高等数学上册教案换元积分法.docx

第 4 章不定积分

第一类换元积分法

【教学目的】：

1. 理解第一类换元积分法；

2. 会用第一类换元积分法计算不定积分。【教学重点】：

1. 用第一类换元积分法计算不定积分。【教学难点】：

1. 凑微分技巧。

【教学时数】： 2 学时 【教学过程】：

我们先看这样一个例子，求不定积分

e 2 x dx ，因为被积函数 e 2x 是 x 的复合

函数，基本积分公式中没有这种公式，但我们可以把原积分变形，化成某个基本积分公式的形式：

e 2 x dx 1 e 2x d( 2x) 1 e u du ( 令 2x u )

1 e 2x

2 2

C ( 将 2 x u 代回 ) 2

因为 ( 1

e 2x C )

e 2 x ，所以 1 e 2 x C 确为 e 2x 的原函数，说明上述解法正

2

2

确．

于是有下述定理：

定理 1（第一类换元积分法）设函数 u

(x) 在所讨论的区间上可微，又设

f (u)du

F (u) C ，

则有 f

x '

x dx f x )] d x ) F x )] C ．

[ ( )] ( ) [ ( ( [ ( 第一类换元积分法的解题步骤：

设要求 g(x)dx, 如果被积函数 g( x) 可化为 g (x) f [ ( x)]

'

(x) 的形式，则

g( x)dx = f [ ( x)] ' ( x) dx

f [ ( x)]d (x)

f (u)du = F (u) C F [ ( x)] C 。

注第一换元积分法的关键是如何选取

(x) ，并将 ' ( x) dx 凑成微分 d ( x) 的

形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法．

（ 1）利用

1 ( )

1

， 、 均为常数，且 a

0 凑微分．

dx

d ax

， dx

b

d( ax b) a

a

a

例 1 求 sin(2x 1)dx ．

解令 u2x 1，则du2dx, 即

1

du, 所以dx

2

1

再将u2x代入上式，得sin(2x 1)dx x1) C ．

1cos(2

2

熟练之后，可以省略设( x)u 这一步，直接进行凑微分．

（ 2）利用x

n 1dx 1 (x n) （ n Z ），n

1

dx d ln x，1

dx d

1

，

1

dx2d x，

x x2x x

sin xdx d cos x，cos xdx d sin x，sec2 xdx d tan x，csc2xdx d cot x，

1

x 2dx d arcsin x，

1

dx d arctan x 等微分公式凑微分．

11x 2

例 5 求 tan xdx ．

解 tan xdx sin x dx1 d cosx ln cosx C ．

cosx cos x

（ 3）利用三角函数恒等式来凑微分．

例 7 求 sin3 xdx ．

解 sin 3 xdx sin 2 x sin xdx sin 2xd cos x(1cos2 x)d cosx

1cos3x cos x C ．

3

当被积函数是三角函数，而且次数为奇次时，通常把被积函数分为一个偶次和一个奇次相乘的形式，然后再利用凑微分进行积分．

例8 求 sin 2 xdx ．

解 sin 2 xdx1cos2x dx 1

( dx cos2xdx)

1

( x

1

cos2xd 2x)

1 x 1

sin 2 x

2222

C ．

2 4

当被积函数是三角函数，而且次数为偶次时，通常利用降幂公式

（ cos2x 1cos2x ， sin 2

2

x

1 cos2x

2

）对被积函数进行降幂，然后再利用凑

微分进行积分．

例 10 求sin 2 xdx．

解方法一sin 2xdx 1

2

sin 2xd2x

1 cos2x

2

C ．

方法二sin 2xdx 2 sin x cosxdx 2 sin xd sin x sin 2 x C ．

方法三sin 2 xdx 2 sin x cosxdx 2 cosxd cosx cos2x C ．

C 中，由

在例 10 中，三种解法的原函数仅差一个常数，都包含到任意常数

此可见，在不定积分中，任意常数是不可缺少的．【教学小节】：

本节为不定积分计算的基础。通过本节的学习，掌握使用第一类换元积分法计算不定积分，并借此进一步熟悉基本积分公式。

【课后作业】：

无