计数入门之加乘原理初步
学而思加乘原理初步课件
加乘原理的重要性
加乘原理在数学中的应用
培养逻辑思维
加乘原理是数学中基本运算之一，对 于进行各种复杂的计算具有重要的实 际意义。
学习加乘原理有助于培养逻辑思维， 提高对数学问题的分析和解决能力。
加深对数学概念的理解
通过学习加乘原理，可以更深入地理 解数学中的一些基本概念，如代数、 函数等。
加乘原理的应用范围
劣势3
加乘原理的应用需要投入时间和精力，需要进行必要的 准备和规划。
对加乘原理未来的展望和期待
发展方向1
深入研究加乘原理的理论和实践，探索其应用范围和领域，推动其 在更广泛领域的应用和发展。
发展方向2
加强加乘原理与其他理论或技术的结合，形成新的理论或技术体系 ，为解决复杂问题提供更多有效的工具和方法。
到一个整体，这个整体的效果大于各个部分的效果之和。
总结2
02
加乘原理可以应用于各种领域，如数学、物理、化学等，以及
商业、管理、教育等方面。
总结3
03
加乘原理是一种思维方式和工具，可以帮助人们更好地理解和
解决复杂问题，提高效率和效果。
分析加乘原理的优势和劣势
优势1
加乘原理可以帮助人们更好地认识事物的本 质和规律，从而更好地进行决策和行动。
和融合，能够产生新的工作思路和方法，从而更好地完成工作任务。
03
职业规划与发展
加乘原理可以帮助我们更好地规划职业发展，通过将不同的职业领域进
行关联和整合，能够更好地了解职业发展趋势和机会。
生活上的应用
提高生活质量
加乘原理可以帮助我们更好地管理生 活，通过将不同的生活领域进行优化 和整合，能够提高生活质量。
案例二：力量的加乘
总结词
第一板块：加乘原理
第一板块：加乘原理一、加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有m k种不同的做法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m k种不同的方法。
这就是加法原理。
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。
二、乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，则完成这件事一共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法。
这就是乘法原理。
乘法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几步，每一步只能完成任务的一部分，且缺一不可。
这样的问题可以使用加法原理解决。
我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。
在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步。
(★★)从1到300的所有自然数中，不含有数字2的自然数有多少个?(★★)用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？(★★)红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？计数——加乘原理与“染色”问题(★★)(走进美妙数学花园少年数学邀请赛)如图，将1，2，3，4，5分别填入图中的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。
共有种不同的填法？(★★)用0，1，2，3，7，8六个数字可以组成多少个能被9整除的没有重复数字的四位数。
(★★☆)一楼梯共12级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第12级，共有多少种不同走法？第二板块：“染色”问题(★★)用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的活动。
当我们需要计算完成某件事情的方法数时，就会用到两个基本的计数原理：加法原理和乘法原理。
这两个原理看似简单，但却在解决各种计数问题时发挥着关键作用。
先来说说加法原理。
加法原理指的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m₁种不同的方法，在第二类方式中有m₂种不同的方法，……，在第 n 类方式中有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁＋ m₂＋… ＋ mₙ 种不同的方法。
举个简单的例子，假如你要从A 地去B 地，有两种交通方式可选，一是坐火车，有 3 趟不同的车次；二是坐汽车，有 2 趟不同的班车。
那么你从 A 地去 B 地一共有 3 ＋ 2 ＝ 5 种选择。
再比如，你周末想出去玩，有三个选择：去公园散步、去商场购物或者去电影院看电影。
去公园散步有 2 条不同的路线，去商场购物有 3 家不同的商场可去，去电影院看电影有 5 部不同的影片可选择。
那么你周末出去玩的方式就有 2 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 10 种。
加法原理的核心在于“分类”，每一类方法都是相互独立的，彼此之间没有交叉和重叠，最终将每一类的方法数相加就能得到总的方法数。
接下来谈谈乘法原理。
乘法原理是说，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m₁种不同的方法，做第二步有 m₂种不同的方法，……，做第 n 步有 mₙ 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m₁ × m₂ × … × mₙ 种不同的方法。
比如说，你要从你的家去一个朋友家，需要先坐公交车到地铁站，有 4 路公交车可选择；然后再从地铁站坐地铁到朋友家附近的站点，有 3 条地铁线路可选择；最后从地铁站走到朋友家，有 2 条不同的路可走。
那么你去朋友家的路线就有 4 × 3 × 2 ＝ 24 种。
两个基本计数原理加法原理和乘法原理
两个基本计数原理加法原理和乘法原理两个基本计数原理：加法原理和乘法原理在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。
而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。
让我们先来聊聊加法原理。
想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。
那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋m2 ＋… ＋ mn 种。
比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。
假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。
那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。
再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。
那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6 家。
接下来，我们说一说乘法原理。
假设你早上要穿衣服出门，上衣有3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。
那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。
这就是乘法原理。
乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是m1×m2×…×mn 种。
比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝18 个。
加乘原理初步课件
加乘原理的数学表达
加乘原理可以表述为：对于任意两个数a和b，有a+b=b+a和ab=ba。 如果一个数学系统满足加乘原理，则该系统中的加法和乘法是可交换的。
03
加乘原理的实例解析
日常生活中的加乘实例
总结词
无处不在，易于理解
详细描述
在日常生活中，加乘原理的应用非常广泛。例如，在购物时，如果一个商品打九折，然后再买三赠一 ，这就是加乘原理的体现。原本需要购买4个商品才能享受到优惠，但由于打九折和买三赠一的双重 优惠，实际上只需要购买3个商品就能获得4个商品的价值，这就是加乘原理的魅力。
科学实验中的加乘实例
总结词
严谨科学，需要验证
01
线性加乘是指两个或多个数相加 或相乘时，结果与加法或乘法的 顺序无关。例如，2+3=3+2， 2x3=3x2。
02
在线性加乘中，加法或乘法的交 换律成立，即a+b=b+a和 ab=ba。
非线性加乘
非线性加乘是指两个或多个数相加或 相乘时，结果与加法或乘法的顺序有 关。例如，2x3不等于3x2。
加乘原理初步课件
• 加乘原理简介 • 加乘原理的基本概念 • 加乘原理的实例解析 • 加乘原理的推导过程 • 加乘原理的应用策略 • 加乘原理的未来发展
01
加乘原理简介
加乘原理的定义
总结词
加乘原理是一种数学原理，它描述了两个或多个数相乘时，其结果的计算方式 。
详细描述
加乘原理是数学中的基本原理之一，它指出两个数相乘时，其结果是它们各自 独立相加后再相乘的结果。具体来说，如果a和b是两个数，那么a乘以b等于a 加b后再乘以它们各自的值。
加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理
1.加法原理：
加法原理也称为分情形原理，是指对一个由相互独立的事件构成的事件总和，其计数等于这些事件各自计数的总和。
简单来说，当我们需要从A和B两个集合中选择元素，或者进行两个动作时，可以使用加法原理来计数。
加法原理的表达式可以表示为：，
A∪B，=，A，+，B，-，A∩B。
一个例子是，有5个红球和3个蓝球，我们要从中选3个球。
这里红球和蓝球是分别独立的集合，使用加法原理可以直接将选红球的方式数目与选蓝球的方式数目相加，即C(5,3)+C(3,3)=10+1=11
2.乘法原理：
乘法原理也称为连乘法则，是指对一个多步操作的计数问题，其计数等于每个步骤计数的乘积。
乘法原理可以用于计数多个独立事件同时发生的可能性。
乘法原理的表达式可以表示为：，A×B，=，A，×，B。
一个例子是，有4个人，每个人有3种选择，问有多少种不同的选择方式。
我们可以将这个问题分解成4个独立的选择过程，并将每个选择过程的可能性相乘：3^4=81
乘法原理还可以推广到更多步骤的操作。
比如，在一个密码中，每位密码有10个可能的选项，密码有4位。
使用乘法原理，我们可以计算出总共有10^4=10,000种不同的密码可能性。
总结起来，加法原理和乘法原理是计数问题中非常重要的基本原理。
它们可以帮助我们计算各种可能性的总数，从而解决各种实际问题。
在实际应用中，我们通常需要灵活地使用这两个原理，结合具体问题进行推理和计算。
1计数原理(乘法原理与加法原理)
一种方法 ，不能一步完成，而要逐步完成这n个步骤，
缺一不可，这件事才能完成。 2）每一步都是独立的，且连续的。
3）关键要确定一个分步的方法。
核心思想：必须是按顺序通过每一个步骤才能算完成 这件事。
二、乘法原理的应用
例1、某厂生产的手机为了在款式上能适应更多的顾客 的需求，为统一的机芯设计了2种不同的外形，同 时每种外形又有3种不同色彩的外壳及4种不同的 屏幕背景灯光，问这种手机共可设计多少种不同 款式？
例4、1、由数字1，2，3，4，5所组成的
（1）无重复数字的三位数
（2）无重复数字的五位数
（3）三位数 2、由数字0，1，2，3，4可组成 （1）无重复数字的三位数 （2）无重复数字的五位数
练习：
1）4本不同的书，全部分给3个人，共有
不同的分法。
种
2）10个空位，5个人去坐，有
3）由1到9这9个数字能组成 字的三位数？其中有 能组成 能组成
种坐法。
个没有重复数
个能被5整除；
个四位数偶数。 个四位数奇数。 Nhomakorabea4)有一元人民币3张,五元人民币1张,十元人民币 2张,共可以组成 种币值.
思考： 用四种不同的颜色给下图涂色，要求相邻的 区域颜色不一样，共有多少不同的涂色方法？
引例：上海浦江两岸有南浦、杨浦、徐浦 和卢浦4座大桥，另外还有3条公路隧道、 2条地铁隧道和1条观光隧道。从浦西到浦 东过江有几种走法？
二、计数原理2——加法原理
如果完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m
1
种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，
……，在第n类办法中有mn种不同的方法，则完成
ex: 如图,该电路从A到B共有多少条不同的线路可通电？
加乘原理知识点总结
加乘原理知识点总结
加乘原理是概率论中的两个基本原理，它们被广泛应用于各种领域，包括编程。
以下是这两个原理的总结：
加法原理，也被称为分类计数原理，它描述的是完成一件事的不同方法。
这个原理指出，如果完成一件事有n类方法，每一类方法都是独立、完整且互斥的，那么完成这件事共有m1+m2+...+mn种不同的方法。
乘法原理，也被称为分步计数原理，它描述的是完成一个独立事件所需的不同步骤。
这个原理指出，如果完成一件事需要分成n个步骤，每一步都有m种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×...×mn种不同的方法。
这两个原理的关键在于分类和分步的恰当性。
加法原理中的每一种方法都是独立、完整且互斥的，只有满足这个条件，才能用加法原理。
乘法原理中的每一步都不能独立完成任务，且各步都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成一个独立事件，只有满足这个条件，才能用乘法原理。
这两个原理是计算可能性的基础，在解决实际问题的过程中具有重要应用。
例如，在排列组合问题中，可以使用加法原理计算不同元素的组合数；在概率问题中，可以使用乘法原理计算多个事件的联合概率。
奥数讲义计数专题：加法原理、乘法原理
华杯赛计数专题：加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例题：例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.【答案】162【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.【答案】480个【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例6.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例7.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?【答案】90（种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例8.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例9.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例10.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？【答案】81（种）；1944（种）【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例11. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？【答案】768（种）【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.。
计数之加乘原理
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【例5】(★★) 如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对其进行 有 张 有 家 在 颜色对其 染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可 以相同 那么一共可以有多少种染色方法？ 以相同．那么一共可以有多少种染色方法？
知识大总结 1. 加乘原理 ⑴ 分类相加：按不同情况分类 ⑵ 分步相乘：如何完成一件事(过程比结果重要) 2. 常见分步题型： 穿衣 组数字 染色问题. 穿衣，组数字，染色问题 3. 考点： ⑴ 特殊位置，优先处理； 特殊位置 优先处理； ⑵ 帽子可带，可不带 ⑶ 染色问题，从相邻区域较多的开始.
计数之加乘பைடு நூலகம்理
本讲主线 1. 加法原理、乘法原理. 2. 典型的乘法原理.
模块一：加乘原理 【例1】(★★) 王子特别特别小的时候，衣橱里有：3件不同的T恤，2条不同的 裤子和2件不同的连衣裙. 那么，王子出门 那么，王子出门一共有多少种不同的 共有多少种不同的 穿衣方式？
知识要点屋 1. 加法原理：分类枚举，类类相加. 2. 乘法原理：做一件事情如果需要分步，总的方法数＝每一步中 的方法数相乘.
A B C D
E
【今日讲题】 例2，例3，例5, 【讲题心得】 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ _____________________________________ _____________________________________. 【家长评价】 ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 3
计数入门之加乘原理初步
计数入门之加乘原理初步
一、知识站点：
1．乘法原理；
2．加法原理；
3．加乘原理的综合运用。
二、知识讲解与相关练习：
1．乘法原理：
3×2＝6(种)不同的走法。
乘法原理：把一件复杂的事情分成很多个步骤，把每个步骤的方法数连乘起来，所得到的乘积就是完成这件事情的不同方法数的总和。
某人到食堂去买饭，主食有3种，副食有5种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
五年级⑴班的5名小朋友打算排成一排参加广播操比赛，请问：有多少种不同的排法？
由数字0，1，2，3组成三位数，问：
⑴可以组成多少个三位数；
⑵可以组成多少个没有重复数字的三位数；
2．加法原理：
10＋5 = 15（种）不同的走法。
加法原理：把一件复杂的事情分成很多个类别，把每个类别的方法数连加起来，所得到的和就是完成这件事情的不同方法数的总和。
学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。
那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
3．加乘原理的综合运用：
加乘原理在运用的时候最主要要区分什么时候分步骤，什么时候分类别，步骤不可
以单独完成这件事，但每一个类别可以单独完成这件事。
一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：
⑴从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
⑵从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？
用5种不同的颜色染下面的地图，要求相邻的每块都不同色，请问共有多少种不同的染法？。
第一讲 加乘原理初步
第一讲加乘原理初步【学习目标】1.理解乘法原理和加法原理；2.掌握什么情况下用加法原理，什么情况下用乘法原理；3.能利用加乘原理解决简单的实际问题。
【前续知识】1.字典排列法和树形图------三年级秋季；2.标数法------三年级春季；【想想练练】1.将由3、4、5这3个数组成的3位数从小到大排列起来。
2.一个学生假期去A、B、C三个城市游览，每个城市可以重复游览，但是每天必须换一个城市，假如他今天在某个城市，明天就要到另一个不同的城市游览。
假如他第一天在A市，第4天回到B市。
问他的游览路线有几种不同的方案。
3.下图中从A点到B点最短路径有几种不同的走法。
AB4.小明出门前穿衣服发现一共有3件不同的衣服，5条不同的裤子。
问他出门一共有几种不同的搭配方式。
【解析】1.将由3、4、5这3个数组成的3位数从小到大排列起来。
345<354<435<453<534<543分析：三位数比大小，首先比百位，然后十位，最后看个位。
所以位数越高的数字越小，这个三位数就越小。
比如，最小的百位上肯定是3，十位上是排剩下数中较小的，所以写4，个位写5。
以此类推。
5.一个学生假期去A、B、C三个城市游览，每个城市可以重复游览，但是每天必须换一个城市，假如他今天在某个城市，明天就要到另一个不同的城市。
假如他第一天在A 市，第4天回到B市。
问他的游览路线有几种不同的方案。
第一天 A第二天 B C第三天 A C A B第四天 B B B分析：请看树形图，可见第四天回到B市的不同游览路线一共有3种。
分别是①、A→B→C→B ②、A→B→A→B ③、A→C→A→B2.下图中从A点到B点最短路径有几种不同的走法。
最短路径一共有6种走法。
分析：从A到B的最短路径，A一定要向下或者向右走。
每一点上的数字表示走到这个点有几种走法。
最后一步走到B点（红点），前一步一定要走到绿点，那么如果知道走到绿点有几种走法，我们就可以知道走到红点有几种走法。
加乘的原理和应用
加乘的原理和应用1. 什么是加乘加乘是指将两个或多个数字进行相乘的操作，得到一个结果的过程。
加乘是数学中最基本的运算之一，广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学、计算机科学等。
2. 加乘的原理加乘的原理可以通过简单的例子来解释。
假设有两个数字a和b，要求将它们相乘得到结果c。
首先，将a复制b次，然后将这些复制的a相加起来，即得到了结果c。
具体的步骤如下：•将a复制b次得到a1, a2, …, ab。
•将a1, a2, …, ab相加得到结果c。
例如，假设a=5，b=3，我们可以将5复制3次得到5, 5, 5，然后将这三个5相加得到15，即5 * 3 = 15。
3. 加乘的应用3.1 数学领域在数学中，加乘被广泛应用于各种数学运算中。
例如，在代数学中，加乘被用于解方程、求解多项式等。
在概率论和统计学中，加乘用于计算概率、期望值等。
在几何学中，加乘用于计算面积、体积等。
3.2 物理学领域在物理学中，加乘被用于计算物体的质量、力、速度等。
例如，质量可以表示为密度乘以体积，力可以表示为质量乘以加速度，速度可以表示为位移除以时间等。
3.3 工程学领域在工程学中，加乘被广泛应用于各种工程计算中。
例如，在电路设计中，加乘用于计算电流、电压等。
在结构分析中，加乘用于计算应力、应变等。
在材料科学中，加乘用于计算材料的强度、硬度等。
3.4 计算机科学领域在计算机科学中，加乘被广泛应用于各种算法和数据结构中。
例如，在排序算法中，加乘用于计算数组元素的位置。
在图形学中，加乘用于计算像素的颜色值。
在机器学习中，加乘用于计算权重和偏差等。
3.5 其他领域除了上述领域，加乘还被应用于经济学、生物学、心理学等各个领域。
例如，在经济学中，加乘被用于计算 GDP、收入等。
在生物学中，加乘被用于计算基因和蛋白质的相互作用。
在心理学中，加乘被用于计算认知能力和学习能力等。
4. 总结加乘是数学中最基本的运算之一，通过将两个或多个数字相乘得到一个结果。
加法和乘法原理讲解
加法和乘法原理讲解加法原理和乘法原理是数学中两个基本的计数原理，可以用来解决一种常见的计数问题，即在给定一些条件下计算总数的问题。
下面将详细讲解这两个原理。
一、加法原理加法原理是指在给定一些条件下计算总数的原理，即当两个或多个事件不同时发生时，可以将每个事件的计数结果相加得到总数。
例如，假设有两个班级，第一班有30名男生和35名女生，第二班有25名男生和40名女生。
我们需要计算这两个班级总共有多少学生。
根据加法原理，我们可以将男生和女生的数量相加得到总数。
第一班男生和女生的数量相加为30+35=65，第二班男生和女生的数量相加为25+40=65、因此，这两个班级总共有65+65=130名学生。
加法原理也可以应用于更复杂的计数问题。
例如，假设有一个公司，分为研发部门和销售部门。
研发部门有10名员工，销售部门有8名员工。
我们需要计算这个公司总共有多少员工。
根据加法原理，我们可以将研发部门和销售部门的员工数量相加得到总数。
因此，这个公司总共有10+8=18名员工。
二、乘法原理乘法原理是指在给定一些条件下计算总数的原理，即当两个或多个事件同时发生时，可以将每个事件的计数结果相乘得到总数。
例如，假设一些班级有30名男生和35名女生，我们需要计算同时是男生和女生的学生数量。
根据乘法原理，我们可以将男生的数量乘以女生的数量得到结果。
即，男生的数量为30，女生的数量为35，男生和女生的数量为30×35=1050。
因此，同时是男生和女生的学生数量为1050。
乘法原理也可以应用于更复杂的计数问题。
例如，假设一些公司中的每个员工都有一个独一无二的员工号，由字母和数字组成，字母部分有26个字母，数字部分有10个数字。
这个公司的员工号可以由一个字母和一个数字组成。
我们需要计算员工号的可能数量。
根据乘法原理，字母部分有26个选择，数字部分有10个选择，因此，员工号的可能数量为26×10=260。
综上所述，加法原理和乘法原理是解决计数问题的基本原理。
部编版数学四年级第6讲.加乘原理初步
用 0 、1、 2 、3 、4 、5 组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第 505 个 数是 _______ 。 【分析】以1开头的六位数有 5 4 3 2 1 120 个，以 2 、 3 、4 开头的六位数也有120 个，即以1、
经典精讲
一般地，做一件事，完成它可以有 N 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中 有 m2 种不同的方法，… ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同方法．这就是加法原理． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样 的问题可以使用加法原理解决． 加法原理一般解题步骤： ① 完成一件事分 N 类 ② 每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事） ③ 类类相加 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等 于局部之和”．
(9)（法一）五位偶数 2160-900=1260 （法二）偶数分成两类：一类，个位为 0： 65 4 31 360 个；二类，个位不为 0： 55 4 33 900 个，共 1260 个。
钓鱼 有个人喜欢钓鱼。一天钓鱼归来，路上有人问他钓了多少条鱼，他答到：“有 6 条没头的， 9 条没尾的，8 条半截的。”你知道他钓了多少条鱼吗？ 答案： “6”去了“头”，“9”去了“尾”都是“0”，“8”从中截断是两个“0”，因此是一条也没钓到。
在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种 方法就可以完成． 并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类 的方 法数加上第二类的方法数．
例题思路
模块一：分类计数和加法原理（例1、例2） 模块二：乘法原理（例3、例4） 模块三：加乘原理综合（例5）
加乘原理
如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？
规矩与方圆
我国考古学者曾发掘出公元2世纪汉朝的浮雕像，其中有女娲手执规，伏羲手执矩的图像。在司马迁所写的《史记》中，也提到夏禹治水的时候“左准绳（左手拿着准绳）”，“右规矩（右手拿着规矩）”。在甲骨文里，就发现有规和矩这两个字。其中规字很像一个人手执圆规在画图，矩字像两个直角，可以说极尽象形文字之妙。
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；
4、排队问题——比如说 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；
5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．
例题1
【提高】自然数12，456，1256这些数有一个共同的特点，相邻两个数字，左边的数字小于右边的数字．我们取名为“上升数”．用3，6，7，9这四个数，可以组成多少个“上升数”？
结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要 个步骤，第 步是从家到长宁，一共 种选择；第 步从长宁到黄埔，一共 种选择；那么老师从家到黄埔一共有 个可选择的路线了，即 条．
四、乘法原理的考题类型：
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；
2、字的染色问题——比如说要 个字，然后有 种颜色可以给每个字然后，问 个字有多少种染色的方法；
练习5
在图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？
练习6
4男2女6个人站成一排合影留念，要求2个女的紧挨着有多少种不同的排法？
加乘原理初步
从武汉到上海,可以乘飞机、火车、轮船和 汽车。一天中飞机有3班，火车有4班，轮 船有3班，汽车有6班。那么一天中从武汉 到上海共有多少种不同的走法？
商店有铅笔8种，钢笔7种，圆珠笔3种，水 笔2种。小华要从中任选一种，有多少种不 同的选法？
加法原理：
一般地，如果完成一件事有K类方法，第一类方法 中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同的做 法，……，第K类方法中有mK种不同的做法，则完 成这件事共有：N= m1+ m2+……mK种不同的方法。 这就是 加法原理。
答案
（1）5；（2）15；（3）9
解析
（1）3+2=5种 （2）6+4+3+2=15种 （3）3+2+2+1+1=9种
例题2
小优要登上12级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上12 级台阶共有多少种不同的登法？
答案 解析
233
登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级 上去，故有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上 去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法 数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶 跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（ n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因 此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的 方法数。由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
练习3
（1）在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（ ） 种放法．
第一讲 加乘原理
第一讲加乘原理知识要点加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。
练习1在100-2013所有自然数中，百位数字与个位数字不相同的自然数有多少个？分析：可以把所有自然数减去百位数字与个位数字相同的自然数来计算，在百位数字与个位数字相同的自然数中可以分成千位是0，千位是1，千位是2这3类。
（2013-100+1）-（1×9×10×1+1×10×10×1+1×1×2×1）=1722(个) 答：百位数字与个位数字不相同的自然数有1722个。
练习2一层楼梯共十级，规定每次只能跨上二级或三级，要登上第十级，共有多少种不同的走法？分析：此题可以用列表法来解决问题。
答：共有7种不同的走法。
例题1小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书15本，不同的科技书20本，不同的小说书10本，那么，小明要选择两本不同类的书共有多少种选法？分析：可以把选择两本不同类的书分成外语书与科技书，外语书与小说书和科技书与小说书这3类。
15×20+15×10+20×10=650（种）答：小明要选择两本不同类的书共有650种选法。
例题2小明到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。
他要各买一样，共有多少种不同的买法？分析：可以把买饭菜分为买荤菜，蔬菜和汤这3步。
4×3×2=24（种）答：共有24种不同的买法。
加乘原理初步
第四讲 加乘原理初步一、加法原理一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同的做法，第二类方法中有2m 种不同的做法，⋯⋯，第k 类方法中k m 种不同的做法，则完成这件事共有123k m m m m ++++种不同的做法。
加法原理解题三部曲： 1. 完成一件事分k 类情况；2. 类类独立（每类都能单独完成这件事）；3. 类类相加.加法原理口诀：加法分类，类类独立。
二、乘法原理一般地，如果完成一件事有k 个步骤，第1步中有1m 种不同的做法，第2步中有2m 种不同的做法，⋯⋯，第k 步中k m 种不同的做法，则完成这件事共有123k m m m m ⨯⨯⨯⨯种不同的做法。
乘法原理解题三部曲： 1. 完成一件事分k 个步骤；2. 步步相关（每步都不能单独完成这件事）；3. 步步相乘.乘法原理口诀：乘法分步，步步相关。
三、加乘原理综合加乘原理类问题，可按四个步骤进行思考： 1. 搞清楚自己需要做什么事情 2. 自己要完成这件事要怎么做 3. 判断是分类完成还是分步完成 4. 确定是用加法还是乘法四、特殊位置优先考虑 排队问题：运动会上甲乙丙丁4名运动员组队参加4×100接力赛，（1）4人随意安排顺序，一共有多少种不同的跑法？【解析】4×100接力赛即4位队员每人跑100米，跑完后将接力棒传至下一位队员，整个赛程共分4棒。
现要给4棒安排队员：注：①此题需要自己列举每一步的方法数，列举时要注意有几个选择就有几个方法数。
②当每个位置要求相同时，先安排哪个位置结果都一样。
（2）甲必须跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？【解析】第一棒有特殊要求，先安排第一棒：每一棒都要选一次，共选四次，属于多步完成，用乘法原理，1×3×2×1=6（种）。
（3）甲不能跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？【解析】每一棒都要选一次，共选四次，属于多步完成，用乘法原理，3×3×2×1=18（种）小结：特殊位置优先考虑。
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计数入门之加乘原理初步
一、知识站点：
1．乘法原理；
2．加法原理；
3．加乘原理的综合运用。
二、知识讲解与相关练习：
1．乘法原理：
3×2＝6(种)不同的走法。
乘法原理：把一件复杂的事情分成很多个步骤，把每个步骤的方法数连乘起来，所得到的乘积就是完成这件事情的不同方法数的总和。
某人到食堂去买饭，主食有3种，副食有5种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？
五年级⑴班的5名小朋友打算排成一排参加广播操比赛，请问：有多少种不同的排法？
由数字0，1，2，3组成三位数，问：
⑴可以组成多少个三位数；
⑵可以组成多少个没有重复数字的三位数；
2．加法原理：
10＋5 = 15（种）不同的走法。
加法原理：把一件复杂的事情分成很多个类别，把每个类别的方法数连加起来，所得到的和就是完成这件事情的不同方法数的总和。
学校组织读书活动，要求每个同学读一本书。
小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本。
那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？
3．加乘原理的综合运用：
加乘原理在运用的时候最主要要区分什么时候分步骤，什么时候分类别，步骤不可
以单独完成这件事，但每一个类别可以单独完成这件事。
一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。
问：
⑴从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？
⑵从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？
用5种不同的颜色染下面的地图，要求相邻的每块都不同色，请问共有多少种不同的染法？。