,,空间中直线与直线所成的角(夹角)

C' B'
Q A' B ' DC,A' B ' DC
D
C
四边形A' B 'CD是平行四边形
A
B
A' DB 'C,A' D B 'C
BA' D即异面直线A' B和B 'C所成的角或其补角
Q A' D DB A' B BA' D 60,即异面直线A' B和B 'C的夹角为60.
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (3)直线A' B和B 'C的夹角是多少？ A'
F
四边形EH FG是平行四边形
G C
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3.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
变一变：
(1)若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
(2)若AC⊥BD，那么四边形EFGH是什么图形? A
解：(1)若AC=BD，
若ab，a c，则b c.
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (1)直线A' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
C' B'
哪些棱所在的直线与直线A' B垂直？
D
C
解：(1)Q BB ' CC '
A
B
A' BB '即异面直线A' B和CC '所成的角或其补角
b bˊ
a
aˊ
o
四.异面直线所成的角
定义：直线a、b为异面直线，经过空间任一点O， 分别引a′∥a，b′∥b，则相交直线a′，b′所 成的锐角（或直角）叫做两条异面直线a、b所成 的角(或夹角)
注1：异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关， 而与点O位置无关，一般常把点O取在直线a或b上；
还要想： 在正方体里面对角线与 面对角线的夹角是多少？
D A
0或60或90
C' B'
C B
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' E C '
(4)直线AC '和B ' D '的夹角是多少？ A'
B'
解：连结A'C '与D ' B '交于点E，
F
取AA'中点F，连结EF, FD '.
Q A' BB ' 45异面直线A' B和CC '的夹角为45.
(2)与直线AA'垂直的直线有AB, BC,CD, DA,
A' B ', B 'C ',C ' D ', D ' A';
与直线A' B垂直的直线有A' D ', B 'C ', BC, AD.
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (1)直线A' B和CC '的夹角是多少？ A' (2)哪些棱所在的直线与直线AA ' 垂直？
三线平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
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1.如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原
为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在
直线是异面直线的有多少对?
A
D
CA
G
H
DB
G
B F
HE
C
F
E
key：AB与CD，AB与GH，EF与GH
D
C
Q AA'C '中，EFACபைடு நூலகம்'
A
B
FED '即异面直线AC '和B ' D '所成的角或其补角
设正方体棱长为a，则EF 1 AC ' 3 a, ED ' 2 a,
FD ' 5 a
2
2
2
EF 2 ED '2 FD '2 FED' 90
2
直线AC '和B ' D '的夹角是90
思考：如图，在棱长为4正四面体ABCD中，求异面
那么四边形EFGH是菱形；
H
E
(2)若AC⊥BD，
D
那么四边形EFGH是矩形.
G
B
F
C
四.异面直线所成的角
思考1:两条异面直线之间有一个相对倾斜度，若将两异面 直线分别平行移动，它们的相对倾斜度是否发生变化？
思考2:设想用一个角反映异面直线的相对倾斜度，但不能 直接度量，你有什么办法解决这个矛盾？
空间中直线与直线所成的 角（夹角）
知识回顾
异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线
①从有无公共点的角度： 有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线
②从是否共面的角度
不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线
在同一平面内-------平行直线
直线AB和CD所成的角.（以后可以证明）
解：取BC中点E，AC中点M , AD中点F,
连结EM , MF, FE, FB, FC.
A
Q MFCD, EM
EMF即异面直线AB和CD所成
的角或其补角
M
Q MF ME 2, EF 2 2 B
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2.如图， I a,c ,ca,b , a I b A,
求证：b, c为异面直线. 证明：假设b, c不是异面直线，
则b, c平行或相交. （1）若b, c平行，由ca得ba.
c
a
A
b
这与a I b A矛盾，所以b, c不平行.
（2）若b, c相交，设b I c B.
Q b , c B是平面和的公共点 又Q I a Ba c与a相交，这与ca矛盾
注2：规定两条平行直线的夹角为0°，则异面直线所成角
的取值范围是：0o 90o ，
如果两条异面直线所成的角是90°，则称这两条异面
直线互相垂直，记作：a b .
四.异面直线所成的角
想一想：在平面几何中，垂直于同一条直线的两直线互相 平行，在空间中这个结论还成立吗 ? 不成立 再想想：如果两条平行直线中有一条与某一条直线垂直, 那么另一条是否也与这条直线垂直？为什么？成立（定理）
C' B'
哪些棱所在的直线与直线A' B垂直？
D
C
A 想一想：在正方体里棱与棱的夹角是多少？
B
0或90
再想想：在正方体里面对角线与棱的夹角是多少？
45或90
典型例题
例1.如图，在正方体ABCD A' B 'C ' D '中，D' (3)直线A' B和B 'C的夹角是多少？ A'
解：(3)连结A' D，DB，
b, c不相交 综上，假设不成立，b, c是异面直线.
复习巩固
3.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
解：连接BD
A
Q EH是ABD的中位线
EH BD，且EH BD
H E
同理FGBD，且FG BD
D
EHFG，且EH FG B