第七章万有引力与宇宙航行总结

即：GM R2 m mgm02R
即：G
Mm R2
mg
m02 R
• 近地：
mg G Mm R2
• 高空：
mg ' G Mm (R h)2
1、万有引力等于重力
两
mg
G
Mm R2
M gR2 G
条
基 2、万有引力提供向心力
本 思
G
Mm r2
ma向
m
v2 r
mr 2
mr( 2
T
)2
路
M 4 2r3
GT2
计算天体质量密度
1、利用天体表面的重力加速度来求天体自身的质量密度
G
Mm R2
mg
gR2 M
G
由ρ= m/v 知，需测出天体的体积
已知球体体积公式为V= 4 πR3
3
3g 4GR
计算天体质量密度
2、利用天体的卫星来求天体的质量密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体的半径为R
运动
同步 卫星
可求得距
地面高度 与地球自 h≈36000 周期相同， km，约为 即24h
地球半径
此处的 万有引
力
的5.6倍
轨道面与赤
G
Mm r2
m
(
2π) 2来自百度文库T
r
道面重合， 在赤道上空， 与地面保持
相对静止
卫星追赶问题
两卫星位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近 两卫星运动的角度满足(ωA－ωB)t＝2π 两卫星位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星再次相距最远 两卫星运动的角度满足(ωA－ωB)t′＝π.
• 通过控制轨道使飞船跟空间 站恰好同时运行到两轨道的 相切点，此时飞船适当减速， 便可实现对接，如图示。
飞船
空间站
赤道上物体A 近地卫星B 同步卫星C
A C B
TA TC TB VB VC VA aB aC aA
C
B
A
近
同
地
步
地球
轨
轨
道
道
区别赤道上随地球自转的物体、近地卫星与同步卫星：
11.2 km/s >V > 7.9 km/s
Mm V 2
G R2
m R
mg m v2 R
v GM 7.9km / s R
v gR 7.9km / s
绕地球运动的轨迹就不再是圆，而是椭圆，发射速度越大，椭圆轨道越“扁”。
G
Mm r2
v2 m v
GM r越大（高），v越小
r
r
m2r
开普勒第一定律——轨道定律
所有行星都分别在大小不同的椭圆轨道上围 绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点 上;
开普勒第二定律——面积定律
太
b
行 星
阳
a
对每个行星来说，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积;
开普勒第三定律——周期定律
所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周 期的二次方的比值都相等。
Mm 4 2
G r2 m T2 r
M
4 2r3
GT2
M 4 R3
3
当天体的卫星环绕天体表面
运动时，其轨道半径r约等于
天体的半径R，则天体的密度
3r 3为
GT 2R3
3
GT 2
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆
周运动：
GMm
r2
m v2
r
m
Tπ a 2 r m4
2r 2 m
1
3 2
4
F向
万有引力定律的基本知识
1、定律的发现 牛顿
卡文迪许测出的。
2、公式
F
G
m1m2 r2
①普遍性
②相互性 ①两质点间的距离
③宏观性 ②均匀球体，球心间的距离
④特殊性 均匀球体球心到质点间距离
• 地球表面的物体
• 两极的物体：G MR2m mg
（与地球具有相同的ω0）
• 赤道上的物体：GM R2 mF支持力 m02R
GM r3
r越大， 越小
m( 2 )2 r T 2 r3 r越大，T越大
T
GM
man
an
GM r2
r越大，an越小
思考：第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大速度还是
最小速度？
r最小，是最大环绕速度。
地球同步卫星特点： 1.定周期 2.定点 3.定转向 4.定轨道（定高度） （定半径） 5.定速度 6.定加速度
n
，可推导出：
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双 星系统。如图所示。
(2)特点
双
星
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即
模 型
GmL12m2＝m1ω21r1，GmL12m2＝m2ω22r2
r
②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2
1
Lr
2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
半径R 周期T 向心力F
关系式
备注
赤道 上物 体
即为地 球半径
与地球自 转周期相
同，即24h
此处的 万有引 力与重 力之差
G
Mm R2
m
g
m(
2π)2 R T
在赤道上与 地球保持相
对静止
近地 即为地 可求得 此处的 卫星 球半径 T=85min 万有引
力
G
Mm R2
m
( 2π)2 T
R
离地高度近 似为0，与 地面有相对
(3)两颗星到圆心的距离 r1、r2 与星体质量成反比，即mm12＝rr21。
第三宇宙速度:物体挣脱太阳引力,飞出太 阳系的速度. （逃逸速度）
V = 7.9km/s
V = 16.7 km/s V = 11.2 km/s
第二宇宙速度:物体克服地球引力,永远脱离地球的速度.
第一宇宙速度:物体在地表附近绕做匀速圆周运动的速度.
7.不定质量（不定向
心力）
第一次变轨：
点火加速： v2>v1
v4
在椭圆轨 道上运行:
v2>v3
v3 v1
第二次变轨：
点火加速： v4>v3
在圆轨道上 稳定运行：
v1>v4
v2
结果：v2>v1>v4>v3
对接方法：
• 飞船首先在比空间站低的轨 道运行，当运行到适当位置 时，再加速运行到一个椭圆 轨道。