2017全国数学竞赛一试word打印版

2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）

一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，

()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.

2. 若实数y x ,满足1cos 22

=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.

3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为

110

92

2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.

4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.

5. 正三棱锥，

，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其面积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.

6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.

7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3

π

=∠A ,△ABC 的面积为3，则AN AM ⋅的

最小值为________.

8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，

.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+

二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12

∈≤--对所有成立。

证明：22≤-a b

10. （本题满分20分）设,,,321x x x 是非负实数，满足1321=++x x x 求

()⎪⎭

⎫

⎝

⎛++++53

53321

321x x x x x x 的最小值和最大值. 11. （本题满分20分）设复数()()()()

2Re Re 0Re ,0Re ,2

22

12121==>>z z z z z z ，且满足（其中()z Re 表

示复数z 的实部）.

（1）()的最小值；求21Re z z

（2）求的最小值212122z z z z --+++

参考答案及解析

一，填空题： 1. 【答案】2

1-

【解析】由条件知，()()

()x f x f x f =+-

=+71

14，

所以()()()()2

14log 15127141001002-=-=-

=-=⨯+--f f f f 2. 【答案】[]

13,1+-，

【解析】由于[]3,1cos 212

-∈-=y x ，故[]

3,3-∈x ，由2

1cos 2

x y -=可知，

()112121cos 2

2-+=--=-x x x y x .因此当1-=x 时，y x cos -有最小值-1（这时2π可以取y ）；当

()π可以取这时有最大值时，y y x x 13cos 3+--.由于

()112

1

2-+x 的值域是[]

131+-，，从而[]

13,1cos +--，的取值范围是y x

3. 【答案】

2

11

3 【解析】：易知()

()10,0,3，F A .设P 的坐标是()

⎪⎭

⎫

⎝⎛∈2,0,sin 10,cos 3πθθθ则

()()

ϕθθθπθθ+=+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈⋅⋅=

+=∆∆sin 2113sin cos 102

32,0,sin 10321OFP OAP OAPF S S S

其中2

11310arctan .1010arctan 面积的最大值为时，四边形当OAPF ==θϕ 4. 【答案】75

【解析】考虑平稳数abc

{}个平稳数有则若2,1,0,1,0∈==c a b

{}{}个平稳数有则，若632,2,1,0,2,11=⨯∈∈=c a b

{}个平稳数有，则，若422,98,9=⨯∈=c a b

综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75

5. 【答案】

10

5

3 【解析】设AB,PC,的中点分别为K,M ，则易证平面ABM 就是平面α，由中线长公式知

()()

2

3241122141212222222=⨯-+=-+=

PC AC AP AM 所以2

521232

2

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AK AM KM 又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK ，而CM=1，2

3

=

KC ,所以 10535

4314

52cos 2

2

2

=-

+=⋅-+=∠MC KM KC MC KM KMC 故棱PC 与平面α所成角的余弦值为

10

5

3 6. 【答案】

7

4 【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为

8439=C 种.

将K 中的点按右图标记为O A A A ,821，，

，⋯,其中有8对点之间的距离为5.由对称性，考虑取41A A ，两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有5687=⨯个三点组（不计每组中三点的次序）.对每

个()53,8,2,1++⋯=i i i A A K i A 中恰有，，

两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有{}()8,,2,1,,53⋯=++i A A A i i i 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为7

4

8448=

7. 【答案】13+

【解析】由条件知，()

AC AB AN AC AB AM 4

1

43,2

1

+=+=,故