最新结构力学第8章渐近法及其它算法简述
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清华大学结构力学第8章渐进法分析
A
i
B
A
M AB iA
M BA iA
A
i
B
A
CAB
M BA M AB
1 2
CAB
M BA M AB
0
CAB
M BA M AB
1
在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯
矩乘传递系数，即 MBA CAB M。AB 清华大学结构力学第8章渐进法分 析
四、单结点力矩分配
MB=60kN.m
200kN
A
EI
3m
B
3m
20kN/m
EI C
6m
a)
200kN MB 60kN.m 20kN/m
B
A
B
150kN.m -90kN.m 150kN.m 150kN.m 90kN.m C
b)
用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上 附加转动约束，锁住B使之不能转动。其产生的 反力矩MB等于各杆端固端力矩的代数和，见图 b)。
0.571
BC
3 7
0.429
M
F AB
1 8
2006Biblioteka 150kN.mMF BC
1 20 62 8
90kN.m
结点B约束力矩为：
M
F BA
1 8
200
6
150kN.m
结点B分配力矩为：
MB (150 90)清华6大0学k结N构.m力学第8章渐进M法分B 60kN.m
析
3）运算格式
分配系数 固端弯矩 分配传递
A
-150
-17.13
杆端弯矩 -167.13
BA BC
0.571 0.429
150 -90 -34.26 -25.74
龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(渐近法及其他算法简述)
算。 （4）上一步结点 B 计算后，进行一次传递，结点 C 又有了新的约束力矩，再重复（2）
中的计算，进行二次分配传递。 （5）各点循环放松，每次产生的新约束力矩会越来越小，一般进行两三轮计算就能满
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l 转动刚度可由位移法中的杆端弯矩公式导出，以下列出常用转动刚度： 远端固定，S=4i；远端简支，S=3i；远端滑动，S=i；远端自由，S=0。
2．分配系数
任一杆件在某结点的分配系数等于杆件的转动刚度不汇交于该结点的各杆转动刚度之
和的比值。它起到将作用于某结点的弯矩按比例分配到汇交于该结点各杆的近端的作用，用
三、无剪力分配法 1．应用条件 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。
2．剪力静定杆件的固端弯矩
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先根据静力条件求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载。按该端滑动，另端固定 的杆件进行计算。
出附加刚臂给予结点的约束力矩，用 M 表示。约束力矩规定以顺时针转向为正。
（3）放松结点：将丌平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行 分配、传递。
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（4）结构的实际受力状态：将各杆的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆 的最后弯矩。
束力 M C 相反的力矩，由这个 M C 引起的固端弯矩，可利用力矩分配法进行计算。计算后 经过一次传递，B 点处的约束力矩变成了 M B M BC 。
（3）将结点 C 重新固定，放松结点 B，相当于在有一个反向力矩加到 B 点上，即为
中的计算，进行二次分配传递。 （5）各点循环放松，每次产生的新约束力矩会越来越小，一般进行两三轮计算就能满
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l 转动刚度可由位移法中的杆端弯矩公式导出，以下列出常用转动刚度： 远端固定，S=4i；远端简支，S=3i；远端滑动，S=i；远端自由，S=0。
2．分配系数
任一杆件在某结点的分配系数等于杆件的转动刚度不汇交于该结点的各杆转动刚度之
和的比值。它起到将作用于某结点的弯矩按比例分配到汇交于该结点各杆的近端的作用，用
三、无剪力分配法 1．应用条件 刚架中除杆端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。
2．剪力静定杆件的固端弯矩
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先根据静力条件求出杆端剪力，然后将杆端剪力看作杆端荷载。按该端滑动，另端固定 的杆件进行计算。
出附加刚臂给予结点的约束力矩，用 M 表示。约束力矩规定以顺时针转向为正。
（3）放松结点：将丌平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行 分配、传递。
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（4）结构的实际受力状态：将各杆的固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆 的最后弯矩。
束力 M C 相反的力矩，由这个 M C 引起的固端弯矩，可利用力矩分配法进行计算。计算后 经过一次传递，B 点处的约束力矩变成了 M B M BC 。
（3）将结点 C 重新固定，放松结点 B，相当于在有一个反向力矩加到 B 点上，即为
结构力学第八章[18页]
![结构力学第八章[18页]](https://img.taocdn.com/s3/m/8acba993c5da50e2534d7f2e.png)
第章三目节录
第四节
结构力学课件
第八章 渐进法
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节
第 4 节 无剪力分配法
8.4.2 无剪力分配法应用推广
• 无剪力分配法是一种有特定适用条件的力矩 分配法.该方法解决问题的关键在于考虑剪力 静定杆的实际受力情况,即合理地确定剪力静 定杆的计算简图,进而确定该杆的固端弯矩和 转动刚度.此方法的基本概念可应用到位移法 求解过程中,达到简化求解过程的目的.下面 以图 ( a )所示刚架为例,说明无剪力分配法的 基本概念在位移法求解中的应用.
结构力学课件
8.4 无剪力分配法
1. 了解渐进法的概念 2. 了解力矩分配法的基本原理 3. 掌握力矩分配法的计算 4. 了解无剪力分配法
结构力学课件
第八章 渐进法
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节
第 1 节 结构的分类
本节目录
8.1 概述
结构力学课件
第一章 渐进法
章目录 第一节 第二节 第章三目节录 第四节
第四节
结构力学课件
第八章 渐进法
章目录 第一节
第 2 节 力矩分配法的基本原理
8.2.2 力矩分配法的基本原理
第二节 第章三目节录
第四节
结构力学课件
第八章 渐进法
章目录 第一节
第 2 节 力矩分配法的基本原理
8.2.2 力矩分配法的基本原理
第二节 第章三目节录
第四节
结构力学课件
第八章 渐进法
章目录 第一节
8.1 概述
第 1 节 概述
• 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法,它们都必须求解多元联
立方程组.当基本未知量较多时,其计算工作将十分繁重.从２０世纪３０
第八章 渐进法及超静定力的影响线
EI 8m 1
24kN/m
C
4m 2EI 4m ∑MCg =53
50kN
2
50kN
D
g =－128
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
－128 0.4 －128 76.8 51.2 －15.7 9.4 6.3 －0.7 0.4 0.3 86.6 －86.6 0.6
128 －75 0.4 0.6 128 －75 25.6 －31.4 －47.2 3.2 －1.3 －1.9 0.2 －0.1 －0.1 124.2 －124.2
+ +
M分
M分
MB传
M传 4、重复2、3步骤直至结果 M分 M分 收敛。 5、杆端最后弯矩：M=Mg ＋ ∑M分＋∑M传
13
+· · ·
§8-2 多结点的力矩分配
注意： ①多结点结构的力矩分配法取得的是渐近解。 ②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛。 ③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们 之间的杆件的转动刚度和传递系数不易确定）；但是可以同时放松 所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。 ④每次要将结点不平衡力矩反号分配。
=
∑MBg
2、放松结点B，此时结构只 有一个结点角位移，按单结 MABg 点的力矩分配法计算，结点 C最终取得新的结点不平衡 力矩∑MCg +MC传 3、放松结点C，按单结点 的力矩分配法计算，结点 B又取得新的不平衡力矩 MB传 M传 MBAg∑MCg源自MBCg MCBg －∑MBg
MCDg
∑MCg +MC传 M传 －(∑MCg +MC传)
M远 C M近
∴远端弯矩可表达为： M BA C AB M AB 等截面直杆的传递系数
工程力学-结构力学课件-8力矩分配法
40kN .m
求不平衡力矩
40kN.m
A EI
6m
C B EI
4m
MBu
20kN / m
40kN .m
60
60
M
u B
60
40
100kN .m
A
60 B
C
40
8 /17 9 /17
M F 60
60
分 配
23.5
传
递
47 53
M 83.5 13 53
§8-2多结点的力矩分配A q 12kN / m
对于同层柱等高，剪力分配系数可简化为按各柱的线刚度进行
分配，即
i
ii ii
顶层：
1
i1 ii
1 3
2
3
底层：
5
i5
2
0.4
ii 1.5 2 1.5
4
i4 ii
1.5 1.5 2 1.5
0.3
6
(2)计算各柱剪力
第8章 渐近法及其他算法简介
§8-1 力矩分配法的基本概念
力法、位移法：精确，求解方程。 力矩分配法是基于位移法，逐步逼近精确解 的近似方法。 单独使用时只能用于无侧移（无线位移）的 结构。
1.名词解释
B
q 1
C
M1B 3i ql2 / 8
M1A 4i ql 2 / 4
M1C i
1.8 3.5 2.6
… … ...
M1FA ql 2 / 8 150
M1F2 ql 2 / 12 100
S21 4i
S2B 3i
结构力学之渐近法
工程实例分析
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
THANK YOU
感谢聆听
计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结合具体工程实例，阐述地下工程开挖支护方案选择的实际应用，包括 地质条件分析、支护方案设计与施工等。
05
渐近法优缺点及改进方向
优点总结
高效性
渐近法通过逐步逼近真实解的方 式，可以在相对较少的计算步骤 内得到较为精确的结果，从而提 高计算效率。
适用性广
渐近法可以应用于多种类型的结 构力学问题，如线性、非线性、 静力、动力等问题，具有较强的 通用性。
渐近法将与其他数值方法相结 合，形成更加完善的结构力学 分析方法体系，以满足不断增 长的工程需求。
针对渐近法的研究将不断深入 ，探索其在结构力学中的更多 应用可能性，推动结构力学学 科的发展。
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计算精度受限于步长选择
渐近法的计算精度与步长选择密切相关，步长过大可能导致计算结 果不准确，步长过小则可能增加计算量。
改进方向探讨
01
02
03
04
改进初始值选择方法
通过引入更先进的初始值选择 算法，如全局优化算法、智能 算法等，提高初始值选择的准 确性和效率。
加强模型验证和修正
在采用渐近法进行结构力学计 算前，应对所使用的模型进行 充分的验证和修正，确保模型 的准确性和稳定性。
奇异积分与近边界效应处理
针对边界元法中出现的奇异积分和近边界效应问题，采用相应的数 学方法进行处理，如坐标变换、特殊函数展开等。
04
工程实例分析与讨论
桥梁结构承载能力评估
桥梁结构类型与特点
工程实例分析
简要介绍桥梁的主要结构类型，如梁 桥、拱桥、悬索桥等，并分析其受力 特点和适用场景。
结合具体工程实例，阐述桥梁结构承 载能力评估的实际应用，包括评估流 程、关键步骤和注意事项等。
结构力学 第八章 渐近法.
2.远端铰支： M DA C M AD, C 0
3.远端定向： M CA C M AC , C 1
故用下列公式表示传递弯矩的计算：
M BA CAB M AB
现在把力矩分配法的物理概念简述如下：先 在刚结点B上加上阻止转动的约束，把连续梁分 为单跨梁，求出杆端产生的固端弯矩，然后求出 结点的不平衡力矩MB。去掉约束（相当于在结点 上施加-MB )，求出各杆B端新产生的分配力矩和 远端新产生的传递力矩。叠加各杆端记下的力矩 就得到实际的杆端弯矩。
为了消除附加刚臂的影响，施加一个其值与 不平衡力矩等值反向的外力矩，使基本结构与 原结构具有相同的受力和变形。
3、三分配
(c)
30KN.m
A
B
C
设在结点B产生一单位转角，应在B端施加的外 力矩为，
mBA 4i2 1 4 21 8, mBC 4i1 1 411 4
M AB 4iAB A , M BA 2iAB A M AC iAC A , M CA iAC A M AD 3iAD A , M DA 0
由上述结果可知:
M BA M AB
CAB
1 2
CAB：为传递系数
1.远端固定：
M BA C M AB ,
C1 2
B
C
D 配、传递）求杆端
B
＋ MC3
C
D
弯矩 按单结点问题（分
配、传递）求杆端
MC3 MC1 MC2 弯矩
例9－2 试用力矩分配法作连续梁弯矩图
20kN / m
100kN
A EI 1 6m
B EI 2
C EI 1 D
4m 4m
第8章力矩分配法
1 4
传递系数
远端固定，CAB=0.5
远端简支，CAD=0
远端滑动，CAC=-1
D i
分配系数
AB
2 3
AC
1 12
AD
1 4
120kNm
A
2i
i
C
传递系数
CAB=0.5
CAD=0
CAC=-1
B
D
80kNm A 30kNm
B 40kNm
10kNm C
M图
杆端弯矩
M AB
AB M
2 *120
3
固端弯矩
分配和传 递弯矩 杆端弯矩
A -150 -17.2
-167.2
分配系数
4 7
150
3 7
B
-90
-34.3 -25.7
115.7 -115.7
167.2 A
115.7
300
90
B 32.1
158.5
M图(单位kNm)
C 0 0 0 单位kNm
C
单结点力矩分配法计算举例
3）非结点荷载作用刚架
渐近法概述
1、线性代数方程组的解法: 直接法，渐进法
2、结构力学的渐近法:
力学建立方程，数学渐近解 不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其 突出的优点是每一步都有明确的物理意义。
3、位移法方程的两个特点:
(1)每个方程一般不超过五项式； (2)主系数大于副系数的总和，即 kii > kij，
适于渐近解法。
80kNm
M AC AC M 10kNm
M AD AD M 30kNm
M BA CAB M AB 40kNm
M CA CAC M AC 10kNm
渐近法——力矩分配法的基本概念
作业： 8－１，8－４
qL2 8
mB
1 8
qL2
4 56
qL2m
＝
＋
1 M (qL2 )
28
整个过程没有求解位移
q C
i
L
3 56
qL2
2 56
qL2
L
三、力矩分配法的一般概念
（1） 转动刚度
转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上 等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的 力矩。用符号S表示。
转动刚度只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。
第八章 渐近法
§8-1 力矩分配法的基本概念
一、力矩分配法的特点与适用条件 1. 力矩分配法与无剪力分配法是求解超静定结构
的有效方法，是在位移法基础上发展起来的渐近法。
2. 渐进法的特点
3. 力矩分配法适合求解 连续梁与无侧移刚架
4. 力矩分配法顾名思意是对结构进行力矩分配,
因此研究对象是各杆端的 杆端弯矩。
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
例5: 作图示梁的弯矩图
100kN.m
A EI
10m
B EI C
5m
0.6 0.4
问：固端力矩＝？ 最终杆端力矩＝？
例6: 用力矩分配法计算图示刚架
100kN
40kN/m
A i
Bi
C
2i
4m
D
2m 2m
4m
46
58 74
100
80
16
M图（ kN.m ） 8
二、力矩分配法的解题思路 例1：用位移法求解图示刚架 (1) 加约束,固定结点B
mB
C
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(渐进法及其他算法简述)【圣才出品】
第8章渐近法及其他算法简述8.1 复习笔记本章介绍了几种属于位移法类型的渐近方法。
这些渐近方法的基础是力矩分配法，在力矩分配法的基础上，衍生出了适用于不同结构类型的子方法，如无剪力分配法、分层计算法、反弯点法。
渐近法舍弃了一部分精度，但以此换来了更高的效率。
一、力矩分配法的基本概念（见表8-1-1）1．转动刚度、分配系数、传递系数表8-1-1 力矩分配法的基本概念2．基本运算环节（单结点转动的力矩分配）（见表8-1-2）表8-1-2 单结点转动的力矩分配图8-1-1图8-1-2二、多结点的力矩分配（见表8-1-3）表8-1-3 多结点的力矩分配图8-1-3三、无剪力分配法（表8-1-4）表8-1-4 无剪力分配法图8-1-4四、近似法（见表8-1-5）表8-1-5 近似法图8-1-5 分层法五、超静定结构各类解法的比较和合理选用（见表8-1-6）表8-1-6 超静定结构各类解法的比较和合理选用8.2 课后习题详解8-1 试用力矩分配法计算图8-2-1所示结构，并作M图。
图8-2-1解：（a）求固端弯矩M AB F＝－F P l/8＝－20kN·m，M BA F＝F P l/8＝20kN·m求分配系数μBA＝EI/（EI＋EI/2）＝1/（1＋1/2）＝0.667，μBC＝（EI/2）/（EI＋EI/2）＝（1/2）/（1＋1/2）＝0.333放松B点进行力矩分配（B点的集中力偶应该与固端弯矩一起分配），分配过程如图8-2-2所示，并作出M图如图8-2-2所示。
图8-2-2（b）考虑去掉悬臂部分CD，去掉后在C点施加大小为10kN·m的顺时针力偶矩。
求固端弯矩（注意，C点的附加力偶传递到B点的作用不能忽略）M BC F′＝－3F P l/16＝－18kN·m（集中力引起）M BC F″＝1/2×10kN·m＝5kN·m（附加力偶引起）M BC F＝M BC F′＋M BC F″＝－13kN·m，M CB F＝10kN·m。
8山东建筑大学结构力学渐近法2解析
由结点B 开始
4kN
6kN
4kN
6kN
4kN
(3)
(3) (3) (2)
(4)
(1)
(1) (5)
(5)
(1)
(4)
2kN
(2)
(3)
3kN
(3)
8m×6=48m
4kN 6kN
2kN6kN
M=0
12kN
6kN 6kN 2kN 2kN 2kN 3kN 3kN
(3)
(4)
3kN
(5)
6kN
(6)
(4)
画M可用力 X1 矩分配法求
画MP可 用公式求
力法与位移法的联合
对称问题按位移法或 力矩分配法计算， 反对称问题按力法或 无剪切分配法计算。
P
P/2
P/2 反 对 称
P/2
P/2
正 对 称
混合法
两个多余 未知力， 五个结点 位移。用 力法作。 六个多余 未知力， 两个结点 位移。用 位移法作。
18 6 1 AB 1、求μ： AE (5) 18 3 7 7 C D 12 12 3 4 (2) BF BA BC 12 4 3 19 19 19 G 6 6 4 5 CG CB CD 6 4 5 15 15 15 1 3kN
A 0.83 12.9 B D 30.5 M(kN.m)
36.0
M M P M1
三、几种方法的联合应用（各取所长）
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
20kN/m 5I C 4I D
A 4I
B 3I E
例题12-10 试用联合法求 图示刚架的弯矩图。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
第8章渐近法及其它算法
k1、k2 —— 楼层刚度（本楼层单位侧移所需的侧向力） k11 、k12 、k21 、k22 —— 位移法的刚度系数
由图示可知： k11=k1+k2
k12=k21=－k2 k22=k2
3. 应用举例
[例1]求图示结构A端的竖向刚度k11 。
解： 悬臂梁自由端：
A
l3 3EI
kA
3EI l3
刚度并联，两者叠加：
3i
l
81 3
M
BFG＝-
ql 2 3
96
KN
m
M
GFB＝-
ql 2 6
48
KN
m
▲ 悬臂端的处理
系数 固弯
15/19 4/19
分传
25
－19.7 －5.3
1.4 －1.1 －0.3 －20.8 20.8
[例3] 解图示带悬臂的等截面连续梁。
解1：(按常规方法)
10 －50
50 －2.7
2.7
相加，即为各杆端的最后弯矩。
3.力矩分配法注意事项 1）若结点受集中力偶M作用，M参与分配时“不反号”,
要注意与固端弯矩汇交结点不平衡力矩相区别。 2）支座沉降等非载荷因素问题时，将其视为“广义载
荷”求固端弯矩（可根据转角位移方程或单跨超静 定梁的杆端内力表求得）。
3）对于对称结构，取半结构计算。
总侧移刚度：
k
k左柱
k右柱
3 h
i1
2 1
3 i2
h
2 2
总侧移刚度：
k
k左柱
பைடு நூலகம்
k右柱
12 i1 h2
12 i2 h2
并联一般公式：
n
结构力学第八章渐近法及其他算法概述)
C
2i H i
μAG=0.5 μCA=0.4 μCE=0.4
μAC=0.5 μCH=0.2
E
1.5m
mAG
201.52 3
15 k N.m
C
CA
CH
0.4
0.2
E
CE
CH
0.4
结点7.11
20kN/m
↓↓↓↓↓↓A↓↓↓↓
7.11
杆端 AG
AC
CA
μ
0.5
0.5
0.4
0m.78 －2.6135 2.63
A
24.5 14.7 9.8
1.7 4.89
M图 (kN m)
2m 4m
BBA 0.3
BC 0.4 BE 0.3
C
CB CD
0.445 0.333
CF 0.222
mBA= 40kN·m mBC= - 41.7kN·m mCB= 41.7kN·m
0.3 B 0.4
0.445 C 0.333
独立使用时只适用于解算无侧移（无独立结点线位 移）的结构。
力矩分配法
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
基本思路
固定状态:
q 12kN / m B
A EI
B EI
C
M
F B
---不平衡力矩,顺时针为正
10m
10m
固端弯矩---荷载引起的单跨梁两
1、名词解释
(1)转动刚度S： 表示杆端对转动的抵抗能力。
在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
1
SAB=i
结构力学——渐近法
结构力学中的渐近法是一种重要的分析方法，其中力矩分配法是其核心组成部分。力矩分配法通过加刚臂或链杆，逐次释放不包括求分配系数、固端弯矩，以及进行分配和传递等。通过循环交替进行这些步骤，可以求得各杆端的最后弯矩。文档通过详细的计算示例，展示了力矩分配法的应用过程。然而，需要注意的是，虽然文档对力矩分配法进行了深入阐述，但并未直接提及渐近法的三个基本参数。这可能需要读者在理解力矩分配法的基础上，进一步推导或查阅相关资料来获得。
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分配系数 固端弯矩
0.57 1.14 0.86
-1.65 -3.29 -3.28 -1.64 0.47 0.94 0.70
分配与传递
-0.12 -0.23 -0.24 -0.12
0.07 0.05 -1.77 -3.52 -2.48 0.39 -0.39 4.0 -4.0
最终弯矩
例2.试用力矩分配法作图(a)所示
BE
1 3
6m
4m
分配系数
2
1
3
3
固端弯矩 81300096
48
分配与传递 1020005100051000
最后弯矩 911000911000531000
③进行力矩分配与传递，求最后弯矩 MB91 10 00ME5310 00
解：（1）利用对称取半边结构计算 （2）设B、C下沉位移为△
1 8 k N /m
6m
8m
6m
（3）用力矩分配法求解
①求固端弯矩
MB FAq82l3li81 30 00 MB FEq32l 96kNm
ME FBq62l 48kNm
②求分配系数
SBA3iBA3E 6IE2I
SB3
结构力学第8章渐近法及其 它算法简述
§8.1 力矩分配法的基本概念
理论基础：位移法； 计算对象：杆端弯矩； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、基本概念
1.转动刚度SAB：使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
A
B
A
B
1
1
SAB=i A
B
SAB=0A
B
1
SAB与杆的线刚度i（材料的性质、横 截面的形状和尺寸、杆长）及远端支
AGAC0.5
结点C：
SCA4iCA4E 3I3 4EI SCE4iCE4E 3I3 4EI
EI 2 SCHiCH1.53EI
CACE0.4
CH 0.2
（3）计算固端弯矩
MA FGq32l 15kNm
MG FAq62l7.5kNm
（4）进行力矩分配与传递 （5）利用对称性绘制弯矩图
例6.图示等截面连续梁，EI=36000kN.m2,在荷载作用下， 要使梁中间跨的最大正弯矩和支座负弯矩绝对值相 等，B、C支座应升降多少？
弯矩小到可忽略为止； 4.把每一杆端历次的分配弯矩、传递弯矩和原有的固端弯矩相加，
即为各杆端的最后弯矩。
例1.用力矩分配法计算图示连续梁。
6 kN .m
i
i
4m 2m 2m
2 kN/m
i 4m
2 kN
MF= -ql2/8+M/2
2m
= -4+2= -2kN·m
0.5 0.5 0.57 0.43 0.0 0.0 0.0 0.0 -2.0 4.0 -4.0
SBA=3iBA=3×2EI/12=EI/2 SBC=4iBC=4×EI/8=EI/2 μBA=SBA/(SBA+SBC)= 0.5 μBC=SBC/(SBA+SBC)= 0.5 (3)最后将各杆端的固端弯矩(图(b))与分配弯矩、传递弯矩(图(c)) 相加，即得各杆端的最后弯矩值。
三、计算步骤
1.在刚结点上增加阻止转动的附加刚臂，把连续梁分解为具有固定端 的单跨梁；
结点C： SCB=SBC=12EI SCD=4iCD=4×4EI/2=8EI μCB=SCB/(SCB+SCD)=3/5 μCD=2/5
例5.利用对称性求图示刚架的弯矩图。
解：（1）利用对称性取半边结构进行计算 （2）计算分配系数
SAGiAG21E .5I34EI SAC4iAC4E 3I3 4EI
2.计算结点处各杆件的弯矩分配系数； 3.计算各杆的固端弯矩和结点处附加刚臂中的约束力矩； 4.把结点处的约束力矩取反加在结点处，计算分配弯矩与传递弯矩； 5.计算实际的各杆端弯矩。
近端弯矩=故端弯矩+分配弯矩 远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩
例2.用力矩分配法计算图示刚架, 画M图。
解：1）求分配系数μ
AB 413 4 1 1129 4
AC
2 9
A
D
3 9
1 3
2）计算固端弯矩
MA FB10 80 45k 0N m MB FA50 kN m
MA FD 80 kN m MAMA FBMA FD MA FCM 50801545kN m
3m
100kN B i=1
15kN.m 40kN/m
A
i=1 D
i=2
C
2m
2m
4m
MF AB
MA M=15
MF AD
MF AC
结点
B
杆端
BA
分配系数
固端弯矩 -50
分配与传递
10
最后弯矩
-40
A
C
D
AB
AD
AC
CA
DA
4/9
3/9
2/9
50
-80
20
15
70
-65
10
-10
10
-10
70 65 40
100
B
A
10
45
D
80 47.5
M图（kN.m)
C
例3.用力矩分配法作图(a)所示封闭框架的弯矩图。已知各杆EI等于常数。
承有关，而与近端支承无关。
SAB=4i
1
(2)为了消除约束力矩MFB，应在结点B处加入一个与它大小相等方向 相反的力矩MB=-MFB(图(c))，在约束力矩被消除的过程中，结 点B即逐渐转动到无附加约束时的自然位置，故此步骤常简称为 “放松结点”。将图(b)和图(c)相叠加就得到图(a)中的结果。对 于图(c)
解：(1) 计算分配系数
(2)
结点B： SBA=3iBA=3×4EI/2=6EI SBC=4iBC=4×9EI/3=12EI μBA=SBA/(SBA+SBC)=1/3 μBC=SBC/(SBA+SBC)=2/3
MFBA=3Pl/16=18.75kN·m MFBC= -ql2/12= -15kN·m MFCB=ql2/12 =15kN·m
一、原理与方法（轮流放松、逐次分配）
多结点力矩分配法的思路是，首先把所有结点锁住，然后依次 逐个放松结点，使结构处于“单结点”状态，再使用力矩分配法消 去结点上的不平衡力矩，如此反复进行，使结点不平衡力矩逐渐减 小，直至可以忽略，因此，它是一种渐近法。
二、计算步骤
1.计算各结点的分配系数； 2.将所有中间结点固定，计算各杆固端弯矩； 3.将各结点轮流放松，分配与传递各结点的不平衡力矩，直到传递
解：(1)计算固端弯矩
M1F A1 3q2l7.5kN m MA F11 6q2l3.7k5N m
(2)计算分配系数
转动刚度：
S1A
i1A
EI2EI 3/2 3
S1C
i1C
EIEI 1
分配系数：
1A
S1A S1A S1C
0.4
1C
S1C S1A S1C
0.6
(3) (4)作弯矩图。
§8.2 多结点力矩分配法