2020年中科大少年创新班初试数学试题

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创新班试题

中科大自主招生试题数学：选择（选项顺序已记不清，共四道）第一aA2+bA2>0,则绝对值a>0且绝对值b>0的否命题是1.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0或绝对值b<02.a A2+b A2<=0,则绝对值a<0且绝对值b<0332+匕人2<=0,则绝对值a<=0或绝对值b<=0432+匕人2<=0,则绝对值a<=0且绝对值b<=0第二道，第三道记不清，其中一道是求分段函数的反函数。

另一道记不得。

第四道：sin 6*s in 42*s in 66*s in 78 的值1.1/22.1/43.1/164.1/32编者评价：选择题较简单，但当时第四道选择题题目出错，把我。

sin66打印成sin56。

着实吓填空题：（只记得其中几道，顺序全不知道，共五道，）1.x属于（-n /2, n /2,编者注：不确定），求8/sinx+1/cosx的最小值。

2.一个正方体的各个面的中心取一点，从这些点中取三点，可构成三角形，甲乙两人互相独立，甲取出的三角形与乙的三角形相似的概率是编者评价：等我想起其他题，再补充。

解答题：（共六道）1.证明：xA2+xy+yA2>=3*（x+y-1）对任意的实数x, y都成立。

2•数列Xn , Yn满足下式：X（ n+2）=2X（ n+1）+X n,Y（ n+2）=Y（ n+1）+2Y n求证：存在n。

，使得一切正整数n>n。

，都使Xn>Yn。

3.如图，三角形ABC的面积为1 , D为AB的三等分点，E为BC的三等分点，F为AC的三等分点.，求三角形GIH的面积。

3.有2008个白球和2009个黑球全部在直线排成一列，求证，必有一个黑球的左边的黑球和白球数量相等（包括0）。

4.N+是正整数集，为全集。

（n+n! , n是正整数）为A的集合，B是A的补集。

（1）试证明：不可能从B集合中取出无限个元素，使无限个元素成为等差数列。

2019年中科大创新班笔试数学真题及答案

4.
设
O
是
ABC
的外心，
4

OA
5

OB
6

OC

0
，则
tan
BAC
_____.
5. 设曲线 x 13 y 13 1 关于直线 y kx b 对称，则 k,b _____.
6. 设 x 3 cost , y 4 cost , t 是参数，则 x2 y2 的最大值为_____.
解析：易知：四面体 ABCD是一个对棱相等的四面体置入到长方体即可.假设其边长为a, b, c. a2 b2 16,b2 c2 25, c2 a2 36.
a 3 6 ,b 2
10 2
,c

3
10 2
. VABCD

15 4
6
10 .
解析：令 fn
本试题由天科教育研究院整理。
2019 年中国科学技术大学创新班笔试数学真题答案【天科教育研究院解答】
本试题由天科教育研究院解答。
1. x 2 y 3x 4 y 5 区域面积
.
1 .答案：25 解析：
画出可行域如图，
S ABCD

4S ABO

4*
25 4

25
。
2. 方程 sin 2x cos 3x 0, x 0,2 的所有根之和
解析：由几何意义注意 z 1与z 1的夹角，z 的轨迹为单位圆上对应复数,所以
z2

z3 min

z
z2

z3 min

z 1 3z min

中科大首届创新试点班面试题目很

中科大首届创新试点班面试题目很“创新”2010/1/18昨天下午3点，中国科技大学东区少年班楼前聚集了几十位家长，他们正焦急地等待自己的孩子面试。

经过16日语、数、外、理、化等五科连考，63名17岁左右的“高手”最终走到了面试环节。

作为中国科大少年班学院首届创新试点班，此次面试题目也很引人关注。

面试题目杂为了不影响考生发挥，面试点定在三楼，工作人员安排家长在一楼大厅等候。

20分钟过后，第一位考生走出考场，一大群家长围了上去。

这名孩子的家长似乎是怕题目泄露，带着孩子急匆匆地离开了。

十几分钟后，第二位考生走了出来，记者首先迎了上去，“难不难？都问了哪些问题？”“难倒是不难，就是第一次参加面试，没想到会问这样的问题。

”这名考生告诉记者，有考官问他“数理化三科，你最喜欢哪一科？”他回答说喜欢数学。

”尔后考官又问“线性函数为什么叫线性函数？”“我当时就崩溃了。

”这名考生告诉记者，还有考官问他“为什么河岸的一侧平缓，另一侧陡峭？”他也不知道该怎么回答。

过程像聊天“面试像是在聊天。

”来自南京的杨同学说，除了问了一个专业的化学问题，其他的问题都是在拉家常。

在面试中，居然还有一位老师问他：“学校里玩电脑游戏的同学多不多？”“我就照实说确实有不少，自己偶尔也玩一玩。

”杨同学说。

而来自四川省内江六中的李晓府同学则告诉记者，几位面试老师居然讨论起内江到底是在四川省还是在重庆市，并向他请教。

“这种面试没有压力，感觉特别轻松。

”李晓府说，老师们还打听他现在的高中课程学习到哪一步了。

这些都拉近了彼此的距离，虽然后来有些问题感觉不好回答，但是觉得整体表现不错。

家长比学生急在面试现场大多数考生走出来时都是一脸笑容，而与考生的轻松相比，家长却格外紧张。

记者看到，现场有位父亲始终一个人在抽烟。

而一位来自马鞍山的家长则更加紧张：“学校推荐孩子来的，要是没考上岂不是很没面子。

”张先生来自庐江县，孩子今年上高二，就读于庐江一中，学校推荐了4名学生，只有他的儿子张伟顺利通过笔试进入面试。

中国科技大学少年班与创新班备考试题电路部分

2gdgη1012200111220123001101220123012()0,()()0,()()(2)U C C C U C U C U C C U C C C U C U C U C C C U C C C U C C C ++--=⎧⎪++++--=⎨⎪++++++++-⎩代入数据，得12012301230767050,6767050,7676146750.U U U U U U U U U U U --=⎧⎪+--=⎨⎪++-=⎩（12）解（12）式，可得△U 1=0.298U 0，由（10）～（12）式可得△U 4=U 3以上结果表明，各个绝缘子承受的电压不是均匀的；最大，此绝缘子最容易被击穿．当最靠近输电线的绝缘子承受的电压有效值1141⎛⎫()()C C C C C C ''++中BJK）适当放大后，的图形，如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设按如图决1所示的三角形尔宾斯基镂垫的方法进行分割，分割的次数越多，ABC中每个小三角形的边长越短，分割后的ABC两顶点间的等效电阻与其中的角度讨论这个问题，我们先介绍二端电的电阻接成的ABC，其任意两顶点间的电状网络，ABC的任意两点间的电阻形网络．接入相同的外电阻，+r r23112经过一次分割，得到三个小三角形，即ADE、DBF、EFC，每个边的所示．将三个小三角形Y变换得图4（15中ABC 任意两顶点间的等效电阻表示为若将三角形做了一次分割操作后得到的三角形网络即图 15132⎤⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝是将ABC 做了第次分割操作后ABC 间的等效电阻，只要将题目中的图形的边长的电阻值是图2每个小三角形的边长的电阻的右三个三角形每个边的电阻改为次分割，ABC 两顶点22503648r ⎛⎫= ⎪⎝⎭仿照计算第1次分割操作后求ABC 两端点次分割三角形两端点间的等效电阻n）已知未分割时ABC 两顶点间对应的等效电阻可表示为次分割后ABC 两顶点间对应的等效电阻可表示为1223n n r ⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭得5132⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1⎤此题是根据对称性分析直流电路的一例，实质上是求出A 、B 两点间的等效电阻。

2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷

2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷一、填空题1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是．2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为．3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为．4．若a1＝1，a2＝3，a n＝2+a n﹣1，求a n＝．5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝．6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c 大小顺序．7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且∀a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为．8．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且a i＜a j，则称（a i，a j）为有序对子，设X为a1，a2，…，a n有序对子的个数，则E（X）＝．9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sin x﹣cos x，x∈[0，]的值域．10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若∀x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a 取值范围为．11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．2020年安徽省合肥市中国科大创新班初试数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．若z+＝1，则|z+1|﹣|z﹣i|取值范围是　（﹣1，]．　．【考点】复数的模．【分析】由题意设z＝，则|z+1|﹣|z﹣i|＝，再由其几何意义，即平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差求解．【解答】解：由题意设z＝，则|z+1|﹣|z﹣i|＝，其几何意义为平面内一动点A（0，b）到两定点B（，0），C（，1）距离之差，由图可知，当A，B，C三点共线时，距离之差最大，当b→﹣∞时，最小，则0﹣1＝﹣1＜|z+1|﹣|z﹣i|≤．∴|z+1|﹣|z﹣i|的取值范围是（﹣1，]．故答案为：（﹣1，]．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．2．若|5x+6y|+|9x+11y|≤1，则满足条件的点（x，y）组成的面积为　2　．【考点】简单线性规划．【分析】依题意，将原不等式转化为不等式组，作出可行域，进而求得所求面积．【解答】解：|5x+6y|+|9x+11y|≤1等价于或或或，作出对应的可行域如下图所示，易知平面区域为平行四边形，其面积为．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划问题，涉及了平行四边形的面积以及点到直线的距离公式，两点间的距离公式等知识点，属于中档题．3．函数f（x）＝+所表示的曲线离心率为．【考点】双曲线的性质．【分析】由坐标轴的旋转变换公式，代入函数f（x）的解析式，化简消去x'y'项，求得θ，可得曲线的标准方程，求得a，b，c，e，计算可得所求值．【解答】解：由坐标轴的旋转变换公式，代入y＝+即x2﹣xy＝﹣，可得x'2cos2θ+y'2sin2θ﹣2x'y'sinθcosθ﹣（x'2sinθcosθ﹣y'2sinθcosθ+x'y'cos2θ﹣x'y'sin2θ）＝﹣，化为x'2（cos2θ﹣sinθcosθ）+y'2（sin2θ+sinθcosθ）﹣x'y'（2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝﹣，为了得到曲线的标准方程，可令2sinθcosθ+cos2θ﹣sin2θ）＝0，即sin2θ+cos2θ＝0，即tan2θ＝﹣，可取θ＝60°，则曲线的标准方程为﹣＝1，则a2＝2，b2＝，c2＝，e2＝＝，即e＝．故答案为：．【点评】本题考查函数表示的曲线的离心率的求法，运用坐标轴的旋转变换是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．4．若a1＝1，a2＝3，a n＝2+a n﹣1，求a n＝．【考点】数列递推式．【分析】先把已知式子变形为，再累乘即可得a n．【解答】解：由题意可知．于是，所以，当n≥2时有，．当n＝1时也满足上式．故答案为：．【点评】本题考查累乘法求数列通项，正确的将题干所给式子进行变形是解题的关键，属于中档题．5．若x2﹣y2＝4p2，其中x，y∈Z+，p为素数，则x3﹣y3＝　6p4+2　．【考点】有理数指数幂及根式．【分析】x2﹣y2＝4p2＝（2p）2＝（x﹣y）（x+y）其中x，y∈Z+，p为素数，由x，y∈Z+，可得x﹣y，x+y都为奇数或都为偶数．而4p2为偶数，因此（x﹣y）与（x+y）都为偶数．对p，x分类讨论即可得出结论．【解答】解：∵x2﹣y2＝4p2＝（2p）2＝（x﹣y）（x+y）其中x，y∈Z+，p为素数，由x，y∈Z+，可得x﹣y，x+y都为奇数或都为偶数．而4p2为偶数，因此（x﹣y）与（x+y）都为偶数．①若p＝2，则x﹣y＝2，x+y＝8，x＝5，y＝3，∴x3﹣y3＝98．②若p＞2，则p为奇数．∴（x﹣y）（x+y）＝2×2p2．∴x﹣y＝2，x+y＝2p2．设y＝2k+1（k∈Z+），则x＝2k+3，可得：2k+2＝p2，矛盾，因此不成立，舍去．设y＝2k（k∈Z+），则x＝2k+2，可得：2k+1＝p2，∴x＝p2+1，y＝p2﹣1．于是x3﹣y3＝（p2+1）3﹣（p2﹣1）3＝6p4+2．上式对于p＝2时也成立．综上可得：x3﹣y3＝6p4+2．故答案为：6p4+2．【点评】本题考查了整数的性质、素数的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知a＝20202020，b＝，c＝，则a，b，c 大小顺序　c＞a＞b　．【考点】不等关系与不等式．【分析】利用基本不等式即可比较出b，c的大小关系；利用不等式的性质即可比较b，a的大小关系；利用即可比较c与a的大小关系．【解答】解：，＝，，∴c＞a＞b．故答案为：c＞a＞b．【点评】本题考查实数的大小比较，属于中档题．7．已知f（x）＝（x﹣1）2+k2，且∀a，b，c∈（0，1），都存在以f（a），f（b），f（c）为边的三角形，则k的取值范围为　（﹣∞﹣1]∪[1，+∞）　．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】利用二次函数图象的对称性，三角形的边角性质，两边之和大于第三边解出本题答案．【解答】解：函数f（x）在（0，1）单调递减，由∀a，b，c∈（0，1），都存在已f（a），f（b），f（c）为边的三角形可得，f（0）≤2f（1）即k2≥1，所以k≤﹣1或k≥1．故答案为（﹣∞，﹣1]，或[1，+∞）．【点评】本题考查了二次函数图象的性质，三角形两边之和大于第三边．8．设a1，a2，…，a n为1，2，…，n的一个排列，若i＜j且a i＜a j，则称（a i，a j）为有序对子，设X为a1，a2，…，a n有序对子的个数，则E（X）＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】对于排列A：a 1，a2，…，a n，构造一个排列A1：a n，…，a2，a1，求出x A与的平均值为：＝，对于任意一个排列A都可以构造一个排列A1，由此能求出E（X）．【解答】解：对于排列A：a1，a2，…，a n，构造一个排列A1：a n，…，a2，a1，此时，＝，∴x A与的平均值为：＝，而对于任意一个排列A都可以构造一个排列A1，∴E（X）＝＝．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查平均值、倒序相加求和法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．求函数f（x）＝3sin2x﹣2sin2x+2sin x﹣cos x，x∈[0，]的值域　[﹣，5]　．【考点】三角函数的最值．【分析】利用换元法把函数f（x）表示为t的二次函数，然后根据t的取值范围求得函数的值域．【解答】解：设t＝2sin x﹣cos x＝sin（x﹣θ），x∈[0，]，tanθ＝且θ∈（0，），∵x∈[0，]，∴x﹣θ∈[﹣θ，﹣θ]，∴sin（x﹣θ）∈[﹣sinθ，sin（﹣θ）]＝[﹣，]，∴t∈[﹣1，2]，又t2＝4sin2x+cos2x﹣4sin x cos x＝3sin2x+1﹣2sin2x，∴y＝f（x）＝t2+t﹣1，t∈[﹣1，2]，∴﹣≤y≤5，即f（x）的值域为[﹣，5]．故答案为：[﹣，5]．【点评】本题主要考查换元法、二次函数在处理函数值域中的应用，属于中档题．10．已知f（x）＝x3+ax2﹣x+1﹣a（a∈R），若∀x∈[﹣1，1]，使得|f（x）|≥|x|恒成立，则a 取值范围为．【考点】函数恒成立问题．【分析】先考虑x＝0时，易知a∈R；当x≠0 时，将|f（x）|≥|x|转化为，令，x∈[﹣1，0）∪（0，1]，利用导数研究函数φ（x）的最值求解即可．【解答】解：情形一：当x＝0 时，易知a∈R；情形二：当x≠0 时，此时|f（x）|＞|x|等价于，令，则，令，则，令u（x）＝x3+3x+1，易知u（x）单调递增，且u（0）＝1，u（﹣1）＝﹣3＜0，由零点存在性定理可知：必有一个x0∈（﹣1，0），使得u（x0）＝0，此时x∈（﹣1，x0），h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（x0，0），h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增，①当a⩾1 时，此时h（0）＝a﹣1＞0，则x∈（0，1），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，此时，φ（x）＜φ（1）＝1，不满足题意，②当时，此时由零点存在性定理可知：必有一个x1∈（0，1），使得h（x1）＝0，此时x∈（x1，1），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，此时φ（x）＜φ（1）＝1，不满足题意，③当时，此时，则φ′（x）＜0，此时x∈（﹣1，0），φ（x）单调递减，则φ（x）＜φ（﹣1）＝﹣1，满足题意，同理可得x∈（0，1），φ（x）单调递减，φ（x）＞φ（1）＝1，满足题意，综上所述，a取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查不等式恒成立的处理，考查学生的转化能力和运算能力，属于难题．11．已知1++……+＜C（n+1），证明：当C＝，不等式成立，且C＜该不等式不成立．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】先证明当C＝，不等式成立．利用分析法证明；再再证当C＜时，该不等式不成立．利用数列的极限证明．【解答】解：先证明当C＝，不等式成立．要证，只需证，只需证，根据积分的定义易得，令，其在（0，+∞）上为增函数，则原函数，依据积分法，有f（n）＜F（n+1）﹣F（n），所以，命题得证．再证当C＜时，该不等式不成立．因为，又，所以当时，不满足题意．【点评】本题考查分析法证明数列不等式，考查数列的极限，考查转化思想和极限思想，属于难题．。

中科大少年班创新试点班选拔考试

中科大少年班创新试点班选拔考试
中科大少年班创新试点班选拔考试是为了从全国范围内选拔具有创新潜力和优秀综合素质的青少年进入中国科学技术大学学习而举行的考试。

以下是关于该考试的一些信息：
1.招生对象：原则上为高二年级及以下的学生，年龄在16周岁以
下。

2.报名时间：一般为每年的3月份左右，具体时间以招生简章为
准。

3.报名方式：学生需要在规定时间内登录中国科学技术大学官网
进行网上报名。

4.考试科目：数学、物理、化学、英语、语文等。

5.考试形式：一般分为笔试和面试两部分，具体形式以招生简章
为准。

6.录取方式：根据学生的考试成绩和面试表现，结合学生的综合
素质评价，择优录取。

需要注意的是，该考试对考生的综合素质和创新能力要求较高，需要学生在平时的学习中注重积累，提高自己的综合素质。

同时，学生还需要具备一定的英语水平和科学素养，才能够顺利通过考试。

中科大少年班考试内容

中科大少年班考试内容
中科大少年班是一所培养未来科学家和领袖的学校，其课程内容涵盖了数学、物理、化学、生物等各个科学领域。

以下是中科大少年班的考试内容：
1.数学
数学是中科大少年班的重点科目之一，其考试内容主要包括基础知识、应用能力和创新思维三个方面。

其中，基础知识包括数学符号、代数、几何、三角函数等；应用能力包括数学模型、推理思维、数学语言等；创新思维包括数学思维、探究精神、创造思想等。

2.物理
物理是中科大少年班另一个重要的科目，其考试内容主要包括基础知识、实验技能和科学方法三个方面。

其中，基础知识包括力学、热学、光学、电磁学等；实验技能包括实验设计、实验操作、实验数据处理等；科学方法包括观察、假设、实验、理论解释等。

3.化学
化学是中科大少年班的另一个重要科目，其考试内容主要包括基础知识、实验技能和科学思维三个方面。

其中，基础知识包括化学元素、化学反应、化学键等；实验技能包括实验设计、实验操作、实验数据处理等；科学思维包括观察、假设、实验、理论解释等。

4.生物
生物是中科大少年班的另一个重要科目，其考试内容主要包括基础知识、实验技能和科学思维三个方面。

其中，基础知识包括生物分
类、生命活动、遗传学等；实验技能包括实验设计、实验操作、实验数据处理等；科学思维包括观察、假设、实验、理论解释等。

综上所述，中科大少年班的考试内容涵盖了数学、物理、化学、生物等各个科学领域，旨在培养学生的基础知识、实验技能和科学思维，为其未来的科学研究和领导能力打下坚实基础。

2019-2020年高一数学(创新班)期中检测试卷附参考答案

2019-2020年高一数学（创新班）期中检测试卷附参考答案一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1.若集合12{123},{0}3xA x xB xx+=-<=<-,那么A B =( ▲ ) .A ．1(1,)(2,3)2- B ．(2,3) C ． 1(,2)2-D ．1(1,)2--2.将函数sin(2)4y x π=+的图象向右平移38π个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式是( ▲ )A ．3sin(4)8y x π=+B ．sin(4)8y x π=+ C ．cos 4y x =- D ．sin y x =3.已知数列{}n a 中，145a =，112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则2015a =( ▲ )A.15B.25 C ．35 D.454.设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,2x ya b a b ==+=11x y+的最大值是（ ▲ ）A ．12B ． 1C ．32 D ．25.已知1,3,(3,1)a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为( ▲ )A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则( ▲ )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C.(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<7. 已知数列{}n a 满足134n n a a ++=，且19a =，其前n 项和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小正整数n 是( ▲ ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．88.已知O 为ABC ∆的外心，3,4,AB AC AO x AB y AC ===+,且21(0)x y xy +=≠，则c o s BAC ∠=（ ▲ ）A ．38B ．34C ．23D ．12二、填空题（本题共有7小题，其中第9题每空2分,第10、11、12题每空3分，第13、14、15题每空4分，共36分）9.已知lg(3)lg lg(1)x y x y +=++，则xy 的最小值是 ▲ ，x y +的最小值是 ▲ ，11x y+的最小值是 ▲ ． 10．已知函数()f x =的定义域为 ▲ ；值域为 ▲ . 11．在锐角ABC ∆中，1,2BC B A ==，则cos ACA= ▲ ；AC 的取值范围是 ▲ .12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足8890,0a a a >+<，则0n S >的最大n 是▲ ；数列(115)n n S n a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭中最大的项为第 ▲ 项. 13.设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+在区间[2015,2015]-上的最大值与最小值之和为 ▲ .14．设G 为ABC ∆的重心，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若352115a G A b G B c G C ++=，则sin C = ▲ .15．已知数列{}n a 为等差数列，363,21a S ==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，若对一切n N *∈，恒有216n n mS S ->成立，则m 的取值范围是 ▲ .三、解答题（5小题共74分,前4题每题15分，最后一题14分） 16.点A 、B 是直线0y =与函数2()2coscos()123xf x x ωπω=++-的图象的两个相邻交点，且||2AB π=．其中0ω>．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在锐角△ABC ∆中， ,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ∆=-=,3,23)(△ABC ∆的面积为33，求a 的值．17.在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的三边长分别为,,a b c且满足221(cos )2c a B b a b -=-. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a =b c +的取值范围.18.已知数列}{n a 满足21n a S n n +=+（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）记211++=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，若501+<<m T m n对任意正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围.19.对于函数()f x 若存在0x 使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的一个不动点．设函数2()1(0)f x ax bx a =++>。

2023中科大少年班题目

2023中科大少年班题目2023年，中国科学技术大学将继续选拔优秀的中学生，为他们提供独特的学习机会，以培养未来的科学家和创新领袖。

中科大少年班的题目涵盖了广泛的学科领域，从数学和物理到生物和计算机科学，每个学科都充满挑战性和创造力。

以下是几个题目的介绍，展示了中科大少年班的高标准和专业水平。

1. 数学题目：证明费马大定理费马大定理是数学界最著名的问题之一，它声称对于大于2的任何整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。

这个问题最早由法国数学家费马在17世纪提出，直到1994年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。

现在，我们邀请你尝试证明费马大定理，展示你的数学才能和创造力。

2. 物理题目：设计一个可持续能源系统随着全球能源需求的不断增长和环境问题的日益严重，设计一个可持续能源系统变得至关重要。

请你设计一个能够利用太阳能、风能或其他可再生能源为人们提供电力的系统。

你需要考虑能源的捕获、存储和分配，以及系统的可靠性和效率。

这个题目将考察你的物理学知识和工程设计能力。

3. 生物题目：探索未知的深海生物深海是一个神秘而未被探索的地方，充满了各种奇特的生物。

请你选择一种深海生物，并进行深入的研究。

你需要了解它的生态环境、适应性特征以及对生物多样性的贡献。

同时，你还需要思考如何保护这些珍贵的生物资源。

这个题目将考验你的生物学知识和科学研究能力。

4. 计算机科学题目：设计一个智能家居系统智能家居是未来的发展趋势，它利用计算机科学和人工智能技术，为人们提供更加便捷和智能的生活体验。

请你设计一个智能家居系统，能够实现家庭设备的自动化控制、能源管理和安全监控。

你需要考虑系统的硬件和软件设计，以及用户界面的友好性和可操作性。

这个题目将考察你的编程和系统设计能力。

以上是2023中科大少年班的一些题目介绍，它们代表了中科大少年班的学术要求和培养目标。

通过解答这些题目，你将有机会展示你的学科知识、创新思维和解决问题的能力。

2020高一数学上学期期中试卷(创新班,含解析)

高一数学上学期期中试卷（创新班，含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．B．C．D．2．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．3．设向量=（cosα，），若的模长为，则cos2α等于（）A．﹣ B．﹣C．D．4．平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．125．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．6．为了得到g（x）=cos2x的图象，则需将函数的图象（）A．向右平移单位B．向左平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位7．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．28．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或二．填空题（本大题共7小题，第9-11小题每空3分，第12小题每空2分，第13-15小题每空4分，共36分）．9．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），当∥时，k= ；当（﹣）⊥，则k= ．10．已知α为第二象限的角，sinα=，则= ，tan2α=．11．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=，cos∠BCF=．12．函数y=的图象如图，则k= ，ω=，φ=．13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则①；②；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．14．已知，， =，则在上的投影的取值范围．15．已知，∠APB=60°，则的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量，（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求在上的值域．17．已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求的值．18．已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．19．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．20．定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f （x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设，试判断g（x）是否属于S，并说明理由；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）是函数的图象上一动点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值范围．20xx-20xx学年浙江省××市桐乡高中高一（上）期中数学试卷（创新班）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角600°的终边上有一点（﹣4，a），则a的值是（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】先利用诱导公式使tan600°=tan60°，进而根据求得答案．【解答】解：∵，∴．故选A【点评】本题主要考查了用诱导公式化简求值的问题．属基础题．2．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．【考点】平行向量与共线向量；单位向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为 =，故选A．【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．3．设向量=（cosα，），若的模长为，则cos2α等于（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由||==，求得cos2α=，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α=2cos2α﹣1的值．【解答】解：由题意可得||==，∴cos2α=．∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故选：A．【点评】本题主要考查求向量的模，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4．平面向量与的夹角为，若，，则=（）A．B．C．4 D．12【考点】向量的模；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】分析由向量，求出向量，要求，先求其平方，展开后代入数量积公式，最后开方即可．【解答】解：由=（2，0），所以=，所以====12．所以．故选B．【点评】点评本题考查了向量的模及向量的数量积运算，考查了数学转化思想，解答此题的关键是运用．5．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．6．为了得到g（x）=cos2x的图象，则需将函数的图象（）A．向右平移单位B．向左平移单位C．向右平移单位D．向左平移单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；数形结合；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵y=sin（﹣2x+）=cos[﹣（﹣2x+）]=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴将函数y=sin（﹣2x+）图象上所有的点向右平移个单位，即可得到g（x）=cos2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．7．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．【解答】解：由题意可得=0，由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，解得λ=，故选B．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．8．若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．【专题】三角函数的求值．【分析】依题意，可求得α∈[，]，2α∈[，π]，进一步可知β﹣α∈[，π]，于是可求得cos（β﹣α）与cos2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又sin2α=＞0，∴2α∈[，π]，cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，β﹣α∈[，π]，∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈[，]，β∈[π，]，∴（α+β）∈[，2π]，∴α+β=，故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．二．填空题（本大题共7小题，第9-11小题每空3分，第12小题每空2分，第13-15小题每空4分，共36分）．9．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），当∥时，k= ；当（﹣）⊥，则k= 0 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平行向量与共线向量．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算和向量平行、垂直的性质求解即可．【解答】解：∵向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），∵∥，∴，解得k=．∵向量=（3，1），=（1，3），=（k，2），∴=（3﹣k，﹣1），∵（﹣）⊥，∴（3﹣k）•1+（﹣1）•3=0，解得k=0．故答案为：，0．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行和向量垂直的性质的合理运用．10．已知α为第二象限的角，sinα=，则= 3 ，tan2α=．【考点】二倍角的正切．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】先由已知求得的范围，求出tanα的值，再由正切函数的二倍角公式可得答案．【解答】解：∵α为第二象限的角，∴可得：∈（kπ，k），k∈Z，∴tan＞0，又∵sinα=，∴cosα=﹣，tanα==﹣，∴tanα=﹣=，整理可得：3tan2﹣8tan﹣3=0，解得：tan=3或﹣（舍去）．tan2α==．故答案为：3，．【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能．11．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=，cos∠BCF=．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3，由余弦定理求出CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF，由此能求出tan∠ECF．由半角公式求出cos∠DCF，sin∠DCF，再由cos∠BCF=cos（45°﹣∠DCF），能求出结果．【解答】解：取AB中点D，连接CD，设AB=6，则AC=BC=3，由余弦定理可知cos45°===，解得CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF===，∴sin，∴tan∠ECF==．cos∠DCF=cos==，sin∠DCF=sin==，cos∠BCF=cos（45°﹣∠DCF）=cos45°cos∠DCF+sin45°sin∠DCF=（）=．故答案为：，．【点评】本题考查角的正切值、余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、半角公式的合理运用．12．函数y=的图象如图，则k= ，ω=，φ=．【考点】函数的图象．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】由直线y=kx+1过点（﹣2，0）得k=；可确定=﹣=π，从而确定ω=，再代入点求φ即可．【解答】解：∵直线y=kx+1过点（﹣2，0），∴k=；∵=﹣=π，∴T=4π，∴ω==，（，﹣2）代入y=2sin（x+φ）得，sin（+φ）=﹣1，解得，φ=；故答案为：，，．【点评】本题考查了分段函数及数形结合的思想应用．13．设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若对一切x∈R恒成立，则①；②；③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；④f（x）的单调递增区间是；⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交．以上结论正确的是①②③（写出所有正确结论的编号）．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得到是三角函数的最大值，得到x=是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．【解答】解：∵f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+θ）∵∴2×+θ=kπ+∴θ=kπ+∴f（x）═sin（2x+kπ+）=±sin（2x+）对于①=±sin（2×+）=0，故①对对于②，=sin（），|f（）|=sin（），∴，故②正确．对于③，f（x）不是奇函数也不是偶函数对于④，由于f（x）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故④不对对于⑤∵要使经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象不相交，则此直线须与横轴平行，且|b|＞，此时平方得b2＞a2+b2这不可能，矛盾，∴不存在经过点（a，b）的直线于函数f（x）的图象不相交故⑤错故答案为：①②③．【点评】本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法．14．已知，， =，则在上的投影的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由已知求出，再求出，代入投影公式，转化为关于t 的函数，利用换元法结合配方法求得在上的投影的取值范围．【解答】解：∵=，且，，∴===．==4﹣2t+t2．∴在上的投影等于=．令4﹣t=m，则t=4﹣m，t2=16﹣8m+m2．∴上式=f（m）=．当m=0时，f（m）=0；当m＞0时，f（m）==∈（0，1]；当m＜0时，f（m）=﹣=﹣∈（，0）．综上，在上的投影的范围为（﹣，1]．故答案为：（﹣，1]．【点评】本题考查向量在几何中的应用，综合考查向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量在向量上的投影是解题的关键，是中档题．15．已知，∠APB=60°，则的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；运动思想；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，取AB中点C，把问题转化为求的取值范围解决．【解答】解：如图，，∠APB=60°，取AB的中点C，连接PC，则===．由图可知，P为图中优弧上的点（不含A、B）．∴（PC⊥AB时最大），∴的取值范围是（0，]．故答案为：（0，]．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，由题意画出图形是解答该题的关键，是中档题．三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量，（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；（2）求在上的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx的值，然后化简2cos2x﹣sin2x即可（2）先表示出在=（sin2x+），再根据x的范围求出函数f （x）的最大值及最小值．【解答】解：（1）∵∥，∴，∴，（3分）∴．（6分）（2）∵，∴，（8分）∵，∴，∴，（10分）∴，（12分）∴函数f（x）的值域为．（13分）【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算．考查平面向量时经常和三角函数放到一起做小综合题．是高考的热点问题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，确定函数的周期，求出ω，确定ϕ的值，求出f（x）的解析式；（Ⅱ）若，求出，，利用诱导公式化简，然后再用二倍角公式求出它的值．【解答】解：（Ⅰ）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T=2π，则．∴f（x）=sin（x+ϕ）．（2分）∵f（x）是偶函数，∴，又0≤ϕ≤π，∴．则 f（x）=cosx．（5分）（Ⅱ）由已知得，∴．则．（8分）∴．（12分）【点评】本题是中档题，考查函数解析式的求法，诱导公式和二倍角的应用，考查计算能力，根据角的范围求出三角函数值是本题的解题依据．18．已知函数f（x）=sin2（x+）﹣cos2x﹣（x∈R）．（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；（2）若A为锐角，且向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，求cos2A．【考点】二倍角的余弦；平面向量的综合题．【专题】解三角形．【分析】（1）根据二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的周期、最值求出结果；（2）根据向量垂直的条件列出方程，代入f（x）由诱导公式化简求出，由三角函数值的符号、角A的范围求出的范围，由平方关系求出的值，利用两角差的余弦函数、特殊角的三角函数值求出cos2A的值．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=﹣﹣=cos2x﹣1=，∴函数f（x）最小值是﹣2，最小正周期T==π；（2）∵向量=（1，5）与向量=（1，f（﹣A））垂直，∴1+5f（﹣A）=0，则1+5[]=0，∴=＞0，∵A为锐角，∴，则，∴==，则cos2A=cos[（）﹣]=+=×+=．【点评】本题考查二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦、余弦公式，向量垂直的条件，以及正弦函数的性质等，注意角的范围，属于中档题．19．已知向量=（cosα，sinα），=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），其中0＜α＜x＜π．（1）若，求函数f（x）=•的最小值及相应x的值；（2）若与的夹角为，且⊥，求tan2α的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．（2）根据向量a与b的夹角为确定，再由a⊥c可知向量a点乘向量c等于0整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，∴f（x）=•=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．令t=sinx+cosx（0＜x＜π），则t=，则2sinxcosx=t2﹣1，且﹣1＜t＜．则，﹣1＜t＜．∴时，，此时．由于＜x＜π，故．所以函数f（x）的最小值为，相应x的值为；（2）∵与的夹角为，∴．∵0＜α＜x＜π，∴0＜x﹣α＜π，∴．∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．∴sin（x+α）+2sin2α=0，．∴，∴．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算．向量一般和三角函数放在一起进行考查，这种题型是高考的热点，每年必考．20．定义向量的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx；函数f （x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）设，试判断g（x）是否属于S，并说明理由；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）是函数的图象上一动点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值．当点M运动时，求tan2x0的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；压轴题；新定义；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义及基本不等式求出的范围，最后利用二倍角的正切公式及正切函数的单调性即可得到结论．【解答】（本题满分15分）解：（1）因为：，g（x）的相伴向量为（4，3），所以：g（x）∈S；（3分）（2）∵h（x）=cos（x+α）+2cosx=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx，∴h（x）的“相伴向量”为，．（7分）（3）的“相伴函数”，其中，当时，f（x）取得最大值，故，∴，∴，又M（a，b）是满足，所以，令，∴，m＞2∵在（1，+∞）上单调递减，∴（15分）。

中科大少创班学习能力测试内容

中科大少创班学习能力测试内容中科大少创班学习能力备考的话少年班就按正常的高考备考就行，由于需要高二高考，所以建议可以提前自学完高中知识，然后申请去高三班级上课，这样备考效果应该更好把主要的自学完，选修的那些可以在高三班级继续自学创班备考的话，如果你主要是想考少年班，建议你把主要时间放在高考上，创班这部分做做各高校历年的数理自主招生题就行了，如果你主要想考创班，那还是要系统的学习一下竞赛内容的。