离散数学复习指导1

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离散数学复习指导

离散数学复习指导离散数学复习指导一、考试范围第一部分数理逻辑第七章二元关系9.1二元运算及其性质11.1格的定义与性质第五部分图论二、重点题型第一部分数理逻辑命题逻辑（一至三章）1、求命题公式的真值表知识：P7表1.1例题：P9例1.82等值演算知识：P17基本等值式例题：P19例2.33、判断公式的类型知识：P10定义1.10例题：用真值表法判断P15习题19用等值演算法判断P20例2.54、求主析取范式与主合取范式知识：P25开始例题：真值表法幻灯片例题2.9等值演算法P26例2.85、推理知识：P46定义3.3例题：P48例3.3（直接推理）例3.4（命题符号化后再推理）例3.5（附加前提证明法）例3.6（反证法）一阶逻辑（四五章）6、一阶逻辑等值演算知识：P68开始例题：P72例5.57、求一阶逻辑前束范式知识：P73定义5.2例题：p73例5.68、一阶逻辑推理知识：p76定义5.3例题：P77例5.9例5.10（直接推理）例5.11（命题符号化后再推理）第七章二元关系1、求二元关系的矩阵p105、关系图2、关系的运算：逆、右复合、幂p107定义7.7、7.8、7.10定理7.1、7.2、7.3、3、判断二元关系的性质知识：五种二元关系性质的定义、p117表7.1（定义法、集合表达式法、关系矩阵法、关系图法）例题：p117例7.14（关系图法）幻灯片例7.13、7.14、7.15、7.16、7.17（定义法、集合表达式法）4、求关系的闭包知识：p118定义7.14、定理7.10及推理（集合表达式法）、p119（关系矩阵法）例题：幻灯片例7.19（集合表达式法）、例题7.20（关系矩阵法）5、判断是否是等价关系、求等价类及划分知识：定义7.15、7.16、7.17、7.18例题：幻灯片例7.26、4.20（幻灯片编号有误，应为7.20）p133习题366、判断是否是偏序关系、画出偏序关系的哈斯图知识：p126定义7.19、7.20、7.22、7.23例题：幻灯片例4.26、4.27、4.28（幻灯片编号有误，应为7.26...）9.1二元运算及其性质1、画出二元运算的运算表2、求二元运算的单位元、零元、可逆元的逆元例题：p172例9.711.1格的定义与性质1、格的对偶原理的应用知识：p209对偶原理第五部分图论1、判断正整数序列是否是可图化的知识：p276定理14.1、14.2、14.3例题：p277例14.22、路、基本路、简单路、初级路概念3、求点割集与边割集知识：p283开始例题：p292习题21、224、求图的关联、邻接矩阵、求两结点长度为（或小于等于）n的通路数、求一结点长度为（或小于等于）n的回路数知识：p287开始例题：幻灯片例14.4、p294习题44、455、判断一个图是否具有欧拉路、欧拉回路、是否是欧拉图知识：p296开始例题：p305习题16、树的分支点、树叶和度的关系知识：p308定理16.1、定理16.2例题：p318习题2、3、47、求生成树、最小生成树知识：p310定义16.2、16.5例题：p312例16.38、求最优二叉树及其权知识：p314定义16.9、huffman算法例题：p314例16.5。

自学考试：离散数学复习(一)

自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。

与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。

在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。

本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。

一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。

它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。

二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。

它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。

2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。

3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。

4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。

5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。

三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。

2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。

3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。

4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。

四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。

2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。

3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。

4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。

总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。

对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。

希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。

离散数学复习资料

离散数学复习资料离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。

命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q 组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P 取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。

离散数学复习提纲

离散数学复习提纲离散数学是一门关于离散对象的数学分支，它主要研究离散结构及其性质，广泛应用于计算机科学、信息技术、密码学等领域。

下面是一个离散数学的复习提纲，包括离散数学的基本概念、离散结构、图论、关系、逻辑以及集合论等内容。

一、离散数学的基本概念1.数学基础：集合、函数、关系、证明方法（数学归纳法、反证法、递归法等）；2.命题逻辑：命题、命题连接词、真值表、逻辑运算、逻辑等价、推理规则等；3.谓词逻辑：谓词、量词、公式、合取范式和析取范式、蕴含、等价、量词的否定规则等；4.证明方法：直接证明、间接证明、归谬证明、证明策略等。

二、离散结构1.图论：图的基本概念、图的表示方法、连通性、路径和回路、图的着色、最小生成树等；2.代数结构：群、环、域的定义、性质及基本例子；3.组合数学：组合基本原理、二项式系数、排列组合、生成函数、递归关系、容斥原理等；4.有限状态自动机：确定性有限状态自动机、非确定性有限状态自动机、正则表达式等。

1.图的基本概念：顶点、边、路径、回路、度等；2.图的表示：邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等；3.图的遍历：深度优先、广度优先；4. 最短路径问题：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法；5. 最小生成树问题：Prim算法、Kruskal算法；6.匹配问题：最大匹配、二分图匹配等。

四、关系1.关系的基本概念：关系矩阵、关系的性质（反自反性、对称性、传递性等）；2.等价关系：等价关系的性质、等价类等；3.偏序关系：偏序关系的性质、偏序集合、哈斯图等；4.传递闭包：传递闭包的定义、传递闭包的计算方法等。

五、逻辑1.命题逻辑：命题的定义、逻辑运算、真值表、逻辑等价、推理规则等；2.谓词逻辑：量词的定义、公式的定义、量词的否定规则、等价变换等；3.命题逻辑与谓词逻辑的转换；4.形式化推理：前向链式推理、后向链式推理、消解法等。

1.集合的基本概念：子集、并集、交集、差集、补集等；2.集合运算：集合的并、交、差、补等运算的性质；3.集合的关系：包含关系、相等关系、等价关系等；4.集合的表示方法：列举法、描述法、元祖法等；5.集合的基数：有限集合的基数、无穷集合的基数、基数的性质。

离散数学复习要点

离散数学复习要点第一章命题逻辑一、典型考查点1、命题的判断方法：陈述句真值唯一，特殊：反问句也是命题。

其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。

详见教材P12、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的：1∧1⇔1，0∨0⇔0，1→0⇔0，11⇔1，00⇔1详见P53、命题符号化步骤：A划分原子命题，找准联结词。

特殊自然语言：不但而且，虽然但是用∧，只有P才Q，应为Q→P；除非P否则Q，应为┐P→Q。

B设出原子命题写出符号化公式。

详见P54、公式的分类判定（重言式、矛盾式、可满足式）方法：其一根据所有真值赋值情况，其二根据等价演算来判断。

详见P95、真值表的构造步骤：①命题变元按字典序排列，共有2n个真值赋值。

②对每个指派，以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。

③若公式较复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所求公式的真值。

详见P8。

6、基本概念：置换规则，P规则，T规则，详见P24；合取范式，析取范式，详见P15；小项详见P16；大项详见P18，最小联结词组详见P157、等价式详见P22表1.6.2 证明方法：①真值表完全相同②用等价演算③利用A⇔B的充要条件是A⇒B且B⇒A。

主要等价式：(1)双否定：⎤⎤A⇔A。

(2)交换律：A∧B⇔B∧A，A∨B⇔B∨A，A↔B⇔B↔A。

3)结合律：(A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)，(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)，(A↔B)↔C⇔A↔(B↔C)。

(4) 分配律：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)，A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)。

(5) 德·摩根律：⎤(A∧B)⎤⇔A∨⎤B，⎤(A∨B)⎤⇔A∧⎤B。

(6) 等幂律：A∧A⇔A，A∨A⇔A。

(7) 同一律：A∧T⇔A，A∨F⇔A。

(8) 零律：A∧F⇔F，A∨T⇔T。

(9) 吸收律：A∧(A∨B)⇔A，A ∨(A∧B)⇔A。

(10) 互补律：A∧⎤A⇔F，(矛盾律)，A∨⎤A⇔T。

《离散数学》总复习上课讲义

不是闭式的公式在某些解释下也可能是命题. 公式类型. 换名规则与代替规则
第3章集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元最小联结词组对偶式与对偶原理简单析取式、简单合取式析取范式与合取范式附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律第一组命题逻辑推理定律代换实例第二组由基本等值式生成（置换规则）第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))

离散数学（1）复习笔记

离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。

命题的真值，真命题，假命题。

* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。

1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。

* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。

* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。

注意命题符号化的蕴涵⽅向。

* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。

* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。

合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。

* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。

*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。

真值表。

* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。

*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。

1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。

* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。

2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。

* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。

Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。

离散数学期末复习指导经典

一、各章复习示例与解析第一章集合例1，将“大于3而小于或等于7的整数集合”用集合表示出来。

[解析]集合的表示方法一般有两种，一种称为列举法，一种称为描述法。

列举法将集合的元素按任意顺序逐一列在花括号内，并用逗号分开。

“大于3而小于或等于7的整数”有4、5、6、7，用列举法表示为{4、5、6、7}；描述法是利用集合中的元素满足某种条件或性质用文字或符号在花括号内竖线后面表示出来。

上例用描述法表示为{x| x∈Z并且3<x≤7}，其中Z为整数集合。

答：{4、5、6、7}或{x| x∈Z并且3<x≤7}。

例2，判定下列各题的正确与错误：（1）a∈{{a}}；（2）{a}⊆{ a，b，c }；（3）∅∈{ a，b，c }；（4）∅⊆{ a，b，c }；（5）{a，b}⊆{a，b，c，{ a，b，c }}；（6）{{a}，1，3，4}⊂{{a}，3，4，1}；（7）{a，b}⊆{a，b，{ a，b }}；（8）如果A⋂B=B，则A=E。

[解析]此题涉及到集合中子集的概念，集合的包含关系，空集与集合的关系。

解题时要注意区分两个集合之间的关系以及集合中元素与集合之间的关系的不同。

集合之间的关系分为包含关系（子集、真子集）、相等关系、幂集等，判断时要准确理解这些概念，才能正确地运用这些知识。

集合与它的元素之间的关系有两种：一个元素a属于一个集合A，记为a∈A；一个元素A不属于一个集合A，记为a∉A。

要注意符号的记法（∈）与集合包含符号记法（⊆，⊂）的不同。

答：正确的是（2）、（4）、（5）、（7）；其余的都是错误的。

例3，设A，B是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，请计算ρ（A）–ρ（B）。

[解析]集合的概念一般在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，由集合A的所有子集组成的集合，称为A 的幂集，记作ρ（A）或2A；一是掌握幂集元数为2n，n为集合A的元数。

离散数学复习提纲

离散数学复习提纲2010-2011-1《离散数学》复习提纲第⼀部分数理逻辑第⼀章命题逻辑基本概念§1.1 命题与联结词1. 命题与真值命题，命题的真值，真命题，假命题，简单命题（原⼦命题），复合命题2. 命题与真值的符号化⽤p，q，r等⼩写英⽂字母表⽰命题，⽤数字1代表真，0代表假。

3. 常⽤联结词及其符号化否定，合取，析取，蕴涵，等价4. 基本复合命题设p，q为命题否定式┐p合取式p∧q析取式p∨q蕴涵式p→q分清逻辑关系、真值以及在⾃然语⾔中对“p→q”的不同的描述⽅法。

等价式p?q5. 复合命题基本复合命题以及多次使⽤常⽤联结词复合⽽成的命题统称为复合命题。

深刻理解5种常⽤联结词的涵义，并能准确地应⽤它们将复合命题符号化。

§1.2 命题公式及其赋值1. 命题常项与命题变项命题常项（简单命题），命题变项（取值为1或0的变量p，q，r……）2. 命题公式与赋值合式公式（也称命题公式或公式），公式的层次，公式的赋值，成真赋值，成假赋值，真值表3. 命题公式的类型重⾔式（永真式），⽭盾式（永假式），可满⾜式4. 判断公式类型的⽅法在本章内主要⽤真值表判断命题公式的类型，进⽽求公式的成真赋值和成假赋值。

理解命题的赋值、成真赋值，成假赋值，重⾔式、⽭盾式、可满⾜式第⼆章命题逻辑等值演算§2.1 等值式1. 等值式若A?B为重⾔式，则称A与B是等值的。

记为A?B2. 基本等值式3. 等值演算由已知等值式推演除新的等值式的过程。

4. 重⾔式与⽭盾式的判别法A为重⾔式当且仅当A?1，A为⽭盾式当且仅当A?0。

§2.2 析取范式与合取范式1. 基本概念⽂字，简单析取式，简单合取式，极⼩项，极⼤项，析取范式，合取范式，主析取范式，主合取范式深刻理解极⼩项、极⼤项的定义、名称、下脚标与成真赋值的关系。

2. 主要定理在命题逻辑中，任何公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是唯⼀的。

离散数学期末复习要点与重点

离散数学期末复习要点与重点离散数学是中央广播电视大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程，共72学时，开设一学期．该课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑等．下面按章给出复习要点与重点．第1章集合及其运算复习要点1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分．掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆),空集∅与所有集合等的关系. 空集∅，是惟一的，它是任何集合的子集．集合A 的幂集P (A )＝}{A x x ⊆， A 的所有子集构成的集合．若∣A ∣＝n ，则∣P (A )∣=2n ．2．熟练掌握集合A 和B 的并A ⋃B ，交A ⋂B ，补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差⊕，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )，或A ⊕B ＝(A ⋃B )－（A ⋂B ）等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律(见教材第9～11页)(运算的性质).3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导．重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明．第2章关系与函数复习要点1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．有序对就是有顺序二元组，如<x , y >，x , y 的位置是确定的，不能随意放置．注意：有序对<a ，b >≠<b , a >，以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a }；有序对(a , a )有意义，而集合{a , a }是单元素集合，应记作{a }．集合A ，B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合，规定A ×B ＝{<x ,y >∣x ∈A ,y ∈B }，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n ．2．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法．二元关系是一个有序对集合，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy ．关系的表示方法有三种：集合表示法，关系矩阵：R ⊆A ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图：R 是集合上的二元关系，若<a i , b j >∈R ，由结点a i 画有向弧到b j 构成的图形．空关系∅是唯一、是任何关系的子集的关系；全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡；恒等关系},{A a a a I A ∈><=，恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差．复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=∙=；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(按布尔运算)；有结合律：(R ∙S )∙T ＝R ∙(S ∙T )，一般不可交换．逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1；复合关系与逆关系存在：(R ∙S )－1=S －1∙R －1．3．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R 是自反的⇔I A ⊆R ；②R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅；③R 是对称的 ⇔R ＝R －1；④R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ；⑤R 是传递的⇔R ∙R ⊆R .(2)I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性．E A 具有自反性，对称性和传递性．故I A ，E A 是等价关系．∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．I A 也是偏序关系．4．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系. ⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类．一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．5．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．设f 是集合A 到B 的二元关系，∀a ∈A ，存在惟一b ∈B ，使得<a , b >∈f ，且Dom(f )=A ，f 是一个函数(映射)．函数是一种特殊的关系．集合A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域A 中每一个元素a ，B 中有且仅有一个元素与a 对应，而关系没有这个限制．二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内的每个元素的对应值都相同．函数有：单射——若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射——f (A )=B 或,,A x B y ∈∃∈∀使得y =f (x )；双射——单射且满射．复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则即))(()(x f g x f g = ．复合成立的条件是：)(Dom )(Ran g f ⊆．一般g f f g ≠，但f g h f g h )()(=.反函数——若f ：A →B 是双射，则有反函数f －1：B →A ，},)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-，f f g f f g ==-----11111)(,)( 重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数.第3章图的基本概念复习要点1．理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理．图是一个有序对<V ，E >，V 是结点集，E 是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图，有向边与有向图，混合图，零图，平凡图、自回路(环)，无向平行边，有向平行边等概念．简单图，不含平行边和环(自回路)的图、在无向图中，与结点v (∈V )关联的边数为结点度数deg (v )；在有向图中，以v (∈V )为终点的边的条数为入度deg －(v )，以v (∈V )为起点的边的条数为出度deg ＋(v )，deg(v )=deg +(v )+deg －(v )．无向完全图K n 以其边数)1(21-=n n E ；有向完全图以其边数)1(-=n n E ．了解子图、真子图、补图和生成子图的概念．生成子图——设图G ＝<V , E >，若E '⊆E ，则图<V , E '>是<V , E >的生成子图．知道图的同构概念，更应知道图同构的必要条件，用其判断图不同构.重要定理：(1) 握手定理设G =<V ，E >，有∑∈=Vv E v 2)deg(； (2) 在有向图D ＝<V , E >中，∑∑∈+∈-=V v V v v v )(deg )(deg；(3) 奇数度结点的个数为偶数个．2．了解通路与回路概念：通路(简单通路、基本通路和复杂通路)，回路(简单回路、基本回路和复杂回路)．会求通路和回路的长度．基本通路(回路)必是简单通路(回路)．了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G ＝<V ，E >，结点与边的交替序列为通路．通路中边的数目就是通路的长度．起点和终点重合的通路为回路．边不重复的通路(回路)是简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路).无向图G 中，结点u , v 存在通路，u , v 是连通的，G 中任意结点u , v 连通，G 是连通图．P (G )表示图G 连通分支的个数．在无向图中，结点集V '⊂V ，使得P (G －V ')>P (G )，而任意V "⊂V ',有P （G －V "）＝P (G )，V '为点割集. 若V '是单元集，该结点v 叫割点；边集E '⊂E ，使得P (G －V ')>P (G )，而任意E "⊂E '，有P （G －E "）＝P (G )，E '为边割集．若E '是单元集，该边e 叫割边(桥)．要知道：强连通−−→−必是单侧连通−−→−必是弱连通，反之不成立． 3．了解邻接矩阵和可达矩阵的概念，掌握其构造方法及其应用．重点：图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示．第4章几种特殊图复习要点1．理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G 的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路)．存在欧拉回路的图是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复．笔不离开纸，不重复地走完所有的边，走过所有结点，就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理(1) 无向连通图G 是欧拉图⇔G 不含奇数度结点(即G 的所有结点为偶数度)；(2) 非平凡连通图G 含有欧拉通路⇔G 最多有两个奇数度的结点；(3) 连通有向图D 含有有向欧拉回路⇔D 中每个结点的入度＝出度．连通有向图D 含有有向欧拉通路⇔D 中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg －(u )－deg ＋(v )＝±1．2．理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念，会做简单判断．通过连通图G 的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，是汉密尔顿通路(回路)．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.汉密尔顿图的充分条件和必要条件(1) 在无向简单图G =<V ，E >中，∣V ∣≥3，任意不同结点V v u G v u ≥+∈)deg()deg(,,，则G 是汉密尔顿图．(充分条件)(2) 有向完全图D ＝<V ，E >, 若3≥V ，则图D 是汉密尔顿图. (充分条件)(3) 设无向图G =<V ，E >，任意V 1⊂V ，则W (G －V 1)≤∣V 1∣(必要条件)若此条件不满足，即存在V 1⊂V ，使得P (G －V !)>∣V 1∣,则G 一定不是汉密尔顿图(非汉密尔顿图的充分条件)．3．了解平面图概念，平面图、面、边界、面的次数和非平面图．掌握欧拉公式的应用．平面图是指一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交．面、边界和面的次数)deg(r 等概念．重要结论：(1)平面图e r e E v V E V G ri i2)deg(,,,,1===>=<∑=则． (2)欧拉公式：平面图,,,,e E v V E V G ==>=< 面数为r ，则2=+-r e v (结点数与面数之和＝边数＋2)(3)平面图633,,,,-≤≥==>=<v e v e E v V E V G ，则若．会用定义判定一个图是不是平面图．4．理解平面图与对偶图的关系、对偶图在图着色中的作用，掌握求对偶图的方法．给定平面图G ＝〈V ，E 〉，它有面F 1，F 2，…，F n ，若有图G*＝〈V*，E*〉满足下述条件：⑴对于图G 的任一个面F i ，内部有且仅有一个结点v i *∈V *；⑵对于图G 的面F i ，F j 的公共边e k ，存在且仅存在一条边e k *∈E *，使e k *＝(v i *，v j *)，且e k *和e k 相交；⑶当且仅当e k 只是一个面F i 的边界时，v i *存在一个环e k *和e k 相交；则图G *是图G 的对偶图．若G *是G 的对偶图，则G 也是G *的对偶图．一个连通平面图的对偶图也必是平面图．5．掌握图论中常用的证明方法．重点：欧拉图和哈密顿图、平面图的基本概念及判别．第5章树及其应用复习要点1．了解树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念，掌握求最小生成树的方法．连通无回路的无向图是树．树的判别可以用图T是树的充要条件(等价定义)．注意：(1) 树T是连通图；(2)树T满足m＝n－1（即边数=顶点数-1）．图G的生成子图是树，该树就是生成树．每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图．G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T)．最小生成树是带权最小的生成树．2．了解有向树、根树、有序树、二叉树、二叉完全树、正则二叉树和最优二叉树等概念．了解带权二叉树、最优二叉树的概念，掌握用哈夫曼算法求最优二叉树的方法．有向图删去边的方向为树，该图为有向树．对非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树．每个结点的出度小于或等于2的根树为二叉树；每个结点的出度等于0或2的根树为二叉完全树；每个结点的出度等于2的根树称为正则二叉树．有关树的求法：(1)生成树的破圈法和避圈法求法；(2)最小生成树的克鲁斯克尔求法；(3) 最优二叉树的哈夫曼求法重点：树与根树的基本概念，最小生成树与最优二叉树的求法.第6章命题逻辑复习要点1．理解命题概念，会判别语句是不是命题．理解五个联结词：否定⌝P、析取∨、合取∧、条件→、和双条件↔及其真值表，会将简单命题符号化．具有确定真假意义的陈述句称为命题．命题必须具备：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2．了解公式的概念(公式、赋值、成真指派和成假指派)和公式真值表的构造方法．能熟练地作公式真值表．理解永真式和永假式概念，掌握其判别方法．判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，其二是等价演算法.3．了解公式等价概念，掌握公式的重要等价式和判断两个公式是否等价的有效方法：等价演算法、列真值表法和主范式方法．4．理解析取范式和合取范式、极大项和极小项、主析取范式和主合取范式的概念，熟练掌握它们的求法．命题公式的范式不惟一，但主范式是惟一的．命题公式A有n个命题变元，A的主析取范式有k个极小项，有m个极大项，则n+=k2m于是有(1) A是永真式⇔k=2n(m=0)；(2) A是永假式⇔m＝2n(k=0)；求命题公式A的析取(合取)范式的步骤：见教材第174页．求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤：见教材第177和178页．5．了解C是前提集合{A1,A2,…,A m}的有效结论或由A1, A2, …, A m逻辑地推出C的概念．要理解并掌握推理理论的规则、重言蕴含式和等价式，掌握命题公式的证明方法：真值表法、直接证法、间接证法．重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定，主析取(合取)范式，命题演算的推理理论.第7章谓词逻辑复习要点1．理解谓词、量词、个体词、个体域，会将简单命题符号化．原子命题分成个体词和谓词，个体词可以是具体事物或抽象的概念，分个体常项和个体变项．谓词用来刻划个体词的性质或之间的关系．量词分全称量词∀，存在量词∃.命题符号化注意：使用全称量词∀，特性谓词后用→；使用存在量词∃，特性谓词后用∧．2．了解原子公式、谓词公式、变元(约束变元和自由变元)与辖域等概念．掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法．由原子公式、联结词和量词构成谓词公式．谓词公式具有真值时，才是命题．在谓词公式∀xA 或∃xA 中，x 是指导变元，A 是量词的辖域．会区分约束变元和自由变元．在非空集合D (个体域)上谓词公式A 的一个解释或赋值有3个条件．在任何解释下，谓词公式A 取真值1，A 为逻辑有效式(永真式)；公式A 取真值0，A 为永假式；至少有一个解释使公式A 取真值1，A 称为可满足式．在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∧∧∧⇔∀)(...)()()(21n a A a A a A x xA ∨∨∨⇔∃会求谓词公式的真值，量词的辖域，自由变元、约束变元，以及换名规则、代入规则等．掌握谓词演算的等价式和重言蕴含式．并进行谓词公式的等价演算．3．了解前束范式的概念，会求公式的前束范式的方法.若一个谓词公式F 等价地转化成 B x Q x Q x Q k k ...2211，那么B x Q x Q x Q k k ...2211就是F 的前束范式，其中Q 1，Q 2，…，Q k 只能是∀或∃，而x 1, x 2, …, x k 是个体变元，B 是不含量词的谓词公式．前束范式仍然是谓词公式．4．了解谓词逻辑推理的四个规则．会给出推理证明．谓词演算的推理是命题演算推理的推广和扩充，命题演算中基本等价式，重言蕴含式以及P ，T ，CP 规则在谓词演算中仍然使用．谓词逻辑的推理演算引入了US 规则(全称量词指定规则)，UG 规则(全称量词推广规则)，ES 规则(存在量词指定规则)，EG 规则(存在量词推广规则)等.重点：谓词与量词，公式与解释，谓词演算．。

离散数学复习课(1)

二、基本要求
1、准确地将给定命题符号化。 2、深刻理解永真式、永假式、可满足式的概念及其判别方法。 3、对于给定的解释能判断出命题是真命题还是假命题。
三、主要题型
1、一阶逻辑中命题符号化。 2、给定解释，解释给定公式。 3、证明某些公式不是永真式，也不是永假式。 4、证明永真式或永假式。
知识点5 一阶逻辑的等值演算与推理
3、一阶逻辑的推理理论
• 推理的形式结构：与命题逻辑相同。 • 推理正确：推理式为永真式。 • 一阶逻辑中重要的推理定律：推理定律的组成。 • 无量词化处理：规则（4个）。 • 自然推理系统 F 的构成：
字母表，合式公式，命题逻辑的推理规则，一阶逻辑的推理定律，无量词化处理。
二、基本要求
1、深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要的等值式，并能准确而熟练地应用它们。 2、熟练、正确地使用置换规则、换名规则和代替规则。 3、准确地求出给定公式的前束范式。 4、深刻理解自然推理系统 F 中的各条推理规则，特别是要正确使用 US 等 4 个规则。 5、能正确地证明给定的推理。
• 置换规则：若 A B，则(A) (B) 。 • 永真式与矛盾式的判别方法：A 1；A 0。
2、析取范式与合取范式
• 概念：文字，简单析取式，简单合取式，最小项，最大项，析取范式，合取范式，主析取范式，主合取范式。 • 主要定理：在命题逻辑中，任何公式都存在着唯一的主析取范式和主合取范式。
2、集合的运算
• 集合的初级计算：交、并、差、补、环和、环积。 • 集合的广义运算：广义交，广义并。 • 集合的幂：
3、集合恒等式
• 运算律：交换律等，P65 ~ 67，19个。
4、有限集合元素的计算
• 计数方法：文氏图或容斥原理。 • 容斥原理：

离散数学考试复习指南

第二章作业
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第六章格和布尔代数
✓格的定义 ✓格同构 ✓子格的判别 ✓分配格（五元及五元以上分配格的判别） ✓有界格、补元、有补格 ✓布尔格、布尔代数的基本概念
第六章格与布尔代数
偏序集格
有界格分配格有补格
布尔格
第六章格与布尔代数
a
a
c
b
cd
b
d
e
(a)钻石格
A
B
A
B
F
C
F
C
E
D
E
D
证法1：
(1)(x)R( x)
P
(2)R(c)
ES (1)
(3)(x)(Q(x) R(x)) P
(4)Q(c) R(c)
US (3)
(5)R(c) Q(c)
T (4)
(6)Q(c)
T (2)(5)
(7)(x)(P(x) Q(x)) P
(8)P(c) Q(c)
US (7)
(9)Q(c) P(c)
e
(b)棱形格
典型例题6-1
1、集合 A={1，2，3，4，6，9，12，24}，R 为 A 上的整除关系。（1）画出偏序集<A，R>的哈斯图。（4 分）（2）子集 B={3，4，6}，求 B 的最小元、极小元、上确界。（6 分）
24
12
4
6
9
2
3
1
极小元 3，4 最小元无
上确界 12
第二章作业
第二章作业
12 of 26 2023/9/20
第五章代数系统
✓代数系统的基本性质 ✓半群、独异点、子群、群的概念 ✓群的判定 ✓循环群、交换群、有限循环群 ✓同态、同构、环与域 ✓如何求解运算的幺元、零元 ✓代数系统中幺元与零元的关系

离散数学重点难点复习提纲

第一部分数理逻辑第一章命题逻辑重点：●熟练掌握联结词的定义；●掌握数理逻辑中命题的翻译及命题公式的定义；●熟记基本的等价公式和蕴涵公式；●利用真值表技术和公式法求公式的主析取范式和主合取范式；●熟练掌握应用基本推理方法完成命题逻辑推理：1.直接证法2.反证法3.CP规则难点：●如何正确地掌握对语言的翻译；●如何利用推理方法正确的完成命题推理。

第二章谓词逻辑重点：●谓词、量词、个体域的概念；●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●熟记基本的谓词等价公式；●求公式的前束范式；●掌握谓词逻辑的推理规则以及能够熟练地完成一阶逻辑推理；难点：●谓词逻辑中带量词命题的符号化；●如何利用推理方法正确地完成一阶逻辑推理。

第二部分集合论第三章集合与关系重点：●掌握集合的五种基本运算和集合相等的证明方法；●幂集的概念以及和子集的关系；●序偶和笛卡尔积的概念；●关系定义及其和笛卡尔积之间的联系；●关系的复合；●关系的五种性质及其判断和证明；●关系的闭包；●等价关系定义、证明及其与等价类、集合的划分间的关系；●偏序关系的定义和证明，哈斯图；●偏序关系中的特殊元素；难点：●如何正确证明集合之间包含和相等关系；●如何正确地理解和判断关系的性质；●非常重要的关系性质的证明方法——按定义证明法；●如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；●如何正确地理解和判断偏序关系中的八种特殊元素。

第四章函数重点：●能够判定某个二元关系是否是函数；●几种特殊的函数：满射，单射，双射；难点：●如何正确地判断三种特殊函数。

第三部分代数结构重点：●理解代数结构的构成和研究方法；●代数结构中运算的性质以及特殊元素；●广群⇒半群⇒独异点⇒群；●群的定义与性质；●环与域的判断和证明；●格的两种定义；●特殊格：分配格、有界格、有补格、有补分配格；●有补分配格与布尔代数之间的联系；难点：●循环群的判断和证明；●如何正确理解由偏序关系定义的格与由代数系统定义格之间的关系和区别；●如何正确理解布尔代数的概念。

离散数学复习要点

《离散数学》期末考试复习要点（长期有效）第一章命题逻辑1-1 ：命题、原子命题、复合命题、命题常量、命题变元1-2 ：联结词否定、和取、析取、条件、双条件1-1,1-2习题（1）（3）（5）（6）1-3：翻译例题3---例题61-3 习题（1）（5）(7)1-4: 真值表，等价公式例题1—例题61-4 习题（1）1-5 所有知识，表1-5.21-5 习题（1）（6）（7）1-7：合取范式、吸取范式、小项、大项及其性质、主析取范式及其简洁式、主合取范式及其简洁式、命题公式的成真赋值例题6---例题111-7习题（4）1-8：论证过程三种方法--真值表法、直接证法、间接证法例题1（p42）例题2—例题6 表1-8.3和表1—8.41-8 习题（1）（3）（4）（5）第二章谓词逻辑2-1 ：所有知识2-2：所有知识2-1,2-2习题（1）（2）2-3 例题1—例题42-3 习题（4）2-4 所有知识2-4 习题（2）（3）2-5 所有知识2-5 习题（1）（2）2-6 所有知识例题1，例题22-7 全称指定、全称推广、存在指定、存在推广。

例题1—例题32-7 习题（1）a）b）（2）a)（3）第三章集合与关系3-1 所有知识3-1 习题（4）（6）（7）（9）3-2 所有知识3-2 习题（3）（6）3-4 序偶、定理3-4.1例题13-4 习题（1）（2）（3）d）e）3-5 关系的定义，空关系，全域关系，恒等关系，关系矩阵，关系图。

例题1-例题63-5 习题（1）（2）（7）3-6 所有知识例题1—例题53-6 习题（1）3-7 复合关系，逆关系，例题1—例题43-7 习题（1）3-8 关系的闭包的定义，会求三个闭包。

例题1—例题33-8 习题（1）（2）3-9 集合的划分和覆盖的定义3-9 习题（1）3-10 等价关系的定义，等价类的概念。

商集的概念。

例题1—例题3。

3-10 习题（2）（3）3-11 相容关系的概念，相容类，最大相容类。

离散数学复习指导1

离散数学复习指导1离散数学复习指导Ⅰ命题逻辑部分一学习要求1．理解命题、联结词的含义，掌握命题的符号化；2．理解命题公式的赋值，能求出公式的真值表，判断公式的类型；3. 理解公式等值的定义,记住一些基本等值式,能进行等值演算;4. 体会公式的主范式与公式赋值之间的关系,能利用等值演算求出范式;5. 理解公式的蕴涵及推理的含义及联系,记住一些基本的推理规则, 能用演绎推理方法进给出推理证明; 二范例例1 将下列命题符号化⑴小王聪明但不用功；⑵ 说数理逻辑枯燥无味或毫无价值，那是不对的；⑶ 你不及格就要补考。

⑷ 不经一事，不长一智；解：⑴ 设p：小王聪明，q：小王用功，则该命题可符号化为：p??q。

⑵ p：数理逻辑枯燥无味，q：数理逻辑毫无价值，则：?(p?q)。

⑶ p：你及格了；q：你要参加补考，则：?p?q。

⑷ p：经一事；Q：长一智，则：?p??q。

⑸ 这是简单命题，则p：李卫与李星是兄弟。

例2 求命题公式(p?q)?r的主析取范式和主合取范式，指出公式的成真赋值和成假赋值，并判断公式的类型。

解：(p?q)?r?((p?q)?(q?p))?r?((p?q)?r)?((q?p)?r) ?(?p?q?r)?(?q?p?r)?M2?M4 （主合取范式）?m0?m1?m3?m5?m6?m7??(0,1,3,5,6,7) (主析取范式)公式的成真赋值为：000，001，011，101，110，111 成假赋值为：010，100 公式为非重言式的可满足式。

例3 构造下面推理的证明：前提：p??q,p?r,q?s 结论：s?r 证：(1) p??q P;(2) p T(1)化简规则;(3) ?q T(1)化简规则(4) p?r P;(5) r T(3)(4)假言推理; (6) q?s P; (7) s T(3)(6)析取三段论;(8) s?r T(5)(7)合取式.例4. 先将下列相关命题符号化,给出推理证明如果4是偶数,则2不能整除5. 或者7不是素数或者2整除5. 7是素数.因此4不是偶数.解: 设p: 4是偶数; q: 2能整除5; r: 7是素数; s: 2整除5,则前提：p??q,?r?q,r, 结论：?p. 证明: (1) ?(?p) 结论之否定; (2) p T(1)等值式;(3) p??q P;(4) ?q T(2)(3)假言推理; (5) ?r?q P;(6) ?r T(4)(5)析取三段论;(7) r P;(8) r??r T(6)(7)合取式.三练习题1．将下列命题符号化⑴小王不但聪明而且美丽。