相似三角形分类讨论

B C

《相似三角形中分类讨论思想的运用》

一、温故知新:

１. 已知△AB Ｃ的三边长分别是４、６、８，△DEF 的一条边为２4,如果△Ｄ

EF 与△ABC 相似，则相似比为

2.两个相似三角形的面积之比是9:25，其中一个三角形一边上的高是６，那么

另一个三角形对应边上的高为

3.已知线段A Ｂ=2,P 是线段A Ｂ的黄金分割点，则AP 的长为 问题：什么是分类讨论？为什么要分类？

二、新知学习:

题组一：

1.例1.如图所示，在ABC ∆中，ＡB ＝6,A Ｃ=4,P 是AC 的中点,过P 点的直线交

ＡB 于点Ｑ,若使APQ ∆与ABC ∆相似,则AQ 的长为

2,在∆,过交AB

3. 变式二：如图所示,在ABC ∆中,P 是ＡC 上一点,过Ｐ点的直线截ABC ∆，使

截得的三角形与原三角形相似，则满足这样的直线最多有 条．

探究：如果ABC ∆是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立

吗?等腰三角形呢?

则∠ＢＣA= ．

题组三 1.在矩形A ＢCD 中,AB ＝4,AD=５,Ｐ是射线B Ｃ上的一个动点,作PE ⊥AP,PE 交

射线DC 于点E ，射线AE 交射线ＢC 于点Ｆ，设ＢP=x,ＣE=y.求y 关于x 的函数

解析式，并写出它的定义域；（点P 与点Ｂ、C 都不重合），

2).Ｅ是射线B Ｃ上的动点

,M BD,交线段AM 于点N,如果以

C B C B C B C

D C

D

-- D C B A D C B A Q P C

B A

C B A C

B A A

B C F

B C A D P

D A B C P Q y x 123

45-1

-2

-3

-412345-1-2-3-4-5B A o

Ａ、N 、Ｄ为顶点的三角形与△ＢＭE 相似，求线段ＢE 的长．

三、课后反思：

1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类

讨论？分类的原则是什么?

2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学

问题.

四、检测反馈：

1．已知在Rt ABC ∆中,︒=∠90C ,A Ｂ=5,A

Ｃ=３,点D 是射线BC 上的一点,（不与端点

Ｂ重合)，联结AD ，如果ACD ∆与ABC ∆相似,则BD=

２．在等腰ABC ∆中，AB ＝AC,若一条中线长为6厘米,另一条中线为9厘米,则

等腰ABC ∆的底边长为

3. AD ∥ＢＣ,∠D=90°,DC ＝6,A Ｄ＝2,BC=

4.若在边DC 上有点P 使△PA Ｄ和△Ｐ

ＢC 相似,求D Ｐ的长.

4．如图,4,3,90==︒=∠=∠AC BC ABD ACB ,当ABC ∆与ADB ∆相似时 ,求AD 的长.

5．拓展题:如图：在⊿A ＢＣ中，∠C=90°,BC ＝６，AC=8． P 、Ｑ分别为A Ｃ、BA 上的动点，且BQ ＝2AP,联结PQ,设A Ｐ=ｘ.

① 在点P 、点Q 移动的过程中,⊿A ＰＱ能否与⊿ABC 相似？若能,请求出ＡＰ的

长；若不能,请说明理由。

② 当x 为何值时，⊿ＡP Ｑ是等腰三角形?

五、作业: 1. 在直角坐标系中有两点0，2）,如果点C 在x 轴上（C 与Ａ不重合），当点C 的坐标为 时，使得由点B 、O 、Ｃ组成的三角形与△AO Ｂ相似。

2. 已知：如图，P 是边长为4的正方形ABCD 内一点,且PB=3，BF ⊥BP ，垂足为B,请在射线BF 上找一点Ｍ,使以B 、M 、Ｃ为顶点的三角形与△ABP 相似。

3．已知ＢＤ是矩

-- C

形ABCD 的对角线，ＡB=30cm,ＢC ＝40cm,点P 、Ｑ同时从A 点出发,分别以2ｃｍ／s ，４cm/ ｓ的速度由A →Ｂ→C →D →A 的方向在矩形边上运动,在点Ｑ回到点A 的整个运动过程中：① ＰQ 能否与BD 平行？② PQ 能否与BD 垂直？请分别作出判断。如果存在,请分别求出时间t,如果不存在，请说明理由。

４、如图，已知CAB RT ∆中，

1BC AC ,90ACB 0===∠，点P 在斜边ＡB 上移动（点P 不与点A 、B 重合），以Ｐ为顶点作045CPQ =∠，射线ＰＱ交BC 边与点

Q 。CPQ ∆能否是等腰三角形?如果能够，试求出AP 的长，如果不能,试简要说

明理由。

5.已知:在梯形ABCD 中，ＡD ∥BC ,ＡＤ

(1)如图,P 为ＡD 上的一点，满足∠BPC =∠A ．

①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长. （2）如果点P 在AD 边上移动（点Ｐ与点A 、D 不重合）,且满足∠BPE ＝∠A ，PE

交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，设AP =x ，CQ ＝y ,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

P A