垂直⽅向移动，平移后的图像与原图像相同。
利⽤齐次坐标，变换前后图像上的点P0(x0,y0)和P(x,y)之间的关系可以⽤如下的矩阵变换表⽰为平移变换的⼏点说明：①平移后图像上的每⼀点都可以在原图像中找到对应的点。
对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统⼀设置为0或这255（对于灰度图就是⿊⾊或者⽩⾊);②若图像平移后并没被放⼤，说明移出的部分被截断，原图像中有像素点被移出显⽰区域。
③若不想丢失被移出的部分图像，则将新⽣成的图像扩⼤。
代码如下：clear all;close all;I = imread('lenna.jpg');delta_x = 10; % ⽔平⽅向的偏移量delta_y = 10; % 垂直⽅向的偏移量[M N] = size(I); % 原图像的宽度和⾼度I2 = zeros(M, N);for x = 1 : Mif x + delta_x <= Mfor y = 1 : Nif y + delta_y <= NI2(x + delta_x, y + delta_y) = I(x, y);endendendendsubplot(1, 2, 1), imshow(I);subplot(1, 2, 2), imshow(uint8(I2));平移后的图像显⽰如下：⼆.图像的旋转⼀般图像的旋转是以图像的中⼼为原点，旋转⼀定的⾓度，即将图像上的所有像素都旋转⼀个相同的⾓度。
图像的旋转变换也可以⽤矩阵变换表⽰。
设点P0(x0, y0)旋转θ⾓后的对应点为P(x, y)，则变换公式为：或者是利⽤公式进⾏图像旋转变换时，需要注意如下两点：①为了避免图像信息的丢失，图像旋转后必须进⾏平移变换。
②图像旋转之后，会出现许多空洞点，我们必须对这些空洞点进⾏填充处理，否则图像旋转后的效果不好,⼀般也将这种操作称作为插值处理。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
函数图像变换知识点总结
函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。
平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。
- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。
2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。
伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。
- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。
- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。
3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。
- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。
- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。
二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。
三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。
1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。
例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。
2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。
例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。
10、图像的几何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换
10、图像的⼏何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换1.⼏何变换的基本概念 图像⼏何变换⼜称为图像空间变换，它将⼀副图像中的坐标位置映射到另⼀幅图像中的新坐标位置。
我们学习⼏何变换就是确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
图像的⼏何变换改变了像素的空间位置，建⽴⼀种原图像像素与变换后图像像素之间的映射关系，通过这种映射关系能够实现下⾯两种计算：原图像任意像素计算该像素在变换后图像的坐标位置变换后图像的任意像素在原图像的坐标位置对于第⼀种计算，只要给出原图像上的任意像素坐标，都能通过对应的映射关系获得到该像素在变换后图像的坐标位置。
将这种输⼊图像坐标映射到输出的过程称为“向前映射”。
反过来，知道任意变换后图像上的像素坐标，计算其在原图像的像素坐标，将输出图像映射到输⼊的过程称为“向后映射”。
但是，在使⽤向前映射处理⼏何变换时却有⼀些不⾜，通常会产⽣两个问题：映射不完全，映射重叠映射不完全输⼊图像的像素总数⼩于输出图像，这样输出图像中的⼀些像素找不到在原图像中的映射。
上图只有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)四个坐标根据映射关系在原图像中找到了相对应的像素，其余的12个坐标没有有效值。
映射重叠根据映射关系，输⼊图像的多个像素映射到输出图像的同⼀个像素上。
上图左上⾓的四个像素(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)都会映射到输出图像的(0,0)上，那么(0,0)究竟取那个像素值呢？要解决上述两个问题可以使⽤“向后映射”，使⽤输出图像的坐标反过来推算改坐标对应于原图像中的坐标位置。
这样，输出图像的每个像素都可以通过映射关系在原图像找到唯⼀对应的像素，⽽不会出现映射不完全和映射重叠。
所以，⼀般使⽤向后映射来处理图像的⼏何变换。
从上⾯也可以看出，向前映射之所以会出现问题，主要是由于图像像素的总数发⽣了变化，也就是图像的⼤⼩改变了。
在⼀些图像⼤⼩不会发⽣变化的变换中，向前映射还是很有效的。
函数的图像变换
二、图像作法步骤： （1）确定函数的定义域；（由此确定图 像的范围） （2）化简函数的表达式；（利用基本函 数图像画图） （3）研究函数的性质；（由此确定图像 特征，简化画图过程） （4）根据基本函数图像画出图像。
函数的图像变换
一、函数图像的变换： 函数图像的变换： 函数图像的基本变换－－平移、 －－平移 函数图像的基本变换－－平移、对称与 放缩 1.平移变换（左右平移） 平移变换（ 平移变换 左右平移） y=f(x+a)由y=f(x)的图像向左 的图像向左(a>0)或向右 由 的图像向左 或向右 (a<0)平移 平移 (左加右减 左加右减) 左加右减
5、图像的放缩： 伸缩变换: (1)将y=f(x)的图像上每一点纵坐 标不变，横坐标伸长（0< ω <1）或缩小
ω （ >1）到原来的
1
图像。 (2)将y=f(x)的图像上每一点横坐标不变， 纵坐标伸长（A>1）或缩小（0<A<1）到 原来的A倍，可得到y=Af(x)的图像。
ω
倍，可得到y=f( x)的 ω
4、翻折
y=|f(x)| 的图像只要将 的图像只要将y=f(x)的图像在 轴下方 的图像在x轴下方 的图像在 的部分翻折到x轴上方 其他部分不变。 轴上方， 的部分翻折到 轴上方，其他部分不变。 下翻上） （下翻上） y=f(|x|)的图像只要将 的图像只要将y=f(x)的图像在 轴右方 的图像在y轴右方 的图像只要将 的图像在 的部分翻折到y轴左方 轴左方， 轴右方部分不变 轴右方部分不变。 的部分翻折到 轴左方， y轴右方部分不变。 右翻左） （右翻左） 利用奇偶性
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个单位得到。 个单位得到。
2.上下平移 上下平移 y=f(x)+b由y=f(x)的图像向上 的图像向上(b>0)或 由 的图像向上 或 向下(b<0)平移 平移 向下 (上加下减 上加下减) 上加下减
图像的几何变换-数字图像处理
图像的几何变换
几何变换基础 图像比例缩放 图像平移 图像镜像 图像旋转 图像复合变换 透视变换 应用实例——几何畸变的
校正
图像的几何变换
4.1 几何变换基础
4.1.1 概述 图像的几何变换是指对原始图像按照需要产生大小、形
状和位置的变化。从图像类型来分,图像的几何变换有二维 平面图像的几何变换和三维图像的几何变换以及由三维向二 维平面的投影变换等。从变换的性质来分,有平移、比例缩 放、旋转、反射和错切等基本变换,透视变换等复合变换,以 及插值运算等。
图4-24-图像旋转之前进行的平移
图像的几何变换
按照上述行插值或列插值方法,原像素点(x=1,y=2)经旋 转30°后得到变换后的点(x'=2,y'=2),其后的空洞点(x',y'+1)可 以填充为(x',y'),即空洞点(2,3)可以用(2,2)点的值来代替。当 然,采用不同的插值方法所得到的空洞点的值是不同的,也可 以采用其他方法处理得到不同的空洞点填充效果。图 4-23 中的图像处理后的效果如图4-25 所示。
其逆运算为
图像的几何变换
图4-22 图像旋转θ角
图像的几何变换 用式(4-18)可以计算旋转后图像上像素的坐标。例如,对
图4-23所示大小为3×3的图像进行旋转,当θ=30°时,式(4-18) 为
变换后x、y 可能取的最小、最大值分别为
其变换过程如图4-23所示。
图像的几何变换
图4-23 图像旋转θ角度(30°)
2×3阶变换矩阵,其形式为
图像的几何变换
图像的几何变换 下面再验证点P(x,y)按照3×3的变换矩阵T 平移变换的
结果
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第3章 图像变换
数字图像处理的方法主要分为两大类：一类是空间域处理 法（空域法）；一类是频域法（变换域法），频域法处理 中最为关键的是变换处理，这种变换一般是线性变换，严 格可逆的，并满足一定的正交条件，因此也被称作酉变换。 在图像处理中，正交变换被广泛运用于图像特征提取、图 像增强、图像复原、图像编码等处理中。
u ,v 0 ,1 ,2 , ,N 1 x ,y 0 ,1 ,2 , ,N 1
3. h(x,y,u,v) 和k(x,y,u,v) 分别称为正向变
换核和反向变换核。
4. 如果，下式成立：
h (x ,y ,u ,v ) h 1 (x ,u ) h 2 (y ,v )
5. 则称正向变换核是可分离的。如果h1 和h2的函数
一维连续傅立叶变换
F(u) f(x)ej2ud x x
f(x) F(u)ej2uxdu
令ω=2πu，则有
F() f(x)ejxdx
f(x)21
F()ejxdx
二维连续傅立叶变换
如果f(x,y)满足狄利赫莱条件，那么存在下面二维傅
立叶变换对：
F(u,v) f(x,y)ej2(u xv)y dxdy
|
F(u,v)|2dudv
说明变换前后不损失能量。
7. 相关定理
f(x) g(x) f()g(x)d
f(x ,y ) g (x ,y ) f(,)g (x ,y ) dd
3.1 傅里叶变换
傅里叶变换是可分离和正交变换中的一个特例，对图 像的傅里叶变换将图像从图像空间变换到频率空间，从而 可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
3.2 离散余弦变换（DCT）
离散余弦变换（DCT）在图像压缩编码中得到广泛应 用，它是国际静止图像压缩标准JPEG的基础，也是国际序 列图像压缩标准MPEG-1和MPEG-2中采用的变换方法。
1.变换的定义 1-D离散余弦变换和其反变换的定义：
C (u)a(u)u N 0 1f(x)co 2x s2 N 1 u x f(x)u N 0 1a(u)C (u)co 2s x2 N 1 u x
C ( u ) a ( u ) e j u x / 2 N ) ( [ g ( p x ] )u ] [ 0 , 1 , 2 , , N 1
其中，g(x)表示对f(x)的如下重排：
g(x)f(2x) f[2(N1x)1]
x0,1,2,,N1 2
xN,,N1 2
可见，g(x)的前半部分是f(x)的偶数项，后半部分是 f(x)奇数项的逆排。可以将N点离散余弦变换的计算转化 为对N点离散傅里叶变换计算。
其中，a(u)为归一化加权系数，由下式定义：
a(u) 1/N 2/N
当 u0 当 u1,2,,N1
2-D离散余弦变换和其反变换定义：
C u ,v a ( u ) a ( v ) N 1 N 1 fx ,y c o 2 x 1 s u c o 2 y 1 s v
形式一样，则称正向变换核是对称的。
3. 2-D可分离变换的计算
N 1 N 1
T ( u ,v ) f(x ,y ) h 1 (x ,u ) h 2 (y ,v ) x 0 y 0
u ,v 0 ,1 ,2 , ,N 1
首先，沿f(x,y)的每一列进行1-D变换得到：
N 1
T (x ,v ) f(x ,y )h 2 (y ,v )
f(r, 0) F ( , 0)
由上式可知，对f(x,y)旋转 0 相当于将其傅里叶变换
F(u,v)也旋转 0 ；对F(u,v)旋转 0 相当于将其傅里叶反变 换f(x,y)旋转 0 。
3. 尺度定理 af(x, y) aF(u,v)
（相似定） f (ax,by) 1 F(u,v)
| ab| a b
对于数字图像而言，DFT的重要意义在于，在数学上 建立了阵列与阵列的一一对应关系，而且这个变换具有一 系列重要性质，这些数学性质在物理实现上又有重要的应 用价值，并且有快速算法，这些算法固化在器件上，也可 以通过光学器件实现。傅立叶变换在图像的高、低通滤波、 噪声滤波、选择性滤波、压缩和增强中有着广泛的应用。
5. 组合剪切定理 f(x b,d y x y)1 F (u d, vb u v) |1 b|d1 bd 1 bd
组合剪切的坐标变换：
x'
1 d
b1x
6. 仿射定理
g (x ,y)f(a x b y c ,d x e yf)
G (u ,v )1ex j2 p [e({ c b)u f (a fc)v d ]F } (e u d, v b u a)
x 0 y 0
2 N 2 N
u,v0,1,,N1
f( x ,y ) N 1 N 1 a ( u ) a ( v ) C ( u ,v ) c 2 o x 1 u s c 2 o y 1 v s
u 0 v 0
2 N 2 N
x,y0,1,,N1
2. 变换的计算 离散余弦变换可以利用傅立叶变换的实部计算来实现：
(0,0) (N-1) U
二、正交变换
当h(x,y,u,v)是可分离和对称的函数时，公式
N 1 N 1
T ( u ,v ) f(x ,y ) h (x ,y ,u ,v ) x 0 y 0
u ,v 0 ,1 ,2 , ,N 1
可写为矩阵形式
其中F是N*N图像矩阵，A是N*N对称变换矩阵，其元素
由上式可知，f(x,y)在空间平移相当于把其变换在频 域与一个指数项相乘；将f(x,y)在空间与一个指数项相乘
相当于把其变换在频域平移。并且对f(x,y)的平移不影响 其傅里叶变换的幅值。
2. 旋转定理
借助极坐标 x r c,o y r s s, iu n c,o v s si
将f(x,y)和F(u,v)转换为 f (r,)和F(,)
快速傅立叶变换简称为FFT。算法根据分解特点一般 有两类：一类是按时间分解，一类是按频率分解。
FFT运算蝶式流程图（阮秋琦《数字图像处理学》） 关于快速算法的结论
以一维离散傅立叶变换为例，要完成整个变换需要N2 次乘法和N(N-1)次加法。而整个快速傅立叶变换需要 log2N*N/2次复数乘法和log2N*N/2此复数加法，N越大，快 速算法的优越性越显著。
| |
其中行列式 为：
da
beaebd
7. 卷积定理
f(x,y) g(x,y) F(u,v)G (u,v) f(x,y)g(x,y) F(u,v) G (u,v)
8. 相关定理
f(x,y)•g(x,yF(u,v)G(u,v) f(x,y)g(x,yF(u,v)•G(u,v)
3.1.3 快速傅里叶变换
f (x, y)e e j2ux j2vydxdy
[
f (x, y)e j2uxdx]e j2vydy
y{x[ f (x, y)]}
该性质说明一次二维傅立叶变换可用二次一维傅立叶
变换实现
2. 线性
[a1f1(x,y)a2f2(x,y)] a1[f1(x,y)]a2[f2(x,y)]
3. 共轭对称性
F(u,v)F*(u,v)
4. 旋转性
f(r, 0) F (, 0)
5. 比例变换特性
af(x, y) aF(u,v) f (ax,by) 1 F(u,v)
| ab| a b
6. 帕斯维尔（Parseval）定理（能量保持定理）
|
f
(x,
y)|2ej2(u
xvy)dxdy
变换是双向的，将从图像空间像其他空间的变换称为 正变换，而将从其他空间向图像空间的变换称为反变换或 逆变换。
一、可分离变换
1.1-D可分离变换
N 1
T (u ) f(x)h (x,u ) x 0
u0 ,1 ,2 , ,N 1
2.T(u)为f(x)变换，h(x,u) 称为正向变换核。同理，反
变换可以表示为：
f(x,y) F (u,v)ej2(u xv)ydudv
连续傅立叶变换的性质
1.可分性 2. 线性 3. 共轭对称性 4. 旋转性
5. 比例变换特性 6. 帕斯维尔定理（能量保持定理）
7. 相关定理
8. 卷积定理
1. 可分性
F(u, v) f (x, y)e j2 (uxvy)dxdy
N 1
f(x) T(u)k(x,u) u 0
x0,1 ,2, ,N 1
3.k(x,u)称为反向变换核。
2. 2-D可分离变换
N 1 N 1
T ( u ,v ) f(x ,y ) h (x ,y ,u ,v ) x 0 y 0
N 1 N 1
f( x ,y ) T ( u ,v ) k ( x ,y ,u ,v ) u 0 v 0
3.1.1 2-D 离散傅里叶变换（DFT）
F ( u ,v ) 1 N 1 N 1 f( x ,y ) e x j2 ( u p v x ) [ /N y ] N x 0 y 0
f( x ,y ) 1 N 1 N 1 F ( u ,v ) ej2 x ( u p v x ) /N [ y ] N u 0 v 0
3.1 傅立叶变换
3.2 离散余弦变换
3.3 Hough变换
3.4 小波变换
3.1 可分离和正交图像变换
图像变换的定义
将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一 些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的 加工，最后在转换回图像空间以得到要求的效果。这些转 换方法就被称为图像变换技术。
上式表明，对f(x,y)在幅度方面的尺度变化导致对其 傅里叶变换F(u,v)在幅度方面的相应尺度变化；对f(x,y) 在空间尺度方面的放缩则导致对其傅里叶变换F(u,v)在频