第20章 数据的整理与初步处理全章教案

第20章数据的整理与初步处理

一. 教学内容：

§21.1 算术平均数与加权平均数

§21.2 平均数、中位数和众数的选用

［学习目标］

⑴理解平均数的概念和意义，会计算一组数据的算术平均数和加权平均数．

⑵能利用计算器计算一组数据的平均数．

⑶在具体情境中理解加权平均数的概念，体会“权”的意义，知道算术平均数与加权平均数的联系与区别．

⑷理解中位数、众数的概念和意义，会求一组数据的中位数、众数．

二. 重点、难点：

1. 重点：

⑴加权平均数的计算方法．

⑵掌握中位数、众数等数据代表的概念．

2. 难点：

⑴加权平均的原理．

⑵选择恰当的数据代表对数据做出判断．

三. 知识梳理：

1. 算术平均数的意义

如果有n个数：，，…，那么这组数据的平均数＝，这个平均数叫做算术平均数．

平均数是我们日常生活中经常用到的、比较熟悉的的概念，如平均分、平均身高、平均体重、平均产量等等，由公式可知，平均数与给出的一组数据中的每一个数的大小都有关系，所以平均数是这组数据的“重心”，反映了这组数据的平均状态，是描述一组数据集中趋势的特征数字中最重要的数据，也是衡量一组数据波动大小的基准．

2. 加权平均数

一般地，对于f1个x1，f2个x2，…，f n个x n，共f1＋f2＋…＋f n个数组成的

一组数据的平均数为．

这个平均数叫做加权平均数，其中f1，f2，…，f n叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即（i＝1，2，…k）越大，表明的个数越多，“权”就越重．

加权平均数的计算公式与算术平均数的计算公式，实际上是一回事．一般情况下，当一组数据中有很多数据多次重复出现时，加权平均数的计算公式是算术平均数计算公式的另一种表现形式，用加权平均数公式计算更简便．

3. 用计算器求平均数．

4. 扇形统计图的制作

⑴扇形统计图：利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的各个部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图．

⑵扇形统计图的特点：扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小．根据统计图可以直接看出统计对象所占的比例和每部分相对总体的大小．

⑶制作步骤：

①利用各部分与总体间的百分比关系求出各个扇形的圆心角，计算方法是：圆心角＝360°×百分比；

②画出表示总体的圆，并在圆上画出表示各部分的扇形的区域，加以标注；

③写出所绘制的扇形统计图的名称．

扇形统计图利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，统计图中圆的大小与具体数据无关．各扇形所占的百分比之和为1．

5. 中位数与众数

①中位数：把一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；

②中位数的计算：先将数据按从小到大的顺序重新排列，如果有奇数个数据，则处在最中间的那个数就是中位数；如果有偶数个数据，则处在最中间的两个数据的平均数就是中位数．

③众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．

④众数的计算：求众数时只要看在一组数中重复出现次数最多的数据就是众数．如果有两个或两个以上数据重复出现的都最多，那么这几个数据都是这组数据的众数．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，我们往往关心众数．通常的“最佳”、“最受欢迎”、“最畅销”等等的评选活动都是用投票的方法取众数得到的．

6. 平均数、中位数和众数的选用

⑴平均数、中位数和众数的特点：平均数、中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势．这三个统计量的各自特点是：平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数着眼于对各数据出现频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据的排列位置有关，即当一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，因此，某些数据的变动对它的中位数没有影响．平均数、中位数、众数从不同的侧面提供了一组数据的面貌，正因为如此，我们把这三种数作为一组数据的代表．

⑵平均数、中位数、众数分别表示一组数据的一般水平、中等水平、和多数水平，都能反映一组数据的集中趋势．它们互相之间可能相等也可能不相等，没有固定的大小关系，但是三个统计量不总是有实际意义、总是合适的，它们都有各自的适用范围．这就产生了该选用哪一个统计量的问题了．相比之下，平均数是最常用的指标．由于计算平均数时，要用到每一个数据，所以它对数据的变化比较敏感．有时能获得较多的信息．但当数据中含有极个别特别大或特别小的数据时，它就不能很好地反映一般水平了．这时就要选用其它的统计量或者像歌唱比赛那样去掉一个最高分，去掉一个最低分了．四、典型例题

例1：某班第一小组有12人，一次数学测验成绩如下：85、96、74、100、96、85、79、65、74、85、65、80，试计算这12人的数学平均分．

分析：最简单的方法就是把12个数据全部加起来，再除以12即可．但是面对这样一组数字相对比较大的数组时，可以想办法，把数字的大小先降下来，这里可以以80为基准，每个数都减去80组成一个新数组，计算出平均数后，再加上80就得到原数组的平均数．

解：（解法一）

利用平均数公式得：

平均分＝＝82（分）；

（解法二）每个数都减去80后建立新数组为：5、16、－6、20、16、5、－1、－15、－6、5、－15、0，则新数组的平均数为：

＝2．

所以原数组的平均分＝80＋2＝82（分）．

例2：我校举行文艺演出，由参加演出的10个班各派一名同学担任评委，每个节目演出后的得分取各个评委所给分的平均数，下面是各评委给七年级三

⑵你对5号和9号评委的给分有什么看法?

⑶你认为怎样计算该节目的分数比较合理?为什么?

分析：本题涉及到关于样本的选取要具有代表性的问题，因为有些数据对样本平均数的影响很大（如5号和9号的数据），因此，为了公正、合理应去掉一个最高分和一个最低分，以减少它们对平均数的负面影响，保证评判的公正性．

解：⑴平均分为：

＝7.35（分）．此得分不能反映该节目的水平；

⑵5号评委的给分偏高，9号评委的给分偏低，他们都脱离实际，不能公正地代表节目的实际水平；

⑶去掉一个最高分和一个最低分，这样可以避免某些特殊数据带来的负面影响，保持评判的公正性．

例3：若一组数据的平均数是12，那么另一组数据

的平均数是多少?

分析：平均数是将各个数据的和除以数据的个数求得的，因此，我们可以先求出已知数据的总数，再找出另一组数据与它的联系，从而求解．解：因为＝12．

所以＝60．

所以

＝＝＝15．

例4：某人事部经理按下表所示的五个方面给应聘者记分，每一方面均以10分为满分，如果各方面的权数及四个应征者得分如下（单位：分），问谁受

分析：

均分，比较大小就可以了．

解：张三的平均分＝＝6.8（分）；

李四的平均分＝＝7.32（分）；