测量不确定度的评定与表示
测量不确定度评定与表示
• • • • • 估读：0.2、0.24 0.242 例：设备 +1% -1%-----1% 每一时刻测量设备误差多少 任何测量，不论简单还是复杂，都要涉及设备、人员、环 境、方法四个方面的因素影响。 • 这四个方面都是不确定的，所谓的不确定度评定，就是用 统一规定的数字方法对这些量进行计算。这些量就是不确 定性分量。
分布类别 正态 三角 P% 99.73 100 k 3
6
U（xi） a/3 a/
6
梯形β=0.71
100
2
a/2
矩形（均匀） 反正弦 两点
100 100 100
3
a/ a/ a
3
2
2
1
几种常见误差的分布情形及其标准不确 定度估计
• • • • • • • • • （1）测量设备误差的影响 ① 测量设备具有校准证书时，直接采用证书上提供的扩展不确定度U 和包 含因子 k （当提供的是 U p 和有效自由度 eff时，应通过查t p ( )表）。
测量不确定度的相关表述
• 测量是一个随机事件。随机事件具有两个重要的 数字特征，即试验结果的集中性和试验结果的分 散性。 • 集中性的含义是：随机事件的任一次试验，都 是一个可能，只有进行无数次试验才能反映事件 的规律。其规律即是，在所有的试验结果中中间 的密度高，越往两端密度越低。最理想的测量结 果即是无数次试验的数学期望（即反映随机事件 试验结果的集中性。
1.引言
• • • • • • • • • • • • 1.2与测量不确定度评定与应用相关的定义与术语 概念 测量设备 计量特性 分辨率与分辨力 测量范围与量程 准确度等级 准确度 允许误差 不确定度
测量人员 标准方法：如检定规程、校准规范等 定义 测量方法 非标准方法：如自编的检测方法等
测量不确定度的评定与表示
8、A类评定 type A evaluation of uncertainty
对样本观测值的统计分析进行不确定度评定的方法。
9、B类评定 type B evaluation of uncertainty
用非统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法
测量不确定度基本术语
10、 合成标准不确定度 combined uncertainty
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量 的方差和协方差算得的标准不确定度。 用符号uc表示
11、扩展不确定度 expanded uncertainty
规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋 予被测量值的分布的大部分。用符号U或UP表示。
测量不确定度基本术语
12、包含因子
coverage factor
d10 3.08
Rn u ( x) 0.0292mm dn
查表其自由度
7.5
用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同。
不确定度评定
• B 类评定方法
B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样 本数据的统计，必然要设法利用与被测量有关的 其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用 的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验 信息也很重要。
中国量值溯源性体系原理图
国家计量基准 副计量基准
工作计量基准
社会公用计量标准 （国家专业计量站） 社会公用计量标准 （专业计量分站）
社会公用计量基准（省级） 社会公用计量基准（市级） 社会公用计量基准（县级）
部门最高计量标准 部门计量标准
企业、事业单位最高计量标准 企业、事业单位计量标准
工作计量器具（企业、事业、市场等）
6
测量不确定度评定与表示
测量不确定度评定与表示1. 引言在测量过程中，无法避免地会产生不确定度。
不确定度是指测量结果和所要求的真实值之间的差异。
在科学研究和工程应用中，评估和表示测量结果的不确定度是十分重要的，因为不正确的评定和表示不确定度可能会引起误导、误判和错误决策。
2. 不确定度评定的基本原理不确定度评定的基本原理可以归纳为以下几点：2.1 测量误差的来源常见的测量误差来源包括系统误差、随机误差和人为误差。
系统误差是指由于测量仪器、环境条件和操作方法等方面引起的误差，是可检验和可纠正的。
随机误差是指由于测量过程中的偶然因素引起的误差，是不可预知和不可消除的。
人为误差是指由于操作人员主观能力和判断产生的误差，可以通过培训和规范化操作来减小。
2.2 不确定度的评定方法不确定度的评定方法主要包括标准不确定度法、扩展不确定度法和仪器不确定度法。
标准不确定度法是指根据测量数据的统计特性确定的测量结果的不确定度，常用的统计方法有标准偏差法和方差法。
扩展不确定度法是指在标准不确定度的基础上，考虑到各种扩展因素进行修正和改进的方法，主要应用于复杂测量方法和环境条件。
仪器不确定度法是指根据仪器精度和仪器特性确定的测量结果的不确定度，常用的方法有精度等级法和重复测量法。
2.3 不确定度的表示方式不确定度的表示方式主要有点估计和区间估计两种。
点估计是指用一个确定的数值来表示测量结果的不确定程度，常用的点估计方法有标准偏差、标准误差和置信区间。
区间估计是指用一个范围来表示测量结果的不确定程度，常用的区间估计方法有置信区间和预测区间。
3. 不确定度评定的具体步骤不确定度评定的具体步骤可以分为以下几个环节：3.1 确定测量目标和测量方法首先需要明确测量的目标和所采用的测量方法。
测量目标是指所要测量的物理量或属性，测量方法是指测量目标的具体实现方式。
3.2 收集和整理测量数据采集和整理测量数据是评定不确定度的基础。
对于连续型变量，可以采用抽样方法获取一定数量的数据样本；对于离散型变量，可以进行事实调查和观察。
测量不确定度评定与表示简介
测量不确定度评定与表示简介在科学研究和工程技术领域中，测量不确定度是一个非常重要的概念。
无论是实验数据、测试结果还是产品性能指标，都离不开测量不确定度的评定与表示。
下面我们将对测量不确定度的评定与表示进行简要介绍，希望能对大家有所帮助。
一、测量不确定度的概念测量不确定度是用来描述测量结果的不确定性的概念。
在任何测量中，我们都无法完全排除由于测量设备不确定度、环境条件变化等因素所引入的误差。
这些误差会导致测量结果的不确定性，而测量不确定度就是用来描述这种不确定性的度量。
测量不确定度通常用标准差、置信区间等统计指标来表示，它不仅包括了随机误差，还包括了由于仪器精度、环境条件等因素引起的系统误差。
通过评定测量不确定度，可以帮助我们更准确地理解和解释测量结果，从而提高对实验数据的可靠性和准确性。
评定测量不确定度的方法主要有两种，一种是通过重复测量获得多组数据，然后利用统计方法计算得出不确定度；另一种是通过分析测量设备的性能指标、环境条件等因素来评定不确定度。
对于重复测量的方法，通常采用方差分析、最小二乘法等统计方法来计算标准差，从而得到测量不确定度。
而对于分析测量设备性能指标的方法，则需要考虑设备的精度、分辨率、线性度、重复性等因素，综合考虑得出不确定度。
在评定测量不确定度时，还需要考虑到环境条件的影响，比如温度、湿度等因素可能会对测量结果产生影响，因此需要对这些因素进行合理的考虑和分析。
测量不确定度的表示方式通常有两种，一种是绝对不确定度表示法，一种是相对不确定度表示法。
绝对不确定度表示法是指直接以测量结果的单位为基准表示不确定度，比如长度为10cm，不确定度为0.1cm，那么绝对不确定度就可以表示为10.0±0.1cm。
这种表示法直观、简单，容易理解。
测量不确定度的评定与表示在科学研究和工程技术领域有着广泛的应用。
在科学实验中，评定测量不确定度可以帮助我们更准确地判断实验数据的可靠性，从而更好地验证实验结论；在工程技术领域，评定测量不确定度可以帮助我们更准确地评估产品性能指标，指导产品设计和生产。
测量不确定度的评定与表示
测量不确定度评定与表示JJF1059.1--20122015.12.29南京JJF1059.1测量不确定度的评定与表示一、（测量）不确定度概念1.不确定度概念绝对测量 x y =直接测量相对测量 0x x y -= 0y U y Y ⊃±=间接测量 ),(21N x x x f y ⋅⋅⋅=定义：测量不确定度是与测量结果相联系的参数，合理地赋予被测量结果的分散性。
新定义：根据所获信息，表征赋予被测量值分散性的非负参数。
2.不确定来源表现为：（1）对被测量的定义不完整或不完善 （2）复现被测量定义的方法不理想 （3）测量所取样本的代表性不够（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差（6）仪器计量性能上的局限性（7）赋予测量标准和标准物质的标准值的不准确 （8）引用常数或其它参量的不准确（9）与测量原理、测量方法和测量程序有关的的近似性或假定性 （10）在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随机变化 （11）对一定系统误差的修正不完善 （12）测量列中的粗大误差因不明显而未剔除（13）在有的情况下，需要对某种测量条件变化，或者是在一个较长的规定时间内，对测量结果的变化作出评定。
应把该相应变化所赋予测量值的分散性大小，作为该测量结果的不确定度。
3.测量不确定度分类与字母表示 3.1绝对量表达A 类标准不确定度（用统计方法得到）：A u 一般可统一表示 标准不确定度B 类标准不确定度（用其他方法得到）：B u 为：)(x u 或i u 测量不 合成标准不确定度C u 或)(y u C 确定度扩展不确定度 U 或)(y U ： C ku U = （k 为包含因子）3.2相对量表达A 类标准不确定度（用统计方法得到）：rel A u . 一般可表示 相对标准不确定度B 类标准不确定度（用其他方法得到）：rel B u . 为：)(x u rel 或rel i u . 相对测量 合成标准不确定度relC u . 或 )(y u rel C 不确定度相对扩展不确定度 rel U 或 )(y U rel ： rel C rel ku U .= （k 为包含因子）二、测量不确定度评定与表示1.A 类标准不确定度计算A 类标准不确定度是指测量随机效应引入的标准不确定度,用A 类评定。
测量不确定度评定与表示
p
这种情况在以“等”使用的仪器中出现最多。
正态分布情况下置信水准p与包含因子kp间的关系
P(%)
kP
50
0.67
68.27
1
90
1.645
95
1.960
95.45
2
99
2.576
99.73
3
（2）B类标准不确定度
（4）已知扩展不确定度Up以及置信水准p与有效自 由度eff的t分布。如xi的扩展不确定度不仅给出了扩展
1.4 分布
一组数值的散布会取不同的形式，或称为服从不同的 概率分布。 （1） 正态分布 在一组读数中，较多的读数值靠近平均值，少数读数 值离平均值较远。这就是正态分布或高斯分布的特征。 （2） t分布 是一般形式，而标准正态分布是其特殊形式，t()成 为正态分布的条件是自由度。 （3） 均匀分布（矩形分布） 当测量值非常平均地散布在最大值和最小值之间的范 围内时，就产生了矩形分布或称为均匀分布。 （4） 其他分布 如，三角分布、M形分布（双峰分布）、倾斜分布（不 对称分布）等等，较少见。
概率p=99.73%
概率p=95. 45% f(x)
概率p=68.27% 等于概率曲线与横 坐标围成的面积
3
2
2
3
x
正态分布
1.5 测量基本术语
（1）测量误差 测量误差
＝
测量值
－
真值
真值是指与给定的特定量一致的值。当测量不完善时， 通常不能获得真值。真值是一个理想概念，常用约定真值代 替。在不确定度评定中，常称“被测量之值”为“真值”， VIM新定义：参考量值
需要指出，单次测量的实验标准差 s(xi) 随着测量次数 的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的标准偏差 s( x )则将 随着测量次数的增加而减小。
测量不确定度评定与表示
实用文档
15
关于GUM法适用条件的理解
（1）GUM法适用于可以假设输入量的概率分布呈对 称分布的情况。
在GUM法评定测量不确定度时，首先要评定输入量的标准 不确定度，
• A类评定时，一般对在重复性条件下的多次测量，由各 种随机影响造成测得值的分散性可假设为对称的正态分
布；
• B类评定时，只有输入量的概率分布为对称分布时，才
实际的，GUM中，约定采用k=2的扩展不确定度U， 由它确定的包含区间为y±U，包含概率约为95%左
右，就是在接近正态分布的基础上得出的。
b.若用算术平均值作为被测量（即输出量）的最佳估计值y， 其为以扩自用展由查不度t分确为布定的ef度ft、为临方U界p差，值为当表(y来U服p/确从kp定)正2包的态含t分概分布率布时为。，pG则的UMy包规/u含定c的因，分子可布 kp，得到扩展不确定度Up和包含概率为p的包含区间y±Up。
本次修订主要内容
1、名称术语与JJF1001-2011《通用计量术语及定 义》一致；新增部分术语。（55页）
2、对适用范围做了补充，明确了GUM法适用的主 要条件。（14页）
3、根据计量实际，增加预评估重复性。（75页）
4、增加协方差和相关系数的估计方法。（97页）
5、弱化了给出自由度的要求，一般给出k值。
实用文档
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规范中的“主要”两字是指：
• 从严格意义上来说，在规定的该三个条件 同时满足时，GUM法是完全适用的。
• 当其中某个条件不完全满足时，有些情况 下可能可以作近似、假设或适当处理后使 用。
• 在测量要求不太高的场合，这种近似、假 设或处理是可以接受的。但在要求相当高 的场合，必须在了解GUM适用条件后予以慎 重处理。
测量不确定度的评定与表示2015.5.28
度为 u x s x s xk
2
【例】
某实验室事先对某一电流量进行n＝10次重 复测量，测量值列于下表。按下表的计算步骤得 到单次测量的估计标准偏差 s(x)＝0.074mA。 ① 在同一系统中在以后做单次（m ＝1）测量， 测量值x＝46.3mA，求这次测量的标准不确定度 u(x)。 ② 在同一系统中在以后做3（m ＝3）次测量， 45.4 45.3 45.5 mA x ，求这次测量的标 45.4 3 准不确定度 u( x ) 。
根据概率分布和要求的概率p确定k，则B类标准不确 定度
uB 可由下式得到：
a uB k
a ------ 被测量可能值区间的半宽度
k ------ 包含因子
预备知识
分布┈数据散布的“形状”
一组数值的散布会取不同的形式，或称为服从不同的概率 分布。 （1）正态分布 在一组读数中，较多的读数值靠近平均值，少数读数 值离平均值较远。这就是正态分布或高斯分布的特征。 （2）均匀分布（矩形分布） 当测量值非常平均地散布在最大值和最小值之间的范 围内时，就产生了矩形分布或称为均匀分布。 （3）其他分布 还有其他分布形状，但较少见，例如三角分布、反余 弦分布（U型分布）等。表2.1给出了几种概率分布及其 包含因子。
贝塞尔公式法
单个测得值 xk 的实验标准偏差 sxk ，按下式 计算：
2 1 n sxk xi x n 1 i 1
（贝塞尔公式）
此式是单次测量的实验标准偏差(σ)，也就是 标准不确定度u(x)。自由度（反应了相应实验标准 偏差的可靠程度）v=n-1。
标准不确定度的A类评定
一、不确定度的基本概念
标准不确定度（standard uncertainty）： 以标准偏差表示的测量不确定度。 实验标准偏差（experimental standard deviation）： 对同一被测量进行n次测量，表征测量结果分 散性的量。用符号s表示。（σ）
测量不确定度评定与表示简介
测量不确定度评定与表示简介一、引言在科学和工程领域，测量是一项重要的活动。
测量结果的准确性和可靠性对于保证产品质量、科学研究成果以及安全生产等方面具有重要意义。
任何测量都不可能完全准确，总会存在一定的偏差。
而测量不确定度是用于表征测量结果的不确定性的量化指标，对于评估测量结果及其应用具有重要意义。
本文将从测量不确定度的概念、评定方法以及表示方式等方面对测量不确定度进行介绍和讨论。
二、测量不确定度的概念测量不确定度是指用于表征测量结果不确定性的参数，反映了测量结果和所测量值真实数值之间的差异。
通常情况下，测量的不确定度包括两种来源：随机误差和系统误差。
随机误差是由于测量过程中的种种不可控因素导致的误差，如环境条件变化、测量仪器精度等。
随机误差的出现是无法预知的，其大小和方向都是随机的，因此称之为随机误差。
系统误差是由于测量过程中的某种固有缺陷或者偏差引起的误差。
系统误差是有规律性的，其产生的原因是可以被找到的，并且可以被纠正的。
系统误差是由于测量装置的不精确、操作人员的疏忽或者测量条件的改变等原因引起的。
为了对测量结果的不确定性进行分析和评估，需要对测量不确定度进行评定和表示。
下面将分别介绍测量不确定度的评定方法和表示方式。
1. 标准差法标准差法是一种用于评定随机误差的测量不确定度的方法。
通过对测量数据进行重复测量，得到一组测量结果，然后计算这组测量结果的标准差，即可得到该组测量结果的不确定度。
标准差法能够较为直观地反映测量值的离散程度，但是对于系统误差的评定能力较弱。
2. 扩展不确定度法扩展不确定度法是一种综合考虑随机误差和系统误差的测量不确定度评定方法。
通过对测量结果进行综合分析，结合仪器精度、环境条件、操作人员技术水平等因素，计算得出测量结果的扩展不确定度。
扩展不确定度法能够较好地综合考虑随机误差和系统误差的影响，因而被广泛应用于实际测量中。
绝对不确定度是指根据测量数据和评定方法所得到的测量不确定度值。
测量不确定度评定与表示简介
测量不确定度评定与表示简介测量不确定度评定与表示是现代物理实验中最重要的问题之一，因为任何测量都存在误差，因此需要计算出测量数据的不确定度。
在测量过程中，由于各种情况的干扰和影响，往往难以获得完全准确的实验数据。
而好的不确定度评定则可以准确地反映出实验数据的可靠程度，并在研究物理规律和进行科学研究时提供重要的参考依据。
测量不确定度评定方法可以分为两种：类型A和类型B评定。
类型A评定是通过对一组或多组测量数据的统计分析来确定不确定度。
这种评定方法适用于相对简单的测量，包括直接读数和计算。
类型B评定则是通过分析各种误差源导致的误差概率分布来确定不确定度。
这种评定方法适用于较为复杂的测量，包括间接测量和模拟计算等。
在进行不确定度评定时，必须首先确定测量结果和真实值之间的误差范围。
误差范围包括偏差和随机误差两部分。
偏差是测量结果与真实值之间的总体误差，包括系统误差和仪器误差。
随机误差是由于测量过程中的各种偶然干扰导致的误差，包括人为误差和环境误差等。
一旦误差范围被确定，就可以计算出测量数据的不确定度。
不确定度可以表示为标准偏差、标准误差、置信区间等。
其中，标准偏差是测量数据离散程度的度量，标准误差是对测量数据误差范围的度量，置信区间则是对测量数据可靠程度的度量。
在进行不确定度评定时，还需要注意的是误差来源的分析。
误差分析可以帮助识别和排除各种误差源，提高测量数据的准确性和可靠性。
误差分析通常包括了解实验仪器的特点和性能、确定测量数据的来源和采集方式、了解环境因素对测量结果的影响等。
3.2测量不确定度的评定与表示
1
1.645 1.96
2
2.576
3
统计技术应用
常用的非正态分布
p(x)
特征：估计值以 p＝100％的概
p(x)
σ(x)=a/ 3
率均匀散布在[a,a+]区间内，落 在该区间外的概
率为零
特征：估计值以 p＝100％的概 率落在[a-,a+]区 间内，靠近0的 数值比接近边界 的值多，落在该 区间外的概率为 零
协方差估计值s(x,y)与相关系数估计值r(x,y)之间关 系： s(x,y)=r(x,y)s(x)s(y)。
测量不确定度评定方法
测量不确定度评定方法依据JJF1059进行， JJF1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》，又 称GUM法 JJF1059.2-2012《用蒙特卡洛法评定测量不确定 度》，又称MCM
r(x,y)表示：
n
(xi X )( yi Y )
r(x, y) i1
s(x, y)
(n 1)s(x)s( y) s(x)s( y)
统计技术应用
相关系数与协方差关系 相关系数是一个纯数字，介于[-1,+1]之间。 相关系数为零，表示两个量不相关；相关系数为+1，
表示两个量正强相关；相关系数为-1，表示两个量负强 相关。
通用计量术语
测量结果 与其他有用的相关信息一起赋予被测量的一组量值。 测量结果由测得值及有关其可信程度的信息组成。 —测量得到的仅仅是被测量的估计值，其可信程度
由测量不确定度来定量表示。因此通常情况下，测量结 果表示为被测量的估计值及其测量不确定度，必要时还 要给出不确定度的自由度。
对于某些用途而言，如果认为测量不确定度可以忽 略不计，则测量结果可以仅用被测量的估计值表示，也 就是此时测量结果可表示为单个测得的量值。在许多领 域中这是表示测量结果的常用方式。
测量不确定度的评定与表示
不确定度的发展(续)
❖1981年10月国际计量委员会提出了建议书（CI-1981）， 同意INC-1。 ❖1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生 产、科学研究中的不确定度指南。
❖1993年出版了《测量不确定度表示指南》，简称GUM 。❖1999年国家质量技术监督局批准发布了JJF 1059-1999 《 测量不确定度评定与表示》,这规范原则上等同采用了GUM 的基本内容。
不确定度可以是标准差或其倍数，或是说明了包含概率的区间半宽度 。
以标准差表示的不确定度称为标准不确定度，以μ表示。
不确定度的表示形式有两种，绝对形式表示的不确定度的量纲与被测
量的量纲相同，相对形式的无量纲。Urel 0.4%(k 2)
如弯曲测试用传感器的扩展不确定度
如热变形温度扩展不确定度：U=0.4℃（k=2）
4个方面入手分析。
诞 生
测量不确定度
2.2 不确定度的发展
❖1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确 定度关系。 ❖1953年Y.Beers在《误差理论导引》一书中给出实验不确定 度。
❖1970年C.F.Dietrich出版了《不确定度、校准和概率》。
❖1973年英国国家物理实验室的J.E.Burns等指出，当讨论测 量准确度时，宜用不确定度。 ❖1978年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国和 国际组织的意见。
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k=2 说明测量结果在y±U95区间内的概率约为95%。
【如何理解测量不确定度】
测量不确定度是说明了置信水准的区间的半宽度。 测量不确定度需要用两个数来表示。 测量不确定度的大小，即包含区间半宽。 包含概率（或置信概率、置信水准），表明测量结果落在该区间有多 大把握。 【案例】
JJF 1059-1999 测量不确定度评定与表示
2 基本术语及其概念3 产生测量不确定度的原因和测量模型化4 标准不确定度的A类评定5 标准不确定度的B类评定6 合成标准不确定度的评定7 扩展不确定度的评定8 测量不确定度的报告与表示附录打印刷新测量不确定度评定与表示JJF1059—1999一切测量结果都不可避免地具有不确定度。
《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement以下简称GUM)，由国际标准化组织(ISO)计量技术顾问组第三工作组(ISO／TAG4／WG3)起草，于1993年以7个国际组织的名义联合发布，这7个国际组织是国际标准化组织(ISO)、国际电工委员会(IEC)、国际计量局(BIPM)、国际法制计量组织(OIML)、国际理论化学与应用化学联合会(IUPAC)、国际理论物理与应用物理联合会(IUPAP)、国际临床化学联合会(IFCC)。
GUM采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门，可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。
在我国实施GUM，不仅是不同学科之间交往的需要，也是全球市场经济发展的需要。
本规范给出的测量不确定度评定与表示的方法从易于理解、便于操作、利于过渡出发，原则上等同采用GUM的基本内容，对科学研究、工程技术及商贸中大量存在的测量结果的处理和表示，均具有适用性。
本规范的目的是：——提出如何以完整的信息评定与表示测量不确定度；——提供对测量结果进行比较的基础。
评定与表示测量不确定度的方法满足以下要求：a)适用于各种测量和测量中所用到的各种输入数据，即具有普遍适用性。
b)在本方法中表示不确定度的量应该：——能从对不确定度有贡献的分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关，即它们是内部协调一致的；——当一个测量结果用于下一个测量时，其不确定度可作为下一个测量结果不确定度的分量，即它们是可传播的。
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二、测量不确定度评定与表示（一）相关数理统计基本知识（二）测量不确定度有关概念（三）产生测量不确定度的原因与测量模型化（四）标准不确定度的A类评定（五）标准不确定度的B类评定（六）合成标准不确定度评定（七）扩展不确定度评定（八）测量结果及其不确定度报告2010-5-2429（一）相关数理统计基本知识基本统计计算通过多次重复测量并进行某些统计计算，可增加测量得到的信息量。
其中有两项最基本的统计计算：（1）求一组数据的平均值或算术平均值（理论上是数学期望），（2）求单次测量或算术平均值的实验标准偏差（理论上是总体标准偏差）。
2010-5-24302010-5-24311. 最佳估计值┈┈多次测量的平均值一般而言，测量数值越多，得到的“真值”的估计值就越好。
理想的估计值应当用无穷多数值集来求平均值。
但是增加读数要做额外的工作，并增大测量成本，且会产生“缩小回报”的效果。
什么是合理的次数呢？10次是普遍选择的，因为这能使计算容易。
20次读数只比10次给出稍好的估计值，50次只比20次稍好。
根据经验通常取6～10次读数就足够了。
数学期望2010-5-24322. 分散范围（区间）－标准偏差●定量给出分散范围的常见形式是标准偏差。
一个数集的标准偏差给出了各个读数与该组读数平均值之差的典型值。
●根据“经验”，全部读数大概有三分之二（68％）会落在平均值的正负（±）一倍标准偏差范围内，大概有全部读数的95％会落在正负两倍标准偏差范围内。
虽然这种“尺度”并非普遍适用，但应用广泛。
标准偏差的“真值”只能从一组非常大（无穷多）的读数求出。
由有限个数的读数所求得的只是标准偏差的估计值，称为实验标准偏差或估计的标准偏差，用符号s 表示。
方差的平方根2010-5-24333. 分布┈┈数据散布的“形状”一组数值的散布会取不同的形式，或称为服从不同的概率分布。
（1）正态分布在一组读数中，较多的读数值靠近平均值，少数读数值离平均值较远。
这就是正态分布或高斯分布的特征。
（2）t 分布是一般形式，而标准正态分布是其特殊形式，t (ν)成为正态分布的条件是自由度ν→∞。
（3）均匀分布（矩形分布）当测量值非常平均地散布在最大值和最小值之间的范围内时，就产生了矩形分布或称为均匀分布。
（4）其他分布参见JJF 1059-1999 第24页附录A2010-5-2434概率p =95. 45%概率p =68.27%等于概率曲线与横坐标围成的面积xf (x )概率p =99.73%μμ−2 σμ+σμ−3 σμ+2 σμ−σμ+3 σ图1.4 a 正态分布随机变量x 的取值拐点35μμ−2 σμ+σμ−3 σμ+2 σμ−σμ+3 σ图1.4b 正态分布p =50%0.675 σ0.675 σp =68.27%p =95.45%p =99.73%2010-5-2436正态分布图1.5 正态分布的中心在x =μ处，μ值的大小决定了曲线在x 上的位置。
x2μy1μ平均值(最佳估计值)2010-5-2437正态分布图1.6 在相同μ值下，σ值愈大，曲线愈平坦，即测量值的分散性愈大。
平均值标准偏差5.01＝σ5.12＝σμ2010-5-2438正态分布图1.7 对两条相同μ值和不同σ值的正态分布曲线的比较。
5.0121＝σμ=1μ2102＝σμ=2μ2010-5-2439正态分布重复条件下多次测量所得数据的分布服从正态分布(如图2.4所示)。
正态分布的概率密度曲线，该曲线有如下四个特点：①单峰性，即曲线在平均值μ处具有最大值；②对称性，即曲线具有一对称轴；③有一水平渐近线，即曲线两端无限接近于横轴；④在对称轴左右两边的曲线上离对称轴等距离的某处，各有一个拐点。
数据对称分布在平均值的两边μ−σ和μ+σ2010-5-2440①包含概率(置信水准、置信概率、置信水平)以p表示；②显著性水平(置信度)以α表示，α=1−p ;③置信区间以[−k σ，k σ]表示；④置信因子(包含因子)以k 表示，当分布不同时，k 值也不同。
图1.8统计分布常见术语图解p0−k σk σα/2α/22010-5-2441符合下列条件之一者,一般可近似地估计为正态分布：(1)重复性条件或复现性条件下多次测量的算术平均值的分布；(2)被测量Y 用扩展不确定度U p 给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y 的分布；(3)被测量Y 的合成标准不确定度u c (y )中，相互独立的分量u i (y )较多，它们之间的大小也比较接近时，Y 的分布；(4)被测量Y 的合成标准不确定度u c (y )中，相互独立的分量u i (y )中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个限值接近的均匀分布时；(5)被测量Y 的合成标准不确定度u c (y )相互独立的分量中，量值较大的分量(起决定作用的分量)接近正态分布时。
JJF 1059-1999 第26页附录B 2010-5-2442各种不同分布的概率和包含因子对于均匀分布，包含因子对于三角分布，包含因子对于反正弦分布，包含因子表1.2正态分布k ，p 对应值p (％)5068.27909595.459999.73k 0.671 1.65 1.962 2.5833=k 6=k 2=k（二）测量不确定度有关概念测量不确定度表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
不确定度可以是诸如标准偏差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
2010-5-2443标准不确定度和扩展不确定度以标准偏差表示的不确定度称为标准不确定度，以u表示。
以标准偏差倍数表示的不确定度称为扩展不确定度，以U表示。
扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间半宽度。
2010-5-2444不确定度A类和B类评定方法不确定度通常由多个分量组成，对每一分量都要求评定其标准不确定度。
评定方法分为A、B两大类：A类评定是用对观测列进行统计分析的方法，以实验标准偏差表征；B类评定则用不同于A类的其他方法，以估计的标准偏差表示。
各标准不确定度分量的合成称为合成标准不确定度，它是测量结果的标准偏差的估计值。
2010-5-2445表1.3 标准不确定度A类评定与B类评定的比较标准不确定度A类评定标准不确定度B类评定根据一组测量数据根据信息来源可能性可信性来源于随机效应来源于系统效应通常属数理统计研究范畴通常是校准领域专家的共识2010-5-24462010-5-2447标准不确定度定义：以标准偏差表示的测量不确定度。
用符号u 表示。
也可以用相对不确定度表示，x 是被测量X 的最佳估值。
JJF 1059-1999 第5页)0()(Arel ≠=x x x u u 2010-5-2448合成标准不确定度定义：当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差和协方差算得的标准不确定度。
用符号u c 表示。
也可以用相对不确定度表示，y 是被测量Y 的最佳估值。
JJF 1059-1999 第5页)0()(ccrel ≠=y y y u u2010-5-2449扩展不确定度定义：确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。
用大写斜体英文字母U 表示。
也可以用相对不确定度表示，y 是被测量Y 的测量结果。
JJF 1059-1999 第5页)0(rel ≠=y y UU 2010-5-2450包含因子定义：为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。
注：1. 包含因子等于扩展不确定度与合成标准不确定度之比。
2. 包含因子有时也称覆盖因子。
3. 根据其含义可分为两种：k =U /u c ；k p =U /uc 。
4.一般在2~3之间。
5. 下脚标p 为置信概率，即置信区间所需之概率。
JJF 1059-1999 第5页2010-5-2451测量不确定度的结构A 类标准不确定度标准不确定度合成标准不确定度B 类标准不确定度测量不确定度U （当无需给出U p 时,k =2~3）扩展不确定度U p （p 为包含概率）小写英文字母u (斜体)表示大写英文字母U (斜体)表示2010-5-2452实验标准(偏)差计算式—贝塞尔公式对同一被测量X 作n 次测量，表征每次测量结果分散性的量s (x i )可按下式算出：式中x i 为第i 次测量的结果; 为所考虑的n 次测量结果的算术平均值；称为残差。
上式称作贝塞尔公式，它描述了各个测量值的分散度。
有时将s (x i )称作单次测量结果的标准偏差，或称为实验标准差。
112)(112)(−∑=−=−∑==n n i x x n n i i i x s i νx x x v i i −=2010-5-2453自由度ν在方差计算中，自由度为和的项数减去对和的限制数，记为ν。
在重复条件下对被测量做n 次独立测量，其样本方差为:式中v i 为残差。
所以在方差的计算式中，和的项数即为残差v i 的个数n 。
而且残差之和为零，即∑νi =0是限制条件，故限制数为1，因此可得:自由度ν＝n －1。
1)(11212−−=−∑∑==n x xn v n i i n i i 2010-5-2454不确定度u 的相对标准不确定度σ(u )/u 与自由度有如下关系可见式中v 为愈大，σ(u )/u 愈小，故自由度反映了相应标准不确定度的可靠程度。
合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，用νeff 表示。
νσ21)(=u u2010-5-2455（三）不确定度的来源与测量模型化不确定度来源:（1）对被测量的定义不完整或不完善；（2）实现被测量定义的方法不理想；（3）取样的代表性不够，即被测量的样本不能完全代表所定义的被测量；（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差（偏移）；测量仪器计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、稳定性及死区等）的局限性；（7）赋予计量标准的值或标准物质的值不准确；（8）引用的数据或其他参数的不确定度；（9）与测量方法和测量程序有关的近似性和假定性；（10）被测量重复观测值的变化等等。
2010-5-2456建立数学模型在多数情况下，被测量Y （输出量）不能直接测得，而是由N 个其他量X 1，X 2，…，X N 通过函数关系f 来确定：Y =f (X 1，X 2，…，X N )上式称为测量模型或数学模型，或称为测量过程数学模型。
输出量Y 的输入量X 1，X 2，…，X N 本身可看作被测量，也可取决于其他量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式，以至函数f 不能用显式表示。
Y 也可以用实验的方法确定，甚至只用数值方程给出。
上式也可能简单到Y =X 1+X 2，甚至Y =X 。