基于排队理论的仿真模型

关键词：动态模拟蒙特卡洛模拟排队论

内容摘要：论文根据超市顾客到达的随机性和服务时间的随机性，用蒙特卡洛方法模拟不同的顾客到达和服务水平，在MA TLAB/Simulink上对超市单队列多收银台的服务系统进行了动态模拟仿真，得到不同顾客到达率和不同服务水平下，顾客的排队等待时间，服务器的空闲率等要素。

在超市收银排队系统中，顾客希望排队等待的时间越短越好，这就需要服务机构设置较多的收银台，这样可以减少排队等待时间，但会增加商场的运营成本。而收银台过少，会使服务质量降低，甚至造成顾客流失。如何科学合理地设置收银台的数量，以降低成本和提高效益，是商场管理人员需要解决的一个重要问题。

蒙特卡洛方法简介

蒙特卡洛方法又称随机模拟方法，它以随机模拟和统计试验为手段，从符合某种概率分布的随机变量中，通过随机选择数字的方法，产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列，作为输入变量序列进行特定的模拟试验、求解（杜比，2007）。在应用该方法时，要求产生的随机数序列应符合该随机变量特定的概率分布。应用该方法的基本步骤如下：

步骤1：建立概率模型，即将所研究的问题变为概率问题，构造一个符合其特点的概率模型；步骤2：产生一组符合该随机变量概率分布特性的随机数值序列；步骤3：以随机数值序列作为系统的抽样输入进行大量的数字模拟试验，以得到模拟试验值；步骤4：对模拟试验结果进行统计处理（如计算频率、均值等），进而对研究问题做出解释。

基于排队理论的仿真模型建立

（一）超市服务排队模型（M/M/C）

超市收款台服务是一个随机服务系统（唐应辉，2006），该系统具有如下特征：服务的对象是已经选购好商品的顾客，顾客源是无限的，顾客之间相互独立，顾客相继到达的时间间隔是随机的。系统有多个服务员且对每个顾客的服务时间是相互独立的。服务规则遵从先到后服务（FCFS）的原则。每个收款台前都有排队队列，顾客选择较短的队列排队等候，这样形成单队列多服务员（M/M/C）的排队系统。超市收银台顾客排队系统结构见图1。

（二）产生随机数值序列

由于顾客到达间隔时间和顾客服务的时间服从负指数颁布的随机数。令这个负指数分布的随机数为x，负指数分布密度函数为：，其分布函数为：，F（x）的反函数为。设u为[0，1]区间上的独立、均匀分布的随机变量，则所求随机数为，进而简化得，这样得到负指数分布的随机数（吴飞，2006）。

针对商场顾客到达和服务水平的统计数据，据此可产生两个随机数列：顾客到达时间间隔a （i）和顾客服务时间st（i），以此数值序列进行动态输入仿真。

（三）模型变量设置

at（i）：表示第i

个顾客到达时刻；

a（i）：表示第i个顾客到达的时间间隔；st（i）：第i个顾客的服务时间；sst（i）：

第i个顾客的开始服务时间；lea（i）：第i个顾客离开时间；ls（j）：第j个队列中最后一个顾客的离开时间；ls（m）：每个队列中最后一个顾客离开时间的最早值；freet（j）：第j个

服务员的平均空闲时间；w（i）：第i个顾客进入系统后的排队等待时间。

其中：at（i+1）=at（i）+a（i+1），sst（i）=max（at（i）,ls（m）），w（i）=max（0,ls（m）-at（i）），ls（m）=min（lt（j））。

仿真系统模拟

（一）超市收银台服务仿真模拟

解决超市收银台顾客排队问题，关键是要测量常态下需要多少收银台才是适宜的。根据商场收银台服务统计数据，可以测算出超市收银员的服务率、顾客到达率，

然后通过仿真方法测量出超市提供多少收银台才最适宜。基本步骤如下：

系统经过较长时间运行后达到平稳。

根据实际考察，一周之内，双休日及节假日的客流量剧增，而在一天之中顾客的到达也出现几个高峰期，所以，作如下改进：将一天分为四个时段（9：00-12：00，12：00-14：00，14：00-18：00，18：00-21：00），首先调查其中一个时段（以第三时段为例）周一至周五的工作状况，调查数据如表1所示。

根据统计数据得到了单位时间内到达的顾客数n和为每位顾客服务的时间t，然后利用χ2拟合检验（包科研、李娜，2008），得到单位时间的顾客到达数服从Possion分布，服务时间服从负指数分布。

根据资料统计得到单服务台服务强度为每小时49人，即μ=49，到达速率每小时277人，即λ=277。设定顾客平均等待时间小于5分钟，模拟次数1000次，模拟超市应设置多少收银台。同时，这里的μ和λ可以根据不同时段的实际情况变化，以模拟在不同到达速率和服务强度下的工作状态。

（二）仿真程序设计

首先顾客按规定的到达模式产生到达，同时按规定的服务模式产生服务时间，然后判断是否有空闲的服务台。有，则直接接受服务而不需进入队列等待；否则，顾客将进入队列等待服务。顾客选择等待服务台队列时，以最早接受服务为标准，此前要计算各服务台进入空闲的时间。仿真钟采用事件调度法，以顾客到达为驱动。一个顾客进入系统后，按仿真方法和流程计算其服务时间与离开时间后，驱动下一个事件（下一个顾客的到达）的发生。

在仿真过程中还要对服务台利用率、队列长度、顾客等待时间等进行统计以达到仿真目的，如图2所示。

该模型（M/M/C）以第三时段为例，顾客随机性到达，到达模式服从泊松分布λ=277；服务时间也是随机的，服从指数分布，每小时服务人数为μ=49；纪录到2000名顾客时模拟终止，仿真采用基于事件（基于顾客）的方法。本文以MA TLAB7.0/Simulink6.0仿真系统为工具进行动态模拟仿真（黄永安，2007），仿真次数1000次，结果取平均值。

参考文献：

1.杜比.蒙特卡洛方法在系统工程中的应用[M].西安交通大学出版社，2007

2.唐应辉.排队论[M].科学出版社，2006

3.吴飞.产生随机数的几种方法及应用[J].数值计算与计算机应用，2006.3

4.包科研，李娜.数理统计与MA TLAB数据处理[M].东北大学出版社，2008