工程硕士研究生随机过程复习题

工程硕士随机过程复习题

1设有随机过程)cos()(t A t X ⋅=ω, 其中∞<

2设随机过程At e t X -=)(，0>t ，其中A 是在区间（1，2）上服从均匀分布的随机变量，求随机变量)1(X 的一维概率密度函数)1;(x f 和一维分布函数)1;(x F 。

3设随机过程)sin()cos()(t t t X ⋅+⋅=ωηωξ,其中∞<

4老鼠在下图的迷宫中作随机游动。当它处在某个方格中有k 条通道时，以概率k

1

随

机通过任意一个通道。求老鼠作随机游动的状态空间及一步转移概率矩阵。 (10分)

1

2

34

5 已知强度为λ的泊松分布的概率是,,2,1,0,!

}{⋅⋅⋅==

=-k k e k X P k λ

λ。

（1）写出强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N 需满足的三个条件； （2）假设110报警电话在],0(t 内接到电话的呼叫数)(t N 是具有强度(每

分钟)为1的泊松过程，求2分钟内接到3次呼叫的概率。 (3) “第二分钟内收到第三次呼叫”的概率

6已知平稳随机过程)(t X ,∞<<∞-t 的谱密度为9

104

)(2

42+++=ωωωωX S , 求)(t X 的相关函数和)(2t EX .

7 设随机过程)sin()(0Φ+⋅=t A t X ω, 其中∞<<∞-t ,0ω为常数, A 和Φ 是相互独立的随机变量, A 服从[0,1]上的均布, Φ服从[0,2π]上的均匀分布. 试求(1))(t X 均值函数和自相关函数。(2) 讨论)(t X 的数学期望的各态历经性.

8设)(t X ，∞<<∞-t 是平稳随机过程，相关函数τ

βατ-=e R X )(，其中βα,是正数，

求)(t X 的谱密度.

9已知均值为零的实平稳随机过程)(t X ,∞<<∞-t 的相关函数，τβτ-=e R X )( )(t Y 满足随机微分方程)()()(t X t Y t Y =+'α，其中βαβα≠,,为常数。 求(1) 判断输出过程)(t Y 是否为平稳过程，若是，求)(t Y 的均值函数、自相关函数和谱密度. (2) 求)(t X 和

)(t Y 的互谱密度.

10设0,≥n X n 是具有三个状态的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=10002/12/102/12/1P 试证此链不是遍历的

11 设0,≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=4/34/104/12/14/104/34/1P 初始分布为{}2,1,0,31)0(0====i i X P p i ， 求(1){}2,131==X X P

R

t t t X t t X ∈-==,2cos (2cos ,(),,)21ωω (2){}22=X P (3))4(02P (4)判断此链是否具有遍历性，若是遍历的，求其平稳分布

12 设随机过程 )(t X 只有两条样本函数, 且 求 1) 一维分布函数),0(x F 和),4/(x F π;

2) 二维分布函数),;4/,0(y x F π

3) 求该过程的均值函数,相关函数. 〕

3

1)(ω,32)(ω21==

P P