(完整版)浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
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浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题
知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念
一般地,如果特,特别注意a 不为零,那么y 叫做x
的二次函
)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,数。叫做二次函数的一般式。
)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。a
b
x 2-
=抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。3、二次函数图像的画法--------五点作图法:
(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线与坐标轴的交点:
c bx ax y ++=2
当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ,再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。
【例1】、已知函数y=x 2-2x-3,
(1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图;
(2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积:
(3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y<0;③ y>0
知识点二、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式:口诀-----
一般 两根 三顶点
(1)一般 一般式:)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,(2)两根
当抛物线与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程有实
c bx ax y ++=2
02
=++c bx ax 根和存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数
1x 2x ))((212
x x x x a c bx ax --=++可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。
c bx ax y ++=2))((21x x x x a y --=a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
i r
【例1】、抛物线与x 轴交于A (1,0),B (3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。
c bx ax y ++=2
【例2】、如图,抛物线与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),c bx ax y ++=2
顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则(1)abc 0 (>或<或=)
(2)a 的取值范围是
【例3】、下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( )
A .y = (x − 2)2 + 1
B .y = (x + 2)2 + 1
C .y = (x − 2)2 − 3
D .y = (x + 2)2 − 3知识点三、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当时,a
b
x 2-
=。a
b a
c y 442
-=
最值
如果自变量的取值范围是,那么,首先要看是否在自变量取值范围内,若在21x x x ≤≤a
b
2-
21x x x ≤≤此范围内,则当x=时,;若不在此范围内,则需要考虑函数在范围内的增
a b 2-a
b a
c y 442-=最值21x x x ≤≤减性,如果在此范围内,y 随x 的增大而增大,则当时,,当时,
2x x =c bx ax y ++=22
2最大1x x =;如果在此范围内,y 随x 的增大而减小,则当时,,当
c bx ax y ++=121最小1x x =c bx ax y ++=121最大时,。2x x =c bx ax y ++=22
2
最小【例1】、已知二次函数的图像(0≤x ≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,
下列说法正确的是( )A .有最小值0,有最大值3B .有最小值-1,有最大值0C .有最小值-1,有最大值3D .有最小值-1,无最大值【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍).(1)设一天订住的房间数为y ,直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w 元,求w 与x 的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?知识点四、二次函数的性质 2、二次函数中,的含义:
)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数,c b 、、a 表示开口方向:>0时,抛物线开口向上a a <0时,抛物线开口向下
a 与对称轴有关:对称轴为x=
b a
b
2-
表示抛物线与y 轴的交点坐标:(0,)
c c 3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。